河南省天立教育2024-2025学年高一下学期7月期末数学试题

高一年级数学试题卷第 2 页（共 4 页）高一年级数学试题卷第 1 页（共 4 页） 天立教育 2024—2025 学年春期高一年级期末考试 数学试题卷 本试题卷共 4 页、四大题、19 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 若 2 3iz    ，则复平面内复数 z 对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2． 已知向量a ＝（x，1），b ＝（4，−2），若a ∥b ，则 x＝（ ） A．－2 B．2 C． 2 1 － D． 2 1 3． 书架上有 2 本体育杂志和 3 本文学杂志，从中任意挑选 2 本，则挑选的杂志类型相同的概率为（ ） A． 10 1 B． 5 1 C． 5 2 D． 2 1 4． 设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 3 , 2 2 a b A B  ，则 sinB （ ） A． 4 7 B． 4 3 C． 3 22 D． 3 1 5． 设 m、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（ ） A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B．若 m∥α，α∥β，则 m∥β C．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则 m∥n D．若 m⊥n，n∥α，则 m⊥α 6． 在△ABC 中，AD → ＝ 2 3 AC → ，点 E 在 BD 上，若AE → ＝xBA → ＋ 1 3 BC → ，则 x＝（ ） A． 3 2 － B． 5 4 － C． 6 5 － D． 7 6 － 7． 已知事件 A，B 满足 ( ) 0.5, ( ) 0.2P A P B  ，则（ ） A．若 B⊆A，则 ( ) 0.5P AB  B．若 A 与 B 互斥，则 ( ) 0.7P A B  C．若 A 与 B 相互独立，则   0.1P AB  D．若 ( ) ( ) 1P B P C  ，则 C 与 B 相互对立 8． 已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，P 为棱 A1D1 的中点，则四棱锥 P－ABCD 的外接球表面积为（ ） A． 2 π3 B．3π C． 16 41π D． 64 41π 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的 得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9． 已知向量a → ＝（3，−1），b → ＝（1，2），则下列选项正确的是（ ） A．a → ⊥b → B．|a → +b → | = 17 C．已知 c → = (t，1)，若a → ∥ c → ，则 t＝－3 D．a → 与b → 夹角的余弦值为 5 2 10．某中学举行化学知识竞赛，其中 6 个小组的比赛成绩分别为：71，85，76，88，89，96，则这组数据的（ ） A．极差为 25 B．中位数大于平均数 C．方差为 65 D．百分之二十五分位数为 76 11．如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，E，F 分别是 AD，DD1 的中点，点 P 是底面 ABCD 内一动点，则 下列结论正确的为（ ） A．存在点 P，使得 FP∥平面 ABC1D1 B．过 B，E，F 三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C．异面直线 BA1 与 EF 所成的角的大小为 60° D．若 D1P∥平面 A1BC1，则点 P 的轨迹的长度为 2 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．某大学共有教师 1000 人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为 1∶4∶3∶2，现用分层抽样的方法从全 校所有教师中抽取一个容量为 40 的样本，讲师应抽取的人数为__________． 13．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若（a+b）2－c2＝6，且 C＝60°，则 ab 的值为__________． 14．长方体 ABCD − A1B1C1D1中，AA1 = A1B1 = 2，AD = 1，O 是B1D1的中点，则直线 AO 与平面 BCC1B1所成角的 正切值为__________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知向量 ， ， ． （1）若 ，求实数 x 的值，并求 的值； （2）若 ，求实数 x 的值． 高一年级数学试题卷第 3 页（共 4 页） 高一年级数学试题卷第 4 页（共 4 页） 16．（15 分） （1）已知 R∈m ，若 ）i+2－（）i+（= m mz 为纯虚数，求 m 的值； （2）设复数 ）（ R∈i－2=1 aaz ， i+1=2z ．若 21 + zz 是实数，求 2 1 z z ； （3）已知复数 z 满足 i4+8= + zz ，求 z． 17．（15 分）第 19 届亚运会将于 2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日在杭州举行，为了弘扬奥林匹克和亚运精神，某学校 对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试.从全校学生中随机抽取了 100 名学生的成绩作为样本 进行统计，测试满分为 100 分，并将这 100 名同学的测试成绩分成 5 组，绘制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中 t 的值，并估计这 100 名学生的平均成绩； （2）用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取 3 名学生，求 3 名学生中至少有 2 人 成绩不低于 80 分的概率． 18．（17 分）举办网络安全宣传周、提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学 生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队 2 人，每人回答一个问题，回 答正确积 1 分，回答错误积 0 分．甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均 为 2 1 ，乙队两人回答问题正确的概率分别为 3 2 ， 3 1 ，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立． （1）求甲队总得分为 1 分的概率； （2）求两队积分相同的概率． 19．