精品解析：福建省莆田市城厢区南门学校2023-2024学年八年级上学期数学期中考试卷

2023-2024学年南门八年级期中考试卷 一、单选题 1. 2023年9月23日-10月8日，19届亚运会在杭州如火如荼地进行，运动健儿们摘金夺银，全国人民感受到一波强烈的民族自豪感． 如图案表示的运动项目标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此逐一分析各项即可． 【详解】A．，不能构成三角形，故A选项错误； B．，能构成三角形， C．，不能构成三角形，故C选项错误； D．，不能构成三角形，故D选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边的关系，熟练掌握和运用三角形三边的关系是解决本题的关键． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算和合并同类项法则．逐一分析各选项是否正确即得． 【详解】A选项：为幂的乘方，根据法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”，应得，而非，故错误． B选项：中，两项的指数不同，不是同类项，无法合并为，故错误． C选项：为同底数幂相乘，根据法则“底数不变，指数相加”，应得，计算正确． D选项：为合并同类项，系数相减得=，而非，故错误． 综上，正确答案为C． 4. 中，如图选项正确画出边上的高的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了画三角形的高，过点作边上的垂线段即可． 【详解】解：由三角形的高的定义可知：图B中的垂线段为边上的高， 故选：B ． 5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而得出答案． 【详解】解：由全等三角形的性质得：是边和的夹角， ． 故选：D． 6. 等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为（ ） A. 70° B. 40° C. 70°或40° D. 70°或55° 【答案】D 【解析】 【分析】分①角是这个等腰三角形的顶角，②角是这个等腰三角形的底角两种情况，利用等腰三角形的定义和三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： ①当角是这个等腰三角形的顶角时， 则它的底角为； ②当角是这个等腰三角形的底角时， 则它的底角为； 综上，它的底角为或， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的内角和定理，正确分两种情况讨论是解题关键． 7. 如图，在中，，，垂足分别为D，E．若，，，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，易得，根据，，得出，进而得出，再根据求证，得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，已知△ABC≌△DEC，点A和点D，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD交CD于点F，若∠BCE＝60°，则∠CAF的度数为（　　） A. 35° B. 30° C. 60° D. 65° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形全等的性质可得，进而可得，根据直角三角形的两个锐角互余，即可求得的度数． 【详解】解：， ， ， 即， ，， ， 故选： 【点睛】本题考查了三角形全等的性质，直角三角形的两个锐角互余，证明是解题的关键． 9. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解，利用线段垂直平分线的性质可求解，即可求解，再利用含角的直角三角形的性质可求解的长． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，求解CF=2BF是解题的关键． 10. 如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、轴对称的性质及线段最短问题，熟练掌握等边三角形的对称性与线段最短模型的应用是解题的关键． 利用等边三角形的对称性，将转化为与相关的线段，结合“两点之间线段最短”确定取最小值的位置，再通过等边三角形的性质推导的度数． 【详解】解：由题意可知，当点、、共线，且时，取得最小值， 过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题 11. 若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是__________． 【答案】9 【解析】 【分析】任意多边形的外角和恒为，正多边形的每个外角相等，通过外角和除以单个外角度数即可求得边数。 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该正多边形的一个外角为，且正多边形的每个外角相等， ∴这个正多边形的边数为， 12. 如图，在中，，平分，，D到的距离是 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，能够正确理解距离的概念是解题的关键． 【详解】解：作于E，如图， 又，平分， ， 故答案为：3． 13. _________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据积的乘方逆运算即可求解． 【详解】 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟练应用积的乘方逆运算． 14. 如图，点E在上，与相交于点F，，，则的度数为_______度． 【答案】70 【解析】 【分析】由全等三角形的性质得到，求出，由三角形外角的性质得到． 【详解】解：∵，， ， ， ， ， ． ​故答案为：70． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 15. 如图，中边的垂直平分线分别交于点D、E，，的周长为，则的周长是 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．根据垂直平分线的性质可得，，再结合的周长即可求得结果． 【详解】解：是边的垂直平分线 ，， ， 的周长为，即， ， ， 即的周长是． 故答案为：． 16. 如图，已知等腰，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面结论：；；；；其中正确的有______．