精品解析：陕西省渭南市临渭区2024-2025学年高二下学期期末教学质量调研数学试题

临渭区2024~2025学年度第二学期期末教学质量调研 高二数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的. 1. 正项等比数列，，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质计算即可 【详解】在正项等比数列，， 所以，所以（舍去）. 故选：B. 2. 某班学生的一次数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：，且，则（ ） A. 0.14 B. 0.22 C. 0.23 D. 0.26 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合题设条件，即可求解. 【详解】因为数学考试成绩服从且， 所以， 又因为， 所以． 故选：B 3. 有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若表示取得次品的件数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据超几何分布的定义计算即可. 【详解】由题意知的可能取值为服从超几何分布，所以，所以. 故选：C项. 4. 随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分布列的性质求得，利用公式求得，，结合期望和方差的性质，即可求解. 【详解】由随机变量服从两点分布，若， 根据分布列的性质，可得，所以A正确； 又由，，所以B错误； 由，所以C错误； 由，所以D错误. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导函数，把代入求得，然后求得. 【详解】由已知， 则，即， 所以． 故选：D． 6. 已知等比数列的前项和，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】等比数列的和为，，根据公式，求出，则也要满足通项公式，即可得到方程，解得即可； 【详解】等比数列的前项和为，， 当时，可得，可得， 当时，，则 因为为等比数列，所以，解得 故选：． 7. 2023年第5届藏博会在拉萨举行，藏博会上本地核桃油深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示： 时间x 1 2 3 4 5 销售量y/万瓶 5.7 4.8 3.8 3.2 2.5 若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） A. 由题中数据可知，变量y与x负相关 B. 样本中心点为 C. 可以预测当时销量约为1.8万瓶 D. 线性回归方程中 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，利用表中的数据变化情况分析判断，对于B，利用计算平均数即可求出样本中心点，对于C，利用回归方程可求出预测值，对于D，利用回归方程一定过样本中心点即可求解. 【详解】对于A，从表中的数据看，随的增大而减小，所以变量负相关，所以A正确， 对于B，，则样本中心点为，所以B正确， 对于C，当时，， 所以可以预测当时销量约为1.6万瓶，所以C错误， 对于D，由选项B可得，得，所以D正确. 故选：C 8. 已知实数满足，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用转化思想，将代换，代换，则，满足：，即，再以代换，可得点，满足．因此求的最小值，即为求曲线上的点到直线的距离的最小值的平方．利用导数的几何意义，研究曲线和直线平行的切线性质即可得出答案． 【详解】解：代换代换，则满足：，即，以代换，可得点，满足. 因此求的最小值， 即为求曲线上的点到直线的距离的最小值的平方. 设直线与曲线相切于点， ，则， 解得，切点为. 点到直线的距离， 则的最小值为. 故选B. 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线的切线性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，问题转化是解题的关键，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 处取得极小值 D. 在处取得极大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导函数与函数的单调性和极值的关系求解. 【详解】当时，单调递增， 由图可知时，，单调递增，故A正确； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，故B错误； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，故C正确； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，故D正确. 故选：ACD. 10. 在等差数列中，．现从数列的前10项中随机抽取3个不同的数，记取出的数为正数的个数为．则下列结论正确的是（ ） A. 服从二项分布 B. 服从超几何分布 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得前10项中有6个正数，即可求解从而可判断服从超几何分布，即可判断ABC,由超几何分布的期望计算即可判断D. 【详解】依题意，等差数列公差，则通项为 ， 由得，即等差数列前10项中有6个正数， 的可能取值为的事件表示取出的3个数中有个正数，（）个非正数， 因此，不服从二项分布，服从超几何分布，不正确，B正确； 错误； 由题正确． 故选：． 11. 已知函数是其导函数，恒有，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，求导后可判断函数为增函数，利用单调性可依次判断各选项. 【详解】由题意得：令， 于是其导数． 又函数是其导函数，恒有，即，所以，即函数为增函数． 对于选项A：由，有，即，于是，故A正确； 对于选项B：由，有，即，于是，故B正确； 对于选项C：由，有，即，于是，无法比较与的大小关系，故C错误； 对于选项D：由，有，即，于是，即，故D正确. 故选：ABD． 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列的前项和，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用裂项相消求和即可. 【详解】由题意，， 则 故答案为： 13. 设等差数列，的前n项和分别为，，且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质化简计算作答. 【详解】等差数列，的前n项和分别为，， 所以. 故答案为： 14. 若关于x不等式恒成立，则的最小值是________________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数的定义域进行参变分离可得恒成立，设，利用导数求函数的最大值，即可求出的最小值. 【详解】由于，则原不等式可化为，设，则，当时，，递增；，，递减，可得在处取得极大值， 且为最大值.所以，则a的最小值为. 故答案为:. 【点睛】本题考查了函数的导数等基础知识，考查抽象概括、运算求解等数学能力，考查化归与转化、数形结合等思想方法.本题的关键是将不等式恒成立问题转化成求函数的最值问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极值-14. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1） （2）最小值为-14，最大值18 【解析】 【分析】（1）由极值和极值点，利用导数求出未知系数，再利用导数的几何意义求切点处切线的方程. （2）利用导数求函数单调区间，根据单调性求函数在区间上的最值. 【小问1详解】 因，故 由于在处取得极值-14，故有， 化简得，解得， 经检验，时，符合题意，所以. 则，，故. 所以曲线在点处的切线方程为：，即 【小问2详解】 ，， 解得或；解得， 即函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增， ， 因此在的最小值为.最大值为 16. 设为数列前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【小问1详解】 因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． 【小问2详解】 因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 17. 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，在11月21日至12月18日在卡塔尔境内举行．足球运动是备受学生喜爱的体育运动，某校开展足球技能测试，甲参加点球测试，他每次点球成功的概率均为．现他有3次点球机会，并规定连续两次点球不成功即终止测试，否则继续下一次点球机会．已知甲不放弃任何一次点球机会． （1）求甲恰好用完3次点球机会的概率； （2）甲每次点球成功一次，可以获得50积分，记其获得的积分总和为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，85.2 【解析】 【分析】（1）利用对立事件的概率公式求解即可； （2）由题意可得的所有可能取值为，然后求出各自对应的概率，从而可求出的分布列和数学期望． 【小问1详解】 设事件：恰好用完3次机会，事件：前2次均不成功，依题意得， ． 【小问2详解】 易知的所有可能取值为， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 50 100 150 所以 18. 我国今年4月神舟十八号载人飞船成功发射、神舟十七号载人飞船顺利返回地球，5月嫦娥六号探测器成功发射，航天工作者的艰苦努力和科技创新精神被公众广泛赞誉，航天精神成为新时代的时代楷模．为进一步弘扬航天精神、学习航天知识，传播航天文化，某校计划开展“航天知识大讲堂”活动，为了解学生对“航天知识大讲堂”的喜爱程度，从全校学生中随机抽取50名学生进行问卷调查，以下是调查的部分数据： 喜欢航天知识大讲堂 不喜欢航天知识大讲堂 合计 男 20 26 女 14 合计 50 附：，其中． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10828 （1）请将上面列联表补充完整，依据的独立性检验，能否认为该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与性别有关联； （2）现从抽取的“喜欢航天知识大讲堂”学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中随机抽取3人，记这3人中“喜欢航天知识大讲堂“的女生人为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1）填表见解析；有把握认为该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与“性别”无关 （2）分布列见解析；期望为1 【解析】 【分析】（1）给出列联表，计算的值，再结合的独立性检验进行判断； （2）由超几何分布求出分布列，再计算数学期望即可． 【小问1详解】 由题意，可得如下的的列联表： 喜欢航天知识大讲堂 不喜欢航天知识大讲堂 合计 男 20 6 26 女 10 14 24 合计 30 20 50 零假设为：该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与“性别”无关 根据表中数据，计算得到 根据的独立性检验，零假设为成立， 所以有把握认为该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与“性别”无关 【小问2详解】 在喜欢航天知识大讲堂的学生中按性别分层抽样， 男生为（人），女生为2人 X的所有可能取值为， 则： 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 随机变量X的期望 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明不等式：； （3）当时，不等式对在意恒成立，求实数b的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）直接求导，然后进行分类讨论即可； （2）式子变为，设，借助导数研究函数单调性，进而得到最值即可证明； （3）参变分离即证在上恒成立，转化为导数研究最值问题即可. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，在上单调递减， 当时，令，解得：， 令，则在上单调递增． 令，则在上单调递减， 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 当时，，要证明：； 即证：，即证：， 设， 令，解得：， x 1 0 单调递减 0 单调递增 在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，， ．即：， ； 【小问3详解】 由题意得：在上恒成立， 整理得：， 参变分离即证在上恒成立， 令，则只要证明的最大值即可． ． 令解得：， （列表如下） x + 0 - 单调递增 极大值 单调递减 在上单调递增，在上单调递减， ， 则实数b取值范围为. 【点睛】方法点睛：本题主要借助导数研究函数的单调性和极值最值.第一问需要对导数分类讨论；第二问需要构造新函数，转化为最值问题；第三问采取参变分离后构造新函数，求导讨论单调性，进而得到最值.考查分类讨论，转化思想，综合性较强，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临渭区2024~2025学年度第二学期期末教学质量调研 高二数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的. 1. 正项等比数列，，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 2. 某班学生的一次数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：，且，则（ ） A. 0.14 B. 0.22 C. 0.23 D. 0.26 3. 有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若表示取得次品的件数，则（ ） A. B. C. D. 4. 随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. 0 B. C. D. 6. 已知等比数列的前项和，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 2023年第5届藏博会在拉萨举行，藏博会上本地核桃油深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示： 时间x 1 2 3 4 5 销售量y/万瓶 5.7 48 3.8 3.2 2.5 若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） A. 由题中数据可知，变量y与x负相关 B. 样本中心点为 C. 可以预测当时销量约1.8万瓶 D. 线性回归方程中 8. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 在处取得极小值 D. 在处取得极大值 10. 在等差数列中，．现从数列的前10项中随机抽取3个不同的数，记取出的数为正数的个数为．则下列结论正确的是（ ） A. 服从二项分布 B. 服从超几何分布 C. D. 11. 已知函数是其导函数，恒有，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列的前项和，若，则______. 13. 设等差数列，的前n项和分别为，，且，则______. 14. 若关于x的不等式恒成立，则的最小值是________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极值-14. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最值. 16. 设为数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 17. 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，在11月21日至12月18日在卡塔尔境内举行．足球运动是备受学生喜爱体育运动，某校开展足球技能测试，甲参加点球测试，他每次点球成功的概率均为．现他有3次点球机会，并规定连续两次点球不成功即终止测试，否则继续下一次点球机会．已知甲不放弃任何一次点球机会． （1）求甲恰好用完3次点球机会的概率； （2）甲每次点球成功一次，可以获得50积分，记其获得的积分总和为，求的分布列和数学期望． 18. 我国今年4月神舟十八号载人飞船成功发射、神舟十七号载人飞船顺利返回地球，5月嫦娥六号探测器成功发射，航天工作者的艰苦努力和科技创新精神被公众广泛赞誉，航天精神成为新时代的时代楷模．为进一步弘扬航天精神、学习航天知识，传播航天文化，某校计划开展“航天知识大讲堂”活动，为了解学生对“航天知识大讲堂”的喜爱程度，从全校学生中随机抽取50名学生进行问卷调查，以下是调查的部分数据： 喜欢航天知识大讲堂 不喜欢航天知识大讲堂 合计 男 20 26 女 14 合计 50 附：，其中． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2706 3.841 5.024 6.635 10.828 （1）请将上面列联表补充完整，依据的独立性检验，能否认为该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与性别有关联； （2）现从抽取的“喜欢航天知识大讲堂”学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中随机抽取3人，记这3人中“喜欢航天知识大讲堂“的女生人为X，求X的分布列和数学期望． 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明不等式：； （3）当时，不等式对在意恒成立，求实数b取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$