精品解析：河北省邢台市信都区邢台市第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题

邢台市2023-2024学年高一（下）期末测试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 某校高一年级有1100名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有900名学生．该校心理咨询室为了解该校学生的心理健康状况，对该校所有学生按年级采用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为150的样本，则样本中高一年级的学生人数为（ ） A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，则该三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定的 4. 在中，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是（ ） A. “甲取出球是红球”与“甲取出的球是黑球” B. “甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球” C. “甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球” D. “甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球” 6. 一个棱长为4的正四面体木块如图所示，点P在棱上，且，过点P将木块锯开，使截面平行于直线和，则截面图形的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 7. 如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ） A. 300m B. 600m C. D. 8. 一个大正方体木块的表面积为，将大正方体木块的表面涂上红色颜料，并且分割成若干个棱长为的小正方体木块．若从这些小正方体木块中任取一个，恰好取到有一面着色的小正方体木块的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，，，若A，B，C，D四个点能构成平行四边形，则点D的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 10. 样本，的数据如下表： 样本编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 0.06 0.04 0.08 0.05 0.05 007 0.07 0.06 0.40 0.35 0.41 0.44 0.34 0.36 0.40 0.42 样本，的平均数分别记为和，样本，的方差分别记为和，则（ ） A B. C. D. 11. 如图，四棱台的侧棱长均相等，四边形和四边形都是矩形，，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 该四棱台的体积为1344 B. 该四棱台的侧面积为 C. 该四棱台外接球的表面积为 D. 若在该四棱台内有一个球体，则该球体半径的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. ______． 13. 在正方体中，，分别为棱，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为______． 14. 已知M是所在平面内一点，若，且，设的面积为，的面积为，则______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，，满足，，． （1）若在上的投影向量为，求和的夹角； （2）若，，两两夹角为，且与垂直，求的值． 16. 某校高一年级共名学生参加某次数学考试后，学校随机抽取了若干份试卷对其得分（满分分）进行统计，按照，，，，分成组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）试估计本次数学考试分数的中位数（保留一位小数）； （3）试估计本次数学考试分数不低于的人数． 17. 已知正方体． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． 18. 某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动．本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答这4道题目，任何一道题答对就算通过本轮挑战赛．若参赛选手前两道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰．根据大数据统计，年龄在20岁到30岁之间与年龄在30岁到40岁之间的参赛选手在第一轮挑战赛中答对每道趣味智力题的概率分别为，．已知甲（25岁）、乙（35岁）两人都参与了该“趣味智力挑战赛”，他们每道题是否答对相互独立． （1）甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动，求甲通过第一轮挑战赛的概率； （2）求甲、乙均不需要通过参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛的概率； （3）求甲、乙均通过了第一轮挑战赛且只有一人需要参与一次公益活动的概率． 19. 在中，内角，，所对边分别为，，，且. （1）求角； （2）已知； ①求面积的最大值； ②延长至，使得，连接，设外接圆圆心为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 邢台市2023-2024学年高一（下）期末测试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 分析】由题可得，后可得答案. 【详解】，在复平面内对应的点位于第四象限． 故选：D 2. 某校高一年级有1100名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有900名学生．该校心理咨询室为了解该校学生的心理健康状况，对该校所有学生按年级采用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为150的样本，则样本中高一年级的学生人数为（ ） A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】由题意及分层抽样知识可得答案. 【详解】样本中高一年级的学生人数为． 故选：C 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，则该三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定的 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理进行边角互化，进而可判断三角形形状. 【详解】因为， 由正弦定理得， 则该三角形的形状是直角三角形， 故选：A. 4. 在中，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的条件、向量的减法运算和向量相等的概念即可求解. 【详解】， 则存在唯一的实数使，即， 所以． 故选：. 5. 一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是（ ） A. “甲取出球是红球”与“甲取出的球是黑球” B. “甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球” C. “甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球” D. “甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球” 【答案】C 【解析】 【分析】由互斥，对立事件定义分析各选项可得答案. 【详解】A选项，“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”是对立事件，故A错误； B选项，“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”可以同时发生，不是互斥事件，故B错误； C选项，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”是互斥且不对立事件，故C正确； D选项，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件，故D错误. 故选：C. 6. 一个棱长为4的正四面体木块如图所示，点P在棱上，且，过点P将木块锯开，使截面平行于直线和，则截面图形的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】分别在，，上取点D，E，F，可得四边形即为所求截面，求出周长可得答案． 【详解】如图所示， 分别在，，上取点D，E，F，且满足， 易得，， 所以四边形为平行四边形， 可得，， 因为平面，平面，所以平面， 平面，平面，所以平面， 所以四边形即为截面， 故截面图形周长为8． 故选：B. 7. 如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ） A. 300m B. 600m C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在、中利用锐角三角函数求出、，再在中利用余弦定理计算可得. 【详解】在中， 在中， 在中 ． 故选：C 8. 一个大正方体木块的表面积为，将大正方体木块的表面涂上红色颜料，并且分割成若干个棱长为的小正方体木块．若从这些小正方体木块中任取一个，恰好取到有一面着色的小正方体木块的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求解即可. 【详解】表面积为的正方体棱长为，体积为， 所以该大正方体可以分割成64个棱长为的小正方体， 分割后在大正方体每个面上既不靠近顶点，又不靠近棱边的位置有4个小正方体是一面着色的， 所以所求概率为， 故选：D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，，，若A，B，C，D四个点能构成平行四边形，则点D的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意分平行四边形为，和三种情况讨论，结合向量相等的坐标表示求解即可. 【详解】设点坐标为， 当平行四边形为时，，则，解得， 当平行四边形为时，，则，解得， 当平行四边形为时，，则，解得， 综上点D的坐标可以是，，， 故选：ACD 10. 样本，的数据如下表： 样本编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 0.06 0.04 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.40 0.35 0.41 044 0.34 0.36 0.40 0.42 样本，的平均数分别记为和，样本，的方差分别记为和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据平均数、方差公式计算可得. 【详解】依题意可得． ． ． ． 故选：AB 11. 如图，四棱台的侧棱长均相等，四边形和四边形都是矩形，，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 该四棱台的体积为1344 B. 该四棱台的侧面积为 C. 该四棱台外接球的表面积为 D. 若在该四棱台内有一个球体，则该球体半径的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出棱台的高，由棱台体积公式即可求得棱台体积，判断A；求出棱台的侧面的高，即可求得侧面积，判断B；求出外接球半径，即可判断C；判断该四棱台内有一个球体，该球体半径最大时球体与平面及平面相切，继而结合平面几何知识求得球的半径，即可判断D. 【详解】如图1，连接，交于点O，连接，交于点，连接． 由题意可得，， 则，．在直角梯形中，， 该棱台的体积，A正确． 梯形的高为，梯形的高为， 则梯形的面积， 梯形的面积， 该四棱台的侧面积为，B正确． 设该四棱台外接球的球心为，半径为R，结合题意可得在线段上， 设，则，由勾股定理得，解得， 则，该四棱台外接球的表面积为，C错误． 因为，所以当该球体的半径最大时，该球体与平面及平面相切， 设切点分别为Q，P，该球体的球心为，半径为r， 过点Q，P，O，的截面与棱，，，分别交于点E，F，M，N， 连接，交于点T，如图2． ，，由,则，, 解得，所以，同理求得． 因为，所以，即，解得， 经检验，，符合题意，D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：判断本题的关键是选项D的判断，解答时要确定该球半径最大时，球体与平面及平面相切，进而将空间问题转化为平面问题解决. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的乘除法运算法则计算即可. 【详解】． 故答案为：. 13. 在正方体中，，分别为棱，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据定义可得异面直线夹角. 【详解】 如图所示， 设，分别为棱，的中点，连接，，， 由正方体的性质易得，， 所以为直线与直线所成的角， 设正方体的棱长为，则，，， 故答案为：. 14. 已知M是所在平面内一点，若，且，设的面积为，的面积为，则______． 【答案】## 【解析】 【详解】 因为，， 所以，其中， 设，则点在直线上， 因为与同底，而高线之比等于与的比，即比值为， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，，满足，，． （1）若在上的投影向量为，求和的夹角； （2）若，，两两夹角为，且与垂直，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据投影向量的概念及公式直接计算； （2）根据垂直的向量表示，结合向量数量积的运算律列方程，解方程即可. 【小问1详解】 在上的投影向量为， 因为，，所以，即， 所以， 即和的夹角为； 【小问2详解】 由与垂直，所以， 整理得， 又，，，且，，两两夹角为， 则，，， 则，解得， 综上，的值为或． 16. 某校高一年级共名学生参加某次数学考试后，学校随机抽取了若干份试卷对其得分（满分分）进行统计，按照，，，，分成组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）试估计本次数学考试分数的中位数（保留一位小数）； （3）试估计本次数学考试分数不低于的人数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图频率和为，可得的值； （2）根据中位数的定义及公式可得解； （3）根据频率分布直方图可得频率，进而可得人数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得， 所以； 【小问2详解】 因为，， 所以本次数学考试分数的中位数在这一组， 设本次数学考试分数的中位数为，则， 解得， 所以估计本次数学考试分数的中位数为； 【小问3详解】 由频率分布直方图可得数学分数不低于的频率为， 用样本估计总体，可以估计数学分数不低于的人数为， 所以估计本次数学考试分数不低于的人数为． 17. 已知正方体． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理、性质定理可得答案； （2）取的中点M，利用线面垂直的判定定理、性质定理得为二面角的平面角．再由余弦定理可得答案. 【小问1详解】 连接． 在正方体中，平面， 平面，所以． 在正方形中，． 因为，平面， 所以平面． 因为平面，所以； 【小问2详解】 取的中点M，连接，，则． 在正方体中， 因为平面，平面，所以． 又因为，，平面， 所以平面，平面，则． 又因为，所以为二面角的平面角． 连接，设正方体的棱长为4．在中， ，， ． 由余弦定理得． 故二面角的余弦值为． 18. 某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动．本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答这4道题目，任何一道题答对就算通过本轮挑战赛．若参赛选手前两道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰．根据大数据统计，年龄在20岁到30岁之间与年龄在30岁到40岁之间的参赛选手在第一轮挑战赛中答对每道趣味智力题的概率分别为，．已知甲（25岁）、乙（35岁）两人都参与了该“趣味智力挑战赛”，他们每道题是否答对相互独立． （1）甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动，求甲通过第一轮挑战赛的概率； （2）求甲、乙均不需要通过参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛的概率； （3）求甲、乙均通过了第一轮挑战赛且只有一人需要参与一次公益活动的概率． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）计算甲第一轮挑战赛被淘汰的概率，再根据对立事件的概率，即可求解； （2）分别计算甲、乙不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛，再根据独立事件概率乘法公式，即可求解； （3）分别计算甲、乙通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率，由（2）的结论结合独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，即可求解. 【小问1详解】 设甲、乙两人第i次答对题目分别记为事件，， 则，． 甲第一轮挑战赛被淘汰的概率为， 则甲通过第一轮挑战赛的概率为． 【小问2详解】 设甲不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛为事件A，乙不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛为事件B，则， ． 故所求概率为． 【小问3详解】 甲通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为． 乙通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为． 故所求概率为． 19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角； （2）已知； ①求面积的最大值； ②延长至，使得，连接，设外接圆的圆心为，求的最小值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边，再结合余弦定理化简，即可求解角； （2）①由余弦定理，结合基本不等式求的最大值，再代入三角形面积公式，即可求解； ②首先转化向量，再利用正弦定理求的最大值，即可求解. 【小问1详解】 根据正弦定理角化边可知，， 即, ， 即，即， 即，， 所以，即，， 则； 【小问2详解】 ①因为，所以， 解得，当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 即面积的最大值为. ②设的中点为. . 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，所以. 故. 综上，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键是利用外接圆的性质，转化向量表示数量积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$