精品解析：四川省巴中市巴中龙泉外国语学校2023—2024学年下学期八年级期中考试数学试题

巴中龙泉外国语学校2024年春八年级（下）半期测试数学试题卷 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 下列式子，，，，， 中，分式的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，掌握分母中含有字母的式子即为分式成为解题的关键． 根据分式的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：：分母为常数3，不含字母，不是分式； ：分母为，是常数，不含字母，不是分式； ：分母为，含字母，是分式； ：分母为，含字母，是分式； ：的分母为常数2，不含字母，整体为整式，不是分式； ：分母为，含字母和，是分式． 综上，分式共有3个． 故选B． 2. 许多数学符号蕴含对称美，下列符号中，是中心对称图形的是（ ） A. △ B. ∵ C. ⊥ D. // 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义，逐一分析各选项旋转后是否与原图形重合． 【详解】A．等边三角形绕任一点旋转后，顶点与边的位置互换，无法与原图形重合，故不是中心对称图形． B．符号“∵”由上一点和下两点组成，旋转后变为“∴”，与原图形不同，故不是中心对称图形． C．垂直符号“⊥”为T形，旋转后变为倒T形，与原图形不重合，故不是中心对称图形． D．平行符号“//”由两条平行斜线组成，绕中心点旋转后，方向改变但平行性不变，整体形状与原图形重合，故是中心对称图形． 故选D． 3. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．然后对各选项逐个判断即可． 【详解】解：A、两因式之间用加号连结，是和的形式不是因式分解，故本选项不符合题意； B、是因式分解，故本选项符合题意； C、将积化为和差形式，是多项式乘法运算，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、两因式之间用加号连结，是和的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键 ． 4. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的判定，掌握勾股定理，直角三角形的判定和性质是解题的关键，根据勾股定理，直角三角形中三个角的度数关系等知识即可求解． 判断各选项是否满足直角三角形的条件，利用勾股定理逆定理或角度关系进行验证即可 【详解】解：、∵， ∴， ∴不能判定是直角三角形，符合题意； 、∵，， ∴，即， ∴，可以判定是直角三角形，不符合题意； 、， ∴， ∴能判定是直角三角形，不符合题意； 、， 设，， ∴，，， ∵， ∴能判定是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 5. 若实数a，b满足，则下列一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质.根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否必然成立. 【详解】解：选项A：， 两边乘以时，不等式方向应改变，即，故选项A不成立； 选项B：， 若和为负数，例如，，此时，，则，不满足，故选项B不一定成立； 选项C：， 将不等式变形为，由于，为正数，而正数恒大于，因此一定成立； 选项D：， 两边除以正数，不等式方向不变，原式应为，故选项D不成立. 综上，只有选项C一定成立. 故选：C. 6. 用反证法证明命题“在中，若，那么”的结论的否定应该是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在△ABC中，若∠A＜∠B，那么a＜b”的结论的否定应该是a≥b， 故选：B． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 7. 若实数x，y满足，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为（　　） A. 17 B. 17或22 C. 22 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边的关系，由非负数的性质求出x和y的值，再根据等腰三角形的定义及三角形三边关系确定可能的边长组合，计算周长． 【详解】∵， ∴且， 解得． 以4和9为边长的等腰三角形有两种可能： 腰为4，底为9：此时三边为4、4、9． 但，不满足三角形三边关系，舍去． 腰为9，底为4：此时三边为9、9、4． ，，满足三角形三边关系． 符合条件的三角形周长为． 故选C． 8. 如图，学校、体育馆、邮局三个地方的位置可以近似看成是在三角形的三个顶点上，现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三条角平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理． 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，据此解答即可求解． 【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上， ∴现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：C． 9. 如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系．根据图象过点，且，即可确定不等式的解集． 【详解】解：根据函数图象可知，不等式即的解集是：， 故选：A． 10. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，若，则（ ） A. B. +1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—作已知角的平分线，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．由作法得：平分，再由含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，分别求出的长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由作法得：平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C 11. 若关于x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式组的整数解问题，正确理解恰有3个整数解得意义是解题的关键． 先求得不等式组的解集，然后根据整数解的个数确定参数m的取值范围即可． 【详解】解：关于x的不等式组，则该不等式组的解集为：． ∵关于x的不等式组恰有三个整数解，该不等式组的解集为：． ∴三个整数解必为、0、1． ∴，解得：． 故选A． 12. 如图，在和中，，连接，交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的是（    ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定. 由证明得出，，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作于，于，如图所示：则，利用全等三角形对应边上的高相等，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；假设平分，则，由全等三角形的判定定理可得，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，故①正确； ， 由三角形的外角性质得：， ，故②正确； 作于，于，如图所示， 则， ， ， 平分，故④正确； 假设平分，则， 在与中， ， ， ， ， ， 而，故③错误； 所以其中正确的结论是①②④． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 已知，，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，先对 进行因式分解，然后把，代入求解即可，熟练掌握提公因式法因式分解是解题的关键． 【详解】解：由， ∵，， ∴原式， 故答案为：． 14. 超市购进一批牛奶，进价每箱元，零售价每箱元，为促销决定打折销售，但利润率仍然不低于，那么该牛奶实际价格最多可打______折销售． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设该牛奶实际价格可打折销售，根据利润率不低于列不等式进行求解即可，弄清题意，找准不等关系列出不等式是解题的关键． 【详解】解：设该牛奶实际价格可打折销售， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，中，，，，将沿射线的方向平移一段距离后得到，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，勾股定理的运用，根据平移的性质可得，，，在中，利用勾股定理可求得，进而求得，再利用勾股定理即可求解，掌握平移的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵将沿射线的方向平移一段距离后得到， ∴，，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， 故答案为：． 16. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5 cm，△ABC的周长为26cm，则△ABD的周长为_________cm. 【答案】16 【解析】 【详解】∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA=DC，AE=CE=5 cm， 而△ABC的周长是26 cm，即AB+BD+DC+AE+EC=26 cm， ∴AB+BD+DC=16 cm， ∴AB+BD+DA=16 cm， 即△ABD的周长是16 cm． 17. 如果关于x的一元一次方程的解是负数，则实数可取的最大整数为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式和一元一次方程的解，解题的关键是根据题意列出不等式．解方程得，由“解是负数”得，解之即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴， 由题意得， 解得， 所以实数m可取的最大整数为1， 故答案为：1． 18. 如图，O为等腰直角（）内一点，连接，，，，， ，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接、，则，，所以，由，，得，而，则，再证明，即可得到． 【详解】解：将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接、，则，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， 在和中， ， ∴（）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（共84分） 19. 因式分解、解不等式（组） （1）因式分解：； （2）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来； （3）解不等式组 ，并求出所有整数解之和． 【答案】（1） （2）， 如图， （3）， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解一元一次不等式以及解一元一次不等式组． （1）先提取公因式，再用完全聘岗公式分解． （2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后画出数轴，并在数轴上表示出不等式的解集． （3）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后早出所有的整数求和即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 ∵ ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 解①得 解②得 ∴不等式组的解集是 ∴所有整数解有： ∴所有整数解之和为： 20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，坐标分别为，，． （1）画出向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的，并直接写出点的坐标； （2）画出关于原点成中心对称的，并直接写出点的坐标． 【答案】（1）如图即为所求；点； （2）如图即为所求，点． 【解析】 【分析】本题主要考查了平移变换和中心对称，正确得出平移后对应点的位置是解题关键． （）直接利用平移的性质得出各点，然后连接即可； （）直接利用关于原点对称的性质得出各点，然后连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，，平分，于E，连接，交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握30度角所对的直角边等于斜边一半是解题关键． （1）利用“”证明出，即可得出结论； （2）证明是等边三角形，根据等边三角形三线合一的性质，得到，，再利用30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 是等边三角形， ， 平分， ，， ，， ， 在中，， ． 22. 每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．为满足同学们的读书需某校图书室在今年“世界读书日”期间准备到书店购买文学名著和科普读物两类图书．已知20本文学名著和40本科普读物共需1520元，1本文学名著比1本科普读物多22元． （1）每本文学名著和科普读物各多少元？ （2）若学校要求购买科普读物比文学名著多20本，科普读物和文学名著总数不低于72本，总费用不超过1984元，请求出所有符合条件的购书方案． 【答案】（1）每本文学名著和科普读物各为40元和18元； （2） 方案一：文学名著26本，科普读物46本； 方案二：文学名著27本，科普读物47本； 方案三：文学名著28本，科普读物48本． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用． （1）设每本文学名著x元，每本科普读物y元，根据题意列出方程组解答即可； （2）根据学校要求购买科普读物比文学名著多20本，科普读物和文学名著总数不低于72本，总费用不超过1984元，列出不等式组，解答即可． 【小问1详解】 解：设每本文学名著x元，科普读物y元， 根据题意得：，解得：． 答：每本文学名著和科普读物各为40元和18元； 【小问2详解】 解：设学校要求购买文学名著本，科普读物为本，根据题意可得：， 解得：， 因为取整数，所以m取26，27，28； 方案一：文学名著26本，科普读物46本； 方案二：文学名著27本，科普读物47本； 方案三：文学名著28本，科普读物48本． 23. 先阅读下列材料，再解答下列问题. 分解因式： 分析：将看成整体，设，则原式，再将还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法，回答下列问题： （1）因式分解：______． （2）因式分解：； （3）若为正整数，证明：的值一定是某一个整数的平方． 【答案】（1）； （2）； （3） 证明： ， ∵为正整数， ∴的值一定是某一个整数的平方． 【解析】 【分析】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法及整体换元思想是解题的关键． （）仿照题例，利用平方差公式进行因式分解即可； （）先由原式得，然后利用完全平方公式进行因式分解即可； （）先由原式得，然后利用完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：将看成整体，设， 则原式， 再将还原，得原式， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 略 24. 甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线分别从A、B两地同时出发匀速前往C地（B在A、C两地的之间），设甲、乙两人距A地的路程分别为y甲、y乙（千米），行驶的时间为x（小时），y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示． （1）求y甲、y乙与x之间的函数表达式； （2）在甲追上乙前，过点（a，0）作x轴的垂线，分别交y甲、y乙的图象于点M、N，当线段MN长为40千米时，求a的值； （3）在甲追上乙后，当甲、乙两人距A地的路程差小于30千米时，求x的取值范围． 【答案】（1）甲＝60x；乙＝40x+60；（2）1；（3）3＜x＜4.5或5.25＜x≤6 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求出甲、乙与x之间的函数表达式； （2）把x＝a代入（1）中的函数解析式，分别求出对应的甲、乙的值，则线段MN的长＝|乙﹣甲|，进而可得关于a的方程，解方程即可得a的值； （3）分两种情况进行讨论：①3＜x≤5；②5＜x≤6．分别根据甲、乙两人距A地的路程差小于30千米列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）设甲＝kx， 把（3，180）代入，得3k＝180，解得k＝60， 则甲＝60x； 设乙＝mx+n， 把（0，60），（3，180）代入， 得， 解得， 则乙＝40x+60； （2）当x＝a时， 甲＝60a，乙＝40a+60， 在甲追上乙前，过点（a，0）作x轴的垂线，当线段MN长为40千米时，MN＝乙﹣甲＝40a+60﹣60a＝40， 解得：a＝1， ∴a的值是1； （3）分两种情况： ①当3＜x≤5时， 60x﹣（40x+60）＜30，解得x＜4.5； ②当5＜x≤6时， 300﹣（40x+60）＜30，解得x＞5.25． 综上所述，在乙行驶的过程中，当甲、乙两人距A地的路程差小于30千米时，x的取值范围是3＜x＜4.5或5.25＜x≤6． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，根据函数图像获取信息是解题的关键． 25. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线BC⊥AC，∠ABC＝30°，点C（1，2）， （1）请直接写出点B的坐标________；点A的坐标：________； （2）点P为直线BC上位于第一象限内一点，且△PAC的面积为16，求点P的坐标； （3）如图2，将△ACB绕点B顺时针方向旋转60°，得到BGH，使点A与点H重合，点C与点G重合，将△BGH沿直线BC平移，记平移中的△BGH为B′G′H′，在平移过程中，设直线B′H′与x轴交于点M，是否存在这样的点M，使得△B′MG′为等腰三角形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）（－5，0），（3，0） （2） （3）存在，点M（－8－5，0）或（8－5，0）或（19，0）或（3，0） 【解析】 【分析】（1）作CH⊥AB，解直角三角形BCH和ACH，进而求得结果； （2）求出BC的函数关系式，设出点P的坐标，根据面积列出方程求得结果； （3）当点B′在CB的延长线时，B′M＝B′G′，进而解直角三角形BB′M，进一步求得结果，当点B′在射线BC上时，分为B′G′＝MB′、B′G′＝MG′、MB′＝MG′三种情形，同样解直角三角形BB′M，从而得出结果． 【小问1详解】 解：（1）如图1，过点C作CH⊥AB于点H， ∵点C（1，2）， ∴OH＝1，CH＝2， ∵∠ABC＝30°，∠ACB＝90°， ∴BC＝2CH＝4，BH＝CH＝6，∠BCH＝60°， ∴BO＝5， ∴点B坐标为（－5，0）， ∵∠ACH＝90°－60°＝30°， ∴AC＝2AH，CH＝AH， ∴AH＝2，AC＝4， ∴AO＝3， ∴点A坐标为（3，0）， 故答案为：（－5，0），（3，0）； 【小问2详解】 设直线BC解析式为：y＝kx＋b， ∵点B（－5，0），点C（1，2）， 由题意可得： 解得： ∴设直线BC解析式为： 设点 ∴ ∴a＝13， ∴点 【小问3详解】 如图2， ∵∠ABC＝30°，∠ABH＝60°， ∴∠CBH＝90°， ∴BH⊥BC， ∴B′H′⊥BC， ∴∠MB′B＝90°， ∴∠MB′G′＞90°， ∴MB′＝G′B′＝BC＝4 ∵∠MBB′＝∠ABC＝30°， ∴BM＝2MB′＝8， ∴OM＝BM＋OB＝8＋5， ∴M（－8−5，0）． 如图3， 当B′M＝B′G′＝4时，BM＝2B′M＝8， ∴OM＝8－5， ∴点M（8－5，0）， 如图4， 当MG′＝B′G′时，B′M＝B′G′＝12， ∴BM＝2B′M＝24， ∴OM＝BM－OB＝19， ∴M（19，0）， 如图5， 当MG′＝MB′时，B′M＝＝4， ∴BM＝8， ∴点M（3，0）， 综上所述：点M（－8－5，0）或（8－5，0）或（19，0）或（3，0）． 【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合与运用，涉及直角三角形的性质，等腰三角形的性质，旋转和平移变换等知识，解决问题的关键判断等腰三角形的底和腰及画出图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴中龙泉外国语学校2024年春八年级（下）半期测试数学试题卷 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 下列式子，，，，， 中，分式的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 许多数学符号蕴含对称美，下列符号中，是中心对称图形的是（ ） A. △ B. ∵ C. ⊥ D. // 3. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A. B. C. D. 4. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 若实数a，b满足，则下列一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 用反证法证明命题“在中，若，那么”的结论的否定应该是（ ） A. B. C. D. 7. 若实数x，y满足，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为（　　） A. 17 B. 17或22 C. 22 D. 13 8. 如图，学校、体育馆、邮局三个地方的位置可以近似看成是在三角形的三个顶点上，现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三条角平分线的交点 9. 如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，若，则（ ） A. B. +1 C. 2 D. 11. 若关于x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在和中，，连接，交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的是（    ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 已知，，则 ______． 14. 超市购进一批牛奶，进价每箱元，零售价每箱元，为促销决定打折销售，但利润率仍然不低于，那么该牛奶实际价格最多可打______折销售． 15. 如图，中，，，，将沿射线的方向平移一段距离后得到，则______． 16. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5 cm，△ABC的周长为26cm，则△ABD的周长为_________cm. 17. 如果关于x的一元一次方程的解是负数，则实数可取的最大整数为______． 18. 如图，O为等腰直角（）内一点，连接，，，，， ，则的长为____． 三、解答题（共84分） 19. 因式分解、解不等式（组） （1）因式分解：； （2）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来； （3）解不等式组 ，并求出所有整数解之和． 20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，坐标分别为，，． （1）画出向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的，并直接写出点的坐标； （2）画出关于原点成中心对称的，并直接写出点的坐标． 21. 如图，在中，，平分，于E，连接，交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．为满足同学们的读书需某校图书室在今年“世界读书日”期间准备到书店购买文学名著和科普读物两类图书．已知20本文学名著和40本科普读物共需1520元，1本文学名著比1本科普读物多22元． （1）每本文学名著和科普读物各多少元？ （2）若学校要求购买科普读物比文学名著多20本，科普读物和文学名著总数不低于72本，总费用不超过1984元，请求出所有符合条件的购书方案． 23. 先阅读下列材料，再解答下列问题. 分解因式： 分析：将看成整体，设，则原式，再将还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法，回答下列问题： （1）因式分解：______． （2）因式分解：； （3）若为正整数，证明：的值一定是某一个整数的平方． 24. 甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线分别从A、B两地同时出发匀速前往C地（B在A、C两地的之间），设甲、乙两人距A地的路程分别为y甲、y乙（千米），行驶的时间为x（小时），y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示． （1）求y甲、y乙与x之间的函数表达式； （2）在甲追上乙前，过点（a，0）作x轴的垂线，分别交y甲、y乙的图象于点M、N，当线段MN长为40千米时，求a的值； （3）在甲追上乙后，当甲、乙两人距A地的路程差小于30千米时，求x的取值范围． 25. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线BC⊥AC，∠ABC＝30°，点C（1，2）， （1）请直接写出点B的坐标________；点A的坐标：________； （2）点P为直线BC上位于第一象限内一点，且△PAC的面积为16，求点P的坐标； （3）如图2，将△ACB绕点B顺时针方向旋转60°，得到BGH，使点A与点H重合，点C与点G重合，将△BGH沿直线BC平移，记平移中的△BGH为B′G′H′，在平移过程中，设直线B′H′与x轴交于点M，是否存在这样的点M，使得△B′MG′为等腰三角形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $