精品解析：广东省深圳市福田区外国语学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年广东省深圳市福田外国语学校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 在传统游戏“石头、剪子、布”中，随机出一个手势，出“石头”的概率是（ 　） A. B. C. D. 3. 不解方程，判断方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等实数根 C. 有两个不相等实数根 D. 无法确定 4. 如图，在 中，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，张老汉想用长为70米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，并在边上留一个2米宽的门（建在处，门用其他材料）．设的长为米，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图， 和是以点为位似中心的位似图形，且点在线段上．若， 的周长为，则的周长是（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 7. 如图，在中，点 ， 分别在边 和 上，，连接交对角线 于点，若点是 的四等分点()，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 在正方形 中，，点 是边 的中点，连接，将沿翻折，点落在点处， 与 交于点，点是 的中点，则的长度是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 已知，则的值等于__________． 10. 在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为_________m． 11. 一个不透明的箱子里有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除了颜色外其他都相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出的两个球恰好颜色不同的概率为______． 12. 如图， 中，，垂足为 D， 平分，分别交 于点 F，E．若，则_______ 13. 在菱形中，E，F 分别是，边上的中点，G 为上一点，若， ，则的长为_____ 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 解一元二次方程： （1）； （2）． 15. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为，，． （1）画出将 向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （3）若内部任意一点的坐标为，直接写出经过（2）的变化后点 的对应点 的坐标（用含 a、b 的代数式表示） 16. 本期开学以来，初2015级开展了轰轰烈烈的体育锻炼，为了解中考体育科目训练的效果，从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，A等：优秀；B等：良好；C等：及格；D等：不及格），并将结果汇成了如图1、2所示的两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是 ； （2）图1扇形图中D等所在的扇形的圆心角的度数是 ，并把图2条形统计图补充完整； （3）我校九年级有1800名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 ； （4）已知得A等的同学有一位男生，体育老师想从4为同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率． 17. 安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 18. 如图，在四边形中，，，对角线 ，交于点O， 平分，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 19. 在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】：（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接，则__________ 【解决问题】：（2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，． ①如图2，当时，求证：平分，写出证明过程； ②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则__________； 【迁移应用】：（3）如图4，正方形的边长为是边上一点（不与点重合），连接 ，将线段 绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，则__________； （4）如图5，在菱形中，是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，若，求的长并说明理由． 20. 在正方形中，是对角线，点是 的中点，点 在 上，连接点关于的对称点是连接 （1）如图1，若经过点求证：； （2）如图2，连接若求的长； （3）当点三点共线时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省深圳市福田外国语学校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的俯视图，熟练掌握俯视图的定义是解题的关键．根据俯视图是从上面看到的形状图判断即可． 【详解】解：该几何体的俯视图是 ， 故选：B． 2. 在传统游戏“石头、剪子、布”中，随机出一个手势，出“石头”的概率是（ 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：由题意得：出“石头”的概率是； 故选C． 【点睛】本题主要考查概率，熟记概率公式是解题的关键． 3. 不解方程，判断方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等实数根 C. 有两个不相等实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，即可解答． 【详解】解：根据题意得， ∴方程有两个不相等实数根． 故选：C． 4. 如图，在中，，，，则 的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．注意掌握比例线段的对应关系是解题的关键；根据在中，，根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由，，即可求得 的长． 【详解】解：， ， 在中，， ， ， ， 故选：D． 5. 如图，张老汉想用长为70米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，并在边 上留一个2米宽的门（建在 处，门用其他材料）．设的长为 米，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，矩形面积公式．根据题意用含 的代数式表示出 长度，再利用矩形面积公式即可得到本题答案． 【详解】解：矩形在边 上留一个2米宽的门，设的长为 米，共用长为70米的棚栏围成矩形， ∴（米）， ∵围成一个面积为640平方米的矩形羊圈， ∴， 故选：D． 6. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，且点在线段上．若，的周长为，则的周长是（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位数图形的性质，掌握位数图形的性质，找出相似比是关键． 根据题意，得到，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，且， ∴，的周长为， ∴的周长是， 故选：B ． 7. 如图，在中，点 ， 分别在边 和 上，，连接交对角线 于点 ，若点 是 的四等分点()，，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，由四边形是平行四边形得，从而求证，再根据相似三角形的性质得，又点 是 的四等分点则，，再证明即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵点 是 的四等分点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 8. 在正方形 中，，点 是边 的中点，连接，将沿翻折，点 落在点 处， 与 交于点，点是 的中点，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠变换的性质和正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．连接，交 于点 ，作于点，根据翻折变换性质得到，，，设为，分别表示出的长，再利用勾股定理解出的值，再利用求出的长． 【详解】解：连接，交 于点 ，作于点， 四边形是正方形， ， ，． ． ． 沿翻折， 点 落在点 处，点 E 是边 的中点 ，．． 设，则， 在中，，，可得 ，． ． 在中，，， ． 在中，，， ， ． 解得（舍去），． ． ，， ． ，即． 解得 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 已知，则的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据比的性质，运用特殊值解法，令，，（）代入求值即可． 【详解】解：∵，令，，（） ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查比例的性质，求分式的值，令特殊值法求解，掌握比例的运算，代入求值是解题的关键． 10. 在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为_________m． 【答案】12 【解析】 【分析】根据某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长即可得出答案. 【详解】设旗杆的高度为x m, ∵ ∴ 故答案为12 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，掌握某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长是解题的关键. 11. 一个不透明的箱子里有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除了颜色外其他都相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出的两个球恰好颜色不同的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．解题的关键是掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球恰好颜色不同的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色不同的有4种情况， ∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率是：． 故答案为：． 12. 如图， 中，，垂足为 D，平分，分别交 于点 F，E．若，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，设，，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 在菱形中，E，F 分别是， 边上的中点，G 为上一点，若， ，则的长为_____ 【答案】## 【解析】 【分析】连接 ， ， ，， ，判定是等边三角形，是等边三角形，是等边三角形，过点F作于点H，利用勾股定理，面积的性质，正切函数解答即可． 【详解】解：连接 ， ， ，， ， ∵菱形，，， ∴，，， ∵E，F 分别是， 边上的中点， ∴， ∴是等边三角形，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 根据勾股定理，得，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴ ； 过点F作于点H， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，面积的性质，特殊角的正确函数，熟练掌握性质，勾股定理，三角函数是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【分析】本题考查了公式法，因式分解法解一元二次方程，选择适当解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法把方程化为，再进一步求解即可． （2）求解，再利用公式求解即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， ∴， ∴或， 解得：，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 15. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为，，． （1）画出将 向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （3）若内部任意一点的坐标为，直接写出经过（2）的变化后点 的对应点 的坐标（用含 a、b 的代数式表示） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，画位似图形，数形结合是解题的关键． （1）利用平移的性质得出对应点坐标位置进而得出答案； （2）画出一个以点O为位似中心的，使得与的相似比为即可； （3）根据相似比即可求得． 【小问1详解】 解：如图所示，为所求三角形． 【小问2详解】 解：如图所示，为所求角形． 【小问3详解】 解：由题意可知，且相似比为， ∴当点的坐标为时，对应点的坐标为：． 16. 本期开学以来，初2015级开展了轰轰烈烈的体育锻炼，为了解中考体育科目训练的效果，从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，A等：优秀；B等：良好；C等：及格；D等：不及格），并将结果汇成了如图1、2所示的两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是 ； （2）图1扇形图中D等所在的扇形的圆心角的度数是 ，并把图2条形统计图补充完整； （3）我校九年级有1800名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 ； （4）已知得A等的同学有一位男生，体育老师想从4为同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率． 【答案】（1）25 （2），补全图形见解析 （3）216 （4） 【解析】 【分析】（1）根据B级的人数除以B级所占的百分比，可得答案； （2）先求出D等级的人数，即可将条形统计图补充完整；再求出D等级所占比例，根据圆周角乘以D等级所占的比例，可得扇形的圆心角； （3）利用样本估计总体的方法知，全校总人数乘以D级所占的比例，可得答案； （4）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的情况，找到符合题意的情况，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 本次抽样测试的学生人数为（人）； 故答案为：25； 【小问2详解】 D等级的人数为， 所以D等所在的扇形的圆心角的度数， 故答案为：43.2° 条形统计图补充为： 【小问3详解】 （人）， 所以估计不及格的人数为216人； 故答案为：216； 【小问4详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中选中的两人刚好是一男一女的结果数为6， 所以选中的两人刚好是一男一女的概率． 【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，列表法或画树状图法求概率．根据条形统计图和扇形统计图得到必要的信息和数据是解题关键． 17. 安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔每个应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【小问1详解】 解：设头盔销售量的月增长率为 ， 根据题意得： ， 解得（舍去）， 答：头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设头盔每个涨价元， 根据题意得： ， 整理得， 解得， 要尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 18. 如图，在四边形中，， ，对角线 ，交于点O， 平分，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，勾股定理的运用，即可． （1）根据平行线的性质，则，根据角平分线的性质，则，根据等量代换，等角对等边，则，根据平行四边形、菱形的判定，即可； （2）根据菱形的性质，则，，， ，根据勾股定理的运用，则，，即可． 【小问1详解】 证明如下： ∵， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ， ∴平行四边形是菱形． 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴，，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 19. 在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】：（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接，则__________ 【解决问题】：（2）将矩形绕点A顺时针转动，边 与边 交于点M，连接，． ①如图2，当时，求证： 平分，写出证明过程； ②如图3，当点F落在上时，连接交 于点O，则__________； 【迁移应用】：（3）如图4，正方形的边长为是 边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转 至，作射线交的延长线于点G，则__________； （4）如图5，在菱形中，是 边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交 的延长线于点G，若，求的长并说明理由． 【答案】（1）45；（2）①证明见解析；② 4；（3）；（4），理由见解析 【解析】 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，得出，则可得出答案； （2）①由矩形的性质及平行线的性质证明，则可得出结论； ②过点B作于点E，求出，证明，得出，，证明，得出； （3）过点F作交 于点H，证明，得出，，证明是等腰直角三角形，则可得出答案； （4）过点F作，与的延长线交于点H，证明，得出，，，证出是直角三角形，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】解：（1）∵长方形纸片和是两个完全相同的长方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：45； （2）①证明：∵， ， ∵矩形中， ， ， 平分； ②过点B作于点E， ，， ， ， ， ， ， ， 又 ，， ， ，， ， ， ， 又 ，， ， ， 故答案为：4； （3）过点F作交 于点H， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转得，， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：； （4），理由如下： 过点F作，与的延长线交于点H，如图： 四边形是菱形， ，， ， 由旋转得，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． 20. 在正方形中，是对角线，点是 的中点，点 在 上，连接点 关于的对称点是连接 （1）如图1，若经过点求证：； （2）如图2，连接若求的长； （3）当点三点共线时，直接写出的长． 【答案】（1） 证明： 四边形是正方形，点是对角线 的中点， ， 是等腰直角三角形． 由对称的性质得： ； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，再由对称的性质可得：即可； （2）过点 作交的延长线于点延长交于点证明，可得，设则证明是等腰直角三角形，可得，从而得到，然后根据勾股定理，即可求解； （3）连接交 于点H，则，分两种情况讨论：当点E在上时，当点E在上时，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点 作交的延长线于点延长交于点 由对称的性质得： ． ， 设则 ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，连接交 于点H，则， 当点E在上时，延长交于点G，过点作于点F，连接，则垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由对称的性质得：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当点E在上时， 同理； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，是压轴题，难度较大，尤其是第三问需要分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $