精品解析：青海省海南州2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二、三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一项工作可以用两种方法完成，有6人只会用第一种方法完成，另有11人只会用第二种方法完成，现从中选出1人来完成这项工作，则不同选法的种数为（ ） A. 60 B. 66 C. 16 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式求解. 【详解】求出不同选法的种数，有两类：选取只会用第一种方法的人，有6种方法； 再选取只会用第二种方法的人，有11种， 所以不同方法种数是. 故选：D 2. 已知为等差数列，且，，则的公差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，直接求出数列公差. 【详解】等差数列中，，，所以公差. 故选：C 3. 已知某批零件的直径（单位：毫米）服从正态分布.若，则从这批零件中任意抽取1个零件，该零件的直径大于11毫米的概率为（ ） A. 0.35 B. 0.15 C. 0.3 D. 0.175 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态曲线的对称性易得. 【详解】因，且， 利用正态曲线的对称性可得：. 故选：B. 4. 曲线在处的切线斜率为2，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据导数的求导法则求出导函数，再根据导数的几何意义可得. 【详解】由，得曲线在处的切线斜率为，得. 故选：D 5. 的展开式的第4项的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项，对赋值即得. 【详解】因二项式的通项为， 取，可得第4项的系数是. 故选：B 6. 用最小二乘法得到的一组数据的经验回归方程为.若，则（ ） A. 63 B. 21 C. 28 D. 49 【答案】C 【解析】 【分析】利用经验回归方程必过样本中心点求得答案. 【详解】依题意，，则，所以. 故选：C 7. 若函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数，依题意只需使在上恒成立，参变分离后，求出正弦型函数的值域即得. 【详解】由题意，在上恒成立， 即在上恒成立， 因函数在上的值域为，故得. 故选：A. 8. 如图，正方形边长为4，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近于（ ） A. 32 B. 40 C. 48 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方可得，代入求出的通项公式，然后根据等比数列的前n项和的公式得到的和即可求解. 【详解】记第1个正方形的面积为，第2个正方形的面积为，，第n个正方形的面积为， 设第n个正方形的边长为,则第n个正方形的对角线长为， 所以第n+1个正方形的边长为，， 即数列{}是首项为，公比为的等比数列，， 数列{}是首项为，公比为的等比数列， ， 所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于32. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量的分布列为 1 2 4 5 0.2 0.35 0.15 0.3 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用期望方差的定义直接求解判断. 【详解】，A错误，B正确； ， 所以，C正确，D错误. 故选：BC 10. 已知函数的导函数的大致图象如图所示.下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 既有极大值，也有极小值 D. 曲线在处的切线斜率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断AB选项；利用函数的极值与导数的关系可判断C选项；利用导数的几何意义可判断D选项. 【详解】由图可知，当时，； 当时，. 故在、上单调递减，在上单调递增，A错B对， 故函数在处取得极小值，在处取得极大值，C对， 因为，所以曲线在处的切线斜率为，D对. 故选：BCD. 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】变形给定的等式，再利用赋值法逐项分析计算. 【详解】原等式化为： 对于A，取，得，A正确； 对于B，取，得，则，B正确； 对于C，取，得，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从两点分布，，则________. 【答案】0.44## 【解析】 【分析】利用两点分布的概率性质易得. 【详解】因随机变量服从两点分布，故. 故答案为：0.44. 13. 某校举办运动会，甲参加跑步比赛、跳绳比赛（这两个比赛不能同时参加）的概率分别为0.6，0.4，若甲参加跑步比赛获奖的概率为0.7，参加跳绳比赛获奖的概率为0.6，则甲获奖的概率为________. 【答案】0.66 【解析】 【分析】本题需要先确定“甲参加跑步比赛”和“甲参加跳绳比赛”构成一个完备事件组，接着使用全概率公式计算“甲获奖”的概率. 【详解】记事件表示 “甲参加跑步比赛”，事件表示 “甲参加跳绳比赛”， 事件表示 “甲获奖”，由题可知. 甲参加跑步比赛获奖概率为，即在甲参加跑步比赛的条件下获奖的概率， 甲参加跳绳比赛获奖的概率为，即. 又跑步与跳绳不能同时参加，且， 所以，于是根据全概率公式： ， 所以甲获奖得概率为. 故答案为：. 14. 已知函数的极小值点为1，则________. 【答案】3 【解析】 【分析】求出导数，利用极值点的定义计算并验证即可. 【详解】依题意，， 由是的极小值点，得，解得或， 当时，， 此时时，，即单调递减， ，，即单调递增，在处取得极大值，不符合题意； 当时，， 此时时，，即单调递减， ，，即单调递增，在处取得极小值，符合题意. 综上. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了研究高二学生的性别与身高是否大于的关联性，现随机调查了某中学的80名高二学生，整理得到如下列联表： 男 女 合计 不低于 30 25 55 低于 10 15 25 合计 40 40 80 （1）依据的独立性检验，能否认为该中学高二学生的性别与身高是否大于有关联？ （2）从身高不低于的55名学生中任选2人，求这2人性别不同的概率. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）高二学生的性别与身高是否大于无关联； （2） 【解析】 【分析】（1）由列联表中的数据，求得，结合附表，即可得到结论；所以不能认为该中学高二学生的性别与身高是否大于有关联. （2）根据题意，2人的性别不同，即2人中1男1女，结合组合数的公式和古典概率的概率计算公式，即可求解. 【小问1详解】 零假设：高二学生的性别与身高是否大于165cm无关联， 根据列联表中的数据，计算得到， 根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即高二学生的性别与身高是否大于165cm无关联. 【小问2详解】 从身高不低于的55名学生中任选2人，有种方法， 选出的2人的性别不同，即2人中1男1女，有种方法， 所以这2人性别不同的概率. 16. 已知数列的前项和为，且1，，成等比数列. （1）求，； （2）求的通项公式； （3）若，求数列的前项和. 【答案】（1）1，3； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用等比数列定义可得，进而求出. （2）由（1）的结论，利用求出通项公式. （3）由（2）的结论，利用裂项相消法求和即得. 【小问1详解】 由1，，成等比数列，得，所以，. 【小问2详解】 当时，，而满足上式， 所以的通项公式是. 【小问3详解】 由（2）知，， 则， 则. 17. 3名数学小组成员（包括甲、乙）和4名语文小组成员站成两排拍照，第一排站3人，第二排站4人. （1）若数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，求不同的排法种数； （2）若甲、乙站在同一排且不相邻，求不同的排法种数； （3）若语文小组成员分成两排站（每排至少站1人），求不同的排法种数. 【答案】（1）144 （2）960 （3）4896 【解析】 【分析】（1）利用分步乘法计数原理、排列计数问题列式计算. （2）按甲乙是否在第一排分类，结合不相邻问题列式求解. （3）结合（1）及已知，利用排除法列式求解. 小问1详解】 依题意，不同排法种数是. 【小问2详解】 甲乙都站在第一排，有种；甲乙都站在第二排，有种， 所以不同排法种数是. 【小问3详解】 7个人站7个位置的排列有种，其中语文小组成员站在一排的有， 所以不同站法种数是. 18. 为了更好地普及科学知识，某班举行了科技知识竞赛活动，制定了两种竞赛规则方案.①方案一：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，答对进入下一题，答错则终止答题，第题对应分，答对获得相应的分数，答错得0分.②方案二：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，无论是否答对都可以回答下一题，直到4道题答完为止，每题2分，答对获得相应的分数，答错得0分.已知小明答对每道题的概率均为，且每次回答正确与否都相互独立. （1）若小明选择方案一，记X为小明的累计得分，求X的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择哪个方案？说明理由. 【答案】（1）分布列见解析 （2）小明应选择方案二，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得X的可能取值为0，1，4，9，16，然后分别求得其对应概率，即可得到分布列； （2）根据期望公式分别求出方案一和方案二的期望，进行比较即可. 【小问1详解】 X的可能取值为0，1，4，9，16. ， . X 0 1 4 9 16 P 【小问2详解】由（1）可知若小明选择方案一， 则. 若小明选择方案二，记Y为小明的累计得分，Z为小明答对题目的数量，则， 又，所以， 则. 因为，所以小明应选择方案二. 19. 我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，对于二元函数，若实数满足，则称具有性质T.已知二元函数. （1）若恒成立，求a的取值范围； （2）证明：当时，； （3）已知实数满足，证明：具有性质T. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意将问题转化为恒成立，令，利用导数分析其单调性，进而求解即可； （2）由，令，利用导数分析其单调性，进而求证即可； （3）由可得，设，利用导数分析可得在上单调递增，在上单调递减，要证具有性质T，只需证，构造函数，利用导数分析其单调性，进而求证即可. 【小问1详解】 ，由，可得， 令，则. 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即a的取值范围为. 【小问2详解】 证明：， 令，则， 令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，故当时，. 【小问3详解】 证明：因为，所以， 故. 设，则，令，得. 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 不妨取，欲证，即证. 又因为在上单调递减，所以只需证， 又因为，所以也即证， 构造函数， 则等价于证明对恒成立. ， 因为，所以，所以， 则在上单调递增， 所以，即已证明对恒成立， 故原不等式成立，即具有性质T. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二、三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一项工作可以用两种方法完成，有6人只会用第一种方法完成，另有11人只会用第二种方法完成，现从中选出1人来完成这项工作，则不同选法的种数为（ ） A. 60 B. 66 C. 16 D. 17 2. 已知为等差数列，且，，则的公差为（ ） A. B. C. D. 3. 已知某批零件的直径（单位：毫米）服从正态分布.若，则从这批零件中任意抽取1个零件，该零件的直径大于11毫米的概率为（ ） A. 0.35 B. 0.15 C. 0.3 D. 0.175 4. 曲线在处的切线斜率为2，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 5. 的展开式的第4项的系数是（ ） A B. C. D. 6. 用最小二乘法得到的一组数据的经验回归方程为.若，则（ ） A. 63 B. 21 C. 28 D. 49 7. 若函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为4，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近于（ ） A. 32 B. 40 C. 48 D. 64 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量的分布列为 1 2 4 5 02 0.35 015 0.3 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的导函数的大致图象如图所示.下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 既有极大值，也有极小值 D. 曲线在处的切线斜率为 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从两点分布，，则________. 13. 某校举办运动会，甲参加跑步比赛、跳绳比赛（这两个比赛不能同时参加）的概率分别为0.6，0.4，若甲参加跑步比赛获奖的概率为0.7，参加跳绳比赛获奖的概率为0.6，则甲获奖的概率为________. 14. 已知函数的极小值点为1，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了研究高二学生的性别与身高是否大于的关联性，现随机调查了某中学的80名高二学生，整理得到如下列联表： 男 女 合计 不低于 30 25 55 低于 10 15 25 合计 40 40 80 （1）依据的独立性检验，能否认为该中学高二学生的性别与身高是否大于有关联？ （2）从身高不低于的55名学生中任选2人，求这2人性别不同的概率. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 已知数列的前项和为，且1，，成等比数列. （1）求，； （2）求的通项公式； （3）若，求数列的前项和. 17. 3名数学小组成员（包括甲、乙）和4名语文小组成员站成两排拍照，第一排站3人，第二排站4人. （1）若数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，求不同排法种数； （2）若甲、乙站在同一排且不相邻，求不同的排法种数； （3）若语文小组成员分成两排站（每排至少站1人），求不同的排法种数. 18. 为了更好地普及科学知识，某班举行了科技知识竞赛活动，制定了两种竞赛规则方案.①方案一：共设置4道题，参加比赛同学从第1题开始答题，答对进入下一题，答错则终止答题，第题对应分，答对获得相应的分数，答错得0分.②方案二：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，无论是否答对都可以回答下一题，直到4道题答完为止，每题2分，答对获得相应的分数，答错得0分.已知小明答对每道题的概率均为，且每次回答正确与否都相互独立. （1）若小明选择方案一，记X为小明的累计得分，求X的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择哪个方案？说明理由. 19. 我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，对于二元函数，若实数满足，则称具有性质T.已知二元函数. （1）若恒成立，求a的取值范围； （2）证明：当时，； （3）已知实数满足，证明：具有性质T. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$