精品解析：广东省河源市龙川县金安中学2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

金安中学2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（ ） A. B. C. D. 2. 一个不透明的袋子里装有3个红球和1个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是白球的概率（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，E为边延长线上一点，连结．若的面积为6，则的面积为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 如图，在边长都为1的方格纸上，小明同学绘制了艺术字体“A”，已知点，都在格点上，点在格线上，则点与点之间的距离为（ ） A. 5 B. C. D. 5. 如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（ ） A. B. C. D. 6. 把方程配方，化成的形式应为（ ） A. B. C. D. 7. 下列的各点中，在反比例函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形的对角线相交于点．若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，点E是的延长线上一动点，连接交于点F，若，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 2 10. 在一次实验操作中，如图①是一个长和宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6；现将图①容器向右倾倒，按图②放置，发现此时水面恰好触到容器口边缘，则图②中水面高度为（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 计算：________． 12. 如果关于x的方程没有实数根，那么m的最大整数值是__________. 13. 如图，菱形中，，若点P是菱形内一点，且，，则菱形的边长为______． 14. 如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点D，．若点C为x轴上任意一点，且，则k的值为____________． 15. 如图所示，在边长为4的正方形中，对角线与相交于点O，E是的中点，F是边（不与B、C重合）上的一个动点，过点E作，交与G，当为等腰三角形时，的长为______． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程: 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，的坐标分别为，，． （1）以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出（点，的对应点分别为点，），并直接写出点的坐标． （2）以点为位似中心，将按相似比为2放大，得到，在网络中画出（点，，的对应点分别为点，，），并直接写出点的坐标． 18. 某同学尝试在已知的中利用尺规作出一个菱形，如图所示． （1）根据作图痕迹，能确定四边形是菱形吗？请说明理由． （2）若，，，求四边形的面积． 19. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔O到的距离为，求小孔O到的距离． 20. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． （1）如图①，在上找一点P，使． （2）如图②，在上找一点P，使． 21. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元 22. 材料：对于一个关于的二次三项式（），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，如下例： 例：求的最小值； 解：令 ，的最小值为． 请利用上述方法解决下列问题： 题一：如图1，在中，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点．设． ①用含的代数式表示的长为________； ②求矩形的面积最大值． 题二：如图2，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 23. 综合运用 如图1，在中，，以为边长在的外部作正方形，以为长、为宽在的外部作矩形，以为长、为宽在的外部作矩形，延长交正方形的边于点P，延长交正方形的边于点Q，与交于点O． （1）如图1，若，求的值； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，交于点M，交于点N，求； （3）若，请直接写出． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金安中学2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体．找到从前面看到的图形即可． 【详解】解：从前面看这个构件，可以得到的图形是， 故选：C． 2. 一个不透明的袋子里装有3个红球和1个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是白球的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出这个口袋里一共有球的个数，然后用白球的个数除以球的总个数即可． 【详解】解：摸出白球的概率为． 故选：． 【点睛】本题考查了概率公式，掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 3. 如图，在中，E为边延长线上一点，连结．若的面积为6，则的面积为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查利用平行四边形的性质．首先根据平行四边形的性质，平行四边形和的高相等，即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴平行四边形和的高相等， ， 故选：C． 4. 如图，在边长都为1的方格纸上，小明同学绘制了艺术字体“A”，已知点，都在格点上，点在格线上，则点与点之间的距离为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，作交于点，交于，由图可得：，，，，则，从而得到，代入数值进行计算即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，作交于点，交于， ， 由图可得：，，，， ， ，即， ， 故选：D． 5. 如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知：，可得：，再由，代入即可求得答案． 【详解】由题意知：， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 故选：C 【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用问题，熟练地掌握相似三角形的判定和性质、并正确的列出相似比的关系式是解题的关键，属于基础应用题型． 6. 把方程配方，化成的形式应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用：先把方程两边同时除以3，得，再移项，得，配成完全平方公式，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 则 即 ∴ 故选：A 7. 下列的各点中，在反比例函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用图象上的点的横纵坐标的乘积等于1，进行判断即可． 【详解】解：A、，点不在函数图象上，不符合题意； B、，点不在函数图象上，不符合题意； C、，点在函数图象上，符合题意； D、，点不在函数图象上，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数图象上的点．熟练掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积等于，是解题的关键． 8. 如图，矩形的对角线相交于点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形性质得出，推出则有等边三角形，即，然后解直角三角形解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定、矩形的性质、正切的定义等知识点，求出是解答本题的关键． 9. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，点E是的延长线上一动点，连接交于点F，若，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，过点O作，交于点H，证明是的中位线，求出，，，再证明，由相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：过点O作，交于点H，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A． 10. 在一次实验操作中，如图①是一个长和宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6；现将图①容器向右倾倒，按图②放置，发现此时水面恰好触到容器口边缘，则图②中水面高度为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出，再由勾股定理求出，过点作于，由的比例线段求得结果即可． 【详解】解： 过点作于，如图所示： 设，则， 根据题意得：， 解得：， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 即， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式和计算特殊角的三角函数值，再按照先乘除后加减的运算顺序计算即可． 【详解】解： =3+ = 故答案为：． 【点睛】本题考查实数的运算，涉及二次根式的计算、特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握运算法则． 12. 如果关于x的方程没有实数根，那么m的最大整数值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是首先理解没有实数根就是指， 根据题目意思可知，解即可求，从而易知应取的最大值是． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得， 故的最大整数值是． 13. 如图，菱形中，，若点P是菱形内一点，且，，则菱形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】将逆时针旋转至，连接与交于点O，过点M作，垂足为H，过点B作，垂足为N，利用旋转性质，可得，，设，则，利用勾股定理求出的长度，利用勾股定理逆定理得出，再利用等腰三角形性质求出的长度，由平行线的判定得出，从而证明，得到，设，利用勾股定理求出的长，从而得出结果． 【详解】解：如图，将逆时针旋转至，连接与交于点O，过点M作，垂足为H，过点B作，垂足为N， 四边形为菱形， 旋转角，， ，， ， 设，则， ， ， ，，， 在中，， ， 在中，， 为直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ， 在中， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转性质，勾股定理，勾股定理逆定理，解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线判定，根据题意正确旋转构造三角形是解题关键． 14. 如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点D，．若点C为x轴上任意一点，且，则k的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先设点坐标，再根据点在第二象限，则，，然后由三角形面积公式求出即可．本题考查了反比例函数系的几何意义，关键是根据三角形的面积求出的值． 【详解】解：， ， 设点的坐标为， 点在第二象限， ，， ， ， 是反比例函数的图象上一点， ， 故答案为：． 15. 如图所示，在边长为4的正方形中，对角线与相交于点O，E是的中点，F是边（不与B、C重合）上的一个动点，过点E作，交与G，当为等腰三角形时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键注意分类讨论思想的运用．当为等腰三角形时，根据 ①，②，③ 三种情况讨论即可解决问题． 【详解】解：在正方形中，，， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 当为等腰三角形时， ①若，如图，过E作，，垂足分别为M、N， 得矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②若， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴； ③若，， ∴， ∵， ∴， ∴点F与点B重合（不符合题意舍去）， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程: 【答案】x=5,x=1 【解析】 【分析】先把原方程变形为（x-3）=4，然后利用直接开平方法解方程； 【详解】(1)原式=(x−3) =4， x−3=±2， 所以x=5,x=1 【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，解题关键在于掌握运算法则. 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，的坐标分别为，，． （1）以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出（点，的对应点分别为点，），并直接写出点的坐标． （2）以点为位似中心，将按相似比为2放大，得到，在网络中画出（点，，的对应点分别为点，，），并直接写出点的坐标． 【答案】（1）如图所示，； （2）如图所示，． 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图和位似作图，熟练掌握旋转和位似的性质是解答本题的关键． （1）先根据旋转的性质确定点，的位置，然后连线，再写出点的坐标； （2）先根据位似的性质确定点，，的位置，然后连线，再写出点的坐标； 【小问1详解】 解：如图，即为所求，， 【小问2详解】 解：如图，即为所求，． 18. 某同学尝试在已知的中利用尺规作出一个菱形，如图所示． （1）根据作图痕迹，能确定四边形是菱形吗？请说明理由． （2）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1） 解：四边形是菱形． 理由：由作图痕迹可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）． 【解析】 【分析】（）四边形是菱形．由作图痕迹可得，，，由可得，得到，进而得到，推导出，，即可求证； （）过点作于，由，得到，进而得到，，再由勾股定理得到，求出，由平行四边形面积公式即可求解； 本题考查了作一个角等于已知角，平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定方法，直角三角形的性质，勾股定理，菱形的面积，看懂作图是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的面积． 19. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔O到的距离为，求小孔O到的距离． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过O作于点C，CO交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过O作于点C，CD交于点， ∴，cm， ∴， 即， ∴， 即小孔O到的距离为． 20. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． （1）如图①，在上找一点P，使． （2）如图②，在上找一点P，使． 【答案】（1） 点P即为所要找的点； （2）如图： 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图中，利用平行线分线段成比例求解即可； （2）如图中，取格点，连接交于点P，连接．点P即为所求作． 【小问1详解】 解：如图1所示， 取格点E、F，连接交于点P， ， ， ， ， 【小问2详解】 解：如图2所示，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接， 点P即为所要找的点， ， ， ， ． 21. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元 【答案】（1）道路的宽为米 （2）每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可； 【小问1详解】 解：根据道路的宽为米， ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． 【小问2详解】 解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得， 答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元． 22. 材料：对于一个关于的二次三项式（），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，如下例： 例：求的最小值； 解：令 ，的最小值为． 请利用上述方法解决下列问题： 题一：如图1，在中，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点．设． ①用含的代数式表示的长为________； ②求矩形的面积最大值． 题二：如图2，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【答案】题一：①；②最大值为；题二：米 【解析】 【分析】题一：①运用矩形的性质，证明△AEF∽△ABC，用相似三角形的相似比等于对应高的比列式计算即可； ②设矩形的面积为S，建立等式，转化为给出的方法计算即可． 题二：设的长为米，则米，需要用的篱笆长为米，则，转化为给出的方法计算即可． 【详解】（1）∵四边形EFPQ是矩形, ∴EQ=DH=PF，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵四边形EFPQ是矩形, ∴EQ=DH=PF，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， 有最大值，最大值为． 题二：设的长为米，则米，需要用的篱笆长为米， ， 整理，得， ， ， ∴ ， 需要用的篱笆最少是米． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，相似三角形的判定与性质，能准确理解新方法，并运用新方法是解题的关键． 23. 综合运用 如图1，在中，，以为边长在的外部作正方形，以为长、为宽在的外部作矩形，以为长、为宽在的外部作矩形，延长交正方形的边于点P，延长交正方形的边于点Q，与交于点O． （1）如图1，若，求的值； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，交于点M，交于点N，求； （3）若，请直接写出． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）易得点B、C、H共线，点A、C、F也共线，根据，求出的长，证明四边形是平行四边形，得到，即可得证； （2）先证明平行四边形是矩形，进而推出，得到，求出的长，根据平行线分线段成比例，进行求解即可； （3）设，则，根据面积公式列出方程求出的值，再分两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意知：，则，即点B、C、H共线， 同理点A、C、F也共线， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【小问2详解】 由（1）知四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 设，则， ∵， 即， 解得或5， ∴或5， ①当时，则， 同（2）中方法可得， ∴； ②当时，则， 同（2）中方法可得，，， ∴． 综上，或． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性子，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $