精品解析：安徽省六安市重点中学2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2025年春学期期末考试 八年级数学学科 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 生活中，可以用身体上的尺子：肘、拃、步长等来估计距离．某校教室新安装了一批屏幕为矩形的多媒体设备，某同学想知道屏幕有多大，他用手掌测量得多媒体屏幕的长是12拃，宽是5拃，请你帮他计算出多媒体屏幕的对角线长度大约是（1拃）（ ） A. B. C. D. 4. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图所示），其轮廓是个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，右图是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ） A. OA＝OC，OB＝OD B. AB＝CD，AO＝CO C. AB＝CD，AD＝BC D. ∠BAD＝∠BCD，AB∥CD 6. 如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，为的中位线，点在上，且，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为（ ） A. 22 B. 45 C. 55 D. 73 9. 实数、满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，，，是对角线上的动点，且，分别是边，边上的动点． 下列四种说法中正确的是（ ） ①存在无数个平行四边形； ②存在无数个矩形； ③存在无数个菱形； ④存在无数个正方形． A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 比较大小：______（填“”或“”）． 12. 某班数学综合与实践活动小组的5位同学在一次数学测验成绩分别为81分，83分，89分，85分，87分，经过计算这组数据的方差为m、若小红和小明同学也想加入小组，并且两人成绩均为85分，那么加入后小组成绩的方差为n，则m和n的大小关系为________ 13. 如图，在中，，，于点，为上任意一点，则_______． 14. 如图，在菱形中，． （1）菱形的面积为______． （2）若点分别在上，且，连接，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共90分） 15. 计算： 16. 解方程：3x2+x﹣4＝0 17. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段AB的端点A，B都在正方形网格的格点上． （1）请在网格中画出，使（点C，D都在正方形网格的格点上）； （2）在（1）中所画出的内部取一点O，连接，使得直线平分的面积（保留必要作图痕迹）． 18. 如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且， （1）连接，求的长 （2）求这块菜地的面积． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知5是此方程的一个根，求k的值和这个方程的另一个根 20. 观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：________ （2）写出你猜想的第个等式________（用含的式子表示）； （3）证明第（2）题结论． 21. 2024年是中国航天的重要一年，也是中国航天继续迈向辉煌的一年！其中，神舟十八号载人飞船预计将于2024年4月下旬发射，将接任神舟十七号继续执行空间站任务．某校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛；现从该校七、八年级中各随机抽取n名学生的竞赛成绩（百分制，单位：分），并将竞赛成绩进行收集与整理，下面给出了部分信息． 信息一：将每个年级学生的竞赛成绩数据分成6组：A：，B：，C：，D：，E：，F：． 信息二：七年级竞赛成绩频数分布直方图和八年级竞赛成绩扇形统计图 信息三：八年级竞赛成绩的众数落在D组，八年级竞赛成绩D组和F组的数据为： D组：85，86，86，86，87，88，89；F组：95，98，99． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，七年级竞赛成绩的中位数落在______组，八年级竞赛成绩的众数是______分； （2）若把频数分布直方图中每组学生的平均成绩用这组数据的组中值代替（如的组中值为72.5），请求出七年级此次所抽取学生的平均成绩； （3）若七、八年级各有600名学生参加此次竞赛，试估计该校这两个年级此次竞赛成绩不低于95分的总人数． 22. 随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，安徽电动汽车在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了2.88万辆． （1）求前三季度销售量的平均增长率． （2）某厂家目前只有1条生产线，经调查发现，1条生产线最大产能是6000辆/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少200辆/季度． ①现该厂家要保证每季度生产电动汽车2.6万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ ②是否能增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到6万辆，若能，应该再增加几条生产线？若不能，请说明理由． 23. 已知：正方形中，点P为线段上一个动点，过点B作交边于H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，把线段沿向上平移到位置，连接，分别交、、、于点M、E、F、N ①若E为中点，，，求的长； ②如图3，在上截取，连接，G为中点，连接，．若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期期末考试 八年级数学学科 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的概念、二次根式的性质，理解最简二次根式的概念是解答的关键． 根据最简二次根式的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，此选项符合题意； B、不是最简二次根式，此选项不符合题意； C、不是最简二次根式，此选项不符合题意； D、不是最简二次根式，此选项不符合题意， 故选：A． 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将常数项移到等号的右边，然后配方将方程左边配成一个完全平方式即可． 【详解】 ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了“配方”的知识，掌握完全平方公式是解答本题的关键． 3. 生活中，可以用身体上的尺子：肘、拃、步长等来估计距离．某校教室新安装了一批屏幕为矩形的多媒体设备，某同学想知道屏幕有多大，他用手掌测量得多媒体屏幕的长是12拃，宽是5拃，请你帮他计算出多媒体屏幕的对角线长度大约是（1拃）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据勾股定理可知多媒体屏幕的对角线长度的平方是多媒体屏幕的长和宽的平方和，据此求解即可． 【详解】解：由勾股定理得：多媒体屏幕的对角线长度（拃）， ∵1拃， ∴多媒体屏幕的对角线长度约为， 故选：C． 4. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图所示），其轮廓是个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，右图是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形外角和定理，掌握正八边形的外角和为是解此题的关键．由多边形的外角和定理可直接求出结论． 【详解】正八边形的外角和为， 每一个外角为， 故选：． 5. 