（17 分）如图，在四棱锥 P－ABCD 中，四边形 ABCD 为正方形，PA⊥平面 ABCD，且 PA＝AB＝2，E 为 PD 中点． （1）证明：PB∥平面 AEC； （2）证明：平面 PCD⊥平面 PAD； （3）求二面角 E－AC－D 的正弦值． 天立教育2024—2025学年春期高一年级期末考试 数学试题卷 本试题卷共4页、四大题、19小题，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 若，则复平面内复数z对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2． 已知向量，，若，则（　　） A．－2 B．2 C． D． 3． 书架上有2本体育杂志和3本文学杂志，从中任意挑选2本，则挑选的杂志类型相同的概率为（　　） A． B． C． D． 4． 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（　　） A． B． C． D． 5． 设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（　　） A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B．若m∥α，α∥β，则m∥β C．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n D．若m⊥n，n∥α，则m⊥α 6． 在△ABC中，，点E在BD上，若，则x＝（　　） A． B． C． D． 7． 已知事件A，B满足，则（　　） A．若B⊆A，则 B．若A与B互斥，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则C与B相互对立 8． 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为棱A1D1的中点，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为（　　） A． B．3π C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． 已知向量，则下列选项正确的是（　　） A． B． C．已知，若，则t＝－3 D．与夹角的余弦值为 10． 某中学举行化学知识竞赛，其中6个小组的比赛成绩分别为：71，85，76，88，89，96，则这组数据的（　　） A．极差为25 B．中位数大于平均数 C．方差为65 D．百分之二十五分位数为76 11． 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是AD，DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（　　） A．存在点P，使得FP∥平面ABC1D1 B．过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C．异面直线BA1与EF所成的角的大小为60° D．若D1P∥平面A1BC1，则点P的轨迹的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为1∶4∶3∶2，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，讲师应抽取的人数为__________． 13． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若（a+b）2－c2＝6，且C＝60°，则ab的值为__________． 14． 长方体中，，，O是的中点，则直线AO与平面所成角的正切值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知向量，，． （1）若，求实数x的值，并求的值； （2）若，求实数x的值． 高一年级数学试题卷第 1 页（共 4 页） 高一年级数学试题卷第 2 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 16．（15分） （1）已知，若为纯虚数，求m的值； （2）设复数，．若是实数，求； （3）已知复数z满足，求z． 17．（15分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为了弘扬奥林匹克和亚运精神，某学校对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试.从全校学生中随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，并将这100名同学的测试成绩分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中t的值，并估计这100名学生的平均成绩； （2）用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取3名学生，求3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率． 18．（17分）举办网络安全宣传周、提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分．甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立． （1）求甲队总得分为1分的概率； （2）求两队积分相同的概率． 19．（17分）如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，E为PD中点． （1）证明：PB∥平面AEC； （2）证明：平面PCD⊥平面PAD； （3）求二面角E－AC－D的正弦值． 高一年级数学试题卷第 4 页（共 4 页） 高一年级数学试题卷第 3 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$高一年级数学参考答案第 1 页（共 1 页） 天立教育 2024—2025 学年春期高一年级期末考试 数学参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1～4．［答案］CACA 5～8．［答案］CCBC 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的 得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9～11．［答案］BC ABD AC 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．［答案］12 13．［答案］2 14．［答案］ 17 172 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）［答案］x＝ 2 3 （3 分） ca • ＝8（4 分） （2）［答案］x＝－2（6 分） 16．（1）［答案］m＝0（5 分） （2）［答案］ 2 1 z z ＝ i 2 3 － 2 1 （5 分） （3）［答案］ i 4+3=z （5 分） 17．（1）［答案］t＝0.025（3 分） 74 分（4 分） （2）［答案］0.352（8 分） 18．（1）［答案］ 2 1 （5 分） （2）［答案］ 18 7 （10 分） 19．（1）［答案］略（5 分） （2）［答案］略（5 分） （3）［答案］ 3 6 （7 分） 天立教育2024—2025学年春期高一年级期末考试 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1～4．［答案］CACA　　5～8．［答案］CCBC 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9～11．［答案］BC　ABD　AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．［答案］12　　13．［答案］2　　14．［答案］ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）［答案］x＝（3分）　＝8（4分） （2）［答案］x＝－2（6分） 16．（1）［答案］m＝0（5分） （2）［答案］＝（5分） （3）［答案］（5分） 17．（1）［答案］t＝0. 025（3分）　74分（4分） （2）［答案］0. 352（8分） 18．（1）［答案］（5分） （2）［答案］（10分） 19．（1）［答案］略（5分） （2）［答案］略（5分） （3）［答案］（7分） 高一年级数学参考答案第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天立教育2024—2025学年春期高一年级期末考试 数学试题卷 本试题卷共4页、四大题、19小题，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 若，则复平面内复数z对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2． 已知向量，，若，则（　　） A．－2 B．2 C． D． 3． 书架上有2本体育杂志和3本文学杂志，从中任意挑选2本，则挑选的杂志类型相同的概率为（　　） A． B． C． D． 4． 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（　　） A． B． C． D． 5． 设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（　　） A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B．若m∥α，α∥β，则m∥β C．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n D．若m⊥n，n∥α，则m⊥α 6． 在△ABC中，，点E在BD上，若，则x＝（　　） A． B． C． D． 7． 已知事件A，B满足，则（　　） A．若B⊆A，则 B．若A与B互斥，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则C与B相互对立 8． 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为棱A1D1的中点，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为（　　） A． B．3π C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． 已知向量，则下列选项正确的是（　　） A． B． C．已知，若，则t＝－3 D．与夹角的余弦值为 10． 某中学举行化学知识竞赛，其中6个小组的比赛成绩分别为：71，85，76，88，89，96，则这组数据的（　　） A．极差为25 B．中位数大于平均数 C．方差为65 D．百分之二十五分位数为76 11． 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是AD，DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（　　） A．存在点P，使得FP∥平面ABC1D1 B．过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C．异面直线BA1与EF所成的角的大小为60° D．若D1P∥平面A1BC1，则点P的轨迹的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为1∶4∶3∶2，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，讲师应抽取的人数为__________． 13． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若（a+b）2－c2＝6，且C＝60°，则ab的值为__________． 14． 长方体中，，，O是的中点，则直线AO与平面所成角的正切值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知向量，，． （1）若，求实数x的值，并求的值； （2）若，求实数x的值． 16．（15分） （1）已知，若为纯虚数，求m的值； （2）设复数，．若是实数，求； （3）已知复数z满足，求z． 17．（15分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为了弘扬奥林匹克和亚运精神，某学校对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试.从全校学生中随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，并将这100名同学的测试成绩分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中t的值，并估计这100名学生的平均成绩； （2）用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取3名学生，求3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率． 18．（17分）举办网络安全宣传周、提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分．甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立． （1）求甲队总得分为1分的概率； （2）求两队积分相同的概率． 19．（17分）如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，E为PD中点． （1）证明：PB∥平面AEC； （2）证明：平面PCD⊥平面PAD； （3）求二面角E－AC－D的正弦值． 高一年级数学试题卷第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$高一年级数学试题卷第 1 页（共 4 页） 天立教育 2024—2025 学年春期高一年级期末考试 数学试题卷 本试题卷共 4 页、四大题、19 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 若 2 3iz    ，则复平面内复数 z 对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2． 已知向量a ＝（x，1），b ＝（4，−2），若a ∥b ，则 x＝（ ） A．－2 B．2 C． 2 1 － D． 2 1 3． 书架上有 2 本体育杂志和 3 本文学杂志，从中任意挑选 2 本，则挑选的杂志类型相同的概率为（ ） A． 10 1 B． 5 1 C． 5 2 D． 2 1 4． 设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 3 , 2 2 a b A B  ，则 sinB （ ） A． 4 7 B． 4 3 C． 3 22 D． 3 1 5． 设 m、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（ ） A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B．若 m∥α，α∥β，则 m∥β C．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则 m∥n D．若 m⊥n，n∥α，则 m⊥α 6． 在△ABC 中，AD → ＝ 2 3 AC → ，点 E 在 BD 上，若AE → ＝xBA → ＋ 1 3 BC → ，则 x＝（ ） A． 3 2 － B． 5 4 － C． 6 5 － D． 7 6 － 7． 已知事件 A，B 满足 ( ) 0.5, ( ) 0.2P A P B  ，则（ ） A．若 B⊆A，则 ( ) 0.5P AB  B．若 A 与 B 互斥，则 ( ) 0.7P A B  C．若 A 与 B 相互独立，则   0.1P AB  D．若 ( ) ( ) 1P B P C  ，则 C 与 B 相互对立 8． 已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，P 为棱 A1D1 的中点，则四棱锥 P－ABCD 的外接球表面积为（ ） A． 2 π3 B．3π C． 16 41π D． 64 41π 高一年级数学试题卷第 2 页（共 4 页） 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的 得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9． 已知向量a → ＝（3，−1），b → ＝（1，2），则下列选项正确的是（ ） A．a → ⊥b → B．|a → +b → | = 17 C．已知 c → = (t，1)，若a → ∥ c → ，则 t＝－3 D．a → 与b → 夹角的余弦值为 5 2 10．某中学举行化学知识竞赛，其中 6 个小组的比赛成绩分别为：71，85，76，88，89，96，则这组数据的（ ） A．极差为 25 B．中位数大于平均数 C．方差为 65 D．百分之二十五分位数为 76 11．如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，E，F 分别是 AD，DD1 的中点，点 P 是底面 ABCD 内一动点，则 下列结论正确的为（ ） A．存在点 P，使得 FP∥平面 ABC1D1 B．过 B，E，F 三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C．异面直线 BA1与 EF 所成的角的大小为 60° D．若 D1P∥平面 A1BC1，则点 P 的轨迹的长度为 2 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．某大学共有教师 1000 人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为 1∶4∶3∶2，现用分层抽样的方法从全 校所有教师中抽取一个容量为 40 的样本，讲师应抽取的人数为__________． 13．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若（a+b）2－c2＝6，且 C＝60°，则 ab 的值为__________． 14．长方体 ABCD − A1B1C1D1中，AA1 = A1B1 = 2，AD = 1，O 是B1D1的中点，则直线 AO 与平面 BCC1B1所成角的 正切值为__________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知向量 ， ， ． （1）若 ，求实数 x 的值，并求 的值； （2）若 ，求实数 x 的值． 高一年级数学试题卷第 3 页（共 4 页） 16．（15 分） （1）已知 R∈m ，若 ）i+2－（）i+（= m mz 为纯虚数，求 m 的值； （2）设复数 ）（ R∈i－2=1 aaz ， i+1=2z ．若 21 + zz 是实数，求 2 1 z z ； （3）已知复数 z 满足 i4+8= + zz ，求 z． 17．（15 分）第 19 届亚运会将于 2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日在杭州举行，为了弘扬奥林匹克和亚运精神，某学校 对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试.从全校学生中随机抽取了 100 名学生的成绩作为样本 进行统计，测试满分为 100 分，并将这 100 名同学的测试成绩分成 5 组，绘制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中 t 的值，并估计这 100 名学生的平均成绩； （2）用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取 3 名学生，求 3 名学生中至少有 2 人 成绩不低于 80 分的概率． 高一年级数学试题卷第 4 页（共 4 页） 18．（17 分）举办网络安全宣传周、提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学 生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队 2 人，每人回答一个问题，回 答正确积 1 分，回答错误积 0 分．甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为 2 1 ，乙队两人回答问题正确的概率分别为 3 2 ， 3 1 ，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立． （1）求甲队总得分为 1 分的概率； （2）求两队积分相同的概率． 19．（17 分）如图，在四棱锥 P－ABCD 中，四边形 ABCD 为正方形，PA⊥平面 ABCD，且 PA＝AB＝2，E 为 PD 中点． （1）证明：PB∥平面 AEC； （2）证明：平面 PCD⊥平面 PAD； （3）求二面角 E－AC－D 的正弦值．