精品解析：山东省青岛市2024-2025学年高一下学期期末学业水平检测数学试卷

2024～2025学年度第二学期期末学业水平检测 高一数学试题 2025．07 本试卷4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的虚部为（ ）． A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 若数据，，…，的方差为1，则数据，，…，的方差为（ ）． A. 1 B. 3 C. 8 D. 9 3. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 4 4. 已知的面积为，，，则（ ）． A. B. C. D. 1 5. 所有顶点都在两个平行平面上的多面体叫做“拟柱体”，两个平行平面之间的距离为h．“拟柱体”的统一体积公式为（其中L，M，N分别为的上底面面积、中截面（与上下底面平行且距离相等的截面）面积、下底面面积，如图．在多面体中，底面是边长为2的正方形，，，点E到底面的距离是2，则该多面体的体积为（ ）． A. 5 B. C. D. 6 6. 已知，为不同的平面，m，n为不同的直线，则（ ）． A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 在复平面内，复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上，则实数（ ）． A. B. C. 或2 D. 或2 8. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P的坐标为（ ）． A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校举办了数学知识竞赛，已知该校有1000名学生，随机抽取100名学生的成绩，整理成如图所示的频率分布直方图，则（ ）． A. B. 估计该校学生成绩的众数为70 C. 估计该校学生成绩的中位数为68.3 D. 估计该校学生成绩的平均数在65到75之间 10. 假设，，，则（ ）． A. A与C互为对立 B. 若，则 C. 若，则 D. 若A，B相互独立，则 11. 已知正四棱台的上、下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台（ ）． A. 上底面边长 B. 下底面边长 C. 高为2 D. 体积为 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 一组数据1，2，4，6，7，8，11，12的第25百分位数是______． 13. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在上的最小值为______． 14. 已知三棱锥的体积为V，平面，，，若三棱锥的外接球半径最大值为，则V的最大值为______． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某企业拟招聘部分技术人员，有200人参与竞聘，其中研究生50人，本科生150人，现采用分层抽样的方式，对他们的竞聘成绩（满分10分）进行调查，其中研究生竞聘成绩的抽样数据如下：7，7，8，9，9． （1）请根据上述数据计算研究生竞聘成绩样本的平均数和方差； （2）若本科生竞聘成绩样本的平均数为6，方差为1，求整体样本数据的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，．记总的样本平均数为，样本方差为，则，． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点． （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的大小． 17. 如图，在平面四边形中，是等边三角形，点E，F分别是，的中点，，，． （1）求； （2）求； （3）求． 18. 如图，由三棱锥顶点P出发的三条棱两两垂直．设，，． （1）若，求点P到平面的距离； （2）若的面积为8，二面角的大小为． （ⅰ）求的面积； （ⅱ）求三棱锥体积的最大值． 19. 在某密码通信系统中，字母只通过符号“⊙”和“”传输，每个符号（⊙或）的传输可能出错，传输结果相互独立．系统只有两种传输模式：模式1：若首次传输或前一位传输正确时，则：当发送“⊙”时，正确接收的概率为p，错误接收的概率为；当发送“”时，正确接收的概率为q，错误接收的概率为．模式2：若前一位传输错误，则当前位错误概率变为r，．假设，已知字母A的密码为“⊙”，字母G的密码为“⊙”． （1）若，．求字母A正确接收的概率； （2）若，在字母G接收的3个符号中，记“收到⊙的个数为1”，“收到⊙的个数为2”，试比较和的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期期末学业水平检测 高一数学试题 2025．07 本试卷4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的虚部为（ ）． A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法、共轭复数以及虚部的概念即可求解. 【详解】已知，则的虚部为。 故选：A. 2. 若数据，，…，的方差为1，则数据，，…，的方差为（ ）． A. 1 B. 3 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据公式计算即可. 【详解】数据，，…，的方差是, 数据，，…，的方差为. 故选：D 3. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由向量平行的坐标表示，结合题意得 ，解得. 4. 已知的面积为，，，则（ ）． A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理和三角形面积公式即可求得结果. 【详解】设中角所对的边分别为， 因为的面积为，，所以， 又，所以，结合上式得：， 由余弦定理得：，故. 故选：A 5. 所有顶点都在两个平行平面上的多面体叫做“拟柱体”，两个平行平面之间的距离为h．“拟柱体”的统一体积公式为（其中L，M，N分别为的上底面面积、中截面（与上下底面平行且距离相等的截面）面积、下底面面积，如图．在多面体中，底面是边长为2的正方形，，，点E到底面的距离是2，则该多面体的体积为（ ）． A. 5 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，，及中截面面积，代入公式求解即可. 【详解】由题意得：，，， 分别取的中点，顺次连接，得到截面为中截面，且为长方形，边长为，， 所以， 所以. 故选：B. 6. 已知，为不同的平面，m，n为不同的直线，则（ ）． A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】由结论不完备可判断ABD错误，由线面垂直的性质可判断C正确. 【详解】对于A，若，，则相交、平行或异面，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，由线面垂直的性质可知，若，，则，故C正确； 对于D，若，，则或，故D错误. 故选：C. 7. 在复平面内，复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上，则实数（ ）． A. B. C. 或2 D. 或2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得点，，，在以原点为圆心、半径为的圆上，进一步列方程即可求解. 【详解】在复平面内与题中所给四个复数对应的点依次为， 得到对应的以原点为始点的向量依次为， 则， 可得，同理可得， 因为复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上， 所以这些点都在以原点为圆心、半径为的圆上， 所以，解得. 故选：D. 8. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干中的定义即可求得结果. 【详解】因为B绕点A沿顺时针方向旋转即B绕点A沿逆时针方向旋转， 因为点，，所以， 根据题干定义， 得点P的坐标为， 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校举办了数学知识竞赛，已知该校有1000名学生，随机抽取100名学生的成绩，整理成如图所示的频率分布直方图，则（ ）． A. B. 估计该校学生成绩的众数为70 C. 估计该校学生成绩的中位数为68.3 D. 估计该校学生成绩的平均数在65到75之间 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直方图面积为1可判断A，再根据直方图中众数、中位数与平均数的求法判断BCD. 【详解】对于A，，解得，故A正确； 对于B，由表可得估计该市普法知识竞赛成绩的众数为分，故B正确； 对于C，由表可得小于65分的人数频率，，故竞赛成绩中位数在65到75，中位数为m， 则，解得， 故C错误； 对于D， ，故D正确. 故选：ABD. 10. 假设，，，则（ ）． A. A与C互为对立 B. 若，则 C. 若，则 D. 若A，B相互独立，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由对立的定义判断即可；对于B，C由概率的基本性质判断即可；对于D，由对立事件概率公式、独立乘法公式判断即可. 【详解】对于A，若是的子事件，则有可能满足，但此时不对立，故A错误； 对于B，假设，，若，则，故B正确， 对于C，若，则，故C错误， 对于D，若A，B相互独立，则，故D正确. 故选：BD. 11. 已知正四棱台的上、下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台（ ）． A. 上底面边长 B. 下底面边长 C. 高为2 D. 体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意作出棱台的轴截面，利用切线长定理和射影定理求出上下底面边长，进一步求得高，代入棱台的体积公式计算即得. 【详解】 如图，作出正四棱台的轴截面,设上底面边长为，则下底面边长为， 则，, 故, 在中，,则由射影定理，得，解得， 所以上、下底面的边长分别为， 于是棱台的上底面面积为，下底面面积为，高为2， 故该正四棱台的体积为：. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 一组数据1，2，4，6，7，8，11，12的第25百分位数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】由百分位数的定义求解即可. 【详解】将这组数据从小到大排列为1，2，4，6，7，8，11，12，这组数据共有8个数， 而，从而所求为这组数据从小到大排列后的第二个数和第三个数的平均数，即为. 故答案为：3. 13. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在上的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先求得，再结合三角函数的性质即可求解. 【详解】由题得, 因为， 所以函数的值域为，故所求为. 故答案为：. 14. 已知三棱锥的体积为V，平面，，，若三棱锥的外接球半径最大值为，则V的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】求得三角形的面积的最大值为，再结合棱锥的体积公式即可得解. 【详解】设三角形外接圆的半径为，因为平面，，三棱锥的外接球半径最大值为， 所以， 所以的最大值为， 此时由余弦定理有， 等号成立当且仅当， 所以三角形的面积的最大值为， 所以V的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某企业拟招聘部分技术人员，有200人参与竞聘，其中研究生50人，本科生150人，现采用分层抽样的方式，对他们的竞聘成绩（满分10分）进行调查，其中研究生竞聘成绩的抽样数据如下：7，7，8，9，9． （1）请根据上述数据计算研究生竞聘成绩样本的平均数和方差； （2）若本科生竞聘成绩样本的平均数为6，方差为1，求整体样本数据的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，．记总的样本平均数为，样本方差为，则，． 【答案】（1）8，0.8 （2）平均数为6.5，方差为1.7． 【解析】 【分析】（1）由平均数、方差的定义计算即可； （2）首先得研究生抽取5人，本科生抽取15人，再根据所给公式依次求出即可. 【小问1详解】 平均数为，方差为：． 【小问2详解】 因为研究生有50人，本科生150人，且研究生抽取5人， 由于采用分层抽样的方式，所以本科生抽取15人， 故整体样本数据的平均数， 整体样本数据的方差， 所以整体样本数据的平均数为6.5，方差为1.7． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点． （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证； （2）说明为直线与平面所成的角，再结合解直角三角形知识即可求解. 【小问1详解】 因为，E为线段的中点，所以， 又底面，底面为正方形， 所以，，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）知，平面， 所以为直线与平面所成的角， 设，则，， 在直角三角形中，， 所以直线与平面所成角为. 17. 如图，在平面四边形中，是等边三角形，点E，F分别是，的中点，，，． （1）求； （2）求； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）由正弦定理即可求解； （3）依次求得，，再结合数量积的定义求解即可. 【小问1详解】 在中， 由余弦定理知， 所以． 【小问2详解】 在中，由正弦定理知， 所以． 【小问3详解】 因为是等边三角形，所以， 因为点E，F分别是，的中点，，所以， 所以 ． 18. 如图，由三棱锥顶点P出发的三条棱两两垂直．设，，． （1）若，求点P到平面的距离； （2）若的面积为8，二面角的大小为． （ⅰ）求的面积； （ⅱ）求三棱锥体积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）由等体积法求点面距离即可； （2）（ⅰ）根据题意求得，进一步有，由此即可得解；（ii）只需求得的最大值为，再结合棱锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，． 设P到平面的距离为h，则． 又， 所以，，所以P到平面的距离为． 【小问2详解】 （ⅰ）在三棱锥中，过P作于D，连接， 因为，，， 所以平面，故． 又因为，， 所以平面，所以， 因此为二面角的平面角， 所以，在直角中，， 因为， 所以． （ⅱ）在中，因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立． 又因为，所以， 在直角中，， 所以，当且仅当时等号成立． 综上，三棱锥体积的最大值为． 19. 在某密码通信系统中，字母只通过符号“⊙”和“”传输，每个符号（⊙或）的传输可能出错，传输结果相互独立．系统只有两种传输模式：模式1：若首次传输或前一位传输正确时，则：当发送“⊙”时，正确接收的概率为p，错误接收的概率为；当发送“”时，正确接收的概率为q，错误接收的概率为．模式2：若前一位传输错误，则当前位错误概率变为r，．假设，已知字母A的密码为“⊙”，字母G的密码为“⊙”． （1）若，．求字母A正确接收的概率； （2）若，在字母G接收的3个符号中，记“收到⊙的个数为1”，“收到⊙的个数为2”，试比较和的大小． 【答案】（1）0.48 （2）若，则； 若，则； 若，则. 【解析】 【分析】（1）由独立乘法公式即可求解； （2）根据题意求得，，作差然后分类讨论即可得解. 【小问1详解】 字母A的密码为“⊙”，一共接收2个符号，2个都正确， 则字母A正确接收，所以字母A正确接收的概率为； 【小问2详解】 ， 若字母G接收的3个符号中，收到“⊙”的个数为1，可分3种情况：传输为“⊙”或“⊙”或“⊙”， 所以， 同理，若字母G接收的3个符号中，收到“⊙”的个数为2，可分3种情况：传输为“⊙⊙”或“⊙⊙”或“⊙⊙”， 所以， 当时，， 所以， 当时，， 所以， 所以， 若，则； 若，则； 若，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $