内蒙古自治区巴彦淖尔市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

巴彦淖尔市2024一2025学年第二学期高一期末考试 数学参考答案 1.B由题意可得乏=5+7i. 2.B因为a=3,b1=2,且向量a,b的夹角为60，所以a·b=3×2×号=3，则向量a在向 量6上的投影向量是。-马0. 3.D由题意可知该圆锥的母线长为10，底面圆的半径为5，则该圆锥的侧面积是2×10×10π =50元. 4.D由题意可得2a=-4,解得a=一2. 5.C由事件A与事件B互斥，得不到P(A)十P(B)=1,A错误.由事件A与事件B互斥，得 不到P(AB)=P(A)+P(B),B错误.由事件A与事件B对立，得P(A)+P(B)=1,C正 确.由事件A与事件B对立，得不到P(AB)=P(A)十P(B),D错误. 6.B由aB,mCa,n二3，得m,n平行或异面，①错误.由m⊥a,n⊥B,a⊥B,得m⊥n,②正 确.由a,3∥y,得a3,③正确.当Y为直三棱柱的底面，a,3为两相邻的侧面时，满足a Y,3⊥Y,但a与3不一定垂直，④错误. 7.A如图，由题可知∠ACB=15°+45°=60°，∠BAC=75°，BC=20米，由 AB BC 103 正弦定理可得mACB/BA元，则AB=0二10W sin 75 2+6 4 (30√2-10J6)米 &C由题意可得P(X=2)=号×号×号+号×号×号+甘×号×号品 3.1 2、2、1,1、3113 9.BD由题意可得之=1一3i+2-6=7-i,所以之的实部为7，虚部为-1，|z|=5√2，x在复 平面内所对应的点的坐标为(7，一1)，位于第四象限 10,BD由题意可得小明这两个月的30次训练成绩的平均数为177X10+186×20 10+20 183,则他 这两个月的30次训练成绩的方差为10P20×[5.4+17-183)门+1020×[6.3+(156 10 20 -183)2]=24. 11.ABD如图，设正方形ABCD的中心为G,连接PG.在 △PAC中，E,F,G分别为PA,PC,AC的中点，设PG∩EF =H,则H为PG的中点.在PD上取点J,连接GJ,使得GJ /BQ,则PQ-Q且Q-JD,所以器-号A正晚由正因 棱锥P-ABCD可得AC⊥平面PBD,PG⊥平面ABCD,则 EFL平面PBD.连接DH,则VEe-专SAm·EF-3X 【高一数学·参考答案第1页（共5页）】 号BD·GH·EF.V,m=号×BD·AC·PG=WEmB正确 若羚-。，不妨设AB=2,PA=5,正四棱锥P-ABCD内切球的半径为r,外接球的半召 为R,则PG=Pm-AG=,R=（E)P+(,5一-R)只，解得R=55正四楼锥 P-ARCDE的体积为分×2×2X厅-5，表面积为2X2+1×号×2XV后可-12，则号× 3,解得，-5.”-2 12r=4 -号R号C不正确.因为 V, S△BQ VP-ABD VA-BDP S△BDP 3所 VP-BEQE=】 以VPAD」 光言从而正四陵锥P-ABCD被平面BEF分成的上、下两部分的体积之 比为1：5，D正确. 12.13由题意可知这组数据中最大的数据是31，最小的数据是18，则这组数据的极差是31一 18=13. 13.⑤ 如图，在正方体的右侧补一个棱长相等的正方体，取 15 B MN的中点F,连接B,F,DF,易得BE∥B,F,则直线BE 与B,D所成的角为∠DB,F或其补角.设正方体的棱长为 2,可得B1D=25,B1F=√5，DF=/2T,则cos∠DB,F= B1D2+B1F2-DF2=-5 2B1D·B1F ,即直线BE与B,D所成角 的余弦值为 14 3 因为C=3B励，所以励=号C-专AC-专A,则A市-+B币=号A心+ 号应.因为E是线段AD的中点，所以应-市-后C+号成因为M,E,N三点共 3k1 线，所以A正-kAi+1-k)A-染店+(1-k)m4C所以 43 3 1 解得m= (1-k)m= 6 15.解：(1)由题意可得a+b=(m一1,1)，2a十b=(2m-1,-1). 2分 因为(a十b)⊥(2a十b),所以(a十b)·(2a十b)=0,…3分 所以(m-1)(2m-1)-1=0,即2m2-3m=0,…4分 解得m=0或m=3 2…6 (2)因为b=(-1,3),C=(3,1),所以b-c=(-4,2).…7分 因为a=(m,-2),且a/(b-c),所以2m-(-4)×(-2)=0,…8分 解得m=4,所以a=(4,一2).……10分 【高一数学·参考答案第2页（共5页）】 因为a·b=acos(a,b,所以cos(a,b)=a:b -4-6 1a1b√/+(-2)×√-1)+3 2 21 …12分 因为0≤a,b)≤x,所以a,b-即向量a,b的夹角为系 …13分 16.(1)证明：取棱AB的中点E,连接PE,CE. 因为△PAB是等边三角形，且E是线段AB的中点，所以PE⊥ AB.且PE三AB. 2分 因为四边形ABCD是正方形，所以CE +BC2 2AB. …3分 因为PC=√2AB,所以PE2十CE2=PC2,所以PE⊥CE.…4分 因为ABC平面ABCD,CEC平面ABCD,且AB∩CE=E,所以PE⊥平面ABCD.… …5分 因为PEC平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABCD.…6分 (2)解：取棱CD的中点F,连接PF,EF 因为E,F分别是棱AB,CD的中点，所以EFBC.…7分 因为四边形ABCD是正方形，所以BC⊥CD,所以EF⊥CD.…8分 由(I)可知PE⊥平面ABCD,且CDC平面ABCD,所以PE⊥CD.…9分 因为PEC平面PEF,EFC平面PEF,且PE∩EF=E,所以CD⊥平面PEF.·1O分 因为PFC平面PEF,所以CD⊥PF,…11分 则∠PFE是平面PCD与平面ABCD所成的角，…12分 PE3 从而an☑PFE-FE=2口 …13分 故sm∠PFE-,即平面PCD与平面ABCD所成角的正弦值为 7· …15分 17.解：(1)由图可知(0.010+2a十0.025+0.035)×10=1，解得a=0.015.…3分 (2)因为(0.010+0.015+0.025)×10=0.5<0.6,0.5+0.035×10=0.85>0.6，·4分 所以该中学学生这次文学常识知识竞赛成绩的第60百分位数在[80,90)内.…5分 设该中学学生这次文学常识知识竞赛成绩的第60百分位数为m,则(m一80)×0.035+0.5 =0.6,……6分 解得m-5”.即该中学学生这次文学常识知识竞赛放绩的第60百分位数为 580 .…8分 (3)由频率分布直方图可知竞赛成绩在[50,60)内的学生有2人，记为a,b:…9分 竞赛成绩在[60,70)内的学生有3人，记为C,d,e.…10分 从这5人中随机抽取2人的情况有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共l0种，…12分 其中抽取的2人恰好在同一组的情况有ab,cd,ce,de,共4种，…13分 【高一数学·参考答案第3页（共5页）】 则所求概率P=4-2 105 …15分 18.(1)证明：因为asin(B-C)=bsin Ccos A,所以asin Bcos C-a cos Bsin C=bsin Ccos A, …1分 所以abc0sC-acc0sB=bcC0sA,…2分 所以ab.a2+b-c b2+c2-a 2ab -ac.a2+c2-6 2ac -=bc· ……3分 即(a2+b2-c2)-(a2+c2-b2)=b2+c2-a2, …4分 所以a2十b2=3c2.… …5分 (2)解：由余弦定理可得cosC=4+b一c 6分 2ab 由1)可知a2+62-3c2,则c2=a+b 3 …7分 所以osC-a+b≥2ab2 3ab≥a6-号，当且仅当a=b时，等号成立.。 9分 因为0<C<π，所以一1<cosC<1, …10分 所以号<cosC<1,即cosC的取值范围为[号，).。 2 …11分 (3)解：因为sin2C+cos2C=1,且0<C<π，所以sinC=√1-cosC. …12分 由1可知号<omC<1,则0<nC<号 …13分 设△ABC外接圆的半径为R. 由正弦定理可得2次=C之6则R≥3，…15分 故△ABC外接圆的面积S=πR≥9π，即△ABC外接圆面积的最小值为9π.…17分 19.解：设△A1B,C1的面积为S,三棱柱ABC-A,B,C1的高为h,则三棱柱ABC-AB,C1的体 积V1=Sh…1分 (1)①作DH∥AB,交AA,于点H,连接EH(图略)，易证平面DEH平面ABC. 因为BD=2BB1,所以H为棱AA,的中点，则三棱柱HDE-A,B,C的体积VEA,AC, 9,0…2分 三棱锥A-DEH的体积VAem=GV1=3.…3分 故三棱柱ABC-A,B,C,与三棱锥A-A,FG重合部分的体积V公共=V HDE A,B,G十VA-DEH= 12.… …4分 ②因为DHA1B,所以DHA,F,所以△ADHP△AFA1, 所是提品号所以性 …5分 因为DE∥B,C1,B,C1C平面A1FG,DE平面A,FG,所以DE平面AFG. 因为平面AFG∩平面A1FG=FG,且DEC平面AFG,所以DEFG,所以B,C1∥FG, 则△A1B1C1∽△A,FG,故S△A=4S△AB,C=4S, 【高一数学·参考答案第4页（共5页）】 S4·h=- 1 从而三棱锥A-A1G的体积V2= 气35h=24,……7分 V公共 故三棱柱ABC-A,B,C,与三棱锥A-A,FG的重合度K=,+V,一V公 12 18+24-12 2 5 …9分 @设 =A(0<A<1),则BD=ABB1,从而B,D=(1一入)BB1: 故三棱柱HDE-AB,C1的体积VHDE A,B,C,=(1一A)V,…10分 三棱锥A-DEH的体积VA=令 V1,…11分 故三棱柱ABC-A,B,C与三棱锥A-A,FG重合部分的体积V公共=VHDEA,B,S十VADEH= 32以y.12 3 因为DHA,B1,所以DH∥AF,所以△ADH△AFA1, 所以限代品-所以公是-、 …13分 因为DE∥BC1,B,C1C平面AFG,DE平面A1FG,所以DE平面A1FG 因为平面AFG∩平面A,FG=FG,且DEC平面AFG,所以DE∥FG,所以B,C1FG, 则△AB,C△A,FG,放SaA=SaA9-S, 从而三棱锥AA,FG的体积V,=号SA4·h= 1 北， …14分 3-2V 3 故三棱柱ABC-A,B,C,与三棱锥A-A1FG的重合度K= V+ 3x2-2λ3 2λ3+1 …15分 因为K-子所以2-1 2+1=3,所以8a-9以2+1=0. 所以以-1D(8x2-入-1)=0，解得X=1或1一或A-1+园 16 16 因为0<A<1,所以A=1+/3图 16 …17分 【高一数学·参考答案第5页（共5页）】巴彦淖尔市2024一2025学年第二学期高一期末考试 数 学 注意事项： 1答题前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号，座位号填写在答题卡上 之回容选择题时，选出每小题答常后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。可答非选择题时，将答案写在 答题卡上，写在本试卷上无效， 及考试结束后，将本试卷和容题卡一并交回 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台 题目要求的 1,已知复数z一5一1，则2 A.5-1 B5+7m C-5- D-5+万 2已知向量a,b满足a=3,b=2,且向量a,b的夹角为60，则向量a在向量b上的投影向 量是 A Ris C. D.a 3,已知某圆锥的轴截面是边长为10的等边三角形，则该圆锥的侧面积是 A.25 B.25m C.50 D.50= 4若复数x=a十(a,beR)是关于x的一元二次方程x十x十m=0(m∈R)的一个根.则a= A4 B-4 C.2 D.-2 互下列结论正确的是 A若事件A与事件B互斥，则P(A)十P(B)=1 B若事件A与事件B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B) C若事件A与事件B对立，则P(A)十P(B)=1 D,若事件A与事件B对立，则P(AB)=P(A)+P(B) 反已知所，m是两条不同的直线a,,7是三个不同的平面，拾出以下结论：D若a,mC。 G3,则mm②若m上an上3a13,则m上n若a作，，则a得①若eLXB上则 ▣品，其中正确结论的个数是 AI B.2 C.3 b 7.已知点A在点B的正西方向，为了测量A,B两点之同的距离，在翼测点C处测得A在C的 北编西5方向，B在C的北偏东5广方向，且B,C两点之间的用离为0米，则A,B两点之 网的距离为 A.(302-10/米 (302+106)米 C.(30-108)米 D(30+10.5)米 8甲，乙，两三人每人投篮一次，投中的总次数记为X,已知甲，乙，丙投篮命中的概帝分别为 【离一数学第1共】 。··之·且甲、乙.丙投篮的结果相互独立，则X=2的概率是 231 B号 号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知复数x=(1十2)(1一3D,则下列结论正确的是 A.:的实部是一5 B.x的虚部为一1 Cx=√26 D,:在复平面内所对应的点位于第四象限 10.一分钟跳绳是中考体育选考项目之一，小明在平时训练时通常会将自己的训练成绩记录下 来，以此评估自已的训练成果.小明记录了他在3月份的10次训练成绩和4月份的20次训 练成绩.通过计算，他发现3月份的训练成绩的平均值为1？7，方差为5.4：4月份的训练成 绩的平均值为185，方差为6,3.下列结论正确的是 A.小明这两个月的30次训练成绩的平均数为181,5 B小明这两个月的30次训练成绩的平均数为183 C,小明这两个月的30次训练成绩的方差为6 D,小明这两个月的30次训练成绩的方差为24 11.如图，在正四棱锥P-ABCD中，E,F分别是PA,PC的中点，则下列结论正确的是 A设PDn平面BEr=Q,则8 B.三棱锥EBDF与正四棱锥P-ABCD的体积之比为1：4 C若胎令则正四俊推PACD内切球与外接球的半径之 比为116 D.正四棱推P-ABCD被平面BEF分成的上、下两部分的体积 之比为1：5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.数据21,19,31,25,28.18.30的极差是▲ 13.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，E是AA,的中点，则直线BE与B,D所成角的余弦值为 14.在△ABC中，B心-3B币，E是线段AD的中点，过点E的直线分别与线段AB,AC交于点 MN若A=是A.=m花则m= 四、解答题：本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知向量a=(m,一2)，b=(一1,3) 1D若(a+b)⊥(2a+b),求m的值 (2)若向量c=(3,1D,且ab-e),求向量a,b的夹角. 【高一数学第2贡（共4头】 16.15分 如图，在四棱谁P-ABCD中，△PAB是等边三角形，四边形ABCD是正方形.PC一2AB. 口)证明：平面PAB⊥平面ABCD, (2)求平面PCD与平面ABCD所成角的正弦值. 17.15分 某中学组织了一次文学常识知识克赛（满分：100分），并从参赛学生中随机抽取100名学生 的成绩并进行整理，按[50.60)，[60,70)，[70,80)，[80.90).[90,1001分成五组，得到如图所 示的顺率分布直方图 (1)求频率分布直方图中口的值： (2)估计该中学学生这次文学常识知识竞赛成绩的第60百分位数 (3)现从被抽取的竞赛成绩在[50,0)内的学生中按分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈 了解，再从这5人中随机抽取2人作发言，求抽取的2人恰好在同一组的概率 0.02 0.010 【度一数单第1真（共页）】 18.17分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,bc,且asin(B一C)=bsin CcosA. (1)证明：a2+b-3c2 ()求cosC的取值范围 (③)若c=2,5,求△ABC外接圆面积的最小值 19.(17分) V公 定义：两个多面体M,M:的重合度K=了，于VVe其中V公是多面体M,M,的重合 部分的体积，V,V分别是多面体MM,的体积如图，在三棱柱ABCA,B:C,中，D,E 分别是棱BB,CC,上的点（不包含端点），且BD=CE,延长AD、AE,分别交A,B,A:C 的延长线于点F,G ①E知BD-BB,且三棱柱ABCA,B,C的体积为18 ①求三棱柱ABCA,B,C与三棱锥AA,FG重合部分的体积 ②求三棱柱ABCA,B,C,与三棱维A-A,FG的重合度K, ②若三使生ABC A.B.C与定校隆AA,G的重合度水-吉水器的值