精品解析：甘肃省兰州第一中学2025年新高一入学实验班遴选考试数学试题

实验班遴选考试试题 数学（一） 注意： 1．考生务必将自己的姓名、考场、考号、座位号填涂在指定位置． 2．请将所有试题的答案填写在答题卡上指定的位置，答在试题卷上无效． 3．考试时间为120分钟，满分150分． 一、选择题（每小题7分，共计42分） 1. 代数式的所有可能值为（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 3或 2. 已知实数，满足，，且，则的值为（ ） A. B. 3 C. 9 D. 3. 已知的三边长为a，b，c，则方程的根的情况是（ ） A. 无实根 B. 有两个相等实根 C. 有两个相异实根 D. 不能确定 4. 设，则代数式的值为（ ） A. 18 B. 16 C. D. 5. 已知函数其中，若存在实数，使得关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 规定，如果，且，为正整数，那么有序数对共有（ ）对． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（每小题7分，共计35分） 7. 如图，中，，平分，，，则点到的距离是_____； 8. 将一枚六个面点数分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使得一元二次方程有相等的实数解的概率为______； 9. 已知，，为实数，且，，，则代数式_____； 10. 在平面直角坐标系内有两点，，若一次函数的图像与线段有公共点，则的取值范围为______； 11. 设是个互不相同的正整数，且，则的最大值是__________． 三、解答题（4小题，共计73分，解答需写出文字说明或解答过程） 12. 解不等式组，并写出它的所有正整数解． 13. 设，是方程的两个不相等的实数根，求的值． 14. 如图，已知是的直径，是的切线，为切点，平行于弦，连接．过点作于，交于点，求证：点平分线段． 15. 在平面直角坐标系中，为原点，直线与轴交于点，与直线交于点，点关于原点的对称点为点． （1）求过，，三点的抛物线的解析式； （2）为抛物线上一点，它关于原点的对称点为． ①当四边形为菱形时，求点的坐标； ②若点的横坐标为，当为何值时，四边形面积最大，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验班遴选考试试题 数学（一） 注意： 1．考生务必将自己的姓名、考场、考号、座位号填涂在指定位置． 2．请将所有试题的答案填写在答题卡上指定的位置，答在试题卷上无效． 3．考试时间为120分钟，满分150分． 一、选择题（每小题7分，共计42分） 1. 代数式的所有可能值为（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 3或 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，按都为正、都为负、一正一负分类计算得解. 【详解】当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以代数式的所有可能值为或3. 故选：C 2. 已知实数，满足，，且，则的值为（ ） A. B. 3 C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由题意得实数，为方程的两个不等根，然后由韦达定理得出根与系数关系，化简即可求解. 【详解】因为实数，满足，，且， 所以实数，为方程的两个不等根，所以， 所以. 故选：B 3. 已知的三边长为a，b，c，则方程的根的情况是（ ） A. 无实根 B. 有两个相等实根 C. 有两个相异实根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有，应用因式分解转化乘积形式，结合三角形三边关系判断判别式符号，即可得答案. 【详解】由 ， 由两边之和大于第三边知：，，，且， 所以，故方程无实根. 故选：A 4. 设，则代数式的值为（ ） A. 18 B. 16 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用，平方可得，然后将所求式子化简为计算. 【详解】由，则，两边平方化简可得：， . 故选：A 5. 已知函数其中，若存在实数，使得关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值与二次函数的图像性质画图分析即可. 【详解】由题, 因为，对称轴为， 故，在定义域内为增函数， 由图像可知，若存在实数，使得关于x的方程有三个不同的根, 则当时,的值大于的值， 因为，所以，解得，故B正确. 故选：B. 6. 规定，如果，且，为正整数，那么有序数对共有（ ）对． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定定义可得，再对2001分解质因数，进而求出有序数对的对数. 【详解】依题意，，由为正整数，得是大于1的奇数，由于的乘积是2001，所以也都是小于2001的整数. 而，则大于1且小于2001的约数有， 且，每个积对应着两对， 所以有序数对共有6对. 故选：D 二、填空题（每小题7分，共计35分） 7. 如图，中，，平分，，，则点到的距离是_____； 【答案】4 【解析】 【分析】根据角平分线的性质即可求解. 【详解】由于，，所以， 由于平分，且,故点到的距离等于， 故答案为：4 8. 将一枚六个面点数分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使得一元二次方程有相等的实数解的概率为______； 【答案】 【解析】 【分析】依据古典概型概率公式求解即可. 【详解】若一元二次方程有相等的实数解，则，即， 一个骰子连续抛掷两次，得到的点数依次为，，记为， 则 共36种， 其中满足题意的有，，，共3种. 故使得一元二次方程有相等的实数解的概率为． 故答案为： 9. 已知，，为实数，且，，，则代数式_____； 【答案】 【解析】 【分析】变形给定等式，再代入计算得解. 【详解】由，得，由，得，由，， 所以. 故答案为： 10. 在平面直角坐标系内有两点，，若一次函数的图像与线段有公共点，则的取值范围为______； 【答案】 【解析】 【分析】求出经过点的一次函数，由题意转化为方程有的解，列不等式求解即可. 【详解】设经过点的一次函数为，因为，所以， 所以经过点的一次函数为， 由题意，得，则方程有的解， 所以，且，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 11. 设是个互不相同的正整数，且，则的最大值是__________． 【答案】63 【解析】 【分析】根据等差求和可得，解得，即可根据求解. 【详解】令，所以， 故， 当时， 故满足的需要， 当，取， 故的最大值是63， 故答案为：63 三、解答题（4小题，共计73分，解答需写出文字说明或解答过程） 12. 解不等式组，并写出它的所有正整数解． 【答案】，所有正整数解为1，2，3. 【解析】 【分析】先独立求解一元一次不等式，再求出不等式组的解，进而求出所有正整数解. 【详解】解不等式，得，解得， 解不等式，得，即，解得， 所以原不等式组的解为，所有正整数解为1，2，3. 13. 设，是方程的两个不相等的实数根，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据韦达定理得，结合即可求解. 【详解】是方程的两个不相等的实数根， ， ， 所以得值为. 14. 如图，已知是的直径，是的切线，为切点，平行于弦，连接．过点作于，交于点，求证：点平分线段． 【答案】 证明：过作，延长与相交于, 由于,故 又故 又，所以,故， 因此均为圆的切线，且, 故, 在中，，即 在中，,即, 故,即， 即点平分线段 【解析】 【分析】根据三角形全等证明均为圆的切线，即可根据三角形相似，结合比例关系即可求解. 【详解】略 15. 在平面直角坐标系中，为原点，直线与轴交于点，与直线交于点，点关于原点的对称点为点． （1）求过，，三点的抛物线的解析式； （2）为抛物线上一点，它关于原点的对称点为． ①当四边形为菱形时，求点的坐标； ②若点的横坐标为，当为何值时，四边形面积最大，并说明理由． 【答案】（1） （2）①或；②，四边形面积最大为2 【解析】 【分析】（1）分别求出，，三点的坐标，再用待定系数法求解抛物线的解析式； （2）①，由题意可得，再由四边形为菱形可得，利用两点距离公式建立方程即可求解； ②过点作轴交直线于点，过点作轴交于点，分别求出，，，，再由，可得当时，四边形面积取到最大值为2. 【小问1详解】 令，得，所以，联立方程组，解得， 所以， 因为点关于原点的对称点为点，所以， 设抛物线的解析式为，所以，解得， 所以； 【小问2详解】 ①设，由题意可得， 因为四边形为菱形，所以，所以， 即，解得或， 所以或； ②过点作轴交直线于点，过点作轴交于点， 因为点的横坐标为，所以，，，， 所以， 所以， 所以当时，四边形面积取到最大值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $