第14章 图形的运动（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

第14章 图形的运动 教学目标 1. 知道图形的平移及平移的性质； 2. 了解图形的旋转及旋转的性质； 3. 掌握轴对称与轴对称图形，轴对称的性质； 4. 学习中心对称图形与两个图形成中心对称，中心对称的性质。 教学重难点 1.重点 （1）会判断图形的运动属于哪种类型； （2）利用图形运动的性质解决几何问题； （3）图形的运动有关作图。 2.难点 （1）探索旋转中心（的个数）； （2）图形运动的综合应用； 知识点1 平移 一、图形的平移 在平面上，将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫作图形的平移. 二、平移的性质 如图14-1-2,移动三角形ABC得到三角形A₁B₁C₁.平移的方向为射线AA₁的方向，平移的距离是线段AA₁的长度.其中，点A与点A₁是对应点；线段AB与线段A₁B₁是对应线段，它们的长度相等；∠BAC与∠B₁A₁C₁是对应角，它们的大小也相等. 从上面的例子可以得到图形的平移具有以下性质： (1)图形平移后，每组对应点之间的距离相等； (2)对应点所连接的线段平行(或在同一直线上)且相等； (3)对应角的大小相等；对应线段平行(或在同一直线上)且相等； (4)平移后得到的图形与原图形形状相同，大小相等. 图形平移前后对应点之间的距离叫作图形平移的距离. 【即学即练】 1．下列生活现象中，是平移的是（    ） A．荡秋千 B．水平拉动抽屉的过程 C．开关水龙头 D．将一张纸对折 2．下列说法中，在平移过程中：①对应线段一定相等；②对应线段一定平行；③周长不变；④面积不变，其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，三角形沿射线方向平移到了三角形所在的位置（点在线段上），如果，那么平移距离为（   ） A． B． C． D． 4．如图，向右平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 知识点2 旋转 一、图形的旋转 在平面上，将一个图形上的所有点绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，这个定点叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角. 二、图形旋转的性质 “某个方向”是指“顺时针方向”或者“逆时针方向”图形的旋转具有下列特点：旋转前的图形与旋转后的图形形状相同，大小相等. 例如，在图14-2-2中，三角形ABC绕点O按顺时针方向旋转一个角度成为三角形A₁B₁C₁,点O是旋转中心，∠AOA₁是旋转角.在三角形ABC的旋转中，点A与点A₁是对应点；线段AB与线段A₁B₁是对应线段，它们的长度相等；∠BAC与∠B₁A₁C₁是对应角，这两个角的大小也相等. 【即学即练】 1．下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 2．如图，将绕点O顺时针旋转变为，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使C，A，在同一条直线上，那么旋转角等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，把图中的图案，绕着它的中心旋转，要使旋转后的图形与自身重合，旋转角的度数至少为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 知识点3 轴对称 一、图形的翻折与轴对称图形 若将一个图形沿着某一条直线翻折过来，直线两边的部分能够相互重合，这个图形叫作轴对称图形，这条直线是它的对称轴，也称这个图形关于这条直线对称. 线段、角、正方形和圆都是常见的轴对称图形. 二、轴对称 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴.翻折后能够重合的点叫作对称点. 两个图形关于一条直线成轴对称，具有下面的性质： (1)对应线段的长度相等，对应角的大小相等，这两个图形形状相同，大小相等； (2)连接对称点的线段和对称轴垂直，并且被对称轴平分. 2．轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称． 【即学即练】 1．正方形有 条对称轴． 2．墙面上镶嵌的钟面在镜子中看到的时间如图所示，则实际时间是 ． 3．如图，在中，，．如果将沿直线EF翻折后，点B落在点A处，那么的周长为 ． 知识点4 中心对称 如果一个图形上的所有点绕着所在平面上的一个定点旋转180°后，能与原图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个定点叫作对称中心. 二、中心对称 在平面上，一个图形绕着一个定点旋转180°后，能与另一个图形重合，这两个图形称为关于这个定点对称，也称这两个图形成中心对称，这个定点称为对称中心。 如果两个图形关于点O成中心对称，那么对于一个图形中的一点P绕点O旋转180°后，就与另一个图形中的一点P'重合.这时，点P与点P是这两个成中心对称的图形的对应点，也叫作关于点O的对称点. 如图14-4-3,三角形ABC与三角形DEF关于点O成中心对称，点A的对称点是点D,线段AB的对应线段是线段DE,∠BAC的对应角是∠EDF. 如图14-4-3,将三角形ABC绕点O旋转，点A和点D是对称点，点0为对称中心.根据旋转的性质，OA=OD.又因为旋转角为180°,所以A、0、D三点在同一直线上. 两个关于一点成中心对称的图形，具有下面的性质： (1)对应线段平行(或在同一直线上)且相等； (2)连接每组对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分. 中心对称与中心对称图形的区别与联系： 　 中心对称 中心对称图形 区别 ①指两个图形之间的相互位置关系． ②对称中心不定． ①指一个图形本身成中心对称． ②对称中心是图形自身或内部的点． 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形． 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 三、画中心对称图形 例 如图14-4-4(1),画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形.分析利用图形旋转的性质，可知只需找出四边形的“关键点”,即四个顶点A、B、C、D关于点O的对称点，就可得到所求的图形. 解：(1)连接AO并延长到点A₁,使OA₁=OA,得到点A的对称点A₁. (2)类似步骤(1)的操作，可以画出点B、C、D关于点O的对称点B₁、C₁、D₁. (3)依次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁,得到四边形A₁B₁C₁D₁,如图14-4-4(2)所示. 四边形ABCD和四边形A₁B₁C₁D₁是两个关于点O成中心对称的图形. 【即学即练】 1．下列图形是中心对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 3．如图，绕点O旋转得到，下列说法错误的是（    ） A．与关于点B成中心对称 B．点B和点E关于点O对称 C． D． 4．如图，与关于点成中心对称，已知，，则的周长为（　　） A．12 B．15 C．16 D．19 题型01 判断图形运动的类型 【典例1】．下列图形可以由组成它的一个基础图形通过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列四种图案是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【变式2】．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【变式3】．下列图形中，成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 题型02 求平移的距离 【典例1】．如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ．    【变式1】．如图，是沿方向平移后得到的，则平移的距离是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【变式2】．在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是 ．    题型03 找旋转角、旋转中心 【典例1】．如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（　　） A．点， B．点O， C．点， D．点O， 【变式2】．如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转得到的，点与点A对应，则旋转角为（   ） A． B． C． D． 题型04 图形运动性质的辨析 【典例1】．如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列关于轴对称性质的说法中，不正确的是（     ） A．对应线段互相平行 B．对应线段相等 C．对应角相等 D．对应点连线与对称轴垂直 【变式2】．如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A．点与点是对称点 B． C． D． 题型05 最小旋转角；对称轴 【典例1】．如图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转后，能与自身重合，则n的值可以是（   ） A．60 B．75 C．144 D．108 【变式1】．把图中的风车图案绕着中心顺时针旋转，旋转后的图案与原来的图案重合，旋转角的度数至少为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，是由四个四条边都相等的四边形组成的商标图案，在图中用虚线画出的6条直线中，是这个图案的对称轴的直线是(   ) A．①②③④⑤⑥ B．①④ C．①③⑤ D．②④⑥ 题型06 根据图形的运动性质求解 【典例1】．已知线段的长为厘米，将它向左平移厘米，点平移到，点平移到，得到线段，那么线段 厘米． 【变式1】．如图，线段CD可以看成由线段AB先向下平移 个单位，再向右平移 个单位得到． 【变式2】．如图，将周长为17cm的△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，平移后得到一个四边形ABFD的周长为25cm，则平移的距离为 cm． 【变式3】．如图，与关于点C成中心对称，则线段 ． 【变式4】．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，使点恰好落在边上．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式5】．如图，将三角形绕点顺时针旋转得到三角形．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6】．如图所示的蝴蝶结是一个轴对称图形．若，，那么下面的结论正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式7】．如图，将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式8】．如图，与关于点成中心对称，已知，，则的周长为（　　） A．12 B．15 C．16 D．19 【变式9】．如图，已知与成中心对称，的面积是，，则中边上的高是（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 题型07 平移的实际应用 【典例1】．如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分为绿化，小路的宽为2m，则绿化的总面积是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】．如图，一块长为am，宽为bm的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路左边线向右平移tm就是它的边线．若a：b＝5：3，b：t＝6：1，则小路面积与绿地面积的比为（       ） A． B． C． D． 【变式2】．如图所示，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条笔直的小路和一条弯曲的小路，笔直的小路宽度为，弯曲的小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为（    ）    A． B． C． D． 题型08 求旋转中心（的个数） 【典例1】．如图，在的正方形网格中，由旋转得到，其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M、N、P、Q中，可能是旋转中心的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【变式2】．如图，在正方形网格中，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是（   ） A．点G B．点H C．点M D．点N 【变式3】．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 题型09 作图题 【典例1】．如图，已知和直线，点在直线上． (1)画出，使与关于直线成轴对称； (2)画出，使与关于点成中心对称． 【变式1】．作图题（保留作图痕迹，不必写出画法） (1)将点向右平移3个单位可到达点，再将点向上平移2个单位可到达点，标出点、点，并连接和． (2)在方格图中分别画出三角形和三角形，使三角形和三角形关于直线成轴对称：三角形和三角形关于点成中心对称． (3)三角形和三角形有没有对称关系？如果有，成怎样的对称关系？ 【变式2】．如图： (1)画出向右平移5格，再向下平移3格后的图形； (2)如果点与点A关于某点成中心对称，请标出这个对称中心O，并画出关于点O成中心对称的图形； (3)画出关于直线成轴对称的图形． 题型10 图形的运动性质的几何应用 【典例1】．如图，将向右平移，使点移动到点，点移动到点，点移动到点，且，．    (1)画出平移后的； (2)若，求的长度（用含有的式子表示）． 【变式1】．在直角中，，，，将沿直线向右平移得到，若，．    (1)求向右平移的距离． (2)求四边形的周长． 【变式2】．如图，在正方形中，点E是边上的一点（与A，B两点不重合），将绕着点C旋转，使与重合，这时点E落在点F处，联结．    (1)按照题目要求画出图形； (2)若正方形边长为3，，求的面积； (3)若正方形边长为m，，比较与的面积大小，并说明理由． 一、单选题 1．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，与关于直线对称，的周长为，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．如图，把绕点O顺时针旋转得到，则旋转角是（    ） A． B． C． D． 4．如图，点为正方形的中心，将正方形绕点顺时针旋转，要使其旋转后能与自身重合，至少需要旋转（   ） A． B． C． D． 5．在俄罗斯方块游戏中，所有出现的方格体自由下落，如果一行中九个方格齐全，那么这一行会自动消失．已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体，必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其全部自动消失　　 A．顺时针旋转，向下平移 B．逆时针旋转，向下平移 C．顺时针旋转，向右平移 D．逆时针旋转，向右平移 6．如图， 中，，，沿过 B 点的直线折叠这个三角形，使点A落在边上的点E处，的周长为15，则长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 二、填空题 7．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示：，实际时间是 ． 8．将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是 ． 9．如图，五角星是非常美丽的图案，它有 条对称轴．    10．如图所示，线段经过平移后得到线段，，，那么线段沿 方向平移了 cm． 11．图中的风车图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为 度，旋转后的风车能与自身重合． 12．西苑小区有一块长方形空地，现准备建一条马路，如图，有图①和图②两种设计方案，若图中，两种设计方案中图①马路总面积为，图②总面积为，则 ．（用“”、“”、“”填空）    13．如图的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则图中四个点中是其旋转中心的点是 ． 14．如图是3×3正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余6个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的部分成为中心对称图形，这样的白色小方格有 个． 三、解答题 15．在图中，有两个汉字和两个字母，其中有的是中心对称图形．标出中心对称图形的对称中心． 16．如图，方格纸中每个小正方形的边长是一个单位长度，的顶点都是某个小正方形的顶点． （1）将先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，请画出平移后的． （2）将沿直线翻折，请画出翻折后的． 17．如图，在4×4的方格中，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中画出与关于点中心对称的； (2)在图2中画出与关于直线轴对称的； (3)在图3中画出绕着点按顺时针方向旋转后的． 18．正方形绿化场地拟种植两种不同颜色（用阴影部分和非阴影部分表示）的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分． (1)请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴； (2)把图③补成只是中心对称图形，并把中心标上字母P． 19．在正方形中，点E在上，点F在上，，按顺时针方向旋转一个角度后成，如图所示． (1)哪一个点是旋转中心，旋转角度等于多少？ (2)指出图中的对应线段和对应角； (3)求的度数． 20．如图均为的正方形网格，点A , B , C在格点（小正方形的顶点）上. (1)在图①中确定格点D, 并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)在图②中确定格点E , 并画出一个以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形； (3)在图③中确定格点F,并画出一个以A、B、C、F为顶点的四边形，使其既为轴对称图形，又是中心对称图形； 21．已知，中： (1)如果将绕点顺时针旋转得到，点分别与点对应，请画出图形．（不要求写作图步骤） (2)连接与相交于点．如果，点是线段的中点，且，若，试用含有的代数式来表示的面积． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14章 图形的运动 教学目标 1. 知道图形的平移及平移的性质； 2. 了解图形的旋转及旋转的性质； 3. 掌握轴对称与轴对称图形，轴对称的性质； 4. 学习中心对称图形与两个图形成中心对称，中心对称的性质。 教学重难点 1.重点 （1）会判断图形的运动属于哪种类型； （2）利用图形运动的性质解决几何问题； （3）图形的运动有关作图。 2.难点 （1）探索旋转中心（的个数）； （2）图形运动的综合应用； 知识点1 平移 一、图形的平移 在平面上，将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫作图形的平移. 二、平移的性质 如图14-1-2,移动三角形ABC得到三角形A₁B₁C₁.平移的方向为射线AA₁的方向，平移的距离是线段AA₁的长度.其中，点A与点A₁是对应点；线段AB与线段A₁B₁是对应线段，它们的长度相等；∠BAC与∠B₁A₁C₁是对应角，它们的大小也相等. 从上面的例子可以得到图形的平移具有以下性质： (1)图形平移后，每组对应点之间的距离相等； (2)对应点所连接的线段平行(或在同一直线上)且相等； (3)对应角的大小相等；对应线段平行(或在同一直线上)且相等； (4)平移后得到的图形与原图形形状相同，大小相等. 图形平移前后对应点之间的距离叫作图形平移的距离. 【即学即练】 1．下列生活现象中，是平移的是（    ） A．荡秋千 B．水平拉动抽屉的过程 C．开关水龙头 D．将一张纸对折 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、荡秋千是绕固定点摆动属于旋转运动，不符合题意； B、水平拉动抽屉的过程是平移，符合题意； C、开关水龙头是旋转运动，不符合题意； D、将一张纸对折是轴对称，不符合题意； 故选B． 2．下列说法中，在平移过程中：①对应线段一定相等；②对应线段一定平行；③周长不变；④面积不变，其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平移的性质逐个进行判断即可．本题考查平移的性质，掌握平移的性质是正确解答的关键． 【详解】解：由平移的性质可知， ①在平移过程中，对应线段一定相等，因此①正确； ②在平移过程中，对应线段不一定平行，有时候对应线段在同一条直线上，因此②错误； ③在平移过程中，周长不变，因此③正确； ④在平移过程中，面积不变，因此④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个， 故选： 3．如图，三角形沿射线方向平移到了三角形所在的位置（点在线段上），如果，那么平移距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，本题关键要找到平移的对应点． 观察图象，发现平移前后，、对应，、对应，根据平移的性质，得平移的距离，进而可得答案． 【详解】解：由题意平移的距离为． 故选：B． 4．如图，向右平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平移的性质，掌握相关知识是解题的关键．根据平移的性质得到，，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：向右平移得到， ，， 的周长是， ， 四边形的周长． 故选：C． 知识点2 旋转 一、图形的旋转 在平面上，将一个图形上的所有点绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，这个定点叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角. 二、图形旋转的性质 “某个方向”是指“顺时针方向”或者“逆时针方向”图形的旋转具有下列特点：旋转前的图形与旋转后的图形形状相同，大小相等. 例如，在图14-2-2中，三角形ABC绕点O按顺时针方向旋转一个角度成为三角形A₁B₁C₁,点O是旋转中心，∠AOA₁是旋转角.在三角形ABC的旋转中，点A与点A₁是对应点；线段AB与线段A₁B₁是对应线段，它们的长度相等；∠BAC与∠B₁A₁C₁是对应角，这两个角的大小也相等. 【即学即练】 5．下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据旋转的定义（在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、电流表指针来回摆动可看作是平面图形绕一个点转动，是旋转，故A符合题意； B、滑动变阻器的滑片来回移动，不属于旋转，故B不符合题意； C、热气球缓慢上升，不属于旋转，故C不符合题意； D、打针时推动针管，不属于旋转，故D不符合题意； 故选：A． 6．如图，将绕点O顺时针旋转变为，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．结合旋转的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点O顺时针旋转变为， ∴，故B，C，D选项正确，不符合题意，选项A不正确，符合题意． 故选：A． 7．如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使C，A，在同一条直线上，那么旋转角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查旋转的性质，解题的关键是掌握以上知识点．首先根据点、、在同一条直线上，得到，然后利用邻补角互补求解即可． 【详解】解：点、、在同一条直线上， ， ， ． 旋转角等于， 故选：C． 8．如图，把图中的图案，绕着它的中心旋转，要使旋转后的图形与自身重合，旋转角的度数至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 根据旋转对称图形的概念作答即可． 