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ） A. OA＝OC，OB＝OD B. AB＝CD，AO＝CO C. AB＝CD，AD＝BC D. ∠BAD＝∠BCD，AB∥CD 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、∵OA=OC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、由AB=CD，故选项B符合题意； C、∵AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∵∠BAD=∠BCD， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 6. 如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 根据矩形性质得出，，，，根据等腰三角形的判定得出，证明为等边三角形，得出，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 如图所示，为的中位线，点在上，且，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可． 【详解】解：为的中位线， ， ，是的中点， ， ， 故选：A． 8. 如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为（ ） A. 22 B. 45 C. 55 D. 73 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，代数式求值，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．由勾股定理可得，，，，再代入化简求值即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理可得，，，， ∴ ， 故选：C． 9. 实数、满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可得实数、可以看做是关于的方程的两个不同的实数根，则由根与系数的关系可得，则，据此可得． 【详解】解：∵实数、满足， ∴实数、可以看做是关于的方程的两个不同的实数根， ∴， ∴， ∴， ， 故选：A． 10. 如图，在平行四边形中，，，是对角线上的动点，且，分别是边，边上的动点． 下列四种说法中正确的是（ ） ①存在无数个平行四边形； ②存在无数个矩形； ③存在无数个菱形； ④存在无数个正方形． A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形、菱形以及正方形的判定，掌握特殊四边形的判定是解题关键．连接、，、、交于点，由平行四边形的性质可得，再根据平行四边形、矩形。菱形、正方形的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：如图，连接、，、、交于点， 四边形是 平行四边形， ，， ， ， 只需，四边形是平行四边形， 即存在无数个平行四边形，①正确； 只需，，四边形是矩形， 而是对角线上的动点，即存在无数个矩形，②正确； 只需，，四边形是菱形， 而是对角线上的动点，即存在无数个菱形，③正确 只需，，，四边形是正方形， 此时符合要求的正方形只有一个，不存在无数个，④错误， 故选：B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 比较大小：______（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，由于两个二次根式都大于0，因为只需要比较出两个二次根式平方后的结果的大小即可得到答案． 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：． 12. 某班数学综合与实践活动小组的5位同学在一次数学测验成绩分别为81分，83分，89分，85分，87分，经过计算这组数据的方差为m、若小红和小明同学也想加入小组，并且两人成绩均为85分，那么加入后小组成绩的方差为n，则m和n的大小关系为________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和计算公式，分别计算出原数据和新数据的方差即可得． 【详解】解：原数据的平均数为：， 方差为：； 新数据的平均数为：， 所以方差为： ∴ 故答案为：． 13. 如图，在中，，，于点，为上任意一点，则_______． 【答案】45 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，由，，，即可根据计算即可． 【详解】∵， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴ ． 故答案为：45． 14. 如图，在菱形中，． （1）菱形的面积为______． （2）若点分别在上，且，连接，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称-对短路径的计算，全等三角形的判定和性质，含特殊角的直角三角形的性质，掌握菱形的性质，轴对称的性质是解题的关键． （1）连接交于点，根据菱形的性质可得是含角的直角三角形，由此可得的值，根据菱形的面积计算方法即可求解； （2）如图，连接，作点关于直线的对称点，连接，可得，可证四边形为平行四边形，可得，于是当三点共线时，最小，根据菱形的性质，可证为等边三角形，，由此三点共线，当三点共线时，点，重合，可知，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，连接，交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，且， ∴是等边三角形， ∴，则， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 故答案为：； （2）如图，连接，作点关于直线的对称点，连接，可得， ∵四边形是菱形， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ，当三点共线时，最小， 四边形是菱形，， ∴， ∴为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 三点共线，当三点共线时，点，重合， ， ∴，即的最小值为4． 三、解答题（本大题共90分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式乘法和化简二次根式，再计算二次根式加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 16. 解方程：3x2+x﹣4＝0 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】（3x+4）（x﹣1）＝0， 3x+4＝0或x﹣1＝0， 所以． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解题关键在于掌握运算法则. 17. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段AB的端点A，B都在正方形网格的格点上． （1）请在网格中画出，使（点C，D都在正方形网格的格点上）； （2）在（1）中所画出的内部取一点O，连接，使得直线平分的面积（保留必要作图痕迹）． 【答案】（1） 如图，平行四边形即为所求． （2） 直线即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据平行四边形的判定以及数形结合的思想解决问题即可； （2）根据平行四边形的性质以及数形结合的思想解决问题即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 略． 18. 如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且， （1）连接，求的长 （2）求这块菜地的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）根据（1）所求可证明，则由勾股定理的逆定理可得，根据四边形的面积的面积的面积列式求解即可． 【小问1详解】 解：如图， ，，， ． 【小问2详解】 解：，，， ，， ， 是直角三角形，即， 四边形的面积的面积的面积 ， 答：这块菜地的面积为． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知5是此方程的一个根，求k的值和这个方程的另一个根 【答案】（1） 证明：∵， ， 无论取何值，， 则， ∴不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2），方程的另一根为 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系．一元二次方程的根与系数的关系为：．也考查了根的判别式． （1）根据根的判别式，即可得出，由此可证出不论取何值，方程必有两个不相等的实数根； （2）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入方程可得， 解得：， 当时，原方程为， 解得， 即方程的另一根为． 20. 观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：________ （2）写出你猜想的第个等式________（用含的式子表示）； （3）证明第（2）题结论． 【答案】（1） （2） （3） 证明：左边右边， ∴． 【解析】 【分析】（1）观察已知等式确定出第6个等式即可； （2）归纳总结得到一般性规律； （3）验证即可． 【小问1详解】 解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 第6个等式：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）猜想得； 故答案为：； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查的是数字的变化规律，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键． 21. 2024年是中国航天的重要一年，也是中国航天继续迈向辉煌的一年！其中，神舟十八号载人飞船预计将于2024年4月下旬发射，将接任神舟十七号继续执行空间站任务．某校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛；现从该校七、八年级中各随机抽取n名学生的竞赛成绩（百分制，单位：分），并将竞赛成绩进行收集与整理，下面给出了部分信息． 信息一：将每个年级学生的竞赛成绩数据分成6组：A：，B：，C：，D：，E：，F：． 信息二：七年级竞赛成绩频数分布直方图和八年级竞赛成绩扇形统计图 信息三：八年级竞赛成绩的众数落在D组，八年级竞赛成绩D组和F组的数据为： D组：85，86，86，86，87，88，89；F组：95，98，99． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，七年级竞赛成绩的中位数落在______组，八年级竞赛成绩的众数是______分； （2）若把频数分布直方图中每组学生的平均成绩用这组数据的组中值代替（如的组中值为72.5），请求出七年级此次所抽取学生的平均成绩； （3）若七、八年级各有600名学生参加此次竞赛，试估计该校这两个年级此次竞赛成绩不低于95分的总人数． 【答案】（1）20；C；86 （2）83.75 （3）估计该校这两个年级此次竞赛成绩不低于95分的总人数为120人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义，理解统计图表中各个数量之间的关系是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法． （1）根据八年级D组有7人，占总人数的，即可求出总人数，从而求出七年级B组人数和中位数； （2）根据平均数的计算公式求解即可； （3）用600×七年级和八年级成绩不低于95分人数所占比例即可． 【小问1详解】 八年级D组有7人，占总人数的， ∴； 总人数是20人， ∴B组人数有 ∴中位数是第10，11人 ∴七年级竞赛成绩的中位数落在C组； ∵八年级竞赛成绩的众数落在D组， ∴众数是86； 【小问2详解】 由题意得： 【小问3详解】 由题意得：人 ∴估计该校这两个年级此次竞赛成绩不低于95分的总人数为120人 22. 随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，安徽电动汽车在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了2.88万辆． （1）求前三季度销售量的平均增长率． （2）某厂家目前只有1条生产线，经调查发现，1条生产线最大产能是6000辆/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少200辆/季度． ①现该厂家要保证每季度生产电动汽车2.6万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ ②是否能增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到6万辆，若能，应该再增加几条生产线？若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）①4条； ②不能，理由： 设再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆/季度， 由题意得：， 整理得：， 此方程根的判别式为， 所以此方程没有实数根， 答：不能增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到6万辆． 【解析】 【分析】（1）设前三季度销售量的平均增长率为，根据在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了2.88万辆建立一元二次方程，解方程即可得； （2）①设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆/季度，根据现该厂家要保证每季度生产电动汽车2.6万辆建立方程，解方程即可得； ②设再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆/季度，根据每季度生产电动汽车达到6万辆建立方程，利用一元二次方程根的判别式进行分析即可得． 【小问1详解】 解：设前三季度销售量的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 答：前三季度销售量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：①设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆/季度， 由题意得：， 整理得：， 解得或， 在增加产能同时又要节省投入成本的条件下， ， 答：应该再增加4条生产线； ②略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，正确建立方程是解题关键． 23. 已知：正方形中，点P为线段上一个动点，过点B作交边于H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，把线段沿向上平移到位置，连接，分别交、、、于点M、E、F、N ①若E为中点，，，求的长； ②如图3，在上截取，连接，G为中点，连接，．若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质证明，得出即可； （2）①先证明垂直平分，再根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得，然后根据等边对等角和等量代换求得，根据直角三角形斜边中线的性质证出，再根据勾股定理求出，则可得出结果； ②连接并延长到H，使得，连接，，证明，得出，，证明，得出，，证明是等腰直角三角形，得出，证明也是等腰直角三角形，得出，根据勾股定理求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，，， 正方形是轴对称图形，为对角线上一点， ，， ∵把线段沿向上平移到位置，， ∴， ∵为的中点， ∴垂直平分， ， ， ， ， ， ∵ ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴； ②连接并延长到H，使得，连接，，如图所示： ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由正方形的性质可知，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关图形的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $