专题04 一次函数的图像与性质（压轴题专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题04 一次函数的图像与性质 目录 1 类型一、一次函数的定义 1 类型二、已知正比例关系求函数解析式 2 类型三、待定系数法求一次函数解析式 2 类型四、画一次函数图像 4 类型五、根据一次函数的性质求解 5 类型六、探索含绝对值的一次函数图像及性质 6 类型七、一次函数平移问题 9 类型八、一次函数与方程、不等式 10 类型九、与一次函数有关的面积问题 12 13 类型一、一次函数的定义 正比例函数解析式需满足以下4个条件： 1）未知数的次数为1；2）比例系数不为0；3)常数项为0；4）出现高次项时，高次项系数为0. 一次函数解析式需满足以下3个条件： 1）未知数的次数为1；2）比例系数不为0；3）出现高次项时，高次项系数为0. 1．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知关于x的函数是一次函数，求m的值． 2．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）若是正比例函数，求的值． 3．（24-25八年级上·广东茂名·期中）当，为何值时，． (1)是一次函数； (2)是正比例函数． 4．（24-25八年级上·安徽·期中）已知函数． (1)当，为何值时，此函数是一次函数？ (2)当，为何值时，此函数是正比例函数？ 类型二、已知正比例关系求函数解析式 两个变量y与x成正比例关系，则应满足的形式，这里的y与x可以表示任意整式. 5．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知与成正比例，当时，，求y与x之间的函数表达式． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）若与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在该函数的图象上，求的值． 7．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)将（1）中的函数图象向上平移1个单位，则平移后图象与x轴交点坐标为__________． 类型三、待定系数法求一次函数解析式 用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤： 1）设：设一次函数的解析式为； 2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组； 3）解：解二元一次方程组，求出k、b； 4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中. 8．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知关于x的一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直接写出当x取何值时，． 9．（24-25八年级上·安徽六安·期中）一次函数的图象经过点和两点． (1)求该一次函数的表达式； (2)求出该函数图象与x轴的交点坐标． 10．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）在平面直角坐标系中，若点，，在同一条直线上，求a的值． 11．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数的图像与坐标轴交于、两点，且，与正比例函数的图像交于点，若． (1)求一次函数和正比例函数的表达式； (2)结合图象直接写出不等式的解集． 12．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象与直线平行，且当时，． (1)求出这个一次函数的表达式； (2)画出该函数的图象． 类型四、画一次函数图像 一次函数的图像画法（两点法）：为了方便，画一次函数的图像，只需过图像上两点作直线即可，一般取(0，b)，两点.（依据：两点确定一条直线）. 13．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在以下平面直角坐标系中， (1)画出函数与的图象； (2)根据图象写出方程组的解； (3)根据图象写出不等式的解集． 14．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知函数． (1)填表，并画出这个函数的图象： x …… 0 ______ …… …… ______ 0 …… (2)根据函数的性质或图象： ①当，x的取值范围是______； ②当时，y的取值范围是______． 15．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）在平面直角坐标系中画出的函数图象，利用图象回答下列问题： (1)不等式的解集为_________； (2)已知点，点B在直线上，直线与y轴的交点为C．若的面积为4，则点B的坐标为_________． 类型五、根据一次函数的性质求解 16．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数． (1)为何值时，函数图象经过点？ (2)若一次函数的函数值随的增大而减小，求的取值范围； (3)直接写出一次函数的图象经过定点坐标． 17．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知一次函数． (1)若该函数值随自变量的增大而减小，求的取值范围； (2)若该函数图象不经过第二象限，求的取值范围． 18．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数． (1)若随增大而减小，求的取值范围； (2)若其图象与直线的交点在轴上，求的值； (3)若其图象不经过第二象限，且为整数，求的值． 19．（22-23八年级上·安徽安庆·期末）已知一次函数，当时，，求这个一次函数表达式． 20．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知一次函数． (1)当m为何值时，y随x的增大而减小？ (2)当m为何值时，函数图像经过原点？ (3)当m为何值时，函数图像与y轴的交点在x轴的下方？ 类型六、探索含绝对值的一次函数图像及性质 21．（23-24八年级上·安徽六安·期中）小颖根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小颖的探究过程，请你补充完整． (1)列表： 请把列表补充完整并在所给坐标系中画出该函数的图象； x … 0 1 2 3 4 … y … 1 0 …    (2)根据函数图象解决问题： ①该函数的最大值为______； ②若y随x的增大而减小，则x应满足的条件是_____； (3)运用合适的方法探究：若在同一坐标系中另有一次函数， ①当时，x的取值范围是______； ②将沿y轴怎样平移？能使与y的函数图象无交点？请写出具体的平移方向和距离． 22．（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． (1)①函数的自变量的取值范围是______； ②若点，是该函数图象上的两点，则______（填“”“”或“”）． (2)请补全下表，并在平面直角坐标系中，画出该函数的图象： … 0 1 3 5 … … … (3)函数和函数的图象如图所示，观察函数图象可发现： ①的图象怎样平移才能得到的图象？ ②观察函数的图象，写出该图象的一条性质； ③当时，______． 23．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）探索一个新函数的图象与性质时，在经历“列表、描点、连线”后，通过观察函数图象来归纳函数的性质．下面运用这样的方法探索函数的性质． (1)①完成下面列表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 0 ______ ______ ______ ______ 1 0 … ②根据列表在下列平面直角坐标系中先描点，再连线； (2)①函数y的最大值为______；当y随x的增大而减小时，x的取值范围是______； ②当时，x的取值范围是______． 