精品解析：陕西省渭南市韩城市2024-2025学年高一下学期7月期末数学试题

韩城市2024～2025学年度第二学期期末质量检测 高一数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】根据复数的运算法则，可得. 故选：B. 2. 设向量，的夹角为，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积运算律进行计算，求出答案. 【详解】. 故选：D 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式和两角差的余弦公式化简计算即可. 【详解】依题意，， 则. 故选：A. 4. 如图，水平放置的的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法的原则确定三角形的底和高即可． 【详解】因为三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，，则， 所以，， 易知，所以. 故选：D． 5. 已知是三角形的一个内角，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合余弦函数的单调性，即可求解. 【详解】因为是三角形的一个内角，可得， 又因为，可得，即不等式的解集为. 故选：C. 6. 已知，是平面内的两条直线，则“直线且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】注意与平行这一特殊情况： 且，再结合充要条件分析即可 【详解】，是平面内的两条直线 且，反之，若，则且 所以“直线且”是“”的必要不充分条件， 故选：B 7. 已知三棱锥所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，把三棱锥可补成一个长方体，设三棱锥的外接球的半径为，利用长方体的对角线长等于外接球的直径，求得，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】在三棱锥中，因为平面，且，，， 则三棱锥可补成如图所示的一个长方体， 其中三棱锥的外接球与该长方体的外接球为同一个球， 在直角中，可得， 设三棱锥的外接球的半径为， 可得，所以， 则球的体积为. 故选：B. 8. 司马迁是我国西汉伟大史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内.某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度.如图，选取与司马迁雕像底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶端的仰角分别为，，，米，则司马迁雕像高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】设米，得到，结合及余弦定理求解. 【详解】设米，由题设有，又， 由， 所以，则，可得米. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若向量，则（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量模的计算公式，可判定A正确；根据共线向量的坐标表示，可判定B错误；根据向量垂直的坐标运算，可判定C正确；根据投影向量的计算方法，可判定D错误. 详解】由向量， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，则，所以与不共线，所以B错误； 对于C中，由，可得，所以，所以C正确； 对于D中，由，即在方向上的投影向量是，所以D错误. 故选：AC. 10. 已知函数在处取得最大值2，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的图象关于点中心对称 D. 在区间上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，求得，可判定A正确；由函数的解析式，求得的值，可判定B正确；由，可判定C不正确；由，得到，结合正弦函数的性质，可判定D正确. 【详解】因为函数在 处取得最大值， 可得且，解得， 因为，可得，所以，所以A正确； 由，所以B正确； 当时，可得， 所以点不是函数的对称中心，所以C不正确； 因，可得， 因为正弦函数在为单调递增函数， 所以函数在区间上单调递增，所以D正确. 故选：ABD. 11. 在长方体中，已知，，，分别为，的中点，则（ ） A. 平面 B. 异面直线与夹角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 若点为长方形内一点（含边界），且平面，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，假设平面，所以，从而，又，所以平面，所以，与已知相互矛盾；对于B，因为，所以是异面直线与的夹角，计算可判断B；对于C，三棱锥的体积为，计算可判断C；对于D，取的中点E，取的中点F，可得平面平面，点的轨迹为线段，在，过点作，则即为的最小值，求解即可． 【详解】对于A，假设平面，因为平面，所以. 因为，分别为，的中点，所以，从而， 又因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 而为长方形，，则不垂直，这相互矛盾， 所以与平面不垂直，故A错误； 对于B，因为，所以是异面直线与的夹角， ，故B正确； 对于C，三棱锥的体积为 ，故C正确； 对于D，取的中点E，取的中点F，取的中点，连接， ，， 又平面，平面，平面， ，， 又平面，平面，平面， 又，平面，平面平面， 又平面，平面， 又因为点为长方形内一点（含边界）， 点必在平面与平面的交线上，即点的轨迹为线段， 在，过点作，则即为的最小值． 由题意可知，， 根据余弦定理得， 可得， 所以，故D正确． 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】把两边平方，利用正弦的二倍角公式即可求解. 【详解】将两边同时平方得 ，即， 故答案为：. 13. 某同学做了一个木制陀螺，该陀螺由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两个圆锥的体积之比为1：2．上面圆锥的高与其底面半径相等，则上、下两个圆锥的母线长之比为______ 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥的体积公式及圆锥高、半径与母线的关系计算即可． 【详解】设上、下两圆锥的底面半径为，高分别为，体积分别为， 因为上圆锥的高与底面半径相等，所以， 则得，， 上圆锥的母线为，下圆锥的母线为， 所以上、下两圆锥的母线长之比为， 故答案为： 14. 在中，为边的中点，为边上的点，，交于点.若，则的值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】设，可得，由，，三点在同一条直线上，可求得的值，即可得解． 【详解】设， 因为， 所以， 因为，，三点在同一条直线上， 所以，所以， 所以． 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求解， （2）根据复数的几何意义，结合第二象限点的特征即可求解. 【小问1详解】 因为复数为纯虚数，所以， 解的 解得，； 【小问2详解】 因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以 解之得 得． 所以实数的取值范围为． 16. 已知. （1）求的值； （2）若为第四象限角，求的值 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式展开即可求出； （2）利用同角的三角函数关系式求出，，再利用两角差的正弦公式求的值. 【小问1详解】 因为， 所以， 解得或. 【小问2详解】 因为为第四象限角，所以，， 又因为，所以， 所以，， 17. 已知直线和是图象的两条相邻的对称轴 （1）求的解析式； （2）将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数最小正周期，进而求出，代入，结合得到，得到函数解析式； （2）求出，求出，根据零点个数，得到不等式，求出的取值范围. 【小问1详解】 由已知得函数的最小正周期，所以， 又因为， 所以，，即，， 因为，所以， 所以. 小问2详解】 将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍， 得到函数的图象，所以， 因为，所以， 因为在区间上恰有两个零点， 所以，解得， 所以的取值范围为. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若边上的高为，且的周长为6，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件利用正弦定理化边为角，整理得，从而，所以，即可解出； （2）由条件利用三角形的面积公式可得，结合的周长及余弦定理求得，计算面积即可. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 在中，，所以， 所以，又，， 所以，所以. 【小问2详解】 因为面积，所以， 因为的周长为6，所以， 由余弦定理得， 所以，解得， 所以面积. 19. 已知在四棱锥中，侧面平面，，，，，分别是，的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线的性质证明一组线线平行，即可得出线面平行； （2）找出二面角的平面角，利用直角三角形的三角函数值求解即可. 【小问1详解】 连接交于点， 因为，为的中点，所以， 因为且，所以为，的中点， 又为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为，为的中点，所以， 又侧面平面，侧面平面，平面，所以平面， 连接，取的中点，连接、，所以， 因为且，所以，又，所以，所以， 因为为的中点，所以，所以平面， 因为平面，所以， 因为，且，平面， 所以平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，所以，，， 所以在直角中，， 所以二面角的大小为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 韩城市2024～2025学年度第二学期期末质量检测 高一数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A B. C. D. 2. 设向量，夹角为，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，水平放置的的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是三角形的一个内角，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是平面内的两条直线，则“直线且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内.某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度.如图，选取与司马迁雕像底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶端的仰角分别为，，，米，则司马迁雕像高度为（ ） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若向量，则（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量是 10. 已知函数在处取得最大值2，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的图象关于点中心对称 D. 在区间上单调递增 11. 在长方体中，已知，，，分别为，的中点，则（ ） A. 平面 B. 异面直线与夹角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 若点为长方形内一点（含边界），且平面，则的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________. 13. 某同学做了一个木制陀螺，该陀螺由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两个圆锥的体积之比为1：2．上面圆锥的高与其底面半径相等，则上、下两个圆锥的母线长之比为______ 14. 在中，为边中点，为边上的点，，交于点.若，则的值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数取值范围． 16. 已知. （1）求的值； （2）若为第四象限角，求的值 17. 已知直线和是图象的两条相邻的对称轴 （1）求的解析式； （2）将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若边上的高为，且的周长为6，求的面积. 19. 已知在四棱锥中，侧面平面，，，，，分别是，的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$