【详解】解：由题意可知把图中的图案，绕着它的中心旋转，要使旋转后的图形与自身重合，旋转角的度数至少为， 故选：B． 9．如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】本题考查了旋转图形的性质，解题的关键是旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上．连接，，然后分别作这两条线段的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：连接，， 分别作这两条线段的垂直平分线，如图所示： 则交点D即为旋转中心， 故选：D． 知识点3 轴对称 一、图形的翻折与轴对称图形 若将一个图形沿着某一条直线翻折过来，直线两边的部分能够相互重合，这个图形叫作轴对称图形，这条直线是它的对称轴，也称这个图形关于这条直线对称. 线段、角、正方形和圆都是常见的轴对称图形. 二、轴对称 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴.翻折后能够重合的点叫作对称点. 两个图形关于一条直线成轴对称，具有下面的性质： (1)对应线段的长度相等，对应角的大小相等，这两个图形形状相同，大小相等； (2)连接对称点的线段和对称轴垂直，并且被对称轴平分. 2．轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称． 【即学即练】 1．正方形有 条对称轴． 【答案】4. 【详解】正方形的两条对角线以及对边中点的连线所在的直线都是正方形的对称轴. 故答案为4. 2．墙面上镶嵌的钟面在镜子中看到的时间如图所示，则实际时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好左右相反，据此作答即可． 【详解】根据轴对称性质得，实际钟表如下： ∴实际时间是． 故答案为：． 3．如图，在中，，．如果将沿直线EF翻折后，点B落在点A处，那么的周长为 ． 【答案】8 【分析】根据折叠的性质可得BE=AE，然后根据三角形的周长公式和等量代换即可求出结论． 【详解】解：由折叠的性质可得BE=AE ∴的周长为AE＋EC＋AC =BE＋EC＋AC = BC＋AC =5＋3． =8 故答案为：8． 【点睛】此题考查的是折叠问题，掌握折叠的性质是解题关键． 知识点4 中心对称 如果一个图形上的所有点绕着所在平面上的一个定点旋转180°后，能与原图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个定点叫作对称中心. 二、中心对称 在平面上，一个图形绕着一个定点旋转180°后，能与另一个图形重合，这两个图形称为关于这个定点对称，也称这两个图形成中心对称，这个定点称为对称中心。 如果两个图形关于点O成中心对称，那么对于一个图形中的一点P绕点O旋转180°后，就与另一个图形中的一点P'重合.这时，点P与点P是这两个成中心对称的图形的对应点，也叫作关于点O的对称点. 如图14-4-3,三角形ABC与三角形DEF关于点O成中心对称，点A的对称点是点D,线段AB的对应线段是线段DE,∠BAC的对应角是∠EDF. 如图14-4-3,将三角形ABC绕点O旋转，点A和点D是对称点，点0为对称中心.根据旋转的性质，OA=OD.又因为旋转角为180°,所以A、0、D三点在同一直线上. 两个关于一点成中心对称的图形，具有下面的性质： (1)对应线段平行(或在同一直线上)且相等； (2)连接每组对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分. 中心对称与中心对称图形的区别与联系： 　 中心对称 中心对称图形 区别 ①指两个图形之间的相互位置关系． ②对称中心不定． ①指一个图形本身成中心对称． ②对称中心是图形自身或内部的点． 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形． 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 三、画中心对称图形 例 如图14-4-4(1),画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形.分析利用图形旋转的性质，可知只需找出四边形的“关键点”,即四个顶点A、B、C、D关于点O的对称点，就可得到所求的图形. 解：(1)连接AO并延长到点A₁,使OA₁=OA,得到点A的对称点A₁. (2)类似步骤(1)的操作，可以画出点B、C、D关于点O的对称点B₁、C₁、D₁. (3)依次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁,得到四边形A₁B₁C₁D₁,如图14-4-4(2)所示. 四边形ABCD和四边形A₁B₁C₁D₁是两个关于点O成中心对称的图形. 【即学即练】 1．下列图形是中心对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意； D、该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 3．如图，绕点O旋转得到，下列说法错误的是（    ） A．与关于点B成中心对称 B．点B和点E关于点O对称 C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称的性质进而可得答案． 【详解】解：绕点O旋转得到， A、与关于点O成中心对称，符合题意 B、点B和点E关于点O对称，说法正确，不符合题意； C、∵绕点O旋转得到， ∴，， ∴， ∴说法正确； 不符合题意； D、∵绕点O旋转得到， ∴， ∴， ∴说法正确； 不符合题意； 故选A． 4．如图，与关于点成中心对称，已知，，则的周长为（　　） A．12 B．15 C．16 D．19 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称． 根据中心对称的性质作答即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称，已知，， ∴，， ∴的周长， 故选：B． 题型01 判断图形运动的类型 【典例1】．下列图形可以由组成它的一个基础图形通过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形的平移，根据平移的性质进行判断即可． 【详解】解：A：由组成它的一个基础图形旋转得到，故不符合题意； B：由组成它的一个基础图形平移得到，故符合题意； C：由组成它的一个基础图形旋转得到，故不符合题意； D：由组成它的一个基础图形旋转得到，故不符合题意； 故选：B． 【变式1】．下列四种图案是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：根据题意可得：是中心对称图形的只有B， 故选：B． 【变式2】．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线对称轴折叠，使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（对称中心）旋转，使得旋转前后的图形互相重合．‌根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，可以找到绕一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，也找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，但找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式3】．下列图形中，成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了成中心对称的概念，熟练掌握知识点是解题的关键，把一个图形绕着一个定点旋转后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这点对称，也叫做这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．据此即可求解． 【详解】解：A、两个图形成中心对称，符合题意； B、两个图形不成中心对称，不符合题意； C、两个图形不成中心对称，不符合题意； D、两个图形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 题型02 求平移的距离 【典例1】．如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ．    【答案】3 【分析】根据数轴上平移前后对应点的位置即可得出结果． 【详解】解：长方形平移到长方形的位置， 对应点B到的距离为：0-(-3)=3， ∴平移的距离是3， 故答案为：3． 【点睛】题目主要考查数轴上两点之间的距离及平移的性质，理解掌握平移的性质是解题关键． 【变式1】．如图，是沿方向平移后得到的，则平移的距离是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，解答本题的关键要明确：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的性质，结合图形可直接求解． 【详解】解：观察图形可知：是沿向右移动的长度后得到的， ∴平移距离就是线段的长度． 故选：B． 【变式2】．在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是 ．    【答案】6 【分析】确定一组对应点，从而确定平移距离． 【详解】解：如图，点是一组对应点，，所以平移距离为6； 故答案为：6    【点睛】本题考查图形平移；确定对应点从而确定平移距离是解题的关键． 题型03 找旋转角、旋转中心 【典例1】．如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴旋转角是和． 故选：C． 【变式1】．如图，顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（　　） A．点， B．点O， C．点， D．点O， 【答案】B 【分析】本题考查了旋转，根据旋转的定义和性质可知，两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案． 【详解】解：由题给图形得：绕着点O顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是点O和． 故选：B． 【变式2】．如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转得到的，点与点A对应，则旋转角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的旋转，牢记图形旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角）是解题的关键．旋转中心为线段和线段的垂直平分线的交点，等于旋转角． 【详解】解：∵点的对应点为点，点的对应点为点，且对应点到旋转中心的距离相等， ∴旋转中心为线段和线段的垂直平分线的交点． 如图，作线段和线段的垂直平分线，其交点为旋转中心．    连接，． 根据旋转的性质，得 ． 故选：C． 题型04 图形运动性质的辨析 【典例1】．如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质得，，可判断选项都不符合题意， 因为与不一定平行，所以符合题意，于是得到问题的答案，正确理解旋转角的概念及旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到， ∴，，，但与不一定平行， 故不符合题意， 符合题意， 故选：． 【变式1】．下列关于轴对称性质的说法中，不正确的是（     ） A．对应线段互相平行 B．对应线段相等 C．对应角相等 D．对应点连线与对称轴垂直 【答案】A 【详解】根据轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线，可知选项B、C、D正确，选项A错误. 故选A. 【变式2】．如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A．点与点是对称点 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称的性质，根据中心对称的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：与关于点成中心对称， 点与点是对称点，，，， 结论错误． 故选：C． 题型05 最小旋转角；对称轴 【典例1】．如图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转后，能与自身重合，则n的值可以是（   ） A．60 B．75 C．144 D．108 【答案】C 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成五部分，， ∴旋转72度的整数倍，就可以与自身重合， ， ∴n的值可以是144． 故选：C． 【变式1】．把图中的风车图案绕着中心顺时针旋转，旋转后的图案与原来的图案重合，旋转角的度数至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．图案可以被平分成四部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转90度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成四部分，旋转90度的整数倍，就可以与自身重合，旋转角至少为． 故选：C． 【变式2】．如图，是由四个四条边都相等的四边形组成的商标图案，在图中用虚线画出的6条直线中，是这个图案的对称轴的直线是(   ) A．①②③④⑤⑥ B．①④ C．①③⑤ D．②④⑥ 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义即可解答. 【详解】观察图形可知，这个图形直线①或④对折后，图形的两部分能够完全重合，所以直线①④是这个图案的对称轴. 故选B. 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟练运用轴对称图形的定义是解决问题的关键. 题型06 根据图形的运动性质求解 【典例1】．已知线段的长为厘米，将它向左平移厘米，点平移到，点平移到，得到线段，那么线段 厘米． 【答案】 【分析】根据对应点的连线的长度等于平移的距离可得答案． 【详解】解：根据题意可画图，如图所示， ∵向左平移了厘米， ∴厘米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的变化—平移，理解题意和掌握规律是解题的关键． 【变式1】．如图，线段CD可以看成由线段AB先向下平移 个单位，再向右平移 个单位得到． 【答案】 2 2 【分析】根据平移的规律求解即可． 【详解】解：由由题意得线段AB先向下平移2个单位，再向右平移2个单位得到线段CD， 故答案为：2，2． 【点睛】本题考查了线段平移的规律，属于基础题． 【变式2】．如图，将周长为17cm的△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，平移后得到一个四边形ABFD的周长为25cm，则平移的距离为 cm． 【答案】4 【分析】根据四边形ABED是平行四边形得出，再根据，即可通过四边形ABFD的周长得到关于AD的方程，解方程即可得到答案． 【详解】设四边形ABFD的周长为 得 ∵根据平移的性质得AB=DE，且AB//DE ∴四边形ABED是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题考查图形平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的相关知识． 【变式3】．如图，与关于点C成中心对称，则线段 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了中心对称的定义，根据中心对称的定义即对应边相等可求解， 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴ ∴ 故答案为： ． 【变式4】．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，使点恰好落在边上．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质得，则有，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转一定的角度得到， ∴， ∴， 故选：． 【变式5】．如图，将三角形绕点顺时针旋转得到三角形．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了找旋转角，旋转的性质．先利用旋转的性质得到，，再利用，计算即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 故选：B． 【变式6】．如图所示的蝴蝶结是一个轴对称图形．若，，那么下面的结论正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】轴对称图形对应线段相等，对应角相等，据此解答即可． 【详解】解：根据轴对称的性质，可得cm，， 故选：． 【点睛】本题考查轴对称图形的性质，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【变式7】．如图，将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质， 根据题意由旋转的性质可知，即可求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：， 故选：C． 【变式8】．如图，与关于点成中心对称，已知，，则的周长为（　　） A．12 B．15 C．16 D．19 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称． 根据中心对称的性质作答即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称，已知，， ∴，， ∴的周长， 故选：B． 【变式9】．如图，已知与成中心对称，的面积是，，则中边上的高是（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称的性质，成中心对称的两个图形全等以及成中心对称的两个图形的对应边相等． 根据中心对称的性质可得的面积等于12，．根据三角形的面积公式即可求中边上的高． 【详解】根据中心对称的性质可得：的面积等于的面积是12，． 根据三角形的面积公式，则边上的高是． 故选：C． 题型07 平移的实际应用 【典例1】．如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分为绿化，小路的宽为2m，则绿化的总面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法1：利用图形平移将两条小路平移至长方形最边上，余下部分长方形即为绿化面积，利用长方形面积公式求出结果．方法2：利用割补法将两条小路平移为宽，长分别、的长方形，重叠部分为边长为的正方形，利用长方形面积将长方形面积减去两条小路面积即为所得． 【详解】方法1： 解：如图，设余下部分长方形长、宽分别为，， 因为，， 所以绿化面积．    方法2： 解：因为长方形的面积：， 两条小路的面积：， 所以绿化的面积：． 故选：C． 【点睛】本题考查图形平移的实际运用．恰当将长方形内部两条“之”字路进行平移（最上边、最左边）或补齐为长方形是解本题的关键． 【变式1】．如图，一块长为am，宽为bm的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路左边线向右平移tm就是它的边线．若a：b＝5：3，b：t＝6：1，则小路面积与绿地面积的比为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据a、b、t之间的比将其长度表示出来，再由题意得出小路是四个平行四边形组成的，从而求出小路面积，再用长方形面积减去小路面积得到绿地面积即可求出答案． 【详解】解：∵a：b＝5：3，b：t＝6：1， 设m，则m，m． ∵小路左边线向右平移tm就是它的边线， ∴小路是四个平行四边形，且底为tm，高的和为bm． ∴小路面积， 绿地面积． ∴小路面积与绿地面积的比为， 故选：A． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，解题的关键是能够根据平移得出小路的宽度，从而将小路和绿地的面积都表示出来． 【变式2】．如图所示，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条笔直的小路和一条弯曲的小路，笔直的小路宽度为，弯曲的小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移，可知弯曲的小路面积与长为宽为1的长方形的面积相等，根据长方形的面积，可得答案． 【详解】解：根据弯曲的小路的左边线向右平移就是它的右边线， 可知路的宽度是1米，面积与长为宽为1的长方形的面积相等， 则这块草地的绿地面积为． 故选：C． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，先由平移得出路的宽度，再求出绿地的面积． 题型08 求旋转中心（的个数） 【典例1】．如图，在的正方形网格中，由旋转得到，其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心在对应点连线的垂直平分线上是解题的关键．根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，进而得出答案． 【详解】 解：根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上， 由图形可知：点在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上， ∴旋转中心是点， 故选：A． 【变式1】．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M、N、P、Q中，可能是旋转中心的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交于点M，则M为旋转中心． 【详解】解：连接，， 作的垂直平分线，作的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中心的是点M．如下图： 故选∶A． 【变式2】．如图，在正方形网格中，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是（   ） A．点G B．点H C．点M D．点N 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称，确定两个图形的对称中心，结合与关于某点对称，故连接对应点，它们的连线会交于一点，这点即为对称中心，即可作答． 【详解】解：∵与关于某点对称， ∴连接对应点，它们的连线会交于一点，这点即为对称中心， 如图所示： 故点M是对称中心， 故选：C． 【变式3】．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等； 分别以C、D、的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解． 【详解】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形； 以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形； 以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形； 所以旋转中心有3个． 故选：C． 题型09 作图题 【典例1】．如图，已知和直线，点在直线上． (1)画出，使与关于直线成轴对称； (2)画出，使与关于点成中心对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据对称轴垂直平分对应点连线，可找到各点的对称点，顺次连接即可得到； （2）根据中心对称点平分对应点连线，可得各点的对称点，顺次连接可得． 【详解】（1）解：即为所求； ； （2）解：即为所求． 【点睛】本题考查了中心对称作图及轴对称作图的知识，解答本题的关键是掌握轴对称及中心对称的性质． 【变式1】．作图题（保留作图痕迹，不必写出画法） (1)将点向右平移3个单位可到达点，再将点向上平移2个单位可到达点，标出点、点，并连接和． (2)在方格图中分别画出三角形和三角形，使三角形和三角形关于直线成轴对称：三角形和三角形关于点成中心对称． (3)三角形和三角形有没有对称关系？如果有，成怎样的对称关系？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)三角形和三角形关于直线成轴对称 【分析】本题考查了作图—旋转变换：中心对称和轴对称，找到对应点，顺次连接得出旋转和轴对称后的图形． （1）利用网格特点和平移的性质画图； （2）利用网格特点和轴对称的性质、中心对称的性质画图； （3）根据轴对称的性质得到答案． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． （3）解：三角形和三角形关于直线成轴对称． 【变式2】．如图： (1)画出向右平移5格，再向下平移3格后的图形； (2)如果点与点A关于某点成中心对称，请标出这个对称中心O，并画出关于点O成中心对称的图形； (3)画出关于直线成轴对称的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了画平移图形，画轴对称图形，画中心对称图形： （1）根据平移方式找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接即可； （2）连接，利用网格的特点找到的中点位置即为点O的位置，进而根据点O的位置找到的位置即可； （3）根据轴对称的特点找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解；如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点O和即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 题型10 图形的运动性质的几何应用 【典例1】．如图，将向右平移，使点移动到点，点移动到点，点移动到点，且，．    (1)画出平移后的； (2)若，求的长度（用含有的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平移的性质画出平移后的，使得，； （2）根据平移的性质可得，根据已知可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，     即为所求； （2）解：∵平移，， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【变式1】．在直角中，，，，将沿直线向右平移得到，若，．    (1)求向右平移的距离． (2)求四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查四边形综合，涉及平移性质及求四边形周长等知识，熟记平移性质，数形结合是解决问题的关键． （1）由平移性质得到，数形结合，进而列式求解即可得到向右平移的距离是； （2）由平移性质得到，，利用四边形的周长为，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将沿直线向右平移得到， ，则， ，， ，即，解得， 向右平移的距离是； （2）解：将沿直线向右平移得到， ，， ，， 四边形的周长为． 【变式2】．如图，在正方形中，点E是边上的一点（与A，B两点不重合），将绕着点C旋转，使与重合，这时点E落在点F处，联结．    (1)按照题目要求画出图形； (2)若正方形边长为3，，求的面积； (3)若正方形边长为m，，比较与的面积大小，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)，理由见解析 【分析】（1）按照题目要求根据旋转的性质即可画出图形； （2）根据旋转的性质得出，然后求出和，进而可求的面积； （3）首先求出，然后证明，根据求出，即可比较与的面积大小． 【详解】（1）解：如图所示；      （2）根据旋转的性质可知：， ∵正方形的边长为3， ∴，， ∴； （3）； 理由：根据旋转的性质可知：， ∵正方形的边长为m， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图—旋转变换，旋转的性质，整式混合运算的实际应用，解决本题的关键是掌握旋转的性质，正确求出和． 一、单选题 1．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 2．如图，与关于直线对称，的周长为，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟悉掌握轴对称图形的特点是解题的关键． 根据轴对称的性质得到的长后，再根据三角形的周长运算方法列式运算即可． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴， ∵的周长， ∴， 故选：C． 3．如图，把绕点O顺时针旋转得到，则旋转角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转变换，旋转角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．根据旋旋转角的定义即可判断； 【详解】解：如图，把绕点顺时针旋转得到， 旋转角是或， 故选：A． 4．如图，点为正方形的中心，将正方形绕点顺时针旋转，要使其旋转后能与自身重合，至少需要旋转（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转对称图形，根据正方形中心角的求法解答即可，解题的关键是理解“至少应将它绕中心顺时针旋转的度数”为其中心角的度数． 【详解】解：要使正方形旋转后，与其自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数是 ， 故选：． 5．在俄罗斯方块游戏中，所有出现的方格体自由下落，如果一行中九个方格齐全，那么这一行会自动消失．已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体，必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其全部自动消失　　 A．顺时针旋转，向下平移 B．逆时针旋转，向下平移 C．顺时针旋转，向右平移 D．逆时针旋转，向右平移 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，认准小方格的特征与需要填入的空格的形状是解题的关键． 根据小方格体的两格与三格的不同，结合要填入的空格的形状解答． 【详解】解：观察图形可知，出现的小方格需顺时针旋转，向右平移至边界． 故选：C． 6．如图， 中，，，沿过 B 点的直线折叠这个三角形，使点A落在边上的点E处，的周长为15，则长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】本题考查三角形的折叠问题，依据折叠可得，，进而得出，再根据的周长为，可得，即可得到长． 【详解】解：由折叠可得，，， ∵， ∴， ∴， 又∵的周长为， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 7．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示：，实际时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为， 故答案为：． 8．将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是 ． 【答案】689 【分析】直接利用中心对称图形的性质结合“689”的特点得出答案． 【详解】解：将数字“689” 整体旋转180°，得到的数字是：689． 故答案为：689． 【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，能够想象出旋转后的图形是解题关键． 9．如图，五角星是非常美丽的图案，它有 条对称轴．    【答案】5 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可解答． 【详解】解：五角星是轴对称图形，它只有5条对称轴； 故答案为：5． 10．如图所示，线段经过平移后得到线段，，，那么线段沿 方向平移了 cm． 【答案】 4 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的方向和距离确定平移的结果即可． 【详解】解∶ 线段经过平移后得到线段，，，那么线段沿方向平移了． 故答案为；4． 11．图中的风车图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为 度，旋转后的风车能与自身重合． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据图示信息圆周角分成了4份，由此即可求解，掌握周角的度数，旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴绕着它的中心旋转，旋转角至少，旋转后的风车能与自身重合， 故答案为： ． 12．西苑小区有一块长方形空地，现准备建一条马路，如图，有图①和图②两种设计方案，若图中，两种设计方案中图①马路总面积为，图②总面积为，则 ．（用“”、“”、“”填空）    【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可得，两个图形的面积都可以看做是一个长为，宽为的长减去马路的宽的长方形面积，据此可得答案． 【详解】解：设马路的宽为x， 由平移的性质可得，， ∵， ∴， 故答案为：． 13．如图的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则图中四个点中是其旋转中心的点是 ． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，主要利用了旋转中心的确定，是基础题，比较简单．根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点 B为旋转中心． 故答案为：B． 14．如图是3×3正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余6个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的部分成为中心对称图形，这样的白色小方格有 个． 【答案】3 【分析】此题考查的是利用中心对称设计图案，根据中心对称图形的概念分别找出各个能成中心对称图形的小方格即可． 【详解】如图所示， ∴这样的白色小方格有3个． 故答案为：3． 三、解答题 15．在图中，有两个汉字和两个字母，其中有的是中心对称图形．标出中心对称图形的对称中心． 【答案】见解析 【分析】根据中心对称图形的定义，找出对称中心即可，中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：“由”字不是中心对称图形， “Z”的对称中心如图，点即为对称中心， “H”的对称中心如图，点即为对称中心 “中”字的对称中心如图，点即为对称中心， 【点睛】本题考查了中心对称图形的性质，找对称中心，掌握中心对称的意义是解题的关键．中心对称：平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称． 16．如图，方格纸中每个小正方形的边长是一个单位长度，的顶点都是某个小正方形的顶点． （1）将先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，请画出平移后的． （2）将沿直线翻折，请画出翻折后的． 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析． 【分析】（1）分别确定点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1，顺次连接A1、B1、C1即可得到答案． （2）根据轴对称图形的性质，确定点A、B、C关于直线对称的对应点A2、B2、C2，顺次连接A2、B2、C2即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求三角形． （2）如图所示，即为所求三角形． 【点睛】本题考查了画平移图形和画轴对称图形，找出已知三角形各顶点的对应点是解题关键． 17．如图，在4×4的方格中，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中画出与关于点中心对称的； (2)在图2中画出与关于直线轴对称的； (3)在图3中画出绕着点按顺时针方向旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据中心图形的定义，即可求解； （2）根据轴对称图形的定义，即可求解； （3）根据旋转图形的性质，即可求解 【详解】（1）解：如图所示： （2）如图所示： （3）如图所示： 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 18．正方形绿化场地拟种植两种不同颜色（用阴影部分和非阴影部分表示）的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分． (1)请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴； (2)把图③补成只是中心对称图形，并把中心标上字母P． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称图形，中心对称图形的性质画出图形即可． （2）根据中心对称图形的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：图形如图①②所示． （2）解：图形如图③所示，点P即为所求作． 【点睛】本题考查利用旋转变换设计图案，正方形的性质，轴对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19．在正方形中，点E在上，点F在上，，按顺时针方向旋转一个角度后成，如图所示． (1)哪一个点是旋转中心，旋转角度等于多少？ (2)指出图中的对应线段和对应角； (3)求的度数． 【答案】(1)点D是旋转中心，旋转角是 (2)对应线段为和，和，和；对应角为和，和，和； (3) 【分析】本题考查旋转的性质、正方形的性质，熟知旋转前后的对应线段和对应角相等是解答的关键． （1）根据已知，结合图形和正方形的性质可得结论； （2）由旋转性质可得结论； （3）根据旋转角的度数求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵按顺时针方向旋转一个角度后成， ∴点D是旋转中心，旋转角； （2）解：由旋转性质得：对应线段为和，和，和； 对应角为和，和，和； （3）解：∵，， ∴． 20．如图均为的正方形网格，点A , B , C在格点（小正方形的顶点）上. (1)在图①中确定格点D, 并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)在图②中确定格点E , 并画出一个以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形； (3)在图③中确定格点F,并画出一个以A、B、C、F为顶点的四边形，使其既为轴对称图形，又是中心对称图形； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题主要考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确把握中心对称和轴对称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． （1）根据轴对称图形的定义画出一个等腰梯形即可； （2）根据中心对称图形的定义画出一个平行四边形即可； （3）根据轴对称及中心对称图形的定义画出一个长方形即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求： （2）如图所示即为所求： （3）如图所示即为所求： 21．已知，中： (1)如果将绕点顺时针旋转得到，点分别与点对应，请画出图形．（不要求写作图步骤） (2)连接与相交于点．如果，点是线段的中点，且，若，试用含有的代数式来表示的面积． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）根据题意求得，，根据，点是线段的中点，得到，，据此即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所作， （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴， ∵，点是线段的中点， ∴，， ∵是旋转得到的， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的面积公式，掌握旋转的性质是解题的关键． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $