精品解析：河北省邢台市2024-2025学年高一下学期7月期末测试数学试卷

邢台市2024—2025学年高一（下）期末测试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在一次比赛中，五位评委给甲选手的打分分别为，则甲选手得分的第30百分位数为（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 92 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知的内角的对边分别为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知两个单位向量的夹角的余弦值为，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直观图，若，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. 6. 不透明盒子中有除颜色外完全相同的两个黄球和两个红球，从中随机地取出两个球.设事件为“至少有一个黄球”，事件为“至少有一个红球”，则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥但不对立 C. 与相互独立 D. 7. 如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，是的中点，3，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知非等腰三角形内角分别为，若，则下列结论一定不正确的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 五名同学各投掷骰子一次，分别记录每次投掷骰子的点数，根据下列统计结果，可以推断可能投掷出点数1的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 平均数为3，极差为4 C. 平均数为4，方差为2 D. 中位数为3，众数为4 11. 如图，正四面体的四个顶点都在球的表面上，且球的表面积为，则（ ） A. B. 四面体的体积为 C. 过点且平行于平面的平面截四面体所得的截面面积为 D. 过三点的平面截四面体所得的截面面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为纯虚数，则实数__________. 13. 已知为互斥事件，且，则__________. 14. 如图，正方形的边长为4，是的中点，是正方形边上的一动点，是以为直径的半圆弧上一动点，则的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 甲､乙､丙三人独立地作答一道试题，且甲､乙､丙答对该道试题概率分别为. （1）求无人答对该道试题的概率； （2）求至少有两人答对该道试题的概率. 16. 如图，在正四棱柱中，是的中点，且. （1）证明：平面. （2）证明：平面. 17. 的内角的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若，求面积. 18. 某地为了解当她学生每天的运动时长，随机地调查了若干名学生一天的运动时长（单位：分钟），将所得数据按分组，按上述分组方法得到如图所示的频率分布直方图.已知运动时长在的频率之比为，且运动时长在的频数为7. （1）求被调查学生总人数； （2）求被调查的学生运动时长的平均数与中位数（结果保留小数点后两位，同一组中的数据用这组数据所在区间的中点值作代表）； （3）按比例用分层随机抽样的方式从运动时长在内的学生中抽取6人，再从这6人中任选3人，求运动时长在内的各有1人被选中的概率. 19. 如图1，在中，，如图2，将沿着翻折至，使得平面平面. （1）若，求三棱锥的体积； （2）若，求二面角的正切值； （3）求取得最小值时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 邢台市2024—2025学年高一（下）期末测试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在一次比赛中，五位评委给甲选手的打分分别为，则甲选手得分的第30百分位数为（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 92 【答案】B 【解析】 【分析】利用第30百分位数的定义求解即可. 【详解】将甲选手得分由小到大排列为：， 由，得甲选手得分的第30百分位数. 故选：B 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先进行复数的除法运算化简复数，再利用复数的几何意义求解. 【详解】∵， ∴其在复平面内对应的点位于第三象限 故选：C. 3. 已知的内角的对边分别为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合正弦定理及同公式判断得解. 【详解】在中， 由，得， 当时，若是钝角，则，因此“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知两个单位向量的夹角的余弦值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数量积的定义及运算律求解即得. 【详解】由单位向量的夹角的余弦值为，得， 所以 故选：D 5. 如图，是的直观图，若，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的直观图，利用余弦定理求出，再利用斜二测画法求出. 【详解】在中，， 由余弦定理，得， 解得，所以. 故选：A 6. 不透明的盒子中有除颜色外完全相同的两个黄球和两个红球，从中随机地取出两个球.设事件为“至少有一个黄球”，事件为“至少有一个红球”，则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥但不对立 C. 与相互独立 D. 【答案】D 【解析】 【分析】列出样本空间及事件，再利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义判断即得. 【详解】记两个黄球为，两个红球为，任取两个球的样本空间， 事件，事件， 对于AB，事件，即能同时发生，不互斥，AB错误； 对于CD，，C错误，D正确. 故选：D 7. 如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，是的中点，3，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接，，由是的中点，得∥，从而确定异面直线与所成角，根据题中条件分别求得，再由余弦定理即可得解. 【详解】取的中点，连接，，因为是的中点，所以∥， 则异面直线与所成角. 直三棱柱中，侧面是正方形，3，， ∴，. 在中，在中， 在中，. 在中，. ∴在中，. 故选：B. 8. 已知非等腰三角形的内角分别为，若，则下列结论一定不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，结合诱导公式求出关系的所有可能结果，再逐项分析判断. 【详解】在非等腰中，，，由， 得或或或， 即或或或， 当时，，则，，即AC可能正确； 当时，，B可能正确； 对于D，要，而，则必有，即，不成立，D错误. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组向量中，可以作为基底是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量基底的定义，共线向量的坐标表示逐项判断即得. 【详解】对于A，，不共线，可作基底，A是； 对于B，，，不能作基底，B不是； 对于C，，不共线，可作基底，C是； 对于D，不能作基底，D不是. 故选：AC 10. 五名同学各投掷骰子一次，分别记录每次投掷骰子的点数，根据下列统计结果，可以推断可能投掷出点数1的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 平均数为3，极差为4 C. 平均数为4，方差为2 D. 中位数为3，众数为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】举例说明判断ABD；根据出现点数1时方差与2的大小判断C. 【详解】对于A，当掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可出现点1，A是； 对于B，当掷骰子出现的结果为1，2，3，4，5时，满足平均数为3，极差为4，可出现点1，B是； 对于C，平均数为4，若出现点数1，则最多一个1，否则， 另四个数的和为19，则最多两个4，， 因此当平均数为4，方差为2时，一定不会出现点数1，C错误； 对于D，当郑骰子出现的结果为1，2，3，4，4时，满足中位数为3，众数为4，可出现点1，D是， 故选：ABD 11. 如图，正四面体的四个顶点都在球的表面上，且球的表面积为，则（ ） A. B. 四面体的体积为 C. 过点且平行于平面的平面截四面体所得的截面面积为 D. 过三点的平面截四面体所得的截面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用球的表面积公式求出球半径，再结合正四面体的结构特征逐项求解判断. 【详解】由球的表面积为，得球的半径，连接并延长交平面于，连接， 则点是正的中心，，， 对于A，由，解得，A正确； 对于B，四面体的体积，B错误； 对于C，过点且平行于平面的平面截四面体所得的截面三角形与相似， 其面积为，C正确； 对于D，延长交于，连接，则是的中点，， 过三点的平面截四面体所得的截面为， 其面积为，D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为纯虚数，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的乘法，结合纯虚数的定义求解. 【详解】， 由为纯虚数，得，所以. 故答案为： 13. 已知为互斥事件，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用互斥事件和的概率公式求得再利用对立事件的概率求解即得. 【详解】因为为互斥事件，则， 所以. 故答案为：. 14. 如图，正方形的边长为4，是的中点，是正方形边上的一动点，是以为直径的半圆弧上一动点，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】为定值，所以在方向射影最大时，最大. 【详解】， 最大时，的值最大，即在方向射影最大时，的值最大 所以于同向共线时最大， 在所有于同向共线的位置中，当M位于A、D两点时最大. 此时， . 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 甲､乙､丙三人独立地作答一道试题，且甲､乙､丙答对该道试题的概率分别为. （1）求无人答对该道试题的概率； （2）求至少有两人答对该道试题的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用对立事件及相互独立事件的概率公式列式计算得解. （2）利用对立事件及相互独立事件的概率，结合概率的加法公式计算即得. 【小问1详解】 依题意，无人答对该道试题的概率为. 【小问2详解】 至少有两人答对该道试题的概率. 16. 如图，在正四棱柱中，是中点，且. （1）证明：平面. （2）证明：平面. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）利用正四棱柱的结构特征，线面垂直的性质、判定推理得证. 【小问1详解】 在正四棱柱中，连接，连接，则为中点， 而是的中点，则，又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 四边形是正四棱柱的对角面，则四边形为矩形， 在正方形中，，则矩形正方形，，而， 因此，又平面，平面，则，又， 平面，于是平面，而平面， 因此，又平面， 所以平面. 17. 的内角的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若，求的面积. 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出即得. （2）利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算得解. 【小问1详解】 在中，由及余弦定理，得， 所以. 【小问2详解】 由余弦定理，得，即， 而，解得， 所以的面积为. 18. 某地为了解当她学生每天的运动时长，随机地调查了若干名学生一天的运动时长（单位：分钟），将所得数据按分组，按上述分组方法得到如图所示的频率分布直方图.已知运动时长在的频率之比为，且运动时长在的频数为7. （1）求被调查的学生总人数； （2）求被调查的学生运动时长的平均数与中位数（结果保留小数点后两位，同一组中的数据用这组数据所在区间的中点值作代表）； （3）按比例用分层随机抽样的方式从运动时长在内的学生中抽取6人，再从这6人中任选3人，求运动时长在内的各有1人被选中的概率. 【答案】（1）60； （2）平均数约为35.67，中位数约为； （3）0.3。 【解析】 【分析】（1）求出运动时长在的频率和频数即可. （2）利用频率分布直方图估计平均数和中位数的方法列式计算. （3）求出指定的3个区间内抽取的人数，再利用列举法求出古典概率. 【小问1详解】 由运动时长在的频率之比为，运动时长在的频数为7， 得运动时长在的频数分别为， 由频率分布直方图，得运动时长在的频率和为， 所以被调查的学生总人数为. 【小问2详解】 由（1），得数据在内的频率依次为， 所以被调查的学生运动时长的平均数； 中位数，，解得， 所以被调查的学生运动时长的中位数约为. 【小问3详解】 抽取的6人中，运动时长在内的人数分别为，分别记为，，， 任取3人的样本空间 ，共20个， 运动时长在内的各有1人被选中的事件，共6个， 所以. 19. 如图1，在中，，如图2，将沿着翻折至，使得平面平面. （1）若，求三棱锥的体积； （2）若，求二面角的正切值； （3）求取得最小值时的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】1）由题意知，当时，是的中点.取的中点，连接.由平面平面根据面面垂直的性质可证得平面.从而根据计算即可. （2）过作,垂足为，若时，可得.结合平面平面可得平面，故即为二面角的平面角，.再通过计算即可 （3）在中，设，则， 过作，垂足为，证得，根据余弦定理结合勾股定理将表示为，的函数，通过三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 当时，由,得，即是的中点. ∵∴ 取的中点，连接.则，. ∵平面平面，平面平面，平面 ∴平面. 所以，三棱锥的体积. 【小问2详解】 由（1）知在中，. 若时，，. 过作,垂足为，则. , 由得.即. 在三棱锥中，, ∵平面平面，平面平面，平面, ∴平面. 又∵，∴即为二面角的平面角. 在中， 所以，二面角的正切值为 【小问3详解】 在中，设，则， 过作，垂足为，则，， 在中，由余弦定理，得 . 在三棱锥中， 平面平面，平面平面，,平面 ∴平面. ∵平面，所以, 在中， . 由，得， 当，即时，取得最小值，. 此时，是等边三角形，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$