24．（22-23八年级下·北京朝阳·期末）小明根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)函数的自变量x的取值范围是_________________； (2)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 1 m 3 … 写出表中m的值； (3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图像；    (4)小明结合该函数图像，解决了以下问题： ①对于图像上两点，，若，则_______（填“＞”，“＝”或“＜”）； ②当时，若对于x的每一个值，函数的值小于正比例函数的值，则k的取值范围是_______________． 类型七、一次函数平移问题 25．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数，将该函数向下平移1个单位后，若函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限，求k的取值范围． 26．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）已知一次函数过点，且与直线平行，求一次函数的解析式． 27．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，线段两个端点的坐标分别为，，一次函数的图像经过点和． (1)求一次函数的解析式； (2)将直线向上平移个单位长度，使平移后的直线经过线段的中点，求的值； (3)若直线经过点，且与线段有交点，求的取值范围． 28．（23-24八年级下·广东深圳·期末）在学习《图形的平移》后，某数学兴趣小组开展了在平面直角坐标系中研究直线平移的探究活动． 素材 两点确定一条直线 素材 图形平移的本质就是点的平移 素材 平移不改变直线的倾斜程度 任务 一次函数，与轴的交点为，与轴的交点为，若该函数图象向左平移个单位长度，此时点的对应点的坐标为______，点的对应点为的坐标为______，并求出平移后的函数表达式； 任务 一次函数，与轴的交点为，与轴的交点 ，将该函数向右平移个单位长度，线段扫过的图形面积为，请求出平移后的函数表达式． 类型八、一次函数与方程、不等式 一次函数和方程(组)的关系: 1）解一元一次方程一次函数，当y=0时，求x的值确定直线与x轴交点的横坐标. 2）解二元一次方程组求一次函数与图像的交点坐标两条直线与相交. 函数图像和不等式之间的关系: 1）解一元一次不等式已知一次函数，求当y>0或y<0时x的取值范围当y>0时，直线上的点在x轴上方，当y<0时,直线上的点在x轴下方. 2）解一元一次不等式一次函数，求当y1>y2时，x的取值范围以交点为界限，直线m1位于直线m2上方的那部分. 29．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）若直线与的交点在第四象限，求k的取值范围． 30．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图：已知直线经过点． (1)求直线的解析式； (2)若直线与直线相交于点C，求点C的坐标； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 31．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求的值； (2)写出方程组的解； (3)写出时，的取值范围． 类型九、与一次函数有关的面积问题 1）一直线与坐标轴围成的面积：一直线与坐标轴围成的面积为 2）两直线与一坐标轴围成的面积 （1）如图一，若求与x轴围成的图形面积(即△ABD的面积)，则以在x轴上的线段AB为底，高即为D点到x轴的距离，然后利用面积公式求出面积; （2）如图二，若求与y轴围成的图形面积(即△CDE的面积)，则以在y轴上的线段CE为底，高即为D点到y轴的距离，然后利用面积公式求出面积. 3）三直线围成的三角形面积 （1）利用割补法求解. （2）×水平宽×铅垂高 32．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）已知一次函数的图象与直线平行，且与轴交于点． (1)求该一次函数的函数表达式； (2)点为一次函数图象上的动点，求使时点的坐标． 33．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，已知直线过点，． (1)求直线l的表达式． (2)若直线与x轴交于点B，且与直线l交于点C． ①求的面积． ②在直线l上是否存在点P，使的面积是面积的3倍？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 34．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，正比例函数与一次函数（k，b是常数且）交于点C，一次函数与x，y轴分别交于点A与点B，已知． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知过点C的直线将的面积分为，求该直线的表达式． 35．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为． (1)求n、k、b的值； (2)求C点坐标； (3)求四边形的面积． 1．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴、轴分别相交于点、两点． (1)求直线的解析式； (2)点是直线上一动点，如果面积与面积相等，求点的坐标． 2．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）如图，一次函数与正比例函数的图象交于点． (1)求正比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，写出关于的不等式的解集． 3．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）一次函数的图象上有两个不同的点， (1)若，，，，则____________； (2)若，，求； (3)若且，记，试求的最大值． 4．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，直线：分别交x轴，y轴于A，B两点，直线：分别交y轴，x轴于C，D两点，直线相交于点P． (1)点P的坐标为______； (2)求四边形的面积； (3)过点P的直线把的面积二等分，求该条直线的表达式． 5．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过，两点，与一次函数交于点C，一次函数与x轴交于点D． (1)求直线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)求的面积． 6．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个正比例函数的表达式； (2)若一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且过点，将这个一次函数的图象向下平移4个单位，写出平移后函数表达式． 7．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）材料一：如图1，由画函数与的图象可知，直线可以由直线向上平移5个单位长度得到．由此我们得到正确的结论一：在直线：与直线：中，如果且，那么，反过来，也成立． 材料二：如图2，由画函数与的图象可知，利用所学知识一定能证出这两条直线是互相垂直的．由此我们得到正确的结论二：在直线：与：中，如果，那么，反过来，也成立． 应用举例：已知直线与直线互相垂直，则，所以． 解决问题： (1)请写出一条直线解析式，使它与直线平行． (2)如图3，点A坐标为，点P是直线上一动点，当点P运动到何位置时，线段的长度最小？画出图形，并求出此时点P的坐标． 8．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． (1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ (2)求直线的表达式和a的值； (3)若点P在直线上，且，求点P的坐标． 9．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）学完一次函数后、小明同学通过列表、描点、连线的方法画函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．由于在七年级学习了绝对值的意义：．请你帮助小明完成下列问题． (1)【探索】探究函数的图象与性质： 当时，，当时，； ①列表： …… 0 1 2 3 4 5 …… …… 5 3 1 1 3 5 …… ②请根据①中表格里的数据在给出的平面直角坐标系中描点，并画出的图象； ③多选题：结合图象，下列说法正确的有（　　） A．函数最小值是        B．时，值随值的增大而增大 C．当或时，    D．当时， (2)【拓展应用】若关于的方程有两个均大于1的实数解，结合图象求的取值范围，并直接写出此时的取值范围． 10．（2024八年级上·安徽·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，且直线与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求与直线的函数解析式； (2)如果点在直线上，且，求点的坐标； (3)如果点在直线上，且点的横坐标为，点在直线上，且轴，，直接写出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一次函数的图像与性质 目录 1 类型一、一次函数的定义 1 类型二、已知正比例关系求函数解析式 3 类型三、待定系数法求一次函数解析式 5 类型四、画一次函数图像 10 类型五、根据一次函数的性质求解 15 类型六、探索含绝对值的一次函数图像及性质 19 类型七、一次函数平移问题 27 类型八、一次函数与方程、不等式 31 类型九、与一次函数有关的面积问题 34 40 类型一、一次函数的定义 正比例函数解析式需满足以下4个条件： 1）未知数的次数为1；2）比例系数不为0；3)常数项为0；4）出现高次项时，高次项系数为0. 一次函数解析式需满足以下3个条件： 1）未知数的次数为1；2）比例系数不为0；3）出现高次项时，高次项系数为0. 1．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知关于x的函数是一次函数，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是根据一次函数的定义求参数，解题关键是牢记一次函数定义．一次函数中自变量的次数只能为，即，并且一次函数应含有自变量，则，综合即可求解． 【详解】解：是一次函数， 且， 由可得， 由可得， 综上可得． 2．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）若是正比例函数，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握形如的函数关系式的称为y关于x的正比例函数是解题的关键． 根据正比例函数的定义，即可求解． 【详解】解：∵是正比例函数， ， 解得：， ∴． 3．（24-25八年级上·广东茂名·期中）当，为何值时，． (1)是一次函数； (2)是正比例函数． 【答案】(1)． (2)，； 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，掌握注意一次项的系数不能为零是解题的关键． （1）根据形如，是常数是一次函数可得； （2）根据形如，是常数，是正比例函数可得 【详解】（1）解：当，时，是一次函数， ∴． 答∶当时，是一次函数； （2）解：当，，时，是正比例函数， ∴，， ∴，时，是正比例函数． 4．（24-25八年级上·安徽·期中）已知函数． (1)当，为何值时，此函数是一次函数？ (2)当，为何值时，此函数是正比例函数？ 【答案】(1)当，为任意实数时，这个函数是一次函数 (2)当，时，这个函数是正比例函数 【分析】此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握次数与系数的关系是解题关键． （1）直接利用一次函数的定义分析得出答案； （2）直接利用正比例函数的定义分析得出答案． 【详解】（1）解：根据一次函数的定义，得：， 解得， 又即， 当，为任意实数时，这个函数是一次函数； （2）解：根据正比例函数的定义，得：，， 解得，， 又即， 当，时，这个函数是正比例函数． 类型二、已知正比例关系求函数解析式 两个变量y与x成正比例关系，则应满足的形式，这里的y与x可以表示任意整式. 5．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知与成正比例，当时，，求y与x之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，掌握待定系数法是解答本题的关键． 设函数关系式为：，把，代入计算即可． 【详解】解：设函数关系式为：， 当时，， ， ， ∴与的函数关系式为：． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）若与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在该函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求函数解析式，求自变量的值： （1）设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可； （2）把代入（1）所求解析式中进行求解即可． 【详解】（1）解：设， 把时，代入得：， 解得， ，即； （2）解：把代入得， 解得． 7．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)将（1）中的函数图象向上平移1个单位，则平移后图象与x轴交点坐标为__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了成正比例的定义，待定系数法，一次函数图象的平移，熟练掌握待定系数法和一次函数图象的平移规律是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义设，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出平移后直线表达式，然后令求解即可． 【详解】（1）解：设， 把，代入，得：， 解得：， 则y与x的函数关系式是， 即； （2）解：由“上加下减”的原则可知， 将函数的图象沿y轴向上平移1个单位长度后所得函数的解析式为， 令，则， 解得：， ∴平移后的图象与x轴的交点的坐标为． 类型三、待定系数法求一次函数解析式 用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤： 1）设：设一次函数的解析式为； 2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组； 3）解：解二元一次方程组，求出k、b； 4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中. 8．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知关于x的一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直接写出当x取何值时，． 【答案】(1)； (2)当时，． 【分析】本题考查了待定系数法法求一次函数的解析式．一次函数图象上的点都满足一次函数解析式． （1）利用待定系数法即可求解； （2）作出点和，过两点作直线，根据图象，求出直线位于轴下面的部分的的取值范围． 【详解】（1）解：把点和代入一次函数得：， 解得， 则一次函数的解析式是：； （2）解：函数图象如图所示： 根据图象可得：当时，． 9．（24-25八年级上·安徽六安·期中）一次函数的图象经过点和两点． (1)求该一次函数的表达式； (2)求出该函数图象与x轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数解析式，直线与坐标轴的交点．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，直线与坐标轴的交点是解题的关键． （1）待定系数法求解即可； （2）分别令，计算求出对应的的值，然后作答即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 将和代入得， 解得， 一次函数解析式为． （2）解：令，可得，解得， 一次函数与轴的交点坐标为． 10．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）在平面直角坐标系中，若点，，在同一条直线上，求a的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，解题的关键是得出这条直线解析式；由题意可设，然后把点A、B坐标代入求解即可得出问题答案． 【详解】解：设，把A，B两点代入： ，      解得， ， 把点代入：， ． 11．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数的图像与坐标轴交于、两点，且，与正比例函数的图像交于点，若． (1)求一次函数和正比例函数的表达式； (2)结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，求一次函数解析式； （1）先求出两点坐标，即可求出解析式，再设点坐标根据列方程求出点坐标代入计算即可； （2）观察函数图象发现满足不等式的点都在点左边，即可解不等式． 【详解】（1）解：， ，代入， 得：， 解得， 一次函数的表达式为：， 将代入：，中得， 代入中得 ； （2）解：由图可得不等式：的解集为． 12．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象与直线平行，且当时，． (1)求出这个一次函数的表达式； (2)画出该函数的图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据一次函数的图象与直线平行，得，于是解析式变为，把当时，代入解析式解答即可． （2）利用描点法画图象即可． 本题考查了直线的平行条件，待定系数法，画函数图象，熟练掌握平行的条件，待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：根据一次函数的图象与直线平行， 得， 故直线的解析式变为， 把当时，代入解析式得， 解得， 故直线的解析式为． （2）解：根据描点法画图象，，画图如下： 类型四、画一次函数图像 一次函数的图像画法（两点法）：为了方便，画一次函数的图像，只需过图像上两点作直线即可，一般取(0，b)，两点.（依据：两点确定一条直线）. 13．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在以下平面直角坐标系中， (1)画出函数与的图象； (2)根据图象写出方程组的解； (3)根据图象写出不等式的解集． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了画一次函数图象、一次函数与方程组的关系、一次函数与不等式的关系等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）运用列表、描点、连线的步骤画出函数图形即可； （2）根据二元一次方程组的解为其对应函数交点的坐标，据此即可解答； （3）根据函数图象确定在上方部分所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：列表如下： x 0 1 5 4 3 描点、连线、画图如下： （2）解：方程组可化为：， 由函数图象可知直线与直线的交点坐标为， 所以方程组的解为． （3）解：∵当时，函数的图象在函数的下方， ∴不等式的解集为． 14．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知函数． (1)填表，并画出这个函数的图象： x …… 0 ______ …… …… ______ 0 …… (2)根据函数的性质或图象： ①当，x的取值范围是______； ②当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)，2，见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）分别将和代入函数的解析式求解即可得；再利用描点法画出函数图象即可得； （2）①结合函数图象求解即可得； ②结合函数图象求解即可得． 【详解】（1）解：对于一次函数， 当时，， 当时，，解得， 故答案为：，2． 利用描点法画出这个函数的图象如下： （2）解：①结合函数图象可知，当时，， 故答案为：； ②结合函数图象可知，当时，， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）在平面直角坐标系中画出的函数图象，利用图象回答下列问题： (1)不等式的解集为_________； (2)已知点，点B在直线上，直线与y轴的交点为C．若的面积为4，则点B的坐标为_________． 【答案】(1)图见解析， (2)或 【分析】本题考查了一次函数图象和性质，熟练掌握一次函数图象和性质是解题的关键． （1）直线中，当时，；当时，，过点，画直线即可得到的图象，根据图象即可得到答案； （2）根据题意得到，继而得到，设，得到，得到，代入，即可到达答案． 【详解】（1）解：如图， 不等式的解集为， 故答案为：； （2）解： 直线与y轴的交点为C， ， ， ， 点B在直线上，设， ， ， ， 当时， ； 当时，， ； 综上，若的面积为4，则点B的坐标为或， 故答案为：或． 类型五、根据一次函数的性质求解 16．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数． (1)为何值时，函数图象经过点？ (2)若一次函数的函数值随的增大而减小，求的取值范围； (3)直接写出一次函数的图象经过定点坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、根据一次函数的增减性求参数、解一元一次方程和解一元一次不等式等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）将点代入一次函数，可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案； （2）根据该函数的增减性，可得，求解即可获得答案; （3）将解析式整理得，求得当时，，据此即可得解． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， 可得， 解得， ∴当时，函数图象经过点； （2）解：若一次函数的函数值随的增大而减小， 则有， 解得， ∴的取值范围为； （3）解：， 当时，， ∴一次函数的图象经过定点． 17．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知一次函数． (1)若该函数值随自变量的增大而减小，求的取值范围； (2)若该函数图象不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据函数图象的性质得到一次项系数和常数项的取值范围，根据一次项系数和常数项的取值范围得到参数的取值范围． 根据一次函数的函数值随自变量的增大而减小，可知一次项系数一定是负数，从而可得关于的不等式，解不等式求出的取值范围； 根据一次函数的图象不经过第二象限，可得一次项系数和常数项的取值范围，从而可得关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数的函数值随自变量的增大而减小， ， 解得：； （2）解：若一次函数的图象不经过第二象限， ， 解得：． 18．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数． (1)若随增大而减小，求的取值范围； (2)若其图象与直线的交点在轴上，求的值； (3)若其图象不经过第二象限，且为整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数图象与性质． （1）由一次函数随增大而减小，可知，解不等式即可得出结论； （2）先求出直线与x轴的交点，可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论； （3）由函数图象不经过第二象限，即函数图象经过第一、三、四象限或函数图象经过第一、三，当函数图象经过第一、三、四象限时可得出，解之即可得出结论，当函数图象经过第一、三时可得出，解之即可得出结论．综上即可得出结论． 【详解】（1）解：∵随增大而减小， ∴， 解得：； （2）解：∵时，， ∴直线与x轴的交点， 又∵一次函数与直线的交点在轴上， ∴一次函数过点， ∴， 解得：； （3）解：分两种情况考虑： 当函数图象经过第一、三、四象限时，， 解得：； 当函数图象经过第一、三象限时，， 解得：． 综上所述：的取值范围为， ∵为整数， ∴或． 19．（22-23八年级上·安徽安庆·期末）已知一次函数，当时，，求这个一次函数表达式． 【答案】或 【分析】本题主要考查了待定系数法求直线解析式，因为函数的增减性不明确，所以分①随的增大而增大时，②随的增大而减小两种情况列式求解即可，熟练掌握一次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：①，随的增大而增大时， 时， 解得： 该一次函数的表达式为； ②，随的增大而减小， 解得： 该一次函数的表达式为， 综上所述，该一次函数的表达式为或． 20．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知一次函数． (1)当m为何值时，y随x的增大而减小？ (2)当m为何值时，函数图像经过原点？ (3)当m为何值时，函数图像与y轴的交点在x轴的下方？ 【答案】(1)当时，y随x的增大而减小 (2)当时，函数图像经过原点 (3)当且时，函数图像与y轴的交点在x轴的下方 【分析】（1）根据一次函数的性质可进行求解； （2）把点代入一次函数解析式进行求解即可； （3）根据题意可知，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，即， ∴当时，y随x的增大而减小； （2）解：把点代入一次函数解析式得： ，即， ∴当时，函数图像经过原点； （3）解：由题意可得：， 解得：且， ∴当且时，函数图像与y轴的交点在x轴的下方． 【点睛】本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． 类型六、探索含绝对值的一次函数图像及性质 21．（23-24八年级上·安徽六安·期中）小颖根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小颖的探究过程，请你补充完整． (1)列表： 请把列表补充完整并在所给坐标系中画出该函数的图象； x … 0 1 2 3 4 … y … 1 0 …    (2)根据函数图象解决问题： ①该函数的最大值为______； ②若y随x的增大而减小，则x应满足的条件是_____； (3)运用合适的方法探究：若在同一坐标系中另有一次函数， ①当时，x的取值范围是______； ②将沿y轴怎样平移？能使与y的函数图象无交点？请写出具体的平移方向和距离． 【答案】(1)见解析 (2)①1；② (3)①；②平移使与y的函数图象无交点．需将沿y轴向上平移，平移的距离大于个单位长度 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图像，明确题意，画出相应的函数图像，利用数形结合的思想是解答本题的关键． （1）把x值代入计算出y值，然后描点画出图象即可； （2）①根据图象找到最大值；②借助图象写出y随x的增大而减小的的取值范围； （3）在同一坐标系中画出一次函数的图象，借助图象解题即可． 【详解】（1）如表和图： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 1 0 …    故答案为：； （2）由图象可知：①该函数的最大值为； ②若y随x的增大而减小，则x应满足的条件是； 故答案为：①；②； （3）在同一坐标系中画出一次函数的图象， ①如图，当时，x的取值范围为；         ②当时，分别计算出，， 平移使与y的函数图象无交点.需将沿y轴向上平移，平移的距离大于个单位长度.    22．（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． (1)①函数的自变量的取值范围是______； ②若点，是该函数图象上的两点，则______（填“”“”或“”）． (2)请补全下表，并在平面直角坐标系中，画出该函数的图象： … 0 1 3 5 … … … (3)函数和函数的图象如图所示，观察函数图象可发现： ①的图象怎样平移才能得到的图象？ ②观察函数的图象，写出该图象的一条性质； ③当时，______． 【答案】(1)①全体实数；② (2)见解析 (3)①（答案不唯一）的图象先向上平移1个单位得到，再向左平移1个单位得到；②（答案不唯一）当时，函数有最大值，最大值为1；③ 【分析】本题考查了函数图像、性质的探究，熟知画函数图像的一般步骤，并能根据图像得到函数性质是解题关键． （1）①根据函数可得自变量的取值范围是全体实数；②分别把点，代入计算，再比较大小即可； （2）先补充表格，再描点画图即可； （3）①根据函数图象平移规则：左加右减，上加下减可得答案；②结合函数图象的最高点可得函数的最大值，③结合图象可得交点位置，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①函数的自变量的取值范围是全体实数； ②∵点，是该函数图象上的两点， ∴，， ∴． （2）解：补全表格得， … 0 1 3 5 … … 1 … 在平面直角坐标系画出函数图象如图． （3）解：①的图象先向上平移1个单位得到，再向左平移1个单位得到．（答案不唯一） ②当时，函数有最大值，最大值为1．（答案不唯一） ③当时， 由图知，即， 解得， 23．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）探索一个新函数的图象与性质时，在经历“列表、描点、连线”后，通过观察函数图象来归纳函数的性质．下面运用这样的方法探索函数的性质． (1)①完成下面列表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 0 ______ ______ ______ ______ 1 0 … ②根据列表在下列平面直角坐标系中先描点，再连线； (2)①函数y的最大值为______；当y随x的增大而减小时，x的取值范围是______； ②当时，x的取值范围是______． 【答案】(1)①，②见解析 (2)①；；② 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握画图方法是解答本题的关键． （1）①根据解析式代入数据计算即可填表，②根据表格描点画图即可； （2）①根据图象可得函数的最大值；根据图象当y随x增大而减小时可得x的取值范围；②根据图象当时，可得x的取值范围． 【详解】（1）解：①完成下面列表： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， x … 0 1 2 3 4 5 … y … 0 1 2 3 2 1 0 … ②函数图象如图所示： （2）解：①根据图象得：时，函数的最大值为，当y随x增大而减小时，x的取值范围是； ②根据图象结合表格得：当时，x的取值范围是． 24．（22-23八年级下·北京朝阳·期末）小明根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)函数的自变量x的取值范围是_________________； (2)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 1 m 3 … 写出表中m的值； (3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图像；    (4)小明结合该函数图像，解决了以下问题： ①对于图像上两点，，若，则_______（填“＞”，“＝”或“＜”）； ②当时，若对于x的每一个值，函数的值小于正比例函数的值，则k的取值范围是_______________． 【答案】(1)全体实数； (2)0； (3)见解析； (4)①＜ ② 【分析】（1）无论x取任何实数，该函数都有意义，则自变量x的取值范围是全体实数； （2）把代入函数，即可求得m的值； （3）根据表中的数值描点，连线即可得到函数图象； （4）①根据函数的增减性判断即可； ②当时，函数可化为，结合函数的图象即可解答． 【详解】（1）无论x取任何实数，该函数都有意义，则自变量x的取值范围是全体实数； 故答案为：全体实数 （2）把代入函数，得，所以． （3）该函数图象如图所示：    （4）①由图象可得，当时，图象从左到右下降，即y随x的增大而减小； 当时，图象从左到右上升，即y随x的增大而增大． ∴图像上两点，，当，则 故答案为：＜ ②当时， 若对于x的每一个值，函数的值小于正比例函数的值，则 故答案为： 【点睛】本题考查函数的性质及其图象，运用数形结合的思想是解题的关键． 类型七、一次函数平移问题 25．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数，将该函数向下平移1个单位后，若函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象直线的平移和等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质解题的关键．先求出平移后的解析式，再根据函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限列不等式组求解即可． 【详解】解：∵函数，将该函数向下平移1个单位后， 解析式为， 由于，函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限， ∴， 解得：， ∴k的取值范围为． 26．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）已知一次函数过点，且与直线平行，求一次函数的解析式． 【答案】 【分析】先由平行得，再用待定系数法求得解析式． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求得是解题的关键． 【详解】解：∵直线和直线平行， ∴， 把代入，得， 解得， ∴直线解析式为． 27．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，线段两个端点的坐标分别为，，一次函数的图像经过点和． (1)求一次函数的解析式； (2)将直线向上平移个单位长度，使平移后的直线经过线段的中点，求的值； (3)若直线经过点，且与线段有交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数，牢记待定系数法求一次函数解析式的步骤、一次函数图像平移的规律（上加下减）是解题的关键． （1）利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）根据平移的规律求得平移后的解析式，然后代入的中点坐标，即可求出a的值； （3）把代入得，则可得，再将，分别代入中，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：把和代入得 ，解得， ∴这个一次函数的解析式为． （2）设平移后的直线的解析式为． ∵，， ∴线段的中点坐标为． 把代入，得， 解得． （3）把代入得． ∴， 把代入得，．解得； 把代入得，．解得； ∴的取值范围是． 28．（23-24八年级下·广东深圳·期末）在学习《图形的平移》后，某数学兴趣小组开展了在平面直角坐标系中研究直线平移的探究活动． 素材 两点确定一条直线 素材 图形平移的本质就是点的平移 素材 平移不改变直线的倾斜程度 任务 一次函数，与轴的交点为，与轴的交点为，若该函数图象向左平移个单位长度，此时点的对应点的坐标为______，点的对应点为的坐标为______，并求出平移后的函数表达式； 任务 一次函数，与轴的交点为，与轴的交点 ，将该函数向右平移个单位长度，线段扫过的图形面积为，请求出平移后的函数表达式． 【答案】任务：，；平移后的函数表达式为 任务：平移后的函数表达式为 【分析】任务：由得，，再由函数图象向左平移个单位长度得，，； 任务：当时，，则，由线段扫过的图形面积为，可得，最后由一次函数的平移即可求解； 本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】任务：由得， 当时，；当时，， ∴，， ∵该函数图象向左平移个单位长度， ∴，， 平移后的函数表达式为， 故答案为：，； 任务：当时，， ∴，则， ∵线段扫过的图形面积为， ∴， ∴， ∵平移不改变直线的倾斜程度， ∴设平移后的函数表达式为， 将代入得，解得， ∴设平移后的函数表达式为． 类型八、一次函数与方程、不等式 一次函数和方程(组)的关系: 1）解一元一次方程一次函数，当y=0时，求x的值确定直线与x轴交点的横坐标. 2）解二元一次方程组求一次函数与图像的交点坐标两条直线与相交. 函数图像和不等式之间的关系: 1）解一元一次不等式已知一次函数，求当y>0或y<0时x的取值范围当y>0时，直线上的点在x轴上方，当y<0时,直线上的点在x轴下方. 2）解一元一次不等式一次函数，求当y1>y2时，x的取值范围以交点为界限，直线m1位于直线m2上方的那部分. 29．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）若直线与的交点在第四象限，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了已知点所在的象限求参数，求不等式组的解集，两直线的交点与二元一次方程组的解，先列出，得出交点坐标为，结合交点在第四象限，故，再解出不等式组的解集，即可作答． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， 交点坐标为 交点在第四象限， ， ． 30．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图：已知直线经过点． (1)求直线的解析式； (2)若直线与直线相交于点C，求点C的坐标； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)点C的坐标为 (3) 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息． （1）利用待定系数法把点A，点B代入可得关于k、b得方程组，再解方程组即可； （2）联立两个函数解析式，再解方程组即可； （3）根据C点和A点坐标可直接得到答案． 【详解】（1）解：直线经过点 ， 解得，， 则直线的解析式为； （2）解：联立， 解得， 则点C的坐标为； （3）解：由图象可知，不等式的解集为． 31．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求的值； (2)写出方程组的解； (3)写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数图象上的点的坐标，一次函数与二元一次方程组，数形结合思想，对于（1），将点代入可得答案； 对于（2），根据两条直线的交点即为对应方程组的解解答； 对于（3），观察图象，从交点向右，且在x轴上方，即符合题意． 【详解】（1）∵点在直线上， ∴， 解得； （2）观察图象可知， 方程组的解是； （3）当时，． 类型九、与一次函数有关的面积问题 1）一直线与坐标轴围成的面积：一直线与坐标轴围成的面积为 2）两直线与一坐标轴围成的面积 （1）如图一，若求与x轴围成的图形面积(即△ABD的面积)，则以在x轴上的线段AB为底，高即为D点到x轴的距离，然后利用面积公式求出面积; （2）如图二，若求与y轴围成的图形面积(即△CDE的面积)，则以在y轴上的线段CE为底，高即为D点到y轴的距离，然后利用面积公式求出面积. 3）三直线围成的三角形面积 （1）利用割补法求解. （2）×水平宽×铅垂高 32．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）已知一次函数的图象与直线平行，且与轴交于点． (1)求该一次函数的函数表达式； (2)点为一次函数图象上的动点，求使时点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】此题考查两直线平行问题，待定系数法求函数解析式，三角形面积公式． （1）先由平行得，再将代入函数解析式即可得b的值； （2）根据题意得，，即可得，再代入函数解析式即可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴， 又∵图象经过点， ∴， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 当时，，； 当时，，； ∴或． 33．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，已知直线过点，． (1)求直线l的表达式． (2)若直线与x轴交于点B，且与直线l交于点C． ①求的面积． ②在直线l上是否存在点P，使的面积是面积的3倍？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①6，②存在，点P的坐标为或 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式和两直线交点的坐标等知识 （1）利用待定系数法求出直线l的表达式即可； （2）①联立两直线得到方程组，求出点C的坐标，即可求出答案； ②的面积是面积的3倍得到，设，则，即可求出答案． 【详解】（1）解：把A，D两点代入：       解得： （2）①     解得         ②的面积是面积的3倍 设     或      点P的坐标为或 34．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，正比例函数与一次函数（k，b是常数且）交于点C，一次函数与x，y轴分别交于点A与点B，已知． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知过点C的直线将的面积分为，求该直线的表达式． 【答案】(1)； (2)6 (3)或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由，从而，，利用待定系数法即可得解； （2）依据题意，联立方程组，求得C的坐标为，利用三角形面积公式计算可得解； （3）依据题意，得或，则或，进而可得D的坐标为或，利用待定系数法即可得解． 【详解】（1）解：由题意，， ∴，． ∴． ∴，． ∴一次函数的解析式为； （2）解：由题意，联立方程组， 解得， ∴C的坐标为． ∴； （3）解：由题意，如图， ∵过点C的直线将的面积分为， ∴或， ∴或， ∴D的坐标为或， 又∵C的坐标为， 同理，由待定系数法求得直线的解析式为或． 35．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为． (1)求n、k、b的值； (2)求C点坐标； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用： （1）把代入，可求出n，再把点，代入，求出k，b的值； （2）由（1）得：直线的解析式为，令，即可求解； （3）联立两函数解析式，可求出点D的坐标为，再求出点A的坐标为，然后根据四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点D的坐标为， 把点，代入得： ，解得：； （2）解：由（1）得：直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点C的坐标为； （3）解：联立得：， 解得：， ∴点D的坐标为， 对于， 当时，， ∴点A的坐标为， ∵，点C的坐标为， ∴，， ∴四边形的面积 1．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴、轴分别相交于点、两点． (1)求直线的解析式； (2)点是直线上一动点，如果面积与面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法和利用数形结合思想进行求解是解题的关键． （1）利用待定系数法将点、的坐标代入所设的表达式中，解出，的值，再代回所设的表达式即可； （2）根据待定系数法求出直线的表达式，继而求出，，设，利用，列式计算即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 代入点得，解得， 直线的表达式为：． （2）设的表达式为，把，代入， 得，解得， 直线的表达式为：， 令，则， 点的坐标为，即， ， 点是直线上一动点， 设， ， ， 面积等于， ，解得， 或． 2．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）如图，一次函数与正比例函数的图象交于点． (1)求正比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，利用函数图象求不等式的解集，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用一次函数解析式确定M点的坐标，然后根据待定系数法求出正比例函数解析式； （2）结合图象写出正比例函数图象在直线的上方所对应的自变量的范围即可； 【详解】（1）解：∵经过和， ∴ 解得：， ∴一次函数表达式为． ∵ 点 M 在该一次函数图象上， ∴，则M点坐标为， 又∵M在函数图象上， ∴， 解得， ∴正比例函数的表达式为． （2）解：由图象可知，时，． 3．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）一次函数的图象上有两个不同的点， (1)若，，，，则____________； (2)若，，求； (3)若且，记，试求的最大值． 【答案】(1)1 (2) (3)2 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数的性质． （1）由题意得到，，根据待定系数法即可求解； （2）由题意得到，两式相减得，进而化简即可； （3）由题意得到，进而有，从而得到，根据得到，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，， ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得． 故答案为：1； （2）解：∵一次函数的图象上有两个不同的点，， ∴， 两式相减，得； ∵，， ∴，， ∴． （3）解：∵， ∴一次函数为， ∵该函数图象过点，， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 即， ∴W的最大值为2． 4．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，直线：分别交x轴，y轴于A，B两点，直线：分别交y轴，x轴于C，D两点，直线相交于点P． (1)点P的坐标为______； (2)求四边形的面积； (3)过点P的直线把的面积二等分，求该条直线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系即可求得； （2）分别求出，，，利用即可求得； （3）根据三角形中线的性质，找到两点的中点，待定系数法求出表达式即可． 【详解】（1）解：∵直线：和直线：相交于点P． ∴点坐标为的解， 解得：． ∴； 故答案为：； （2）解：当时，代入， 得， 解得． ∴． 当时，代入，， 得，， ∴，． ∴． ∴ ； （3）解：由（2）知，，则的中点坐标为． 设该直线的表达式为，代入，，得 ，解得． ∴该直线的表达式为． 【点睛】本题考查了一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系、图象与坐标轴围成面积、三角形的中线、待定系数法求函数表达式等知识点，一次函数知识点的熟练运用是解题关键． 5．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过，两点，与一次函数交于点C，一次函数与x轴交于点D． (1)求直线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)30． 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、两条直线的交点坐标，用待定系数法求出直线的解析式是解题的关键． （1）用待定系数法求直线的解析式即可； （2）先求出点C和点D的坐标，然后根据图象写出的取值范围即可； （3）先求出与x轴的交点E的坐标，然后根据三角形面积公式求的面积即可． 【详解】（1）解：∵一次函数经过，两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，， 解得， ∴． 解得 ∴， ∴当时，的取值范围是； （3）解：如图， 当时，， 解得， ∴， ∴ ∴的面积 ． 6．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个正比例函数的表达式； (2)若一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且过点，将这个一次函数的图象向下平移4个单位，写出平移后函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图像与几何变换，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）待定系数法求出正比例函数解析式即可； （2）先求出平移前的解析式，再根据平移法则得到新的解析式． 【详解】（1）解：设正比例函数解析式为，图象经过点， ， 得， 故正比例函数的表达式为； （2）解：一次函数的图象与正比例函数的图象平行， 一次函数，即， 一次函数图像经过点， 解得， 一次函数解析式为：， 将这个一次函数的图象向下平移4个单位，得到． 7．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）材料一：如图1，由画函数与的图象可知，直线可以由直线向上平移5个单位长度得到．由此我们得到正确的结论一：在直线：与直线：中，如果且，那么，反过来，也成立． 材料二：如图2，由画函数与的图象可知，利用所学知识一定能证出这两条直线是互相垂直的．由此我们得到正确的结论二：在直线：与：中，如果，那么，反过来，也成立． 应用举例：已知直线与直线互相垂直，则，所以． 解决问题： (1)请写出一条直线解析式，使它与直线平行． (2)如图3，点A坐标为，点P是直线上一动点，当点P运动到何位置时，线段的长度最小？画出图形，并求出此时点P的坐标． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)线段的长度最小时，点的坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、垂线段以及两直线平行或相交，解题的关键是：（1）根据材料一找出与已知直线平行的直线；（2）利用点到直线之间垂直线段最短找出点的位置． （1）由两直线平行可得出 ，取即可得出结论； （2）过点作直线于点，此时线段的长度最小，由两直线垂直可设直线的解析式为由点的坐标利用待定系数法可求出直线的解析式，联立两直线解析式成方程组，再通过解方程组即可求出：当线段的长度最小时，点的坐标． 【详解】（1）解：∵两直线平行， ， ∴该直线可以为 故答案为： （答案不唯一）； （2）解：过点作⊥直线于点，此时线段的长度最小，如图所示． ∵直线与直线垂直， ∴设直线的解析式为， ∵点)在直线上， ，解得：， ∴直线的解析式为 联立两直线解析式成方程组，得：， 解得； ∴当线段的长度最小时，点的坐标为． 8．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． (1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ (2)求直线的表达式和a的值； (3)若点P在直线上，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题考查一次函数解析式及一次函数的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）根据图象可知时，在的下方，得出答案； （2）将点，代入，得：，求解得出直线的表达式为，进而求出点M的坐标为，把代入， 求解即可得出答案； （3）设把代入得，，求出，进而得出，根据题意得出，求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当时， x的取值范围为； （2）将点，代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 把代入 得， ∴点M的坐标为， 把代入， 得． （3）设， 把代入得，， ∴， ∴， ， 解得或． ∴或 9．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）学完一次函数后、小明同学通过列表、描点、连线的方法画函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．由于在七年级学习了绝对值的意义：．请你帮助小明完成下列问题． (1)【探索】探究函数的图象与性质： 当时，，当时，； ①列表： …… 0 1 2 3 4 5 …… …… 5 3 1 1 3 5 …… ②请根据①中表格里的数据在给出的平面直角坐标系中描点，并画出的图象； ③多选题：结合图象，下列说法正确的有（　　） A．函数最小值是        B．时，值随值的增大而增大 C．当或时，    D．当时， (2)【拓展应用】若关于的方程有两个均大于1的实数解，结合图象求的取值范围，并直接写出此时的取值范围． 【答案】(1)②见解析，③ABC (2)，且 【分析】本题主要考查了画函数图象、一次函数与方程的关系等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）②根据列表直接画出函数图象即可；③根据函数图象逐项分析即可； （2）先画出直线的图象，然后结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：②如图所示（实线部分），即为所求； ③由函数图象可得：函数的最小值为；当时，值随值的增大而增大；当或时，；当时，；故A、B、C正确，D错误，不符合题； 故答案为∶ ABC． （2）解：图中虚线为直线． 直线经过点时，方程有一根等于1， 另一根大于1，此时； 向下平移直线，它与的图象两个交点的横坐标都开始大于1， 当直线经过点时，方程只有一个解，此时， ， 此时，且． 10．（2024八年级上·安徽·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，且直线与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求与直线的函数解析式； (2)如果点在直线上，且，求点的坐标； (3)如果点在直线上，且点的横坐标为，点在直线上，且轴，，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点问题，待定系数法求解析，线段垂直平分线的性质等知识点， （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）首先推出点P的纵坐标为3，再根据待定系数法即可解决问题； （3）由题意设，则， 由题意可得， 解方程即可； 熟练掌握一次函数的图象与性质是解决此题的关键． 【详解】（1）解：把代入中，得到， ， 把代入直线中，得到，， 直线的解析式为； （2）解：与轴交于点A， ∴， ， 与轴交于点， ∴， ， ， 点的纵坐标为， ， 则， ； （3）解：设，而轴， ∴， ， ， 解得或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$