甘肃省武威第六中学2024-2025学年高一下学期期末诊断考试数学试卷

高一年级诊断考试 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将白己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 搬 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4,本试卷主要考试内容：湘教版必修第一册占20%，必修第二册占80%。 龈 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 地 1.已知复数x=2一2i,则|x| A.2 B.2√② C.4 D.8· 制 2.若sina= 3 ,则cos2a= 製 长 A号 C.-g D 2 3.要得到函数y=cC0s(号x+若)的图象，只需将函数y=cos于x的图象 A向左平移号个单位长度 B向左平移答个单位长度 C.向右平移2个单位长度 和 D.向右平移晋个单位长度 4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(一x)+f(x)+2a=1,则a= 始 A吉 B司 C.0 D.1 5.“x2-2x≤0”是“0<x<2”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.若复数x=a+bi(a,b∈R)是关于x的一元二次方程x2+4x十m=0(m∈R)的一个根，则复 数十。在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C,第三象限 D.第四象限 7.在△ABC中，BC=3B方，E是线段AD的中点，过点E的直线与线段AB,AC分别交于点 M,N,若AMi=Ai,AN=mAC,则m A B号 c 3 【高一数学第1页（共4页）】 8.甲、乙、丙三人每人投篮一次，投中的总次数记为X.已知甲、乙、丙投篮命中的概率分别为 231 了·后，2且甲，乙、丙投篮的结果相互独立，则X=2的概率是 A号 B号 c品 n号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在正方体ABCD-A:B,CD:中，E是棱A,B1的中点，则 A,B,D⊥AD B.B:D⊥平面ACD C.BE//CD D.BE∥平面ACD 10.一分钟跳绳是某省中考体育选考项目之一.小明在平时训练时通常会将自己的训练成绩记 录下来，以此评估自己的训练成果，小明记录了他在3月份的10次训练成绩和4月份的20 次训练成绩.通过计算，他发现3月份的训练成绩的平均值为177，方差为5.4；4月份的训 练成绩的平均值为186，方差为6.3.下列结论正确的是 A.小明这两个月的30次训练成绩的平均数为181.5 癸 B.小明这两个月的30次训练成绩的平均数为183 C.小明这两个月的30次训练成绩的方差为6 D.小明这两个月的30次训练成绩的方差为24 11.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinA十sinC+sin Asin C-sinB=0, 席 4=rD,E是线段AC上的两点（不包括境点）把-X,能-u以<，且∠DBE- 号∠ABC,下列结论正确的是 AB-号 且若∠ABD=,则X=5-E C若A=2,则∠ABD=若 D.(一1)4是定值 滋 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(1,-3),b=(m,3),若a⊥b,则m=▲· 1已知u>0.6>0,且a6=号则日+8的最小值是△一 14.在直三棱柱ABC-A:B,C,中，AB=BC,AB⊥BC,AA1十√2AB=4,则该三棱柱外接球表 面积的最小值为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知0<a<受，且5sin2a=4cosa. (1)求tana的值： (2)求1an(a+)的值。 【高一数学第2页共4页)】 16.(15分) 某中学组织了一次文学常识知识竞赛（满分：100分），从参赛学生中随机抽取100名学生的 成绩并进行整理，按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成五组，得到如图所示 的频率分布直方图 (1)求频率分布直方图中a的值； (2)估计该中学学生这次文学常识知识竞赛成绩的第60百分位数； (3)现从被抽取的竞赛成绩在[50,70)内的学生中按分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈 了解，再从这5人中随机抽取2人作发言，求抽取的2人恰好在同一组的概率. 中 频率/组距 0.035 0.025 0.010 V00708090100竞赛成填/分 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB是等边三角形，四边形ABCD是正方形，PC=√2AB. (1)证明：平面PAB⊥平面ABCD (2)求平面PCD与平面ABCD所成角的正弦值， 曾 家 【高一数学第3页（共4页】 18.(17分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且abcos C-aceos B=bccos A. (1)证明：a2+b2=3c2 (2)求cosC的取值范围. (3)若c=2√/5，求△ABC外接圆面积的最小值. 19.(17分) 些 V公共 定义：两个多面体M,M,的重合度K=了，十V,V公其中V会铁是多面体MM,的重合 部分的体积，V1,V2分别是多面体M1,M2的体积.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E 等 分别是棱BB1,CC1上的点（不包含端点），且BD=CE,延长AD,AE,分别交A,B1,A,C 的延长线于点F,G 子 1已知BD=BB,且三棱柱ABCA,B,G的体积为18 洲 ①求三棱柱ABCA1B,C,与三棱锥A-A1FG重合部分的体积； ②求三棱柱ABC-A1B1C,与三棱锥AA,FG的重合度K, 指 (2)若三棱柱ABC-AB,C,与三棱锥A-AFG的重合度K=了，求的值。 # 【高一数学第4页（共4页】 高一年级诊断考试 数学参考答案 1.B由题意可得|x|=v22+(-2)=2√2. 2.cos2a-1-2sima=1-2x(5）)-g 3.A因为y=cos(号x+）=cos(x+2),所以要得到函数y=co(号x+若)的图象，只 需将函数y=cos x的图象向左平移？个单位长度。 4.B因为f(-x)+f(x)+2a=1,所以f(-x)+f(x)=1-2a.因为f(.x)是定义在R上的 奇函数，所以八-x)+/x)=0,所以1-2a=-0,解得a= 5.A由x2一2x≤0，得0≤x≤2.因为(0,2)=[0,2]，所以“x2-2.x≤0”是“0<x<2”的必要不 充分条件. ai02D=-号+，故1十a在复平面 6.B由题意可得2a=-4,解得a=-2,所以1十a5 内对应的点位于第二象限。 7.D因为BC-3B.所以BD=号BC-号AC-号A成.则A心-A店+BD=号AC+号A成. 因为E是线段AD的中点，所以A店-号A心-AC+号A.因为M,E,N三点共线，所以 3k1 正=Ai+1-)AN-A店+(1-k)mAC,所以F3 1 解得m二、 1-k)m=6' 8C由题宣可得P0X=2)=号××号+号×号×号+×号×号-品 3 230 9.AB连接AD(图略).因为四边形AA1D1D是正方形，所以AD1⊥A1D.由正方体的性质 可知AB1⊥平面AA,DD.因为AD1C平面AA1D1D,所以AB:⊥AD.因为A1DC平 面A1B,D,A,B,C平面A1B,D,且A1D∩AB,-A1,所以AD1⊥平面A1BD,所以AD ⊥B,D,A正确.连接BD(图略)，同理可得AC⊥B,D,则BD⊥平面ACD1,B正确.分别取 棱B1C1,C1D1的中点F,G,连接BF,EF,AG,CG,AC1(图略)，由正方体的性质可知BE CG,则BE∥CD1不成立，C错误.因为E,F分别是棱A,B1,BC:的中点，所以EF∥ A,C1,所以EF∥AC,则EF平面ACD1.假设BE平面ACD1,则平面BEF平面ACD1. 因为BECG,BE￠平面ACG,CGC平面ACG,所以BE∥平面ACG.同理可证EF∥平面 ACG,因为BEC平面BEF,EFC平面BEF,且BE∩EF=E,所以平面BEF平面ACG, 则平面ACD1平面ACG,与平面ACD,∩平面ACG=AC矛盾，故假设不成立，即BE平 【高一数学·参考答案第1页（共5页）】 面ACD1不成立，D错误 10.BD由题意可得小明这两个月的30次训练成绩的平均数为177X10士86X20-183,则他 10+20 10 20 这两个月的30次训练成绩的方差为10十20×[5.4+(177-183)门+10十20×[6.3+(186 -183)2]=24. 1.ACD由正弦定理得a2+c2-b'=一ac,得cosB=a2+c- 2ac 2,则B= 否A正确 股ZABD=a,0<a则二光3黑 2AB·BDsin a sin a cB·BDsn-a）sn(-a 2tan a AE S△ABE= AB:BEsm(号+e】 sina) ana+3w=E元 tana+√3 S△E CB·BEsin(g-a) 1 sin(行-a) √3-tana 当a= 2tan a 2 时，A= 万1当，=ana2=2时，tana=3,得a=6,B错误，C tana+v31+√§ √3-tana 正确.(a一1)μ=（ 2an05一1)xama+5_ana=×ama+5 =-1,D正确. tana+√3 √3-tan a tan a+√3w3-tana 12.9因为a⊥b,所以a·b=m-9=0,解得m=9. 188+8≥√ =8,当且仅当。8即6=8=2时，等号成立 14.8π 由题意得AC=2AB.设该三棱柱外接球的球心为O,则A02=(2A4)+(分AC)‘ AM+AB≥ 2 2 =2,当且仅当AA1=√2AB=2时， 等号成立，所以该三棱柱外接球表面积的最小值为4π×2=8π 15.解：(1)因为√5sin2a=4c0sa,所以2V5 sin acos a=4c0sa.…2分 因为0<a<7,所以cosa>0,所以w5sina=2,所以sina 25 5 …4分 因为sima十cosa=l,且cose>0,所以cosa=V个-ma-5 , …6分 则tana= 1n=2…8分 cos a π tana十tan (2)由两角和的正切公式可得tan(a十于） tan a+1 1-tan a …10分 1-tan atan4 【高一数学·参考答案第2页（共5页）】 由（1)可知ama=2,则0-告}-3，即am(e十开)=-3.…13分 1-tan a 1-2 16.解：(1)由图可知(0.010十2a十0.025十0.035)×10=1，解得a=0.015.…3分 (2)因为(0.010+0.015+0.025)×10=0.5<0.6,0.5+0.035×10=0.85>0.6，…4分 所以该中学学生这次文学常识知识竞赛成绩的第60百分位数在[80,90)内.…5分 设该中学学生这次文学常识知识竞赛成绩的第60百分位数为m,则(m一80)×0.035十0.5 =0.6,…6分 580 解得n= 7,即该中学学生这次文学常识知识竞赛成绩的第60百分位数为.…8分 (3)由频率分布直方图可知竞赛成绩在[50,60)内的学生有2人，记为a,b; …9分 竞赛成绩在[60,70)内的学生有3人，记为c,d,e.…10分 从这5人中随机抽取2人的情况有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10种，…12分 其中抽取的2人恰好在同一组的情况有ab,cd,ce,de,共4种，…13分 则所求既率P音导 …15分 17.(1)证明：取棱AB的中点E,连接PE,CE 因为△PAB是等边三角形，且E是线段AB的中点，所以PEI AB,且PE2AB. …2分 因为四边形ABCD是正方形，所以CE +BC2 5 B. …3分 因为PC=√2AB,所以PE2十CE2=PC2,所以PE⊥CE.…4分 因为ABC平面ABCD,CEC平面ABCD,且AB∩CE=E,所以PE⊥平面ABCD.· 5分 因为PEC平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABCD.…6分 (2)解：取棱CD的中点F,连接PF,EF. 因为E,F分别是棱AB,CD的中点，所以EFBC.…7分 因为四边形ABCD是正方形，所以BC⊥CD,所以EF⊥CD.…8分 由(1)可知PE⊥平面ABCD,且CDC平面ABCD,所以PE⊥CD.…9分 因为PEC平面PEF,EFC平面PEF,且PE∩EF=E,所以CD⊥平面PEF.·10分 因为PFC平面PEF,所以CD⊥PF,…11分 则∠PFE是平面PCD与平面ABCD所成的角，…12分 从而tan∠PFE=PE-S 分万2，*“”13分 故sin/PFE二Y2,即平面PCD与平面ABCD所成角的正弦值为/21 7· …15分 【高一数学·参考答案第3页（共5页）】 18.(I)i证明：因为abeosC--uceos B=bccos A,所以ab.a2+b2-c 2ab ac.g2+c2-6 2ac =bc· b2+c2-a3 …2分 2bc 即(a2+b2-c2)-(a2+c2-b2)=b2+c2-a2, …4分 所以a2十b2=3c2.… 5分 (2)解：由余弦定理可得cosC=02+6-c 6分 2ab 由1)可知a2+b2=3c2,则c2=a2+b 3 …7分 所以osC0力≥的-名，当组仅当a=b时，等号成立.…9分 因为0<C<π，所以-1<cosC<1, …10分 所以号<osC<1,即cosC的取值范周为[号，)。 …11分 (3)解：因为sin2C+cos2C=1,且0<C<π，所以sinC=V1-cosC. …12分 由(2)可知号<sC1,则0<nC<号 ……13分 设△ABC外接圆的半径为R. 弦定理可得2R0C≥6，则R>3,…… 则△ABC外接圆的面积S=πR≥9π，即△ABC外接圆面积的最小值为9π.·17分 19.解：设△A,B,C,的面积为S,三棱柱ABC-A,B1C1的高为h,则三棱柱ABC-A,B,C1的体 积V=Sh,…1分 (1)①作DH∥AB,交AA1于点H,连接EH(图略)，易证平面DEH平面ABC 因为BD=2BB1,所以H为棱AA,的中点，则三棱柱HDE-A,B,C,的体积EC, =9,…2 三棱锥A-DEH的体积VAem=V,=3, …3分 故三棱柱ABC-A,B,C,与三棱锥A-A,FG重合部分的体积V公共=VHDEA,AG,+VeH= 12. …4分 ②因为DH∥AB1,所以DH∥A,F,所以△ADH△AFA1, 所以雅-品-名所以哈- …5分 因为DE∥B,C1,B,C1C平面A1FG,DE在平面A1FG,所以DE平面A,FG 因为平面AFG∩平面A,FG=G,且DEC平面AFG,所以DE∥FG,所以BC1FG, 则△A,B,CC△A,FG,故S△A,=4S△A,G=4S, 【高一数学·参考答案第4页（共5页）】 从而三棱锥AA,FG的体积=号Sh=言S%=2,…7分 V公共 故三棱柱ABCA,B,C,与三棱锥AA,FG的重合度K=V,+V,V 12 18+24-12 2 5 …9分 2 =A(0A<1),则BD=入BB1,从而B1D=(1一入)BB1, 故三棱柱HDE-ABC1的体积VH0EA,C,=(1一入)V,…10分 三棱锥A-DEH的体积Ve=学，…1分 故三棱柱ABC-A,B,C1与三棱锥A-A,FG重合部分的体积V公共=VDEA,A,C,十V4DE1= 3-hV 3 …12分 因为DH∥AB1,所以DH∥AF,所以△ADHP△AFA1, 所以限识品1所以品 …13分 因为DEB,C,B,C,C平面A,FG,DE丈平面AFG,所以DE平面AFG. 因为平面AFG∩平面A,FG=FG,且DEC平面AFG,所以DE∥FG,所以B,C1∥FG, 1 则△ABC△AFG,故Sa4-Sa4一S, 从而三棱锥AA,FG的体积V,=3SaA,o·h= …14分 3-2V1 3 故三棱柱ABC-A:B,C1与三棱锥A-A,FG的重合度K= Vi+ 32λV 3 3x2-2λ3 2λ3+1 …15分 因为K=号，所以一2公”1 2a+1=3,所以8欧-9以2+1=0. 所以G-18-A-D=0,解得=1或1与 °或A=1+3 16 因为0<1<1，所以A=1+y33 16 …17分 ▣ 【高一数学·参考答案第5页（共5页）】