精品解析：江西省新余市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

新余市2023-2024学年度下学期期末质量监测八年级数学试题 说明：1、本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2、本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确的选项） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的为（ ） A. 1，， B. 2，3， C. 5，13，12 D. 4，，5 4. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 3，4 B. 4，3 C. 3，3 D. 4，4 5. 如图，把放在直角坐标系内，其中，，点A，B的坐标分别为，．将沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，线段扫过的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 6. 如图，在△ABC中，，，，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①；②四边形AEFD是平行四边形；③；④．正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 8. 若2，3，6，这五个数据的方差是3，则4，5，8，这五个数据的方差是______． 9. 直线沿轴向上平移3个单位后的解析式是______． 10. 对于任意的正数，定义运算“*”为计算计算的结果为________． 11. 如图，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为______． 12. 已知中，，，若沿射线方向平移m个单位得到，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是______． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2） 14. 如图，明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题，其大意为：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”请你解决这个问题． 15. 四边形中，，，，，垂足分别为、．求证：四边形是平行四边形 16. 图，图都是由边长为的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，请仅用无刻度直尺分别按要求画出图形． （1）在图中画出以为边的矩形，且点，均在格点上； （2）在图中画出以为边的菱形，且点，均在格点上． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线过x轴上的点A，且与直线相交于点，直线与x轴相交于点C． （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. （1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 19. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级 86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级 88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 90 八年级 84 87 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______，________． 同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由． 20. 2023年春节科幻电影《流浪地球2》火热上映，激发了人们阅读科幻书籍的热情．某学校图书馆购进甲、乙两种科幻书籍，已知购买1本甲图书和1本乙图书共需75元，购买1本甲图书的价钱比购买2本乙图书的价钱少15元． （1）求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元？ （2）某中学计划购进甲、乙两种图书共70本，且甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多6本，设乙种图书x本，购买甲、乙两种图书总费用y元，求y关于x的函数解析式并说明x的取值范围．怎样购买，才能使购书总费用y最少？并求出最少费用． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，直线l1：y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C；直线l2：y=kx+b与x轴交于点B（3，0），与直线l1交于点D，且点D的纵坐标为4． （1）不等式kx+b＞2x+2的解集是 ； （2）求直线l2的解析式及△CDE的面积； （3）点P在坐标平面内，若以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求符合条件的所有点P的坐标． 22. （1）如图1，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，求证：四边形是正方形； （2）如图2，在中，，平分，过点D作于点E，于点F，点H是的中点，连接，，． ①判断四边形的形状，并证明； ②已知，求的长． 六、（本大题共12分） 23. 问题背景：我们已经学过平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊的四边形，大家对它们的性质非常熟悉．在我们身边还有一种特殊的四边形－－等邻边四边形，即：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1）如图1，四边形的顶点在网格格点上，请你在的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形要求顶点在网格格点上． （2）如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”； （3）如图3，在矩形中，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新余市2023-2024学年度下学期期末质量监测八年级数学试题 说明：1、本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2、本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确的选项） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式加减法运算法则判断A和B，根据二次根式乘除法运算法则判断C和D． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握二次根式乘除法运算法则是解题关键． 3. 在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的为（ ） A. 1，， B. 2，3， C. 5，13，12 D. 4，，5 【答案】D 【解析】 【分析】解此题主要看是否符合勾股定理的逆定理即可． 【详解】解：A、 ，所以构成直角三角形，错误； B、 ，所以构成直角三角形，错误； C、132=122+52，所以构成直角三角形，错误； D、52≠42+（）2，所以不能构成直角三角形，正确； 故选：D． 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，解题关键在于掌握勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形． 4. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 3，4 B. 4，3 C. 3，3 D. 4，4 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数及中位数的概念进行判断即可． 【详解】3出现次数最多， 众数是3； 把这组数据从小到大排序为：3，3，3，4，4，5，6， 4位于第四位， 中位数为4； 故选：A． 【点睛】本题考查了众数及中位数的概念，一组数据中，出现次数最多的数为众数；按从小到大（或从大到小）顺序排列，处于中间位置的一个数（或两个数的平均数）为这组数据的中位数，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 5. 如图，把放在直角坐标系内，其中，，点A，B的坐标分别为，．将沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，线段扫过的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，线段扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是的长，底是点平移的路程．求当点落在直线上时的横坐标即可．此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段扫过的面积应为一平行四边形的面积． 【详解】解：如图所示． 依题意，线段扫过的面积为平行四边形的面积 点、的坐标分别为、， ． ，， ． ． 点在直线上， ，解得． 即． ． 即线段扫过的面积为16 故选：C． 6. 如图，在△ABC中，，，，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①；②四边形AEFD是平行四边形；③；④．正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由AB2+AC2=BC2，得出∠BAC=90°，故①正确；再由SAS证得△ABC≌△DBF，得AC=DF=AE=4，同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB=EF=AD=3，则四边形AEFD是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得∠DFE=∠DAE=150°，则③正确；最后求出S▱AEFD=6，故④正确；即可得出答案． 【详解】解：∵AB=3，AC=4，BC=5，32+42=52， ∴AB2+AC2=BC2， ∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°， ∴AB⊥AC，故①正确； ∵△ABD，△ACE都是等边三角形， ∴∠DAB=∠EAC=60°， ∴∠DAE=150°， ∵△ABD和△FBC都是等边三角形， ∴BD=BA，BF=BC，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°， ∴∠DBF=∠ABC， 在△ABC与△DBF中， ， ∴△ABC≌△DBF（SAS）， ∴AC=DF=AE=4， 同理可证：△ABC≌△EFC（SAS）， ∴AB=EF=AD=3， ∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确； ∴∠DFE=∠DAE=150°，故③正确； 过A作AG⊥DF于G，如图所示： 则∠AGD=90°， ∵四边形AEFD是平行四边形， ∴∠FDA=180°-∠DFE=180°-150°=30°， ∴AG=AD=， ∴，故④正确； ∴正确的个数是4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABC≌△DBF是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 8. 若2，3，6，这五个数据的方差是3，则4，5，8，这五个数据的方差是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立； 根据每个数据都加上一个数(或减去一个数)时，平均数也加或减这个数，方差不变，即可得出答案． 【详解】解：由题意知，数据4，5，8，这五个数据是将原数据分别加所得， 新数据的波动幅度与原数据一致， 这五个数据的方差是， 故答案为：． 9. 直线沿轴向上平移3个单位后的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据“上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将直线沿轴向上平移3个单位后， 所得直线的解析式是，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数的图像的平移，函数图像平移的规律“上加下减，左加右减”是解答本题的关键． 10. 对于任意的正数，定义运算“*”为计算计算的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算和实数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据新定义把数值代入得，再化简计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 11. 如图，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】由图象得到直线与直线的交点的坐标及直线与轴的交点坐标，观察直线落在直线的下方且直线落在轴下方的部分对应的的取值即为所求．本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：经过点的直线与直线相交于点， 直线与直线的交点的坐标为，直线与轴的交点坐标为， 又当时，， 当时，， 不等式的解集为． 故答案为： 12. 已知中，，，若沿射线方向平移m个单位得到，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】分，，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 沿射线方向平移m个单位得到， ∴，， 点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况 ①当时：如图，此时； ②当时：如图， 则：， 在中，，即：， 解得：； ③当时，如图： 此时， ∵， ∴， ∴； 综上：，或； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质．根据题意，准确的画图，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）本题考查了二次根式运算的知识；根据二次根式的乘除混合运算法则计算，即可得到答案； （2）运用二次根式混合运算、完全平方公式、平方差公式的性质计算，即可完成求解． 【小问1详解】 【小问2详解】 ． 14. 如图，明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题，其大意为：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”请你解决这个问题． 【答案】绳索的长度为14.5尺． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，勾股定理的实际应用，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 将题中条件转化为数学符号语言，证明四边形为矩形，推出， 再设，在利用勾股定理列方程求解． 【详解】由题意知：，，，． 四边形为矩形， ， 又， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得尺， 绳索的长度为14.5尺． 15. 四边形中，，，，，垂足分别为、．求证：四边形是平行四边形 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由BE=DF可得BF=DE，再由AD = BC，AE⊥BD，CF⊥BD，根据“HL”证得Rt△ADE≌Rt△CBF，即可得到∠ADE=∠CBF，从而得到AD∥BC，再结合AD=BC，即可证得结论. 【详解】证明：∵ ∴ 即 ∵，， ∴， 在与中， ∴ ； ∴， ∴， 又∵AD=BC ∴四边形是平行四边形， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解. 16. 图，图都是由边长为的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，请仅用无刻度直尺分别按要求画出图形． （1）在图中画出以为边的矩形，且点，均在格点上； （2）在图中画出以为边的菱形，且点，均在格点上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质找到点，的位置，再连线即可； （2）根据菱形的性质找到点，的位置，再连线即可． 【小问1详解】 解：如图中，矩形即为所求答案不唯一； 【小问2详解】 如图中，菱形即为所求． 【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用矩形和菱形的性质解决问题． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线过x轴上的点A，且与直线相交于点，直线与x轴相交于点C． （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）由点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出值，再根据待定系数法可求直线的解析式； （2）由点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出的值，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点、的坐标，由点、、的坐标利用三角形的面积可求出的面积； 本题考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）将代入中求出值；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点、的坐标 【小问1详解】 解：直线过点， ， 解得：， 把代入直线的解析式得， 解得． 故直线的解析式为； 【小问2详解】 解：直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为． 当时，， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为， ， 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. （1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，二次根式的混合运算，完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算． （1）所求的式子可以化成，然后把和的值代入求解即可． （2）所求的式子可以化成，进而化成，然后把和的值代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ，， ， 答：的值为． （2）解：，， ，， ． 答：的值为． 19. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级 86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级 88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 90 八年级 84 87 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______，________． 同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由． 【答案】（1）85，87，七； （2）220 （3） 我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好， 理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可； （3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【小问1详解】 解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94， 根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为， 八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数， A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生； 故答案为：85，87，七； 【小问2详解】 （人）， 答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． 20. 2023年春节科幻电影《流浪地球2》火热上映，激发了人们阅读科幻书籍的热情．某学校图书馆购进甲、乙两种科幻书籍，已知购买1本甲图书和1本乙图书共需75元，购买1本甲图书的价钱比购买2本乙图书的价钱少15元． （1）求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元？ （2）某中学计划购进甲、乙两种图书共70本，且甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多6本，设乙种图书x本，购买甲、乙两种图书总费用y元，求y关于x的函数解析式并说明x的取值范围．怎样购买，才能使购书总费用y最少？并求出最少费用． 【答案】（1）甲种图书每本的进价为45元，乙种图书每本的进价为30元． （2），购进甲图书38本，乙种图书32本时，总费用y最少，最少为2670元 【解析】 【分析】（1）设甲种图书每本的进价为元，乙种图书每本的进价为元，根据购买1本甲图书和1本乙图书共需75元，购买1本甲图书的价钱比购买2本乙图书的价钱少15元列出方程求解即可； （2）设乙种图书x本，则购进甲图书本，先列出y关于x的一次函数关系式，再由题意求出x的取值范围，最后根据一次函数的性质解答式即可． 【小问1详解】 解：设甲种图书每本的进价为元，乙种图书每本的进价为元， 由题意得：， 解得：， 答：甲种图书每本的进价为45元，乙种图书每本的进价为30元． 【小问2详解】 解：设乙种图书x本，则购进甲图书本， 由题意得：， ∵甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多6本， ∴， 解得：， ∵， ∴随x的增大而减小， ∴当时，y最小，最小值为：， ∴ ∴购进甲图书38本，乙种图书32本时，总费用y最少，最少为2670元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，直线l1：y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C；直线l2：y=kx+b与x轴交于点B（3，0），与直线l1交于点D，且点D的纵坐标为4． （1）不等式kx+b＞2x+2的解集是 ； （2）求直线l2的解析式及△CDE的面积； （3）点P在坐标平面内，若以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求符合条件的所有点P的坐标． 【答案】（1）x＜1 （2）2 （3）P（-3，4）或（5，4）或（1，-4） 【解析】 【分析】（1）直线l1交于点D，且点D的纵坐标为4，则4=2x+2，解得：x=1，故点D（1，4），即可求解； （2）将点B、D的坐标代入y=kx+b，再求出点E，点C的坐标，再由三角形面积公式即可求解； （3）分AB是平行四边形的一条边、AB是平行四边形的对角线两种情况，分别求解． 【小问1详解】 对于直线l1：y=2x+2，交于点D，且点D的纵坐标为4，则 4=2x+2， 解得：x=1， 故点D（1，4）， 从图象看，当x＜1时，kx+b＞2x+2， 故答案为：x＜1； 【小问2详解】 将点B（3，0）、D（1，4）代入y=kx+b得： ， 解得：， 故直线l2：y=-2x+6， 当x=0时，y=6, 对于直线l1：y=2x+2，当x=0时，y=2， ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 分别过点A、B作l2、l1的平行线交于点P″，交过点D作x轴的平行线于点P、P′， 对于直线l1：y=2x+2，当y =0时，x =-1， ∴ ∵B(3,0) ①当AB是平行四边形的一条边时， 此时符合条件的点为下图中点P和P′， 则AB=4=PA=P′D， 故点P的坐标为（-3，4）或（5，4）； ②当AB是平行四边形的对角线时， 此时符合条件的点为图中点P″，DA平行且等于BP“，由平移可知，点P″（1，-4）； 综上，点P（-3，4）或（5，4）或（1，-4）． 【点睛】本题为一次函数综合运用题，涉及到平行四边形的基本性质、求解不等式等知识点，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏． 22. （1）如图1，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，求证：四边形是正方形； （2）如图2，在中，，平分，过点D作于点E，于点F，点H是的中点，连接，，． ①判断四边形的形状，并证明； ②已知，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①菱形，见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质得出，根据正方形的判定进行判定即可； （2）①根据直角三角形的性质得出，根据斜边的中线等于斜边的一半得出，，证明，得出结论即可； ②根据四边形为菱形，得出，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴，，， ∵， ∴四边形是正方形． （2）①四边形为菱形． 证明：∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵点H是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形 ②设与的交点为O． ∵，点H是的中点， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 六、（本大题共12分） 23. 问题背景：我们已经学过平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊的四边形，大家对它们的性质非常熟悉．在我们身边还有一种特殊的四边形－－等邻边四边形，即：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1）如图1，四边形的顶点在网格格点上，请你在的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形要求顶点在网格格点上． （2）如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”； （3）如图3，在矩形中，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请直接写出的长度． 【答案】（1） 如图，四边形即为所求； （2）解：连接， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，， )， ， 四边形是“等邻边四边形”； （3）的长度为或或或． 【解析】 【分析】（1）根据”等邻边四边形”的定义，直接画出符合题意的图形即可； （2）利用证明，得，可证明结论； （3）首先求出的长，再分或或三种情形，分别画出图形，从而解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在矩形中， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ， ∵四边形是“等邻边四边形”， 当时，； 当时，作于， ， 在中，由勾股定理得，， 或； 当时，作于，则， ，，， ∴， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， 综上，的长度为或或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $