精品解析：辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学年高二下学期期末联考数学试卷

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时．将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册第一、二章，选择性必修第二册第四章，选择性必修第三册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题，则为（ ） A. B. C. D. 3. 等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 18 B. 24 C. 12 D. 32 4. 已知两个变量和之间有线性相关关系，经调查得到的样本数据如下表所示，根据表格中的数据求得回归直线方程，则（ ）． 1 2 4 6 7 4 3 2 0 -2 A. ， B. ， C. ， D. ， 5. “为等比数列”是“为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，，现给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. ，两种品牌的某种型号钢笔的市场占有率如图所示，且，两种品牌的钢笔的次品率分别为和．若市场上这种型号钢笔的次品率为，则（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，若有两个极值点，则实数的取值可能是（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知是数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. 是递增数列 D. 能被7整除 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量X服从正态分布，则______． 13. 已知函数在处可导，若，则______． 14. 设等比数列的前项和为，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在数列中，，. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 16. 某调查小组为了了解人们是否喜欢喝啤酒与性别有关，随机调查了200名品尝者，得到以下不完善的列联表． （1）完成以下2×2列联表，能否有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关？ 喜欢 不喜欢 合计 男性 40 女性 100 合计 95 200 （2）根据是否喜欢喝啤酒利用分层抽样的方法从男性品尝者中随机抽取5人，再从这5人中随机选出3人进行深入交流，记这3人中喜欢喝啤酒的人数为X，求随机变量X的分布列、期望． 附：，． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 17. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求，； （2）若有三个零点，求实数的取值范围． 18. 为了更好地普及科学知识，某班举行了科技知识竞赛活动，制定了两种竞赛规则方案.①方案一：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，答对进入下一题，答错则终止答题，第题对应分，答对获得相应的分数，答错得0分.②方案二：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，无论是否答对都可以回答下一题，直到4道题答完为止，每题2分，答对获得相应的分数，答错得0分.已知小明答对每道题的概率均为，且每次回答正确与否都相互独立. （1）若小明选择方案一，记X为小明的累计得分，求X的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择哪个方案？说明理由. 19. 已知函数，. （1）判断的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围； （3）若方程有两个不同的根，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时．将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册第一、二章，选择性必修第二册第四章，选择性必修第三册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据交集的定义求结论. 【详解】由有意义可得， 所以，又， 所以， 故选：B 2. 若命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题求解即可. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知： 命题，则为. 故选：A 3. 等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 18 B. 24 C. 12 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式及性质求解即可. 【详解】因为， 所以， 根据等差数列下标和性质， 所以． 故选：C. 4. 已知两个变量和之间有线性相关关系，经调查得到的样本数据如下表所示，根据表格中的数据求得回归直线方程，则（ ）． 1 2 4 6 7 4 3 2 0 -2 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归方程系数所表示的含义和表格中的数据进行判断即可. 【详解】由样本数据得随着的增大呈现减小的趋势， 所以和之间存在负相关的关系，所以，易得． 故选：D. 5. “为等比数列”是“为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列定义逐一分析充分性和必要性即可得解. 【详解】若为等比数列，则， 所以，即一定是等比数列，故必要性成立； 若为等比数列，则， 所以，即不一定是等比数列，故充分性不成立． 故“为等比数列”是“为等比数列”的必要不充分条件. 故选：B 6. 已知，，现给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布的性质可逐项求解. 【详解】由，， 则得随机变量的分布关于对称，，随机变量的分布关于对称，. 由对称性得，故①正确； 由对称性得， 所以，故②正确； 有对称性得，， 所以，故③正确； 因为， 及， 所以，故④正确. 综上所述：正确结论的个数是：. 故选：D. 7. ，两种品牌的某种型号钢笔的市场占有率如图所示，且，两种品牌的钢笔的次品率分别为和．若市场上这种型号钢笔的次品率为，则（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用全概率公式计算直接得出结果. 【详解】设从市场上任取一支该种型号钢笔，它是次品为事件A， 则，解得，故B正确. 故选：B. 8. 衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求出，，则，，代入曲率公式求解即可． 【详解】令，则，． 因为，， 所以曲线在点处的曲率为． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，若有两个极值点，则实数的取值可能是（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可得方程有两个不同的根，再根据求出的范围，即得答案. 【详解】解：因为有两个极值点， 所以方程有两个不同的根． 又因为， 所以， 解得． 故选：BCD. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A，利用作差法判断BCD. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B不正确； 对于C，因为，所以，，故C正确；对于D，因为，所以，故D不正确． 故选：AC 11. 已知是数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. 是递增数列 D. 能被7整除 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题设，计算求解即可判断A；根据等比数列的定义结合题设判断B；求出，结合递增数列的定义判断C；先求出，再结合二项式定理判断D. 【详解】对于A，由，可得， 故，A错误； 对于B，由， 则，又， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列，B正确； 对于C，，即， 所以，即， 令， 所以是递增数列，C正确； 对于D，因为， 所以， 即， 因为 ， 所以能被7整除，又也能被7整除，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量X服从正态分布，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据随机变量方差的性质计算即可. 【详解】由题意得，所以． 故答案为：. 13. 已知函数在处可导，若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】变形得到，从而得到，解得． 【详解】因为 ， 所以，解得． 故答案为：4 14. 设等比数列的前项和为，若，则______． 【答案】31 【解析】 【分析】设，根据等比数列的前项和的性质列式求解即可. 【详解】因为为等比数列，且，所以，，成等比数列． 设，则． 因则有，即，所以． 故． 故答案为：31. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在数列中，，. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用累加法求出数列的通项公式; （2）由（1）可得,利用裂项相消法计求和即可. 【小问1详解】 因为， 所以 【小问2详解】 因为， 所以. 16. 某调查小组为了了解人们是否喜欢喝啤酒与性别有关，随机调查了200名品尝者，得到以下不完善的列联表． （1）完成以下2×2列联表，能否有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关？ 喜欢 不喜欢 合计 男性 40 女性 100 合计 95 200 （2）根据是否喜欢喝啤酒利用分层抽样的方法从男性品尝者中随机抽取5人，再从这5人中随机选出3人进行深入交流，记这3人中喜欢喝啤酒的人数为X，求随机变量X的分布列、期望． 附：，． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 喜欢 不喜欢 合计 男性 60 40 100 女性 35 65 100 合计 95 105 200 ；有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关， （2）X的分布列为 X 1 2 3 P ；期望为【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，与6.635比较后得到结论； （2）计算出5名品尝者中，有3人喜欢喝啤酒，有2人不喜欢喝啤酒，从而得到X的可能取值和对应的概率，得到分布列,计算出数学期望. 【小问1详解】 完成的列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男性 60 40 100 女性 35 65 100 合计 95 105 200 ． ∴有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关． 【小问2详解】 根据题意可知，男性品尝者中喜欢和不喜欢的比例为， 利用分层抽样随机抽取的5名品尝者中，有3人喜欢喝啤酒，有2人不喜欢喝啤酒． 随机变量，2，3． ；；． X的分布列为 X 1 2 3 P ． 17. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求，； （2）若有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义及导数函数值列方程求解即可； （2）将问题转化为曲线与直线有三个交点，令， 利用导数法研究其单调性，结合函数的极值数形结合即可求解. 【小问1详解】 因为，所以． 因为，，所以， 解得； 【小问2详解】 因为有三个零点，且， 所以关于的方程有三个不同的根， 即曲线与直线有三个交点． 令， 则． 因为， 所以在，上单调递减，在上单调递增． 因为，所以当时，直线与曲线有三个交点， 故实数的取值范围是． 18. 为了更好地普及科学知识，某班举行了科技知识竞赛活动，制定了两种竞赛规则方案.①方案一：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，答对进入下一题，答错则终止答题，第题对应分，答对获得相应的分数，答错得0分.②方案二：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，无论是否答对都可以回答下一题，直到4道题答完为止，每题2分，答对获得相应的分数，答错得0分.已知小明答对每道题的概率均为，且每次回答正确与否都相互独立. （1）若小明选择方案一，记X为小明的累计得分，求X的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择哪个方案？说明理由. 【答案】（1） X 0 1 4 9 16 P （2）小明应选择方案二，理由如下：由（1）可知若小明选择方案一， 则. 若小明选择方案二，记Y为小明的累计得分，Z为小明答对题目的数量，则， 又，所以， 则. 因为，所以小明应选择方案二. 【解析】 【分析】（1）由题意可得X的可能取值为0，1，4，9，16，然后分别求得其对应概率，即可得到分布列； （2）根据期望公式分别求出方案一和方案二的期望，进行比较即可. 【小问1详解】 X的可能取值为0，1，4，9，16. ， . X 0 1 4 9 16 P 【小问2详解】 略 19. 已知函数，. （1）判断的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围； （3）若方程有两个不同的根，，证明：. 【答案】（1） 当时，在和上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减. （2） （3） 设，由（2）得，， 当时，，此时. 因为，，当时，， 所以有两个不同的根，即有两个不同的根，，且. 由得，， 因为函数在上单调递增，且，所以， 所以，故. 又，所以. 令，则. 要证，只要证，即证. 方法一：要证，即证. 令，，则. 令，，则， 所以在上单调递减， 所以，所以在上单调递增. 所以，即成立，故. 方法二：要证，即证. 令，则， 所以在上单调递增， 所以，即，故. 【解析】 【分析】（1）求出，讨论的取值范围可得的单调性. （2）根据条件可得恒成立，分离参数，构造函数，通过导数求函数的最值可得结果. （3）分析条件可得，通过构造函数、分析函数单调性可证明结论. 【小问1详解】 因为，所以. 当时，，所以在和上单调递减； 当时，令，得，令，得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减； 当时，令，得，令，得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减. 【小问2详解】 （方法一）因为恒成立， 所以恒成立. 令，则.令，则在上单调递增. 因为，所以，即. 由，得. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以. （方法二）令，则恒成立. ， ①当时，因为，所以，所以在上单调递减. 因为，所以不恒成立. ②当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故. 因为函数在上单调递增，且， 所以当时，恒成立. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $