福建省泉州市科技中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

材为青封北录山a队a减禁二棒棒下我D 射户名阳制的装科购头鞋书证号 泉州科技中学2024-2025年度高一下学期 期中考数学答题卡 考据/座位号： 姓名 班双 lo] lo] la] o] 可可 2 le. 36 上养道涂转标记口 00 3478 8 客是机8为#杰题：9-为多冠度) 11A1a1-1c11 B[A[B《C1ID +】目t口创 214a]【c1 tA(agc】lB 1【ALC1UU 4A)IM][CJ II 【affC) 二、填空愿（本愿共3小题，每小5分，共15分） 因ㄖ■ 三、制答题 1513分). ▣区■ ■ 16【15价) ” ■ ■ 17(5分》， I 囚■回 1格17分1， 回■回 ■ ▣ 1917分). ■ 泉州科技中学2024—2025学年度第二学期高一年期中考试 数学试卷 命题教师：高二备课组 时间：120分钟 满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且，则（   ） A．2 B． C． D． 3．用斜二测画法画梯形的直观图，如图所示．已知，，则梯形绕轴旋转一周形成的空间几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 6．已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7. 已知球是正三棱柱的内切球，，是球表面上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．第七届数字中国建设峰会在福建举行，其中主题为“显示十创意”的裸眼3D展台引人关注．峰会上显示屏的示意图如图所示，底面为等腰梯形，侧面，，均为矩形且垂直于底面，已知，，，．若有一只虚拟的蝴蝶沿线段飞行，则蝴蝶（视为质点）到点的最短距离为（   ） A．1 B． C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为复数，则下列说法中正确的有（    ） A．为实数 B．若复数满足，则 C． D．若，则的最小值为 10．已知函数的图象如下图所示，下列正确的是（  ） A．的解折式为 B．函数的图象关于点中心对称 C．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的新函数为偶函数 D．函数图象的对称轴方程是 11．一圆锥的侧面展开图如图所示，，弧长为，为线段的中点，为弧中点，则（    ） A．该圆锥的体积为 B．在扇形中， C．该圆锥内半径最大的球的表面积为 D．该圆锥内接正四棱柱表面积的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，则与夹角的余弦值是 ． 13． 已知正四棱柱的底面边长为2，高为6，则该正四棱柱的外接球的表面积为 . 14． 中，，则角的取值范围是 . 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15．如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3 （1）求△CBD的面积； （2）求边AC的长. 16．如图，是圆柱下底面的直径且长度为，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. (1)求圆柱的侧面积和体积； (2)若，点在线段上，点在线段上，求的最小值，并求此时的长. 17．在中，角所对的边分别为，且，边上有一动点. (1)当为边中点时，若，求的长度； (2)当为的平分线时，若，求的最大值. 18.已知函数. (1)把化成形式； (2)若，且，求的值. (3)在中，若，求的取值范围. 19．如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点. (1)若，当k为何值时，与垂直？ (2)若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求 最小值. (3)若的最小值为1，求的值. 泉州科技中学2024—2025学年度第二学期高一年期中考试 数学参考答案 1．【答案】B【难度】0.94【详解】.故选：B 2．【答案】B【详解】因为，所以，整理得. 3．【答案】A【难度】0.65 【详解】画出梯形的原图，如图所示．在直观图中，，，得， 则在原图中，，，四边形是直角梯形，则四边形OABC绕轴旋转一周所形成的空间几何体是一个圆台，该圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，高为， 故该圆台的母线长为，侧面积为．故选：A 4．【答案】D 【难度】0.65 【详解】由，知， 则，故选：D 5．【答案】B 【难度】0.85 【详解】因为，所以，且， 所以由余弦定理得，整理得，又， 所以，故是等边三角形.故选：B. 6．【答案】B【难度】0.65 【分析】利用辅助角公式可得，根据自变量取值范围以及正弦函数图象性质可得，解不等式可得. 【详解】易知，当时，，又因为在区间内有最大值，但无最小值，所以，解得.故选：B 7.【答案】B【难度】0.65 【详解】设等边三角形内切圆的半径为，则， 则正三棱柱内切球半径，正三棱柱高为. 设等边三角形外接圆半径为，则， 所以，设是等边三角形的中心，是的中点， 连接，则，， 是球表面上一点，则 ， ，（同向是为，反向时为）， 所以，所以的取值范围是.故选：B 7．【答案】C【难度】0.4 【详解】因为底面为等腰梯形，且，，， 所以，.在中，，，， 所以. 所以.所以， 又设边上的高为，则. 由.即蝴蝶（视为质点）到点的最短距离为.故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．【答案】ABD 【难度】0.65 【详解】设，则. 对于A，为实数，A正确； 对于B，，于是B正确； 对于C，取，则， 此时C不正确； 对于D，在复平面内表示复数对应的点到与距离相等， 则复数对应的点到的距离最小值为D正确. 故选：ABD. 10．【答案】AD 【难度】0.65 【详解】对于A，由图象知：，，解得：； ，，解得：， 又，，，A正确； 对于B，由图象可知：是的一条对称轴，B错误； 对于C，向右平移个单位长度得：， ，所得函数为奇函数，C错误； 对于D，令，解得：， 的对称轴为，D正确.故选：ACD. 11．【答案】ACD 【详解】因为圆锥的侧面展开图中，，弧长为，所以，解得， 设圆锥底面圆的半径为，则，解得，所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为，故A正确； 因为，为线段的中点，为弧中点， 所以，B错 圆锥内半径最大球就是圆锥内切球，设内切球半径，由等体积可得，，所以该圆锥内半径最大的球的表面积为，故C正确； 设圆锥内接正四棱柱的高为，底面正方形边长为，则， 所以正四棱柱的表面积为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值为，故D正确；故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】 【难度】0.94 【详解】由已知可得，所以，. 13．【答案】 【难度】0.85 【详解】设外接球的半径为，则, 所以正四棱柱的外接球的表面积. 故答案为： 14．【答案】 【详解】在中，设，则，即.由余弦定理可知 令，画函数图象如下： 由图象可知， 即又为的内角 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15．【答案】（1）；（2） 【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 则，； （2）在中，由正弦定理得，即，解得. 16．【详解】（1）由已知，圆柱底面圆的半径，∵母线长，∴圆柱的高， ∴圆柱的侧面积，圆柱的体积. （2）如图，延长线段至，使得， 作，垂足为，交与， 因为是圆柱下底面的直径，是圆柱的母线， 所以，则，∴， 所以，此时，取得最小值， 因为，，所以， 所以在中，， 所以，所以的最小值为. 又在中，，所以，则在中， . 17.【解析】（1）因为，所以，即. 由正弦定理，得.因为，所以. 因为，所以.又因为，所以，所以. 因为为边中点，所以，则.又， 所以，即，即，所以. （2）在中，由余弦定理，得. 又，所以， 所以，当且仅当时取等号，所以，所以. 因为平分， 所以，所以， 所以.令，则. 因为在上单调递增，所以当即时，取得最大值为， 所以的最大值为. 18.【答案】(1)最小正周期为；单调增区间 (2) (3) 【难度】0.65 【详解】（1） ， （2）， 因为，所以，所以 所以； （3）因为，所以，因为，所以，， 因为，所以，所以， 所以的取值范围为. 19．【答案】(1) (2)2 (3) 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值、求二次函数的值域或最值、数量积的运算律 【分析】（1）由余弦定理可得，再由向量垂直和数量积的关系即可求出结果； （2）由向量的线性运算和共线的条件得到，即可得到，再用基本不等式计算； （3）由向量的数量积的定义得到，再由模长的计算得到，结合二次函数的性质解出即可. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理得，即，所以. 若与垂直，则， 所以，所以， 解得，即时，与垂直； （2）因为为的重心，所以， 又因为，所以， 由于三点共线，所以存在实数使得，所以 化简为，所以，所以. 显然，则， 当且仅当时，即时，取最值.则的最小值为2. （3）设与的夹角为，在中，， 所以， 又 ， 所以当时，有最小值，所以，解得， 即取最小值1时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$