第21章 一元二次方程(课堂10分钟)-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

九年级上册　 第二十一章　 一元二次方程 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 1　 21. 1　一元二次方程 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 下列各式中,是一元二次方程的是 ( D ) A. 3x2 + 1 x = 0　 　 　 　 　 　 　 　 B. ax2 +bx+c= 0 C. (x-3)(x-2)= x2 D. (3x-1)(3x+1)= 3 2. 以-2 为根的一元二次方程是 ( D ) A. x2 +2x-1 = 0　 　 B. x2 -x-2 = 0　 　 C. x2 +x+2 = 0　 　 D. x2 +x-2 = 0 3. 已知方程 5x2 +mx-8 = 0 的一个根为-4,则 m 的值为　 18　 . 4. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一 次项系数和常数项: 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3x2 = x (x+2)(x-1)= 6 4+7x2 = 0 解:如下表. 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3x2 =x 3x2-x= 0 3 -1 0 (x+2)(x-1)= 6 x2+x-8= 0 1 1 -8 4+7x2 = 0 7x2+4= 0 7 0 4 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 错题笔记 课堂 10 分钟 2　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 21. 2　解一元二次方程 21. 2. 1　 配方法 第 1 课时　直接开平方法 1. 方程(x-2) 2 = 9 的解是 ( A ) A. x1 = 5,x2 = -1　 　 　 　 　 　 　 　 B. x1 = -5,x2 = 1 C. x1 = 11,x2 = -7 D. x1 = -11,x2 = 7 2. 如果关于 x 的方程(x-6) 2 =m+4 可以用直接开平方法求解,那么 m 的 取值范围是 ( D ) A. m>3　 　 　 　 B. m≥3　 　 　 　 C. m>-4　 　 　 　 D. m≥-4 3. 方程 3x2 +9 = 0 的根为 ( D ) A. 3 B. -3 C. 3 和-3 D. 无实数根 4. 若方程 x2 -c= 0 的一个根为-3,则方程的另一个根为 ( A ) A. 3 B. 9 C. -3 D. -9 5. 若方程 x2 -m= 0 的根是有理数,则 m 的值可能是 ( D ) A. -9 B. 3 C. -4 D. 4 6. 解下列方程: (1)4x2 -20 = 0; (2)4(x+3) 2 = 25(x-2) 2 . 解:(1)由原方程,得 x2 = 5, 所以 x1 = 5,x2 =- 5 . (2)两边同时开方,得 2(x+3)= ±5(x-2), 解得 x1 = 16 3 ,x2 = 4 7 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 错题笔记 课堂 10 分钟 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 3　 第 2 课时　配方法 1. 将一元二次方程 x2 -6x-5 = 0 配方后可变形为 ( A ) A. (x-3) 2 = 14　 　 　 　 　 　 　 　 　 B. (x-3) 2 = 4 C. (x+3) 2 = 14 D. (x+3) 2 = 4 2. 某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程,每人负 责完成一个步骤. 如图所示,老师看后,发现有一名同学所负责的步骤 是错误的,这名同学是 ( B ) A. 甲　 　 　 　 　 B. 乙　 　 　 　 　 C. 丙　 　 　 　 　 D. 丁 3. 填空: (1)x2 +10x+　 25　 = (x+　 5　 ) 2;(2)x2 -12x+　 36　 = (x-　 6　 ) 2; (3)x2 +5x+　 25　 = (x+　 25　 ) 2;(4)x2 - 2 3 x+　 25　 = (x-　 25　 ) 2 . 4. 将一元二次方程 x2 -8x+5 = 0 配方成(x+a) 2 = b 的形式,则 a+b 的值为 　 7　 . 5. 用配方法解一元二次方程: (1)x2 -2x-2 = 0; 解:x2-2x= 2, x2-2x+1= 2+1, (x-1) 2 = 3, x-1=± 3, x1 = 1+ 3,x2 = 1- 3 . (2)4x2 +2 = 6x. 解:4x2-6x=-2, x2- 3 2 x=- 1 2 , x2- 3 2 x+ 9 16 =- 1 2 + 9 16 , (x- 3 4 ) 2 = 1 16 , x- 3 4 =± 1 4 , x1 = 1,x2 = 1 2 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 错题笔记 课堂 10 分钟 4　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 21. 2. 2　 公式法 第 1 课时　一元二次方程根的判别式 1. 一元二次方程 x2 -x-2 = 0 的根的情况是 ( A ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 2. 若方程 x2 -3x-k= 0 有实数根,则常数 k 的值可以是 ( D ) A. -10　 　 　 　 B. -5　 　 　 　 C. -3　 　 　 　 D. -1 3. 若关于 x 的一元二次方程 kx2 -6x+9 = 0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是 ( A ) A. k<1 且 k≠0 B. k≠0 C. k<1 D. k>1 4. 利用一元二次方程根的判别式,判断下列方程根的情况: (1)4x2 -3x-1 = 0;　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 (2)x2 -2 2 x+2 = 0; (3)2x2 -2x+1 = 0; (4)16x2 +8x= -3. 解:(1)∵Δ=(-3) 2-4×4×(-1)= 25>0, ∴方程有两个不相等的实数根. (2)∵Δ=(-2 2) 2-4×1×2= 0, ∴方程有两个相等的实数根. (3)∵Δ=(-2) 2-4×2×1=-4<0, ∴方程没有实数根. (4)将方程整理,得 16x2+8x+3= 0. ∵Δ= 82-4×16×3=-128<0, ∴方程没有实数根. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 错题笔记 课堂 10 分钟 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 5　 第 2 课时　公式法 1. 利用求根公式求 5x2 + 1 2 = 6x 的根时,a,b,c 的值分别是 ( C ) A. 5, 1 2 ,6　 　 　 B. 5,6, 1 2 　 　 　 C. 5,-6, 1 2 　 　 　 D. 5,-6,- 1 2 2. 如果一元二次方程 ax2+bx+c= 0(a≠0)能用公式法求解,那么必须满足的 条件是 ( A ) A. b2 -4ac≥0 B. b2 -4ac≤0 C. b2 -4ac>0 D. b2 -4ac<0 3. 用公式法解方程 5x+2 = 3x2 . 解:方程化为一般形式,得　 3x2-5x-2= 0　 , ∴ a= 　 3　 ,b= 　 -5　 ,c= 　 -2　 , ∴ Δ= b2 -4ac= 　 49　 , ∴ x= -b± b2 -4ac 2a = 　 　 　 , ∴ x1 = 　 -2　 ,x2 = 　 -2　 . 4. 用公式法解下列方程. (1)2x2 -7x= 4; 解:移项,得 2x2-7x-4= 0, ∵ b2-4ac= 81>0,∴ x= -b± b2-4ac 2a = 7±9 4 ,∴ x1 = 4,x2 =- 1 2 . (2)x(x-2)= 3x+1. 解:整理,得 x2-5x-1= 0. ∵ b2-4ac=(-5) 2-4×1×(-1)= 29,∴ x= 5± 29 2 . ∴ x1 = 5+ 29 2 ,x2 = 5- 29 2 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 错题笔记 课堂 10 分钟 6　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 21. 2. 3　 因式分解法 1. 完成下列几种常见的用因式分解法解方程的过程: (1)形如 x2 +bx= 0 的一元二次方程,将左边运用提公因式法因式分解为 　 x(x+b)= 0　 ,则　 x= 0　 或　 x+b= 0　 ,即 x1 = 　 0　 ,x2 = 　 -b　 . (2)形如 x2 -a2 = 0 的一元二次方程,将左边用平方差公式因式分解为 　 (x+a)(x-a)= 0　 ,则　 x+a= 0　 或　 x-a= 0　 ,即 x1 = 　 -a　 ,x2 = 　 a　 . (3)形如 x2 ±2ax+a2 = 0 的一元二次方程,将左边用完全平方公式因式 分解为　 (x±a) 2 = 0　 ,则①x+a = 0,即 x1 = x2 = 　 -a　 ;②x-a = 0,即 x1 = x2 = 　 a　 . 2. 一元二次方程 x(2x-5)= 4x-10 的根是　 　 　 　 　 　 　 　 . 3. 用因式分解法解下列方程: (1)(x- 2 )(x- 3 )= 0;　 　 　 　 　 　 　 (2)(x+4)(x-1)= 6. 解:(1)由原方程,得 x- 2 = 0 或 x- 3 = 0,解得 x1 = 2,x2 = 3 . (2)原方程可化为 x2+3x-10= 0,因式分解,得(x+5)(x-2)= 0, 于是得 x+5= 0 或 x-2= 0,解得 x1 =-5,x2 = 2. 4. 选择合适的方法解下列方程: (1)x2 +3x= 0;　 　 　 　 (2)5x2 -4x-1 = 0;　 　 　 　 (3)x2 +2x-3 = 0. 解:(1)将方程左边因式分解,得 x(x+3)= 0,由此得 x= 0 或 x+3= 0, 解得 x1 = 0,x2 =-3. (2)这里 a= 5,b=-4,c=-1,因而 b2-4ac=(-4) 2-4×5×(-1)= 36, 所以 x= 4± 36 2×5 = 4±6 10 ,因此,原方程的根为 x1 = 1,x2 =- 1 5 . (3)原方程可化为 x2+2x+1-4= 0,即(x+1) 2 = 4, 由此得 x+1= 2 或 x+1=-2,解得 x1 = 1,x2 =-3. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 错题笔记 课堂 10 分钟 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 7　 ※21. 2. 4　 一元二次方程的根与系数的关系 1. 已知关于 x 的方程 x2 +bx+c= 0 的两根分别是 2 +1, 2 -1,则 ( D ) A. b= 2 2 ,c= 1　 　 　 　 　 　 　 　 B. b= 2 2 ,c= -1 C. b= -2 2 ,c= -1 D. b= -2 2 ,c= 1 2. 已知 a,b 是方程 x2 +x-3 = 0 的两个实数根,则 a+b+2 025 的值是 ( D ) A. 2 027　 　 　 　 B. 2 026　 　 　 　 C. 2 025　 　 　 　 D. 2 024 3. 一元二次方程 x2 -6x+6 = 0 的两个实数根的倒数和为 ( C ) A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 4. 已知方程 x2-4x-7= 0 的两根为 x1,x2,则 x1+x2 =　 4　 ,x1·x2 =　 -7　 . 5. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 -4x-2m+5 = 0 有两个不相等的实数根 x1,x2 . (1)若 m= 5,求此时方程的解; (2)当 x1·x2 >0 时,求 m 的取值范围. 解:(1)由题意,得 x2-4x-2×5+5= 0. 整理,得 x2-4x-5= 0,解得 x1 = 5,x2 =-1. (2)∵ x2-4x-2m+5= 0 有两个不相等的实数根 x1,x2, ∴ x1·x2 =-2m+5. ∵ x1·x2>0,∴-2m+5>0,解得 m< 5 2 . ∵Δ=(-4) 2-4(-2m+5)>0,解得 m> 1 2 , ∴m 的取值范围为 1 2 <m< 5 2 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 错题笔记 课堂 10 分钟 8　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 21. 3　实际问题与一元二次方程 第 1 课时　传播、循环、数字问题 1. 某种电脑病毒传播速度非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后 会有 81 台电脑被感染,那么每轮感染中平均一台电脑会感染几台电 脑? 设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑,则 x 满足的方程是 ( B ) A. 1+x2 = 81 B. (1+x) 2 = 81 C. 1+x+x2 = 81 D. 1+x+(1+x) 2 = 81 2. 男篮世界杯小组赛,每两队之间进行一场比赛,小组赛共进行了 6 场比 赛,设该小组有 x 支球队,则可列方程为 ( C ) A. x(x-1)= 6 B. x(x+1)= 6 C. 1 2 x(x-1)= 6 D. 1 2 x(x+1)= 6 3. 一个两位数,个位数字比十位数字少 1,且个位数字与十位数字的乘积 等于 72,则这个两位数是　 98　 . 4. 某种病毒传播速度非常快,如果最初有 2 个人感染这种病毒,经两轮传 播后,就有 50 个人被感染,求每轮传播中平均一个人会传染给几个人? 若病毒得不到有效控制,三轮传播后将有多少人被感染? 解:设每轮传播中平均一个人会传染给 x 个人,则第一轮会传染给 2x 人,第二轮会传染给 x(2+2x)人, 依题意,得 2+2x+x(2+2x)= 50,整理,得 x2+2x-24= 0, 解得 x1 = 4,x2 =-6(不符合题意,舍去), ∴50×(1+4)= 50×5= 250(人) . 答:每轮传播中平均一个人会传染给 4 个人,若病毒得不到有效控制, 三轮传播后将有 250 人被感染. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 错题笔记 课堂 10 分钟 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 9　 第 2 课时　平均变化率、销售利润问题 1. 某新能源汽车销售公司,在国家减税政策的支持下,原价每辆 25 万元 的纯电动新能源汽车两次下调相同税率后售价为 16 万元,求每次下调 的百分率. 设每次下调的百分率为 x,则可列方程为 ( D ) A. 16(1+x) 2 = 25　 　 　 　 　 　 　 　 　 B. 16(1+x2)= 25 C. 25(1-x2)= 16 D. 25(1-x) 2 = 16 2. 某棉签生产工厂 2024 年 10 月棉签产值达 100 万元,第四季度总产值 达 331 万元,问:11,12 月份的月平均增长率是多少? 设月平均增长率 是 x,则可列方程为 ( D ) A. 100(x+1) 2 = 331 B. 100(x+1) +100(x+1) 2 = 331 C. 100+100(x+1) 2 = 331 D. 100+100(x+1) +100(x+1) 2 = 331 3. 我市某品牌新能源汽车因物美价廉而深受大众喜爱,在某地区的销售 量从 1 月份的 100 辆增长到 3 月份的 121 辆,则从 1 月份到 3 月份的月 平均增长率为　 10%　 . 4. 某市百货大楼服装柜在销售中发现:某品牌童装平均每天可售出 20 件,每件盈利 40 元. 为了迎接元旦,商场决定采取适当的降价措施,扩 大销售量,增加盈利,尽量减少库存. 经市场调查发现:如果每件童装每 降价 1 元,那么平均每天可多售出 2 件. 要想平均每天销售这种童装盈 利 1 200 元,那么每件童装应降价多少元? 解:设每件童装降价 x 元,则(40-x)(20+2x)= 1 200, 解得 x1 = 10,x2 = 20, 因为要扩大销售量,增加盈利,尽量减少库存,所以 x 取 20. 答:每件童装应降价 20 元. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 错题笔记 课堂 10 分钟 10　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 第 3 课时　面积问题 1. 如图,在一个长为 60 m,宽为 40 m 的矩形场地 内修筑两条等宽的道路,剩余部分为绿化用地, 如果绿化用地的面积为 2 204 m2,那么道路的宽 为　 2　 m. 2. 如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为 12 m 的住房墙, 另外三边用 25 m 长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的 一边留一个 1 m 宽的门,当所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍 面积为 80 m2? 解:设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为 x m,则平行于住房墙的一边的长为(25-2x+1) m, 由题意,得 x(25-2x+1)= 80,化简得 x2-13x+40 答:当所围矩形猪舍的长为 10 m,宽为 8 m 时,猪舍面积为 80 m2 . 3. 如图,在△ABC 中,∠B = 90°,点 P 从点 A 开始,沿 AB 边向点 B 以 1 cm / s 的速度移动,点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 cm / s 的速度 移动. 如果点 P,Q 分别从点 A,B 同时出发,经过几秒,△PBQ 的面积等 于 8 cm2? 解:设经过 x s,则由题意,得 1 2 (6-x) ×2x = 8,整 理,得 x2-6x+8= 0, 解得 x1 = 2,x2 = 4,∴经过 2 s 或 4 s,△PBQ 的面积 为 8 cm2 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 错题笔记 37　 　 例 2　 (1)它们是成比例线段. (2)它们不是成比例线段. (3)d= 20 cm. 例 3　 当 x 为 1. 5 时,小路内、外边缘所形成的两个矩形相似. 例 4　 32 cm　 例 5　 21 2 例 6　 解:由题意,得∠D′= ∠D= 135°,AB ∶ A′B′= 1 ∶ 3, ∴ AB= 5 cm. 例 7　 2 2 cm 或 2 2 cm 或 2 cm 27. 2　 相似三角形 27. 2. 1　 相似三角形的判定 第 1 课时　 平行线分线段成比例 ①相等　 ②成比例　 ③k　 ④∽　 ⑤成比例　 ⑥平行 ⑦成比例　 ⑧相似 例 1　 5 ∶ 3　 3 ∶ 5　 例 2　 2 例 3　 (1) 5 2 　 (2) 2 3 例 4　 3 例 5　 DE 的长为10 3 cm. 例 6　 C　 例 7　 6 或 12 第 2 课时　 三边成比例或两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似 ①成比例　 ②成比例　 ③夹 例 1　 (1)△ABC 和△DEF 不相似. 理由略. (2)△ABC 和△DEF 相似. 理由略. 【变式】它的另外两条边长是21 8 , 9 4 或 24 7 ,18 7 或 4, 7 2 . 例 2　 B 例 3　 相似,理由略. 例 4　 1　 例 5　 C　 第 3 课时　 两角分别相等的两个三角形相似及 直角三角形相似的判定 ①两　 ②成比例 例 1　 证明略. 　 例 2　 B　 例 3　 C　 例 4　 3 或 3 2 27. 2. 2　 相似三角形的性质 ①相似比　 ②相似比　 ③相似比　 ④相似比的平方 例 1　 (1) 27 2 cm　 (2) 20 3 cm　 (3) 3 2 　 (4)2 ∶ 3 例 2　 证明:∵ △ABC∽ △A′B′C′,BE,B′E′分别是∠ABC, ∠A′B′C′的平分线, ∴ BE B′E′ = AB A′B′ , AB A′B′ = BC B′C′ , ∠ABD = ∠A′B′D′. ∵ CD= 2BD,C′D′ = 2B′D′,∴ BD = 1 3 BC,B′D′ = 1 3 B′C′,∴ AB A′B′ = BD B′D′ . 又∵ ∠ABD = ∠A′B′D′,∴ △ABD∽ △A′B′D′,∴ AD A′D′ = AB A′B′ ,∴ AD A′D′ = BE B′E′ . 例 3　 S△A′B′C′ = 63. 例 4　 16 27. 2. 3　 相似三角形应用举例 例 1　 B　 例 2　 B　 例 3　 12 m 例 4　 教学楼的高度 AB 是 16 米. 27. 3　 位似 第 1 课时　 位似图形 ①位似图形　 ②位似中心 例 1　 D　 例 2　 略. 第 2 课时　 平面直角坐标系中的位似 ①(kx,ky)或(-kx,-ky) 例 1　 (6,-2)　 (4,2)　 (2x,2y) 【变式】(3,1) 例 2　 (3,2)或(-3,-2)　 【变式】(4,6) 例 3　 解:(1)作图略. (2)A1(6,6),B1(2,4),C1(8,2) . (3) S1 S2 = ( 1 2 ) 2 = 1 4 . 【变式】略. 例 4　 (6,2)或(-6,-2) 第二十八章　锐角三角函数 28. 1　 锐角三角函数 第 1 课时　 锐角的正弦 ①对边　 ②斜边　 ③对边　 ④斜边　 ⑤ a c 例 1　 (1)sinB= sin∠ACD = AC AB =CD BC =AD AC . (2)sinB= 4 5 . 例 2　 5 　 例 3　 ④⑦ 第 2 课时　 锐角的余弦、正切 ①邻边　 ②斜边　 ③邻边　 ④斜边　 ⑤b　 ⑥对边　 ⑦邻边 ⑧对边　 ⑨邻边　 ⑩a 例 1　 12 13 　 例 2　 2 2 　 2 4 例 3　 (1)BC= 3 5 . (2)sinA=BC AB = 5 3 ,cosB=BC AB = 5 3 ,tanA=BC AC = 5 2 . 第 3 课时　 特殊角的三角函数值 ① 2 2 　 ② 3 2 　 ③ 3 2 　 ④ 2 2 　 ⑤ 1 2 　 ⑥ 3 3 　 ⑦1　 ⑧ 3 例 1　 (1)1. 　 (2) 1 8 . 例 2　 C　 例 3　 30°　 60° 例 4　 ∠A= 60°. 例 5 　 解: sin15° ≈ 0. 258 8; cos20° ≈ 0. 939 7; tan36° ≈ 0. 726 5. 例 6　 解:(1)∠A= 38°51′57′′. (2)∠A= 51°18′11′′. (3)∠A= 41°23′58′′. 例 7　 ②③④ 28. 2　 解直角三角形及其应用 28. 2. 1　 解直角三角形 ①三　 ②两　 ③a2 +b2 = c2 　 ④∠A+∠B= 90°　 ⑤ b c 　 ⑥ a b ⑦ b a 　 ⑧两　 ⑨边　 ⑩三 例 1　 解:在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得 c= a2 +b2 = 4. ∵ sinA= a c = 2 3 4 = 3 2 ,∴ ∠A= 60°,∴ ∠B= 90°-60° = 30°. 例 2　 解:∵ 在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,∠A= 30°,a= 5, ∴ ∠B= 60°,c= 2a= 10,∴ b= c2 -a2 = 5 3 . 例 3　 解:∵ cosA= 1 2 ,∴ ∠A= 60°. ∵ ∠C = 90°,∴ ∠B = 90°- ∠A= 30°,∴ AC= 1 2 AB= 1,∴ BC= AB2 -AC2 = 3 . 例 4　 1 或 3 28. 2. 2　 应用举例 第 1 课时　 视角 ①上　 ②下 例 1　 66 例 2　 此时无人机离地面的高度为 24 3米. 例 3　 ∠BAC　 ∠FBA　 ∠FBD　 ∠BDE 第 2 课时　 方位角,坡度、坡角 ①北偏东 30°　 ②南偏东 60°　 ③西北　 ④坡角　 ⑤比 例 1　 若轮船继续向正东方向航行,轮船有触礁危险. 轮船自 A 处开始至少向东偏南 15°方向航行,才能安全通过这一 海域. 例 2　 拦水坝的横断面 ABCD 的面积约为 52 平方米. 例 3　 2 10 第二十九章　投影与视图 29. 1　 投影 ①物体的投影　 ②投影线　 ③投影面　 ④平行投影 ⑤中心投影　 ⑥正投影 例 1　 D　 例 2　 D　 【变式】中心投影　 例 3　 S1 =S<S2 29. 2　 三视图 第 1 课时　 三视图 ①正面　 ②水平面　 ③侧面　 ④主视图　 ⑤俯视图 ⑥左视图　 ⑦长对正　 ⑧高平齐　 ⑨宽相等 例 1　 略 例 2　 C　 【变式 1】A　 【变式 2】C　 例 3　 B 例 4　 略. 　 例 5　 B 第 2 课时　 由三视图想象出立体图形 例 1　 正六棱柱　 【变式】B 例 2　 解:这个物体是一个横放的空心圆柱,现实生活中像这 种几何体的物体有:烟囱、水管等. 例 3　 A 第 3 课时　 由三视图确定立体图形的面积或体积 例 1　 c　 a　 b 例 2　 解:该几何体是一个圆柱叠放在一个长方体上面, 所以该几何体的体积为 3. 14×(20÷ 2) 2 × 20+ 25× 30× 40 = 36 280(mm3 ) . 该几何体的表面积为 3. 14×20×20+2×(25× 30+30×40+25×40)= 7 156(mm2 ) . 29. 3　 课题学习　 制作立体模型 例 1　 (1)空心圆柱 (2)解:如解图所示. 例 2　 (1)正六棱柱. (2)略. (3)侧面积为 6ab,全面积为 6ab+3 3 b2 . 课堂 10 分钟 九年级上册 第二十一章　一元二次方程 21. 1　 一元二次方程 1. D　 2. D　 3. 18 4. 解:如下表. 方程 一般形式 二次项 系数 一次项 系数 常数项 3x2 = x 3x2 -x= 0 3 -1 0 (x+2)(x-1)= 6 x2 +x-8 = 0 1 1 -8 4+7x2 = 0 7x2 +4 = 0 7 0 4 21. 2　 解一元二次方程 21. 2. 1　 配方法 第 1 课时　 直接开平方法 1. A　 2. D　 3. D　 4. A　 5. D 6. (1)x1 = 5 ,x2 = - 5 . (2)x1 = 16 3 ,x2 = 4 7 . 第 2 课时　 配方法 1. A　 2. B 3. (1)25　 5　 (2)36　 6　 (3) 25 4 　 5 2 　 (4) 1 9 　 1 3 4. 7 5. (1)x1 = 1+ 3 ,x2 = 1- 3 . (2)x1 = 1,x2 = 1 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创 分层练·参考答案 38　 21. 2. 2　 公式法 第 1 课时　 一元二次方程根的判别式 1. A　 2. D　 3. A 4. (1)方程有两个不相等的实数根. (2)方程有两个相等的实数根. (3)方程没有实数根. (4)方程没有实数根. 第 2 课时　 公式法 1. C　 2. A 3. 3x2 -5x-2 = 0　 3　 -5　 -2　 49　 5±7 6 　 2　 - 1 3 4. (1)x1 = 4,x2 = - 1 2 . (2)x1 = 5+ 29 2 ,x2 = 5- 29 2 . 21. 2. 3　 因式分解法 1. (1)x(x+b)= 0　 x= 0　 x+b= 0　 0　 -b (2)(x+a)(x-a)= 0　 x+a= 0　 x-a= 0　 -a　 a (3)(x±a) 2 = 0　 -a　 a 2. x1 = 5 2 ,x2 = 2 3. (1)x1 = 2 ,x2 = 3 . (2)x1 = -5,x2 = 2. 4. (1)x1 = 0,x2 = -3. (2)x1 = 1,x2 = - 1 5 . (3)x1 = 1,x2 = -3. ※21. 2. 4　 一元二次方程的根与系数的关系 1. D　 2. D　 3. C　 4. 4　 -7 5. (1)x1 = 5,x2 = -1. (2)m 的取值范围为 1 2 <m< 5 2 . 21. 3　 实际问题与一元二次方程 第 1 课时　 传播、循环、数字问题 1. B　 2. C　 3. 98 4. 每轮传播中平均一个人会传染给 4 个人,若病毒得不到有 效控制,三轮传播后将有 250 人被感染. 第 2 课时　 平均变化率、销售利润问题 1. D　 2. D　 3. 10% 4. 每件童装应降价 20 元. 第 3 课时　 面积问题 1. 2 2. 当所围矩形猪舍的长为 10 m,宽为 8 m 时,猪舍面积为 80 m2 . 3. 经过 2 s 或 4 s,△PBQ 的面积为 8 cm2 . 第二十二章　二次函数 22. 1　 二次函数的图象和性质 22. 1. 1　 二次函数 1. B 2. 是　 1 4 　 2　 1　 是　 3　 0　 2　 是　 3　 -2　 0　 是　 2　 -1　 -1　 否　 否 3. (1)当 m≠2 时,该函数是二次函数. (2)当 m= 2 时,该函数是一次函数. (3)该函数不可能是正比例函数. 22. 1. 2　 二次函数 y=ax2 的图象和性质 1. B　 2. D　 3. m<0　 4. y= x2(答案不唯一) 5. (1)②③⑤　 (2)①　 (3)①④　 6. 4 22. 1. 3　 二次函数 y=a(x-h) 2+k 的图象和性质 第 1 课时　 二次函数 y= ax2 +k 的图象和性质 1. D　 2. A　 3. (0,-3)　 4. 上升 5. y= x2 +3(答案不唯一) 6. (1)a= - 1 2 . k= 2. (2)略. 第 2 课时　 二次函数 y= a(x-h) 2 的图象和性质 1. A　 2. C　 3. D　 4. 右　 5. -4 6. (1)二次函数的解析式为 y= - 3 25 (x+5) 2 . (2)当 x<-5 时,y 随 x 的增大而增大. 第 3 课时　 二次函数 y= a(x-h) 2 +k 的图象和性质 1. A　 2. D　 3. A　 4. 向下 5. 图中抛物线的解析式为 y= -(x-2) 2 +10. 22. 1. 4　 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 第 1 课时　 二次函数 y= ax2 +bx+c 的图象和性质 1. B　 2. D　 3. C　 4. > 5. (1) 抛物线的开口向下,对称轴为直线 x = 1,顶点坐标为 (1,5) . (2)当 x>1 时,y 随 x 的增大而减小;当 x<1 时,y 随 x 的增 大而增大. 第 2 课时　 用待定系数法求二次函数的解析式 1. D　 2. D　 3. y= x2 -2x+2(答案不唯一) 4. (1)二次函数的解析式为 y= -x2 -x+2. (2)二次函数的解析式为 y= -7x2 +42x-59. (3)二次函数的解析式为 y= - 3 4 x2 - 3 2 x+ 9 4 . 22. 2　 二次函数与一元二次方程 1. B　 2. C　 3. y= 3　 4. x1 = -2,x2 = 4 5. 1　 6. x1 = -1,x2 = 3　 -1<x<3 22. 3　 实际问题与二次函数 第 1 课时　 面积问题 1. B　 2. A　 3. 30 4. (1)y= -x2 +8x(0<x≤5) . (2)当运动时间为 2 s 时,△PBQ 的面积为 12 cm2 . (3)当运动时间为 4 s 时,△PBQ 的面积有最大值,最大值 是 16 cm2 . 第 2 课时　 销售利润问题 1. 18 000　 6 000 2. (1)(x-5)　 (300-20x)　 (2)y= -20x2 +400x-1 500 3. (1)商场每月想从这种保暖内衣的销售中获利 2 250 元,应 给这种商品定价为 75 元. (2)这种保暖内衣的售价定为 80 元时,可获得最大月利 润,最大月利润是 2 400 元. 第 3 课时　 抛物线形问题 1. C　 2. 10 3. (1)抛物线的表达式为 y= -0. 09x2 +3. 86. (2)球出手时,他跳离地面的高度是 0. 28 m. 第二十三章　旋转 23. 1　 图形的旋转 第 1 课时　 旋转的概念与性质 1. B′　 OB′　 A′B′　 ∠A′　 ∠B′　 O　 45° 2. A　 45 3. BD 的长为 2 . 第 2 课时　 旋转作图 1. B　 2. (4,-1)　 3. 略. 23. 2　 中心对称 23. 2. 1　 中心对称 1. A　 2. D　 3. 略. 23. 2. 2　 中心对称图形 1. B　 2. D 3. √　 ✕　 √　 √　 √　 √　 ✕　 √　 √　 √　 √　 √ 4. ② 5. BB′= 4. 23. 2. 3　 关于原点对称的点的坐标 1. C 2. (-2,-5)　 (2,5)　 (2,-5) 3. (1)x 轴　 (2)原点　 (3)y 轴 4. -1 5. (1)作图略. 点 B′的坐标为(1,-3) . 　 (2)(-a,-b) 23. 3　 课题学习　 图案设计 1. D　 2. C　 3. D　 4. ①④　 ③　 ② 5. △OCD 绕 C 点逆时针旋转 90°,并向右平移 2 个单位长度 得到△AOB(答案不唯一) 第二十四章　圆 24. 1　 圆的有关性质 24. 1. 1　 圆 1. C　 2. A　 3. D　 4. 圆心　 半径　 5. 50° 6.解:真命题是(1);假命题是(2)(3)(4) . 24. 1. 2　 垂直于弦的直径 1. B　 2. A　 3. C　 4. 2　 5. 6 6. 截面圆圆心 O 到水面的距离 OC 为 6. 24. 1. 3　 弧、弦、圆心角 1. B 2. (1)AC ( 　 AC　 (2)BC ( 　 ∠BOC　 (3)BC　 ∠BOC　 (4)120° 3. CB= 3. 4. 证明略. 24. 1. 4　 圆周角 第 1 课时　 圆周角定理及其推论 1. ∠CAB　 2. 35°　 120°　 3. 40°　 4. 2 2 5. ∠A= 60°. 第 2 课时　 圆内接四边形 1. 70　 圆内接四边形的对角互补　 2. 70　 3. 60 4. ∠A= 50°. 5. ∠B= 70°,∠C= 130°,∠D= 110°. 24. 2　 点和圆、直线和圆的位置关系 24. 2. 1　 点和圆的位置关系 1. 无数　 无数　 垂直平分线　 一 2. (1)外　 (2)内　 (3)= 5　 (4)≤5 3. (2,0) 4. 等边三角形 ABC 的边长为 2 3 . 24. 2. 2　 直线和圆的位置关系 第 1 课时　 直线和圆的位置关系 1. A　 2. D　 3. D　 4. 5 5. 当 x>4 时,AB 所在直线与☉O 相离;当 x = 4 时,AB 所在直 线与☉O 相切;当 0<x<4 时,AB 所在直线与☉O 相交. 第 2 课时　 切线的判定和性质 1. (1)✕　 (2)√　 (3)✕　 (4)✕　 (5)√ 2. 20°　 3. 80°　 4. 6 5. 证明略. 第 3 课时　 切线长定理和三角形的内切圆 1. C　 2. 5　 30°　 3. 70° 4. 作图略. 24. 3　 正多边形和圆 1. D　 2. 72　 3. 3 4. (1)∠FAB= 120°. (2)证明略. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创 分层练·参考答案