（填上所有正确结论的序号） 【答案】 【解析】 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出；，由三角形的内角和定理，角的和差求出，再证明是等边三角形，得出，；据结论推出，在线段上截取，连接，由角的和差，等边三角形的判定与性质证明≌，再由线段的和差和等量代换求出，即可得出结果． 【详解】解：连接，如图所示： ，， ， 垂直平分线段， ， ， 又， ， ， 又在等腰中， ， ， ， ，故正确； 又， ， ，， ， 又，，， ， 又， ， 又， 是等边三角形， ，，故正确； ， 即，故正确； 在线段上截取点，使得，连接，如图所示： ，， ， 是等边三角形， ， 又是等边三角形， ， 又，， ， 在和中， ≌， ， 又，， ，故正确； 故答案为． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点；作辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键． 三、解答题 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的化简，先计算同底数幂的乘法、积的乘方，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 18. 如图，已知点、、、在一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由可得，再由全等三角形的判定和性质得出，结合平行线的判定即可证明． 【详解】略 19. 已知，，求． 【答案】200 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，将原式变形，再将，，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，能够熟练逆用同底数幂的乘法，幂的乘方对原式进行变形是解决本题的关键． 20. 如图，在中，AF平分交BC于点F，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点D，，，求的度数． 【答案】21° 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据等腰三角形的性质得到∠EAC＝∠C，根据三角形内角和定理和角平分线的定义计算求得即可求解． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵AF平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 21. 如图，三个顶点的坐标分别是 （1）请画出关于y轴对称的图形； （2）画出点C关于直线l的对称点，并写出点的坐标； （3）在x轴上求一点P，使周长最小，请画出，并通过画图直接写出P点的坐标． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图， 点的坐标为． （3） 如图所示： 点P的坐标为． 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质进行作图，即可得到关于y轴的对称图形； （2）依据关于直线l对称点的坐标特点求解即可． （3）作点A关于x轴的对称点，连接，交x轴与点P，依据函数图象可得到点P的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查的是轴对称变换，熟练掌握最短路径问题的相关知识是解题的关键． 22. 如图，在中，，． （1）在BC上求作点D，使得点D到AB，AC两边的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1） 如图所示，AD为所求； （2） 证明：由（1）AD为∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， 过D作DE⊥AB于E， ∴， ∴， ∵AD=AD， ∠BAD=∠CAD， ∴， ∴DE=DC，AE=AC， ∴AB=AE+BE=AC+DC． 【解析】 【分析】（1）由角平分线的判定可以知道该作图是作为∠BAC的角平分线； （2）过D作DE⊥AB于E，依题意证得：，即可得出DE=DC，AE=AC，可证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 如图，在ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，点D是AB边上一点，且CD＝CB，过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F． （1）求证：∠ABF＝∠BCD； （2）判断BCF的形状，并说明理由． 【答案】 （1）证明：过点C作CG⊥AB于点G， ∴∠DCG+∠CDG＝90°， ∵BC＝DC， ∴∠BCG＝∠DCG＝∠BCD， ∵BF⊥CD于点E， ∴∠ABF+∠CDG＝90°， ∴∠ABF＝∠DCG＝∠BCD； （2）解：如上图，△BCF是等腰三角形， 理由：∵∠A＝45°，CG⊥AB， ∴∠ACG＝45°， ∵∠ACB＝∠ACG+∠BCG，∠BFC＝∠A+∠ABF， ∴∠ACB＝45°+∠BCG，∠BFC＝45°+∠ABF， ∵∠BCG＝∠DCG＝∠ABF， ∴∠BCF＝∠BFC， ∴BC＝BF， ∴△BCF是等腰三角形． 【解析】 【分析】过点C作CG⊥AB于点G，（1）根据直角三角形的两锐角互余及角平分线的定义即可得解； （2）由∠A＝45°，CG⊥AB得出∠ACG＝45°，即得∠ACB＝45°+∠BCG，根据三角形外角定理得出∠BFC＝45°+∠ABF，由（1）知∠BCG＝∠ABF，可得∠BCF＝∠BFC，由“等角对等边”即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键． 24. 已知和都是等边三角形，分别连接． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若点D在边上，延长交于点G，连接． ①求证：平分． ②判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） ①证明：如图，过点A分别作于点P，于点Q， ， ∴， ∴，，即， 解得， ∵，， ∴平分． ②解：． 理由如下：在延长线上取点T，使得，连接， 由（1）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由， ∴是等边三角形 ∴， 由， 故． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明即可； （2）①过点A分别作于点P，于点Q，证明，利用角的平分线的判定定理解答即可． ②在延长线上取点T，使得，连接，利用三角形全等，等边三角形的判定和性质解答即可． 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，角平分线的判定等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【小问1详解】 解：和都是等边三角形， ， ，                                      ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴为． 【小问2详解】 略 25. 如图1，已知A(a，0)，点B(0，b)，且a、b满足 ⑴求A、B两点的坐标； ⑵若点C是第一象限内一点，且∠OCB＝45°，求点A作AD⊥OC于点F，求证：FA＝FC． ⑶如图2，若点D的坐标为(0，1)，过点A作AE⊥AD，且AE=AD,连接BE交x轴于点G，求G点的坐标． 【答案】（1）A（4，0），B（0，4）； （2）证明：如图1，作BE⊥CO于于E， ∴∠BEC=∠BEO=90°. ∵A(4,0)，B(0,4)， ∴OA=OB=4. ∵AD⊥OC， ∴∠AFO=90°， ∴∠AOF+∠OAF=90°. ∴∠BEO=∠OFA. ∵∠BOE+∠AOE=90°， ∴∠BOE=∠OAF. 在△BEO和△OFA中， ∴△BEO≌△OFA(AAS)， ∴BE=OF，OE=AF. ∵∠OCB=45°， ∴∠EBC=45°， ∴∠EBC=∠BCE， ∴BE=CE. ∴OF=CE， ∴OF+EF=CE+EF， ∴OE=CF， ∴AF=CF； （3）G（，0）. 【解析】 【分析】（1）首先根据非负数是性质求得a=4，b=4，则易求点A、B的坐标； （2）如图1，作BE⊥CO于于E，可以得出△BEO≌△OFA，可以得出BE=OF，OE=AF由等腰三角形的性质就可以得出BE=CE，CE+EF=OF+EF就可以得出结论； （3）如图2，作EF⊥x轴于F，就可以证明△AOD≌△EFA，就可以得出AO=EF，DO=EA，再证明△BOG≌△EFG，可以得出OG=FG就可以得出结论． 【详解】解：⑴(1)∵a、b满足， ∴a−4=0，4−b=0， 则a=4，b=4， ∴A、B两点的坐标分别是：A(4,0)点B(0,4)； ⑵略 (3)如图2，作EF⊥x轴于F， ∴ ∴ ∵AE⊥AD， ∴ ∴∠DAO=∠AEF. 在△AOD和△EFA中， ∴△AOD≌△EFA(AAS). ∴AO=EF，OD=AF. ∴BO=EF. 在△BOG和△EFG中 ∴△BOG≌△EFG(AAS)， ∴OG=FG. ∵D(0,1)， ∴OD=1， ∴AF=1， ∴OF=3， ∴OG=1.5. ∴G(1.5,0) 【点睛】考查全等三角形的判定与性质，非负数的性质，坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年南门八年级期中考试卷 一、单选题 1. 2023年9月23日-10月8日，19届亚运会在杭州如火如荼地进行，运动健儿们摘金夺银，全国人民感受到一波强烈的民族自豪感． 如图案表示的运动项目标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 中，如图选项正确画出边上的高的图形是（ ） A. B. C. D. 5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为（ ） A. 70° B. 40° C. 70°或40° D. 70°或55° 7. 如图，在中，，，垂足分别为D，E．若，，，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图，已知△ABC≌△DEC，点A和点D，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD交CD于点F，若∠BCE＝60°，则∠CAF的度数为（　　） A. 35° B. 30° C. 60° D. 65° 9. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10. 如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是__________． 12. 如图，在中，，平分，，D到的距离是 _____． 13. _________． 14. 如图，点E在上，与相交于点F，，，则的度数为_______度． 15. 如图，中边的垂直平分线分别交于点D、E，，的周长为，则的周长是 ____． 16. 如图，已知等腰，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面结论：；；；；其中正确的有______．（填上所有正确结论的序号） 三、解答题 17. 化简：． 18. 如图，已知点、、、在一条直线上，，，．求证：． 19. 已知，，求． 20. 如图，在中，AF平分交BC于点F，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点D，，，求的度数． 21. 如图，三个顶点的坐标分别是 （1）请画出关于y轴对称的图形； （2）画出点C关于直线l的对称点，并写出点的坐标； （3）在x轴上求一点P，使周长最小，请画出，并通过画图直接写出P点的坐标． 22. 如图，在中，，． （1）在BC上求作点D，使得点D到AB，AC两边的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 23. 如图，在ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，点D是AB边上一点，且CD＝CB，过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F． （1）求证：∠ABF＝∠BCD； （2）判断BCF的形状，并说明理由． 24. 已知和都是等边三角形，分别连接． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若点D在边上，延长交于点G，连接． ①求证：平分． ②判断之间的数量关系，并说明理由． 25. 如图1，已知A(a，0)，点B(0，b)，且a、b满足 ⑴求A、B两点的坐标； ⑵若点C是第一象限内一点，且∠OCB＝45°，求点A作AD⊥OC于点F，求证：FA＝FC． ⑶如图2，若点D的坐标为(0，1)，过点A作AE⊥AD，且AE=AD,连接BE交x轴于点G，求G点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $