4.3解三角形专项训练-2026届高三数学一轮复习

4.3　解三角形 考点1　正、余弦定理 1.在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A= (　　) A.45°　　B.60°　　C.120°　　D.135° 2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B- bcos A=c,且C=,则B= (　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,则BC= (　　) A.1　　B.　　C.　　D.3 4.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,b2=ac,则sin A+sin C= (　　) A.　　B.　　C.　　D. 5.(多选)已知△ABC的面积为,cos 2A+cos 2B+2sin C=2, cos Acos Bsin C=,则 (　　) A.sin C=sin2A+sin2B　　B.AB= C.sin A+sin B=　　D.AC2+BC2=3 6.在①ac=,②csin A=3,③c=b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由. 问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=sin B,C=,　　　　?  注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 7.已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B. (1)求sin A; (2)设AB=5,求AB边上的高. 8.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为,D为BC的中点,且AD=1. (1)若∠ADC=,求tan B; (2)若b2+c2=8,求b,c. 9.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asin C. (1)证明:BD=b; (2)若AD=2DC,求cos∠ABC. 10.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=. (1)若C=,求B; (2)求的最小值. 考点2　解三角形的综合应用 1.2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.三角高程测量法的一个示意图如图所示,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(≈1.732) (　　) A.346　　B.373　　C.446　　D.473 2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b=　 　.  3.在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD=　 　.  4.在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM=2,则AC=　 　,cos∠MAC=  　.  5.已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,BD= 　 .  6.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=2. (1)求bc; (2)若-=1,求△ABC面积. 7. 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab. (1)求B; (2)若△ABC的面积为3+,求c. 8.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知sin A+cos A=2. (1)求A; (2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长. 9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b=a+1,c=a+2. (1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积; (2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求a;若不存在,说明理由. 10.在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1. (1)求sin∠ABC; (2)若D为BC上一点,且∠BAD=90°,求△ADC的面积. 11. 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知sin Csin(A-B)=sin B·sin(C-A). (1)证明:2a2=b2+c2; (2)若a=5,cos A=,求△ABC的周长. 12.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=,sin B=. (1)求△ABC的面积; (2)若sin Asin C=,求b. 练速度 1.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a=5,b=7,c=4,则△ABC的面积为 (　　) A.4　　B.2　　C.4　　D.8 2.在△ABC中,BC=8,AC=10,cos∠BAC=,则△ABC的面积为 (　　) A.6　　B.8　　C.24　　D.48 3.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b-2c=acos C-2acos B,则= (　　) A.　　B.　　C.1　　D.2 4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若∠BAC=,a=4,BC边上的高AD=,则b+c= (　　) A.2　　B.4　　C.8　　D.4 5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S.若a=1,C=且4S=cos B+bcos A,则B= (　　) A.　　B.　　C.　　D. 6.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ccos B=2acos A-bcos C,BC边上一点D满足=2,且AD平分∠BAC.若△ABC的面积为2,则b= (　　) A.　　B.2　　 C.　　D.4 7.在△ABC中,cos∠BAC=,·=6,点M在△ABC的内部,AM的延长线与BC交于点D,若=3,则△BCM的面积是 (　　) A.1　　B.　　C.2　　D. 8.已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=,则tan C= (　　) A.　　B.3　　C.　　D.2 9.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bsin B+csin C-asin A=bsin C,则A=  　.  10.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2acos A+bcos C=ccos(A+C). (1)求角A的大小; (2)若a=,BC边上的高为,求△ABC的周长. 11.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且sin 2B=sin A-sin C. (1)若A=,求B; (2)若a=c+1,b=3,求△ABC的面积. 12.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,C=,且2sin(A-C)=sin B. (1)求sin B; (2)在三个条件中选择一个作为已知,使△ABC存在且唯一确定,并求AB边上的高. ①a=3;②a=2b;③△ABC的周长为7+5. 练思维 1.在钝角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=3,b=7且最大角B<,则c的取值范围是 (　　) A.(4,2)　　B.(4,7)　　 C.(5,7)　　D.(5,2) 2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2,b2,2c2成等差数列,则tan(C-B)的最小值为 (　　) A.　　B.　　 C.-　　D.- 3.如图,已知AA1为某建筑物的高,BB1,CC1分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高,A1,B1,C1分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上,A,B,C分别为该建筑物、甲、乙的顶点,经测量,得A1B1=80米,CC1=86米,∠C1A1B1=48.60°,∠A1C1B1=30°,在C点测得B点的仰角为33.69°,在B点测得A点的仰角为51.34°,则该建筑物的高AA1约为(参考数据tan 33.69°≈0.667,tan 51.34°≈1.250, sin 48.60°≈0.750) (　　) A.268米　　B.265米　　 C.266米　　D.267米 4.(多选)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=,且2c-b=2acos B,则下列结论正确的是 (　　) A.A=　　 B.△ABC外接圆的面积为π C.△ABC面积的最大值为　　 D.△ABC周长的最大值为3 5.(多选)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=10,2≤a≤5,bcos Acos C+ccos Acos B=a,下列选项正确的是 (　　) A.sin A= B.sin A=sin C可能成立 C.△ABC可能是等腰三角形 D.△ABC面积的最大值为20 6.(多选)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足a2+b2-c2=S△ABC,则下列条件能使△ABC成为锐角三角形的是 (　　) A.A=　　B.a=2,b=3　　 C.a=2,c=3　　D.b=3,c=2 7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,BC边上的高为h.若a=4,h=,则bc的最小值为　 　;若h=a,则的最大值为　 　.  8.在△ABC中,AC=2,AB=mBC(m>1),若当△ABC面积取最大值时,B=,则m=  　.  9.已知锐角△ABC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=,cos B+b=c. (1)求A; (2)求的取值范围. 10.已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,且2b-3asin C=0. (1)若tan C=1,求cos 2B; (2)若tan A+tan B+tan C>0,求tan2C+tan2A的最小值. 答案 考点1　正、余弦定理 1. A 2. C 3. D 4. C 5. ABC 6.解析　方案一:选条件①. 由C=和余弦定理得=. 由sin A=sin B及正弦定理得a=b. 于是=,由此可得b=c. 由①ac=,解得a=,b=c=1. 因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c=1. 方案二:选条件②. 由C=和余弦定理得=. 由sin A=sin B及正弦定理得a=b. 于是=, 由此可得b=c,B=C=,A=. 由②csin A=3,所以c=b=2,a=6. 因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c=2. 方案三:选条件③. 由C=和余弦定理得=. 由sin A=sin B及正弦定理得a=b. 于是=,由此可得b=c. 由③c=b,与b=c矛盾. 因此,选条件③时问题中的三角形不存在. 7.解析　(1)解法一:∵A+B+C=π,A+B=3C,∴C=,B=-A, 又∵2sin(A-C)=sin B, ∴2sin=sin, 即2=cos A-sin A,整理得sin A=3cos A, 又∵sin2A+cos2A=1,A∈,∴sin A=. 解法二:∵A+B+C=π,A+B=3C,∴C=. 又∵2sin(A-C)=sin B, ∴2sin(A-C)=sin(A+C), 即2sin Acos C-2cos Asin C=sin Acos C+cos Asin C, 化简得sin Acos C=3cos Asin C, ∴tan A=3tan C=3,∴=3, 又∵sin2A+cos2A=1,A∈,∴sin A=. (2)解法一:过C作CD⊥AB,垂足为D,如图. 在△ABC中,由正弦定理得=,即=,∴BC=3. 由(1)知cos A=, ∴sin B=sin=cos A+sin A=. 在Rt△BCD中,CD=BC·sin B=3×=6,即AB边上的高为6. 解法二:由(1)知C=,sin A=,cos A=, 则sin B=sin=cos A+sin A=. 在△ABC中,由正弦定理得==, ∴==, ∴AC=2,BC=3, ∴S△ABC=AC·BC·sin C=×2×3×=15.设AB边上的高为h, 则×5h=15,∴h=6. 8.解析　由题意知S△ABC=,BD=DC,∴S△ADC=. (1)∵S△ADC=DA·DC·sin∠ADC=,DA=1,∠ADC=,∴DCsin=,∴DC=2,∴BD=2.易知∠ADB=. 解法一:在△ABD中,由正弦定理得==, 即5sin B=cos B,因此tan B=. 解法二:过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE=AD·sin∠ADC=,DE=AD·cos∠ADC=,所以BE=2+=,所以tan B==. 解法三:在△ADB中,由余弦定理可知,AB2=BD2+DA2-2DA·DBcos∠ADB,即AB2=22+12-2×1×2×=7, ∴AB=, ∴cos B===, ∴sin B===, ∴tan B==. (2)解法一:令∠ADB=α.由余弦定理得c2=1+-2×1××cos α=1+-acos α, b2=1+-2×1××cos(π-α)=1++acos α. 所以b2+c2=2+=8,所以a=2. 又由题意知△ABD和△ACD的面积均为sin α=,则sin α=1,α=.所以b=c=2. 解法二:如图所示,延长AD至E,使DE=AD,连接BE,CE, 易得四边形ABEC为平行四边形,∴AB=CE,AC=BE,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,AE2=AC2+CE2-2AC·CEcos∠ACE,两式相加得BC2+AE2=2(AB2+AC2),即BC2+AE2=2(b2+c2)=16, 又AE=2AD=2,∴BC2=12,∴BC=2, ∵S△ADC=AD·DC·sin∠ADC=,AD=1,DC=, ∴sin∠ADC=1,∴AD⊥BC,∴b=c, 又b2+c2=8,∴b=c=2. 9.解析　(1)证明:由题设得BD=, 在△ABC中,由正弦定理知=, 即=, 代入BD=中,得BD=, 又b2=ac,∴BD=b. (2)解法一:由AD=2DC得AD=b,DC=, 在△ABD中,cos A===, 在△ABC中,cos A==. 故=, 化简得3c2-11b2+6a2=0, 又b2=ac,所以3c2-11ac+6a2=0, 即(c-3a)(3c-2a)=0, 所以c=3a或c=a. 当c=3a时,b2=ac=3a2, 所以b=a,此时a+b<c, 故a,b,c构不成三角形; 当c=a时,b2=ac=a2,所以b=a, 此时a,b,c可以构成三角形, 故c=a,b=a,所以在△ABC中,cos∠ABC===. 解法二:同解法一得到2a=3c或3a=c. 当2a=3c时,a=c,b2=ac=c2,由余弦定理得cos∠ABC==; 当3a=c时,a=,b2=ac=,由余弦定理得cos∠ABC==>1(舍). 综上,cos∠ABC=. 10.解析　(1)∵==(采分点:出现二倍角公式,给1分),cos B≠0, 即=, ∴cos Acos B-sin Asin B=sin B, 即cos(A+B)=sin B, 又C=,∴sin B=cos(A+B)=-cos C=-cos=, ∵0<B<,∴B=. (2)由(1)知,sin B=cos(A+B)=-cos C, ∵sin B>0恒成立,∴C∈, ∵-cos C=sin, ∴C-=B,∴A=-2B, ∵A>0,∴B∈, ∴== =, 令cos2B=t,t∈, ∴==4t+-5≥4-5, 当且仅当4t=,即t=时,取“=”. ∴的最小值为4-5. 考点2　解三角形的综合应用 1. B 2. 2 3. 2 4. 2 5. -1 6.解析　(1)由==2bc=2,得bc=1. (2)由正弦定理得- =- ==1, 即sin Acos B-cos Asin B-sin B=sin C=sin(A+B), 得-sin B=2cos Asin B, ∵sin B≠0,∴cos A=-, 又∵A∈(0,π),∴sin A=, ∴S△ABC=bcsin A=×1×=. 7.解析　(1)由余弦定理的推论得cos C===,又0<C<π,∴C=. 由sin C=cos B得cos B=sin =, ∴cos B=,由0<B<π得B=. (2)由=得=. 令==t,t>0,则b=t,c=t, ∵A=π-B-C=, ∴sin A=sin=, ∵S△ABC=bcsin A=×t×t×=3+, ∴t=2,因此c=2. 8.解析　(1)由已知得sin A+cos A=sin=1,因为0<A<π,所以<A+<,所以A+=,即A=. (2)由bsin C=2csin Bcos B及正弦定理==,得sin Bsin C=2sin Csin Bcos B,又sin B≠0,且sin C≠0,所以cos B=,则sin B=,则b=·sin B=×=2,又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=,所以c=·sin C=×=+,即a+b+c=2+3+, 所以△ABC的周长为2+3+. 9.解析　(1)2sin C=3sin A⇒2c=3a,又∵c=a+2,∴2(a+2)=3a,∴a=4,∴b=a+1=5,c=a+2=6,∴cos A===, ∴sin A==,∴S△ABC=bcsin A=×5×6×=. (2)由已知得c>b>a, 若△ABC为钝角三角形,则角C为钝角, ∴cos C=<0⇒a2+b2<c2⇒a2+(a+1)2<(a+2)2⇒a2-2a-3<0⇒-1<a<3,又a>0,∴a∈(0,3). 同时还应考虑构成△ABC的条件,即a+b>c⇒a+(a+1)>a+2⇒a>1. 综上所述,当a∈(1,3)时,△ABC为钝角三角形.∴存在正整数 a=2,使△ABC为钝角三角形. 10.解析　(1)在△ABC中,由余弦定理,得BC2=22+12-2×2×1×cos 120°=7,则BC=. 由正弦定理,得=, 则sin∠ABC===. (2)在Rt△ABD中,由(1)知sin∠ABD=,且∠ABD为锐角, 所以tan∠ABD=. 在Rt△ABD中,AB=2,则AD=AB·tan∠ABD=2×=. 在△ADC中,∠DAC=30°,AC=1, ∴△ADC的面积S=××1×sin 30°=. 一题多解 (2)在△ABC中,AB=2,AC=1,∠BAC=120°, ∴S△ABC=×2×1×sin 120°=, 又===, ∴S△ACD=S△ABC=. 11.解析　(1)证法一:∵sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A), ∴sin C(sin Acos B-cos Asin B)=sin B·(sin Ccos A-cos C·sin A),(利用两角差的正弦公式化简) 由正弦定理得accos B-bccos A=bccos A-abcos C, ∴accos B=2bccos A-abcos C, 由余弦定理的推论得ac·=2bc·-ab·,化简得2a2=b2+c2. 证法二:∵sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A), ∴sin C(sin Acos B-cos Asin B) =sin B(sin Ccos A-cos Csin A), ∴sin Csin Acos B+sin Bsin Acos C=2sin Bsin Ccos A, ∴sin A(sin Ccos B+cos Csin B)=2sin Bsin Ccos A, ∴sin A·sin(B+C)=2sin Bsin Ccos A, ∴sin2A=2sin Bsin Ccos A, 由正弦定理得a2=2bccos A, 又由余弦定理得a2=b2+c2-a2, ∴2a2=b2+c2. (2)由题意及余弦定理可得,b2+c2-a2=2bccos A=bc=25,即2bc=31,又由(1)知b2+c2=2a2,所以(b+c)2=2bc+2a2=81,所以b+c=9,所以a+b+c=14,故△ABC的周长为14. 12.解析　(1)由题意得S1=a2,S2=b2,S3=c2, ∴S1-S2+S3=(a2-b2+c2)=,即a2-b2+c2=2, 由cos B=得a2+c2-b2=2accos B, 故2accos B=2,∴accos B=1, 又∵sin B=,∴cos B=或cos B=-(舍), ∴ac=,∴S△ABC=acsin B=××=. (2)由正弦定理==得=, 又知ac=,sin Asin C=, ∴=,∴=, ∴b=sin B=×=. 练速度 1. A 2. C 3. D 4. A 5. A 6. B 7. C 8. D 9. 10.解析　(1)因为2acos A+bcos C=ccos(A+C),所以2acos A+bcos C=-ccos B, 由正弦定理得2sin Acos A+sin Bcos C=-sin Ccos B, 所以2sin Acos A=-sin Ccos B-sin Bcos C=-sin(B+C)=-sin A, 又sin A≠0,所以cos A=-, 又A∈(0,π),所以A=. (2)因为a=,BC边上的高为, 所以△ABC的面积S=bcsin∠BAC=bcsin =××,解得bc=4, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=b2+c2+bc=(b+c)2-bc,即()2=(b+c)2-4,解得b+c=5, 所以△ABC的周长为a+b+c=5+. 11.解析　(1)因为A+B+C=π,A=, 所以sin 2B=sin=sin-2C=-cos 2C, 由sin 2B=sin A-sin C可得-cos 2C=-sin C,即2sin2C+sin C--1=0, sin C=, 因为0<C<,则0<sin C≤1, 故sin C=,故C=,则B=. (2)因为sin 2B=sin A-sin C, 所以2sin Bcos B=sin A-sin C. 所以由正弦定理得cos B===, 由余弦定理的推论知cos B==+1=+1=,解得ac=. 因为sin B==,故S△ABC=acsin B=××=. 12.解析　(1)由题意知2sin=sin B,A+B=, 所以2sin=sin B, 即2sin cos B-cos sin B=sin B, 化简得cos B=2sin B, 所以tan B=,所以sin B==. (2)由(1)知A,B,C为定值. 若选①a=3,由正弦定理可知△ABC存在且唯一确定,记AB边上的高为h, 则h=asin B=3×=9, 所以AB边上的高为9. 若选②a=2b,由(1)知sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=×+×=, 由正弦定理知=≠,所以△ABC不存在. 若选③△ABC的周长为7+5,即a+b+c=7+5, 由(1)得sin A=sin(B+C)=. 因为sin A∶sin B∶sin C=∶∶=3∶2∶,所以由正弦定理得a∶b∶c=3∶2∶, 设a=3k,b=2k,c=k,其中k>0,则5k+k=7+5,解得k=,所以a=3, 所以△ABC存在且唯一确定,下同选①. 练思维 1. D 2. D 3. C 4. BCD 5. AC 6. BC 7. 6,4 8. 9.解析　(1)由题意得acos B+b=c,由正弦定理得sin Acos B+sin B=sin C, 因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以sin Acos B+sin B=sin Acos B+cos Asin B, 即sin B=cos Asin B,因为B∈(0,π),所以sin B≠0,则cos A=, 由A∈(0,π)得A=. (2)由A+B+C=π,A=得B=π-C, 因为△ABC是锐角三角形, 所以即 所以<C<. ====+, 又tan C>,所以0<<, 所以的取值范围为. =+,设=t,t∈, 则f(t)=2t+, 易知f(t)在上单调递减,在上单调递增, 又f=3, f=2, f(2)=, 所以f(t)∈, 即的取值范围是. 10.解析　(1)由题意及正弦定理可得2sin B-3sin Asin C=0, 即2sin(A+C)-3sin Asin C=0, 即2sin Acos C+2cos Asin C=3sin Asin C, 则+=3, 因为tan C=1,所以tan A=2, 所以tan B=-tan(A+C)=-=3, 则cos 2B=cos2B-sin2B===-. (2)由(1)可知+=3, 即+=, 由tan(A+B)=可得tan A+tan B+tan C =tan(A+B)(1-tan Atan B)+tan C =-tan C(1-tan Atan B)+tan C =tan Atan Btan C>0, 即tan A,tan B,tan C∈(0,+∞), 所以△ABC为锐角三角形, 因为≤,≤,a,b>0,a=b时等号成立 即≥, 所以tan2C+tan2A≥,当且仅当tan A=tan C=时等号成立, 故tan2C+tan2A的最小值为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$