精品解析：山东省济南市2024-2025学年高二下学期7月期末学习质量检测数学试题

2025年7月济南市高二期末学习质量检测 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 用1，2，3，4这四个数能够组成无重复数字的三位数的个数为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 24 3. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中，常数项为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 5. 连续型随机变量，若，，则（ ） A. 0.8 B. 0.7 C. 0.6 D. 0.4 6. 定义在上的函数的导函数为，若，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 由若干根相同的木棍组成如图所示的长方体框架，一只蚂蚁从点P出发，沿木棍爬行到点Q的最短路径有（ ） A. 15种 B. 30种 C. 48种 D. 60种 8. 甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则（ ） A. B. 含项的系数为15 C. 各二项式系数和为64 D. 各项系数和为64 10. 已知函数，则（ ） A. 的极大值为4 B. 对 C. 的单调递增区间为 D. 当时， 11. 与两人玩游戏，A有标号为的张卡片，B有标号为，的张卡片．规则如下：①双方交替从对方手中抽取一张卡片，若抽到的卡片与自己手中的某张卡片数字相同，则将这两张卡片丢弃；②先从手中抽取；③当有一位玩家手中没有卡片时，该玩家获胜，游戏结束．记有张卡片，有张卡片时，获胜的概率为，则（ ） A. 若，则B恰好在两人共抽取4次后获胜的概率为 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 口袋中有大小、形状均相同的3个红球，2个白球，从中任取两个球，则取到的两个球颜色相同的概率为_______． 13. 两个相关变量x，y的一组数据统计如下表 x 2 3 4 5 6 y 2.8 3.1 3.3 3.8 4.0 根据上表可得经验回归方程中的为0.31，据此经验回归方程，当时，y的预测值为_______． 14. 过点可以作曲线的三条切线，则实数a的取值范围是_______． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从某校高一年级全体学生中随机抽取120人，进行文理选科倾向调查，得到如下列联表： 性别 倾向 男生 女生 合计 偏理科 40 90 偏文科 10 合计 60 120 （1）请完成上述列联表； （2）从女生中随机抽取一人，求该女生是偏文科生的概率； （3）根据小概率值的独立性检验，分析性别与选科倾向是否有关． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 2.70 3.841 6.635 ． 16. 已知函数在处取得极值． （1）求实数a的值； （2）若在上恒成立，求k的取值范围． 17. （1）证明：，其中，； （2）化简：，其中． 18. 甲、乙、丙三位同学进行猜拳游戏，规则如下：累计负两局者被淘汰；随机确定第一局的游戏者，另一人轮空；每局游戏的胜者与轮空者进行下一局游戏，负者下一局轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，游戏结束．设每局游戏双方获胜的概率都为． （1）求甲获得第二局比赛胜利的概率； （2）在甲获得第二局比赛胜利的条件下，第一局是由甲、乙进行游戏的概率； （3）已知第一局是由甲、乙进行游戏，记丙参加游戏的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 19. 已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围； （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年7月济南市高二期末学习质量检测 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求出极限值. 【详解】函数，求导得， 所以. 故选：A 2. 用1，2，3，4这四个数能够组成无重复数字的三位数的个数为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，选出3个数字，进行全排列，即可求解. 【详解】根据题意，可从1，2，3，4这四个数中，选出3个数字，进行全排列， 可得组成无重复数字的三位数的个数为. 故选：D. 3. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的散点图，结合相关系数的意义判断即得. 【详解】由图知，对应的与负相关，且对应的相关性更强，即； 对应的与正相关，且对应的相关性更强，即， 所以. 故选：A 4. 的展开式中，常数项为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】先将三项式变为两项式，再利用展开式的通项可得. 【详解】， 通项为， 令，所以常数项为. 故选：C. 5. 连续型随机变量，若，，则（ ） A. 0.8 B. 0.7 C. 0.6 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布的对称性可得. 【详解】由正态分布的对称性可得， 所以. 故选：B. 6. 定义在上的函数的导函数为，若，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数并利用导数确定单调性，再求解不等式即得. 【详解】令函数，求导得，而， 则，函数在上单调递增，又，则， 不等式，解得， 所以所求解集为. 故选：D 7. 由若干根相同的木棍组成如图所示的长方体框架，一只蚂蚁从点P出发，沿木棍爬行到点Q的最短路径有（ ） A. 15种 B. 30种 C. 48种 D. 60种 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，要使得爬行的距离最短，则需要向右爬3格，向前爬2格，向上爬1格，利用组合数的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，一只蚂蚁从点出发，沿木棍爬行到点， 要使得爬行的距离最短，则需要向右爬3格，向前爬2格，向上爬1格，共计6步， 则爬行的路径共有：不同的路径. 故选：D. 8. 甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式，结合、方差的性质列式求出最大值. 【详解】依题意，合格项目的个数，则，， 由每个项目合格得分，不合格扣2分，得甲的总得分， 因此，， 则，又， 所以当时，取得最大值. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则（ ） A. B. 含项的系数为15 C. 各二项式系数和为64 D. 各项系数和为64 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质求出，再利用二项式定理逐项分析判断. 【详解】对于A，由的展开式中仅第4项的二项式系数最大，得展开式共7项，则，A正确； 对于B，在的展开式中，含的项为，此项系数为，B错误； 对于C，的展开式的各二项式系数和为，C正确； 对于D，取，得的展开式各项系数和为0，D错误. 故选：AC 10. 已知函数，则（ ） A. 的极大值为4 B. 对 C. 的单调递增区间为 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】化简并求导，结合单调性和极大值判断AC；求出，通过计算的值判断B；根据，求出，结合单调性判断D. 【详解】对于A，因为， 所以，令，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以当时，有极大值，极大值为，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，由A得，的单调递增区间为，故C错误； 对于D，当时，，由A知，单调递减， 所以，即，故D正确， 故选：ABD. 11. 与两人玩游戏，A有标号为的张卡片，B有标号为，的张卡片．规则如下：①双方交替从对方手中抽取一张卡片，若抽到的卡片与自己手中的某张卡片数字相同，则将这两张卡片丢弃；②先从手中抽取；③当有一位玩家手中没有卡片时，该玩家获胜，游戏结束．记有张卡片，有张卡片时，获胜的概率为，则（ ） A. 若，则B恰好在两人共抽取4次后获胜的概率为 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：分析可能的各种可能，利用独立事件概率公式分别计算，然后求和即得；对于B：利用状态转换方法建立方程即可求解；对于C：利用状态转化方法建立一般递推关系，然后得解；对于D：利用C中建立的一般递推关系，计算前面几项的值，可猜想出一般公式，然后验证满足递推关系，根据由递推关系确定的数列的唯一性，验证了公式的正确性，进而判定. 【详解】选项A：①A先抽则；②A第二次抽则 则B恰好在两人共抽取4次后获胜的概率为，A正确； 选项B：当时，有，有； 第一次抽中的概率 (胜)；抽中的概率，此时有，有，后续获胜概率为， 所以，解得，故B错误； 选项C：当时， ①若先抽，则手中卡片的状态互换，接下来抽，胜的概率为，所以胜概率为， ②若先抽中一张之后，有张卡片，有张卡片（含有和手中卡片相同数字的所有卡片），后续抽后，状态必然变为有张卡片，有张卡片（包含与手中卡片数字相同的所有卡片），则后续胜概率为， 所以， 所以（＊）， 所以，故C正确； 选项D：猜测， 验证满足递推关系，由递推关系所确定奇数项的概率是确定的，故猜想成立. 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 口袋中有大小、形状均相同的3个红球，2个白球，从中任取两个球，则取到的两个球颜色相同的概率为_______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】利用组合计数问题，结合古典概率求解. 【详解】从5个球中任取2个球的结果有个，取到同色球的结果个， 所以取到的两个球颜色相同的概率为. 故答案为： 13. 两个相关变量x，y的一组数据统计如下表 x 2 3 4 5 6 y 2.8 3.1 3.3 3.8 4.0 根据上表可得经验回归方程中的为0.31，据此经验回归方程，当时，y的预测值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定数表，求出样本的中心点，进而求出回归方程即可得解. 【详解】由数表得， 经验回归方程过点，， 即，则当时，. 故答案为： 14. 过点可以作曲线的三条切线，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】设点为曲线上的一点，求得切线方程为，由切线过点，得到，令，求得，得出函数的单调性和极值，作出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】设点为曲线上的一点，则， 又由，所以，即切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 因为切线过点，可得，即， 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则当时，取得极小值，当时，取得极大值， 又因为， 当时，恒成立，且时，， 作出函数的图象，如图所示， 当时，函数的图象与直线在上有3个交点， 即过点的切线有3条，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从某校高一年级全体学生中随机抽取120人，进行文理选科倾向调查，得到如下列联表： 性别 倾向 男生 女生 合计 偏理科 40 90 偏文科 10 合计 60 120 （1）请完成上述列联表； （2）从女生中随机抽取一人，求该女生是偏文科生的概率； （3）根据小概率值的独立性检验，分析性别与选科倾向是否有关． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 2.70 3.841 6.635 ． 【答案】（1）列联表见解析； （2）； （3）有关. 【解析】 【分析】（1）根据题意完善列联表. （2）利用古典概率求解即得. （3）求出的观测值，与临界值比对作答. 【小问1详解】 列联表如下： 性别 倾向 男生 女生 合计 偏理科 50 40 90 偏文科 10 20 30 合计 60 60 120 【小问2详解】 由表格中数据知，60名女生中偏文科的有20名， 所以从女生中随机抽取一人，该女生是偏文科生的概率为. 【小问3详解】 零假设：性别与选科倾向无关， 由表格中数据经计算得， 根据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立， 即认为性别与选科倾向有关，此推断犯错误的概率不超过0.05. 16. 已知函数在处取得极值． （1）求实数a的值； （2）若在上恒成立，求k的取值范围． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用极值点求出并验证即可. （2）求出函数的单调区间，进而求出在上的最大值即可. 【小问1详解】 函数，求导得， 由在处取得极值，得，解得， 此时，当时，，当或时，， 即函数在处取得极值，所以. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，，因此，， 不等式在上恒成立，则在上恒成立，， 所以k的取值范围是. 17. （1）证明：，其中，； （2）化简：，其中． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用组合数的公式，进行化简，即可得证； （2）根据题意，结合倒序相加法，以及组合数的运行性质，即可求解. 【详解】（1）证明：由组合数的计算公式，可得， 又由，所以； （2）解：设， 则， 两式相加，可得， 所以，即. 18. 甲、乙、丙三位同学进行猜拳游戏，规则如下：累计负两局者被淘汰；随机确定第一局的游戏者，另一人轮空；每局游戏的胜者与轮空者进行下一局游戏，负者下一局轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，游戏结束．设每局游戏双方获胜的概率都为． （1）求甲获得第二局比赛胜利的概率； （2）在甲获得第二局比赛胜利的条件下，第一局是由甲、乙进行游戏的概率； （3）已知第一局是由甲、乙进行游戏，记丙参加游戏的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列： 2 3 4 数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据题意分情况列举即可； （2）结合（1），再利用条件概率公式即可求解； （3）由题知，对局数最多5局，的取值可以为2，3，4，先分析，的情形并计算概率，再利用概率和为1，确定的概率，写出分布列并计算期望. 【小问1详解】 根据题意，第一局中的游戏者可以为甲乙，甲丙，乙丙，对应事件设为， ，设甲获得第二局比赛胜利为事件， 若甲在第一局参加比赛则必须获胜，且在第二局也获胜，若甲第一局未参加比赛，则只需在第二局获胜即可， 所以， 甲获得第二局比赛胜利的概率. 【小问2详解】 由题知， ， 所以甲获得第二局比赛胜利的条件下，第一局是由甲、乙进行游戏的概率为. 【小问3详解】 由题知比赛最多进行5局，则的取值可以为2，3，4 时，丙分别在第2局和第4局输了比赛， 所以， 时，丙在2,3局获胜，第4局输，第5局继续比赛， 所以， 所以， 则分布列为： 2 3 4 . 19. 已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围； （3）设，证明：． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增； （2）； （3）证明：由（2）知，当时，， 取，则， 因此，即， 则 ， 所以. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调性. （2）利用导数讨论单调性，分和两者情况分别讨论求解. （3）由（2）的信息可得，取并代入不等式变形，利用裂项相消法求和推理得证. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 函数，求导得，, 令，求导得，， ①当，即时，由，则存在，使得当时，， 函数在上单调递增，当时，， 函数在上单调递增，因此与矛盾； ②当，即时，此时，， 下面证明恒成立即可，即证， 令，求导得， 函数在上单调递减，因此恒成立， 则，即，因此，即恒成立， 所以a的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $