1.5 全等三角形的判定（第2课时）（教学课件）数学浙教版2024八年级上册

1.5 全等三角形的判定 （第2课时） 第1章 三角形的初步认识 浙教版2024·八年级上册 章节导读 学 习 目 标 掌握SAS判定定理的内容 学生能准确表述SAS判定条件：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 理解“夹角”的关键性，明确两边必须夹住对应相等的角。 运用SAS判定三角形全等 能根据题目条件（如已知两边及夹角）正确选择SAS进行证明，并规范书写推理过程。 思维与探究目标 能举出反例说明“两边及非夹角相等（SSA）”不能判定全等，强化SAS的准确性 课前复习 “同学们，在前面一节课我们学习了利用两个三角形的三组对应边分别相等（SSS）即可证明两个三角形全等。 除了利用SSS来判断两个三角形的全等，还有其他的判断方法吗？思考一下 如图在△ABC和△DEF中，,则△ABC≌△DEF（SSS） 注意书写格式，避免被扣分 课堂引入 课堂活动：挑战拼图——限时拼合三角形 每个学生拿出不同颜色的吸管或铅笔（代表边）和量角器，要求用给定的两根吸管或铅笔（如6cm、8cm）和夹角（30°）拼出三角形。 和自己周围的同学对比一下，看你们所拼成的三角形是否能完全重合呢 将夹角（30°）改为夹角45°，边长保持不变，对比下前后两个三角形的差异 为什么同样的两边，角度不同拼出的三角形不同？什么条件下拼出的三角形一定全等？ 新知探究 如图，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由转动，因此连结另两端所成的三角形不能唯一确定。这就是说,如果两个三角形只有两条边对应相等,那么这两个三角形不一定全等。 如果固定两木条之间的夹角(即∠BAC)的大小那么△ABC的形状和大小也随之被确定。 当三角形的两个边及其这两个边的夹角固定了，那么这个三角形就确定了 新知探究 如图所示，AB=A'B',BC=B'C',∠B=∠B'，将∠B和∠B'重合时，射线BA和射线B'C'必然重合，因为AB=A'B',BC=B'C'，所以A和A'重合，B和B'重合，所以△ABC和△A'B'C' 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS ”）。 在△ABC和△A'B'C'中，,所以△ABC≌△A'B'C'（SAS） 注意SAS中的A必须是两条边的夹角 例1 如图所示，点E在边BC的延长线上，已知DE=BC，DE∥AC，BE=AC，求证：△BDE≌△ABC 典例分析 证明：∵DE∥AC ∴∠E=∠ACB， 在△BDE和△ABC中， ∴△BDE≌△ABC（SAS） 两直线平行，同位角相等，可得∠E=∠ACB 判定定理“SAS”中的A一定是两边的夹角 变式训练 如图，点E、F在线段AC上，DF=BE，AE=CF，∠AFD=∠CEB，求证：△ADF≌△CBE 证明：∵AE=CF, ∴AE-EF=CF-EF ∴AF=CE, 在△ADF和△CBE中， ∴△ADF≌△CBE(SAS) 注意到线段中的公共部分问题 DE和BE是△ADF和△CBE中一组对应边 AE、CF不属于这两个三角形边，但是它们有公共线段，可得AF=CE ∠AFD和∠CEB是两组对应边的夹角 变式训练 如图，已知AB=AD，AC=AE，AB⊥AD，AC⊥AE，求证：△ABC≌△ADE 证明：∵AB⊥AD，AC⊥AE, ∴∠BAD=∠CAE=90° ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, ∴∠BAC=∠DAE 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE(SAS) 注意到角中的公共部分问题 AB和AD是△ABC和△ADE中一组对应边 AC和AE是△ABC和△ADE中一组对应边 AB⊥AD，AC⊥AE可知∠BAD=∠CAE=90° 例2 已知：如图，AD是△ABC的中线，点M在AD上，点N在AD的延长线上，且DM=DN。 典例分析 （1）求证：△BDN≌△CDM 证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD, ∴在△BDN和△CDM中，,∴△BDN≌△CDM 解：∵∠AMC=80°∴∠DMC=180°-80°=100° ∵△BDN≌△CDM ∴∠N=∠DMC=100° （2）若∠AMC=80°,求∠N的度数 根据中线的性质：BD=DC 注意题目中隐藏条件：对顶角相等 变式训练 如图AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠BAD=25°，∠ACE=30°，连接BE，点D恰好在BE上。 证明：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE 在△ACE和△ABD中， ∴△ACE≌△ABD（SAS） （1）求证：△ACE≌△ABD; （2）求∠ADE的度数。 解：∵△ACE≌△ABD，∠BAD=25°，∠ACE=30° ∴∠ABD=∠ACE=30°，∴∠ADE=25°+30°=55° 注意：∠BAC和∠DAE有共同部分∠DAC 利用等式的基本性质：等式两边同时减去一个数，等式仍然成立 新知探究 上面我们学习了全等三角形的判定定理（SAS）,两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，其中的角必须是夹角，如果不是还能证明两个三角形全等吗？ 如图所示，木条 AB，AC的长度确定，均可绕点A转动。若∠B的大小确定，则△ABC的形状、大小唯一确定吗？ ∠B不是AB和AC的夹角 所以当角不是两个已知边的夹角时不能用来证明两个三角形的全等（SSA） 课堂练习 1．如图所示，AC和BD相较于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（ ） A . AB=DC B . OB=OC C . ∠A=∠D D . ∠AOB=∠DOC B OA和OD是△AOB和△DOC的对应边 需要注意图中所给的隐藏条件：对顶角相等 满足SSA，但是SSA不一定能证明全等 题目的隐藏条件，目前只已知一边和一角无法证明全等 课堂练习 2．据史书记载,最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟,称为“木鸢”.后来随着造纸术的发明.人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞.在如下图所示的“风筝“图案中，AB=AD、∠B=∠D、BC=DE.则可以直接判定( ) D A . △AEG≌△ABC B . △AEG≌△ACF C . △ABF≌△ADC D . △ABC≌△ADE 课堂练习 3．如图，△ABC中，D为BC边上一点，CD=AB，∠CDE=∠A，AC=DE，连接CE，若∠B=110°，∠A=50°，则∠ACE= 。 解：∵在△ABC和△DCE中 ∴△ABC≌△DCE（SAS） ∴∠DCB=∠B=110°， ∵∠B=110°，∠A=50°,∴∠ACB=180°-∠B-∠C=20° ∴∠ACE=∠DCB-∠ACB=90° 90° 根据这三个条件即可直接证△ABC≌△DCE（SAS） 根据全等三角形的性质可知对应角相等 课堂练习 4 .在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=5，AD=8，则AC的取值范围是（ ） 解：延长AD至点E，使得DE=AD=8，则AE=16 ∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD， 在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS） ∴BE=AC，∵AE-AB＜BE＜AE+AB ∴16-5<BE<16+5，即11<BE<21，∴11<AC<21 B A . 16＜AC＜20 B . 11＜AC＜21 C . 16＜AC＜21 D . 11＜AC＜20 利用三角形的形成条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 课堂练习 5．如图，D、E是△ABC外两点，连接AD、AE，有AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=40°.连接CD，BE交于点F，则∠BFD的度数为 . 解：设AB交CD于点G，∵∠BAD=∠CAE=40° ∴∠BAE=∠DAC=40°+∠BAC 在△BAE和△DAC中， ∴△BAE≌△DAC（SAS） ∴∠ABE=∠D， ∠BFD=∠BGD-∠ABE=∠BGD-∠D=∠BAD=40° ∠BAC是∠DAC和∠BAE的公共角 已知两组对应边相等 40° 课堂练习 6．如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD=AB，过点C作CE∥AB且CE=BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G。 （2）若∠B=60°，∠D=22°，求∠AFG的度数 证明：∵CE∥AB，∴∠B=∠DCE 在△ABC与△DCE中 ∴△ABC≌△DCE（SAS） 解：△ABC≌△DCE，∠B=60°，∠D=22° ∴∠ECD=∠B=60°,∠A=∠D=22° ∴∠CED=180°-∠D-∠ECD=180°-22°-60°=98° （1）求证：△ABC≌△DCE 两直线平行，同位角相等 课堂练习 7．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，若BD=AD，FD=CD （1）若线段CD=3cm，AF=4cm，则BD= . 解：∵AD⊥BC，∴∠BDF=∠ADC=90° 在△ADC和△BDF中，∴△ADC≌△BDF ∴DF=CD=3cm，∴BD=AD=AF+DF=4+3=7cm （2）求证：BE⊥AC 证明：∵△ADC≌△BDF，∴∠DBF=∠DAC； ∵∠DBF=∠DAC,∵∠BFD=∠AFE, ∴∠DAC+∠AFE=∠DBF+∠BFD=90° 即∠AEF=90°,∴BE⊥AC 隐藏条件：∠AFE=∠BFD对顶角相等 课堂小结 ① 找出两组对应相等的边； ② 确认这两条边的夹角对应相等； ③ 写出全等结论并标出对应边/角。 证明步骤 如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等（简记“边角边”或SAS）。 SAS判定定理的定义 两边对应相等：必须是两组边的长度分别相等。 夹角相等：必须是两边所夹的角（其他角相等不适用）。 SAS的必备条件 01 02 03 04 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $$