浙江省衢州市江山市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年浙江省衢州市江山市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是(    ) A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 2.若，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.已知的半径为5，点P在外，则OP的长可能是(    ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4.已知圆内接四边形ABCD中，：：：3：则的大小是(    ) A. B. C. D. 5.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上.点A，B的读数分别为，，则的大小为(    ) A. B. C. D. 6.生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7.如图，二次函数为常数的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程为常数的两实数根是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 8.如图，将以点A为中心顺时针旋转得到，若点B的对应点D恰为BC边的中点，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 9.二次函数为常数，的自变量x与函数y对应值如表： x … 0 … y … n … 若，则点所在象限是(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10.如图，赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形ABCD，中间是一个小正方形连结CE并延长，交BG于点M，交AB于点连结NF，HM，若要求出的面积，只需知道(    ) A. 的面积 B. 的面积 C. 的面积 D. 的面积 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.把抛物线向上平移1个单位后得到的抛物线解析式是：______. 12.已知线段，，线段c是线段a，b的比例中项，则______. 13.“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 请估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有          个． 14.如图，折扇的骨柄长为30cm，扇面宽度为18cm，折扇张开的角度为，则折扇扇面的面积为______结果保留 15.设二次函数，当时，函数有最小值，则b的值为______. 16.在中，，，斜边AB上一点E满足，连结 的长为______. 点F是射线CE上的点，连结BF，的一个内角与相等，则EF的长为______. 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 小磊的一道错题如图所示，请仔细观察并解决以下问题. …① …② …③ 错误步骤：______填最先出错的步骤序号即可 写出正确解答步骤. 18.本小题8分 某校举办手抄报评比，组委会将同学们交来的作品分为四组，并对每一组的件数进行统计.已知，从第一组至第四组的作品数量之比依次为2：4：5：1，第三组的件数是10，请回答以下问题： 经评比，第二组和第四组分别有3件和1件作品获奖，那么你认为这两组中哪个组获奖率较高？为什么？ 手抄报评比结束后，组委会决定从4件最优秀的作品A，B，C，D中选出两件进行全校展示，请用树状图或列表法求出刚好展示B，D的概率. 19.本小题8分 在的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图. 在图1网格中画出一个，使∽，相似比为1：2，且各顶点都在格点上. 在图2的网格中作出与相似的最小格点 20.本小题8分 如图，等腰三角形ABC中，，记顶角为，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点 若，求的度数. 若，，求直径AB的长. 21.本小题8分 已知抛物线 抛物线的对称轴为直线，且经过点 ①求抛物线的函数表达式. ②若点，都在此抛物线上，求m的值. 若点落在此抛物线上，求证： 22.本小题10分 某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场整个赛道长小龙从滑雪赛道顶端处下滑，滑行距离单位：与滑行时间单位：近似满足某种函数关系，测得部分数据如表所示： 滑行时间 0 1 2 4 滑行距离 0 2 6 20 根据表格数据，在如下坐标系中描点、连线，猜想y与t之间满足哪一类函数关系，并写出y与t之间的函数表达式不要求写出自变量的取值范围 小龙滑完整个赛道需要耗时多久？ 滑雪者小游在小龙滑行2s后也从滑雪赛道顶端处下滑且滑完全程，已知小游滑行距离单位：与滑行时间单位：近似满足函数关系在小龙到达终点前，小游能否追上小龙，若能，试计算此时小游的滑雪时间t的值；若不能，请说明理由. 23.本小题10分 【初步探究】 如图1，在等腰中，，D是BC上的点，连结AD，将AD绕点A逆时针旋转并延长，交BC延长线于点 ①求证：∽ ②若，求的值. 【拓展提升】 如图2，在等腰中，点D，E为BC边上两点，，连结AD，AE，，求CE的长. 24.本小题12分 是等腰的外接圆，，的直径为10，点D是弧ACB上的一点，连结BD，AD，过点A作于点 如图1，若点D在上，，求的度数用含的代数式表示 在的条件下，若，求 若弦BD经过圆心O，连结CD，且，求DE的长. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上， 故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件． 故选： 根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断． 本题主要考查的是对随机事件概念的理解，解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，比较简单． 2.【答案】C  【解析】解：， 故选： 根据比例的性质即可求得答案． 此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质． 3.【答案】D  【解析】解：的半径为5，点P在外， ， 故选： 根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题． 本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围． 4.【答案】B  【解析】解：设，则，， 四边形ABCD是圆内接四边形， ，即， 解得：， ， 故选： 设，根据圆内接四边形的性质列出方程，解方程求出x，进而求出 本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 5.【答案】A  【解析】解：连接OA， 由题意，， ， 故选： 连接OA，OB，利用圆周角定理求解即可． 本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，掌握圆周角定理解决问题． 6.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义． 根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，因为图中b为2米，即可求出a的值． 【解答】 解：雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近， ， 为2米， 米． 故选： 7.【答案】B  【解析】解：二次函数为常数的图象的对称轴为直线， 二次函数为常数的图象与x轴的一个交点为， 二次函数为常数的图象与x轴的另一个交点为， 关于x的一元二次方程为常数的两实数根是， 故选： 由题意得，抛物线的对称轴为直线，则二次函数为常数的图象与x轴的另一个交点为，即可得关于x的一元二次方程为常数的两实数根是， 本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8.【答案】C  【解析】解：根据旋转的性质，得， 点D是BC的中点， ， 在中利用勾股定理，得， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故选： 根据旋转的性质得，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求出BC，在中利用勾股定理求出AC，利用三角函数求得，从而证明是等边三角形，由等边三角形的性质求出，进而得，最后利用弧长公式计算即可． 本题考查弧长的计算、旋转的性质，掌握旋转的性质、等边三角形的判定与性质、特殊角的三角形函数、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、勾股定理、弧长计算公式是解题的关键． 9.【答案】C  【解析】解：由表格数据可知抛物线开口向上，对称轴为直线，， ，，， ， ，， 点在第三象限， 故选： 由表格数据可知抛物线开口向上，对称轴为直线，，即可得到，，，从而得到，，即可判定点在第三象限． 本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出开口方向和对称轴是解题的关键． 10.【答案】D  【解析】解：过点N作于点P，如图所示：   设，，， 依题意得：，，，，， ， ∽， ， 设，， ， ， ， ， ， ，， ， ∽， ， ， ， ， ， ∽， ， ， 整理得：， ， ， ， ， 若要求出的面积，只需知道的面积即可． 故选： 过点N作于点P，设，，，依题意得，，，，，证明和相似，利用相似三角形的性质求出，，则，证明和相似，利用相似三角形的性质求出，则，再证明和相似，利用相似三角形的性质求出，则，进而得，据此即可得出答案． 此题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质，正方形的性质，理解全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 11.【答案】  【解析】解：抛物线的顶点坐标是， 平移后的抛物线的顶点坐标是， 得到的抛物线解析式是 故答案为： 先求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用抛物线顶点式解析式写出即可． 本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定解析式的变化更简便． 12.【答案】4  【解析】解：线段c是线段a，b的比例中项， ， ，， ， 而， 故答案为： 利用比例中项的定义得到，然后求出16的算术平方根即可． 本题考查了成比例线段，掌握比例中项的定义是解决问题的关键． 13.【答案】9600  【解析】【分析】 本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用总数量乘以合格的头盔数稳定的频率即可． 【解答】 解：根据表格可知，合格头盔的频率逐渐稳定在， 估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有个， 故答案为 14.【答案】  【解析】解：，， ， 折扇张开的角度为， 折扇扇面的面积为， 故答案为： 求出OC的长度，根据弧长公式求出的长度即可；根据扇形的面积公式求出折扇扇面的面积即可． 本题考查了弧长公式和扇形的面积计算，注意：已知扇形的圆心角是，半径为r，那么扇形的面积是 15.【答案】  【解析】解：二次函数的对称轴为， ①当即时，的函数值最小，， 解得舍去； ②当即时，的函数值最小，， 解得舍去或， ③当即时，的函数值最小，， 解得舍去， 综上，b的值为 故答案为： 分三种情况讨论，利用二次函数的性质得到关于b的方程，解方程即可． 本题考查了二次函数的最值，二次函数的性质，关键是找到分类标准，一般以对称轴对应的值与范围的两个端点值比较大小． 16.【答案】 或  【解析】解：过点C作于点D，如图1所示： 在中，，，， 由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：； 是的一个外角， ， 当点F在射线CE上，的一个内角与相等时，有以下两种情况： ①当时，过点A作于点K，过点B作，交CE的延长线于点H，如图2所示： ， 由可知：，，，，， ， 由的面积公式得：， ， ， ， ∽， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在和中， ，， ∽， ， ， ， ， ； ②当时，过点B作于点H，如图3所示： ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，即， 由①可知：， 综上所述：EF的长为或 过点C作于点D，先求出，再由三角形的面积公式求出，进而由勾股定理得，则，然后在中，再由勾股定理可求出CE的长； 根据可知有以下两种情况：①当时，过点A作于点K，过点B作，交CE的延长线于点H，则，，先由的面积公式求出，证明和相似，利用相似三角形的性质求出，进而得由勾股定理可求出，再证明和相似，利用相似三角形的性质可求出，然据此可得EF的长；②当时，过点B作于点H，则，进而可证明，则，，由①可知，由此可得EF的长综上所述即可得出答案． 此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点 17.【答案】①；    【解析】解：错误的步骤是：①， 故答案为：①； 正确解答步骤为： 先观察算式，找出三角函数值错误的地方即可； 把几个特殊角的三角函数值代入算式进行计算即可． 本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握常见的几个特殊角的三角函数值． 18.【答案】解：第四组的获奖率较高． 理由：设第四组的作品数量为x件，则第一组的作品数量为2x件，第二组的作品数量为4x件，第三组的作品数量为5x件， ， 解得， 第二组的作品数量为8件，第四组的作品数量为2件， 第二组的获奖率为，第四组的获奖率为， ， 第四组的获奖率较高． 列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中刚好展示B，D的结果有：，，共2种， 刚好展示B，D的概率为  【解析】设第四组的作品数量为x件，则第一组的作品数量为2x件，第二组的作品数量为4x件，第三组的作品数量为5x件，可得，解得，则第二组的作品数量为8件，第四组的作品数量为2件，即可得第二组的获奖率为，第四组的获奖率为，进而可得结论． 列表可得出所有等可能的结果数以及刚好展示B，D的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 19.【答案】见解答．   见解答．  【解析】如图1，即为所求． 如图2，即为所求． 结合相似三角形的判定与性质画图即可． 作三条边长分别1，1，的三角形即可． 本题考查作图-相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 20.【答案】解：连接AD，OE， 以腰AB为直径作半圆， ， 为，， ， ， 的度数为； ， 设，则， 在中，， ， 在中，， ，解得负值舍去， ， 直径AB的长为  【解析】连接OE，先根据直径所对的圆周角是直角得到，根据圆周角定理求得，进而求得，即可求解； 设，则，根据勾股定理可得，则，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解． 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，主要考查了学生的推理能力和计算能力，注意：在同圆或等圆中，圆周角的度数等于它所夹弧所对的圆心角度数的一半． 21.【答案】①；②；   见解答．  【解析】解：①抛物线的对称轴为直线，且经过点 ，解得， 抛物线的函数表达式为； ②点，都在此抛物线上， ， ， ， ； 证明：点落在此抛物线上， ， ， ， ， ， ， ， ①利用待定系数法求解即可； ②利用抛物线的对称性求得c的值，然后把A的坐标代入解析式即可求得m的值； 点代入解析式，然后通过化简计算得出b关于a的表达式，进而证明 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的对称性是解题的关键． 22.【答案】解：图象如下：由图象得该函数为二次函数，设， 由题意得：， 解得：， ； 当时，， 解得：或不合题意，舍去， 答：小龙滑完整个赛道需要耗时10分钟； 当时， 解得：或不合题意，舍去， 此时小游的滑雪时间为  【解析】先根据图象判断函数类型，再根据待定系数法求解； 根据函数值列方程求解； 根据题意列方程求解． 本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键． 23.【答案】① ②；    【解析】①证明：，， ， 又， ∽ ②解：， 故设，，， 由勾股定理可得， 设，由∽可知， 即，解得， 故 解：为等腰，， ， ， 又， 作于点F，如图2所示， 设， ， ，，， ， ，即， 整理可得， 解得或不合题意，舍去， 故CE的长为 ①根据，，可得，再根据已知，即可证明∽ ②由，可设，，，由勾股定理可得，设，由∽可得比例式，即，解得，故 由已知可得，作于点F，如图2，设，，，，导角证明，即，故得，即，解得，故得CE的长． 本题考查了等腰三角形、直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上内容并作出恰当的辅助线是解题的关键． 24.【答案】解：连接AO并延长，交BC于点H，如图， ， ， ， ，， ∽， ， ； 连接AO并延长，交BC于点H，交于点F，连接FC，如图， 由知：， ， ， 为的直径， ， ， 设，则， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ； 连接AO并延长交BC于点G，如图， ， 设，则，， ， ， ， 弦BD经过圆心O， 为的直径， ， ， ， ， ， 的直径为10， ，，， ，， ， ， 或 经检验，它们都是原方程的根，但负数不合题意，舍去， ， ， ， ， ，   【解析】连接AO并延长，交BC于点H，利用等腰三角形的性质，圆周角定理和相似三角形的判定与性质解答即可； 连接AO并延长，交BC于点H，交于点F，连接FC，利用的结论和直角三角形的边角关系定理得到，设，则，利用勾股定理求得a值；利用三角形的面积公式求得CH，利用勾股定理求得AH，最后利用三角形的面积公式解答即可得出结论； 连接AO并延长交BC于点G，设，则，，利用圆周角定理，直角三角形的性质，三角形的中位线定理和勾股定理列出关于k的方程，解方程求得k值，再利用三角形的面积公式和勾股定理解答即可得出结论． 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，三角形的面积公式，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线，平行线的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$