精品解析：四川省宜宾市2023-2024学年高一下学期期末学业质量监测数学试题

2024年春期宜宾市普通高中学业质量监测 高一年级数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可求解. 【详解】因为复数， 所以复数的虚部为. 故选：B. 2. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基底向量的定义结合向量共线的判定定理逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为，可知∥， 所以不可以作为基底，故A错误； 对于选项B：因为，可知∥， 所以不可以作基底，故B错误； 对于选项C：因为，可知∥， 所以不可以作为基底，故C错误； 对于选项D：显然均不为零向量， 假设∥，则， 可得，方程组无解，即假设不成立， 所以不共线，所以可以作为基底，故D正确； 故选：D. 3. 某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论错误的是（ ） A. 这14天日促销量的众数是214 B. 这14天日促销量的中位数是196.5 C. 这14天日促销量的极差为195 D. 这14天日促销量的第80百分位数是243 【答案】D 【解析】 【分析】将数据提取出来后，按照从小到大排序，根据众数，中位数，极差，百分位数概念求出即可. 【详解】根据题意，提取出蓝莓每日促销量.从小到大排列得到数据： ． 则这14天蓝莓每日促销量的众数是214，故A正确； 则这14天蓝莓每日促销量的中位数是第7和8个平均值,即，故B正确； 则这14天蓝莓每日促销量的极差是，故C正确； 则这14天蓝莓每日促销量的第80百分位数，因为，则取第12个，即260．故D错误. 故选：D． 4. 已知向量，，若，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为，所以，可得，再由平面向量的夹角公式求解. 【详解】根据题意，，则， 因为，所以， 即，所以， 设与的夹角为，则，又， 所以与的夹角为. 故选：A 5. 如图所示，四等分切割圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了100（单位：），则原圆柱的侧面积是（ ）（单位：） A. B. C. 100 D. 200 【答案】A 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，高为，依题意可得，再根据侧面积公式计算可得. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，依题意可得， 所以圆柱的侧面积. 故选：A 6. 在中，，，的角平分线交AC于点D，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用角平分线表示面积求出边长t,再应用三角形面积公式计算即可. 【详解】设, ， 所以, 所以 故选：D. 7. 钟鼓楼是宜宾市老城区中山街的一座标志性建筑，某同学为测量钟鼓楼的高度MN，在钟鼓楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为15m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，钟鼓楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得钟鼓楼顶部M的仰角为15°，则钟鼓楼的高度约为（ ） A. 21m B. 26m C. 30m D. 45m 【答案】C 【解析】 【分析】在中，求出，中，利用三角形内角和求出和，正弦定理求得，等腰直角三角形中可求出. 【详解】在中，，， 在中，，，， 由正弦定理得，， 所以在等腰直角三角形中，有. 故选：C 8. 已知菱形沿对角线向上折起，得到三棱锥，分别是棱的中点，，为棱上的一点，且平面，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】连接，交于点，连接，再利用线面平行的性质、三角形重心的性质以及三角形一边的平行线性质定理即可求解. 【详解】如图，连接，交于点，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以， 又因为，分别为，的中点， 所以点为的重心， 所以， 在中，，根据三角形一边的平行线性质定理， 有. 故选：B. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知直线a，b和平面，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线面平行，垂直的判断和性质定理，结合长方体模型举反例，即可解. 【详解】对于A,如图，，但，故A错误； 对于B，若，，则都可为面的法向量，则显然成立，故B正确； 对于C，如图，，但，故C错误； 对于D，若，，，直接根据线面平行的性质:线面平行，则线与过交线的面与另外一个面的交线平行，得到，故D正确． 故选：BD． 10. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则下列结论正确的是（ ） A. 与互斥 B. C. D. 与相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义判断A，根据古典概型的概率计算公式计算与，从而判断B与C，根据相互独立事件的定义判断D. 【详解】先后两次掷一枚质地均匀的骰子， 样本空间为，， 事件“两次掷出的点数之和是5”，， 事件“第一次掷出的点数是奇数”，， 事件“两次掷出的点数相同”，， 对于A，因为，所以事件与事件能同时发生， 即事件与事件不互斥，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为， 所以 又因为， 所以， 所以事件与事件相互独立，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则有两解 B. 若，则△ABC为等腰三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若外接圆的圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，正弦定理解三角形判断解的个数；选项B，已知条件结合正弦定理化简得，可判断三角形形状；选项C，若为锐角三角形，有，可得；选项D，由已知判断的形状，利用投影向量的定义计算结果. 【详解】选项A，中，若，，， 则由正弦定理，可得， 又，所以或，此时有两解， 故A正确； 选项B，中，若，则由正弦定理可得， 所以，即， 又，所以或， 即或，为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 选项C，若为锐角三角形，则，即， 因为在上为减函数，所以，故C正确； 选项D，中，，则O是BC的中点， 所以BC为圆O的直径， 则有，又，则为等边三角形， 有，，，， 则向量在向量上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD. 12. 已知正方体的棱长为2，点P为平面上一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当点P为的中点时，直线CP与所成角的余弦值为 B. 当点P在棱上时，的最小值为 C. 当点P在正方形内时，若与平面所成角为45°，则点P的轨迹长度为 D. 该正方体被过，，中点的平面分割成两个空间几何体和，某球能被整体放入或内，则该球的表面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求异面直线所成角的余弦值判断选项A；将平面和平面展成同一平面，求距离和的最小值判断选项B；由已知线面角，求点P的轨迹，求长度判断选项C；结合图形分析截面形状，体积法计算内切球半径和表面积判断选项D. 【详解】对于A，为中点，连接， 正方体中，，， 则四边形为平行四边形，有， P为中点，为中点，所以，有， 直线CP与所成角为或其补角， ，， ， 所以直线CP与所成角的余弦值为，A选项正确； 对于B，当点P在棱上时，将平面和平面展成同一平面， 则的最小值为展开图中的， ，B选项错误； 对于C，如图连接， 因为当点P在正方形内，平面， 所以即为与平面所成的角， 若与平面所成的角为45°，则， 所以，即点P的轨迹是以为圆心、以2为半径的圆， 所以点P的轨迹长度为，故C正确； D选项，如图所示，分别为所在棱的中点， 该正方体被过，，中点的平面分割成两个空间几何体和， 平面在正方体上的截面为正六边形， 某球能被整体放入或内，该球的表面积最大时， 是以为顶点，底面为正六边形的正六棱锥的内切球， 正六边形的边长为，面积为， 正六棱锥中，侧棱长为，每个侧面面积为，棱锥的高为， 设内切球半径为，由体积法可得，解得， 所以该球的表面积为，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛： 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，正棱锥的内切球，一般利用体积法，求内切球半径. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知在复平面内，向量对应的复数是，对应的复数是，则向量对应的复数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的几何意义结合向量的线性运算求解. 【详解】在复平面内，向量对应的复数是，对应的复数是， 由，则向量对应的复数为. 故答案为：. 14. 已知事件与事件相互独立，且，，则_______． 【答案】0.6## 【解析】 【分析】利用任意两个事件的和事件的概率计算公式以及相互独立事件的概率乘法公式即可求解. 【详解】因为事件与事件相互独立，，， 所以， 所以. 故答案为：. 15. 著名数学家欧几里得《原本》中曾谈到：任何一个大于1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如．已知，且均为质数，若从中任选2个数，则这两个数之和小于10的概率为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，得，利用古典概型概率公式计算可得答案. 【详解】根据题意，， 可得， 若从中任选2个数： 共10种， 两个数之和小于10：，有4种， 所以这两个数之和小于10的概率为. 故答案为： 16. 在等腰梯形ABCD中，已知，，，，点E，F分别在线段BC和CD上，则的最大值为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】先建立平面直角坐标系，写出的坐标表示，再进行数量积运算，由算式判断最大值. 【详解】过作的垂线，垂足分别为， ，则， 以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 等腰梯形ABCD中，，，，， 则有，，所以，，    设，，则， 令，得，，则， 有，当时取到等号 所以的最大值为12. 故答案为：12. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知，，与的夹角为． （1）求； （2）当实数为何值时，与垂直？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积公式求出，再由向量模公式求解即可； （2）由，则其数量积为，利用数量积的运算法则，结合（1）中的，得到关于的方程，求解即可. 【小问1详解】 根据题意，， 所以． 【小问2详解】 根据题意，， 即． 又由（1）知， 所以 解得. 18. 2024年全国城市节约用水宣传主题为“推进城市节水，建设美丽城市”．某市为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在全市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（单位：吨），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，且该市政府希望有的居民月用水量不超过标准x吨．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了200户居民某年的月均用水量（单位：吨），并将数据制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中m的值，并估计月用水量标准x的值； （2）若从月平均用水量在第一组和第二组的样本居民中按比例分配的分层抽样随机抽取6户，再从这6户中任意选取两户，求这两户来自同一组的概率． 【答案】（1），19.2（吨）． （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据频率分布直方图概率和为1求出m,再根据百分位数求解即可； （2）列举法应用古典概型求解. 【小问1详解】 由 解得． ， （吨）． 【小问2详解】 根据题意得，月平均用水量在第一组居民有户， 月平均用水量在第二组居民有户， 分层抽样随机抽取6户，第一组抽取了2户，第二组抽取了4户 记第一组抽取的两户分别为a，b，第二组抽取的四户分别为A，B，C，D，从这6户中任意选取两户， 样本点有， ，共15个 记两户来自同一组为事件M，事件M包含的样本点为： 共7个． 根据古典概型可得，． 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）利用等体积法求解即可. 【小问1详解】 连接交于，连接，则为的中点， ∵E为侧棱SC的中点，， 平面EDB，平面EDB； 平面EDB； 【小问2详解】 ∵E为侧棱SC的中点， E到平面ABCD的距离等于S到平面ABCD的距离的一半， E到平面ABCD的距离， ， ∵底面，面， ∴， 又，， ， ∵平面， ∴平面， 又平面，， ，， , 设点C到平面EDB的距离为， 由，得，所以， 即点到平面的距离为． 20. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求b，c． 条件①：中线AD长为；条件②：△ABC的面积为． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2），或，． 【解析】 【分析】（1）已知等式利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可求A； （2）由选择的条件结合余弦定理，列方程组求b，c． 【小问1详解】 中，已知， 由正弦定理得， 又， 则有， 由，，得， 则有， 由，有，所以，得． 【小问2详解】 若选择条件①： 由，余弦定理得， 由，有，得， 由，解得：，或，． 若选择条件②； 由，得， △ABC的面积，得， 由，解得：，或，． 21. 如图，在三棱柱中，，，，，为的中点，平面． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定定理； （2）先根据面面垂直的判定定理的平面平面，从而得到平面，在利用线面夹角的定义找到夹角，计算得出夹角正弦值的取值范围. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 因为，， 所以，平面， 所以平面. 【小问2详解】 取中点，连接，，则 所以四边形是平行四边形． 因为，，，AD，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． 作于E，平面平面，平面， 则平面， 连接CE，则为直线与平面所成的角， 由，，，知， 又由（1）知平面ABC， 所以，， ． 则， 由于，所以，所以． 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． 22. 依据《宜宾市城市总体规划（2018~2035）》规划战略定位，拟将我市建设成“长江生态首城、中华美酒之都、华夏最美竹海”．若将宜宾临港经济开发区某地段（如图所示）中的四边形区域ACEF建成生态园林公园，为主要道路（不考虑宽度）．已知，，． （1）求道路长度； （2）若在道路的另一侧规划一块四边形的商业用地，使，且为等边三角形，求四边形面积的最大值． 【答案】（1）km （2）． 【解析】 【分析】（1）连接FC，利用余弦定理求得.在中，利用余弦定理即可求出. （2）在中利用正弦定理，设，表示出，进而结合条件表示出四边形面积，得到其最大值即可. 【小问1详解】 解：连接FC，由余弦定理可得，所以， 由，，所以. 因为，所以. 在中，， 所以，解得， 即道路的长度为km． 【小问2详解】 设，在中，由正弦定理可得， ． 又因为为等边三角形， 所以 . 因为，所以， 所以当，即，. 即四边形面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春期宜宾市普通高中学业质量监测 高一年级数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论错误的是（ ） A. 这14天日促销量的众数是214 B. 这14天日促销量的中位数是196.5 C. 这14天日促销量的极差为195 D. 这14天日促销量的第80百分位数是243 4. 已知向量，，若，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，四等分切割圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了100（单位：），则原圆柱的侧面积是（ ）（单位：） A. B. C. 100 D. 200 6. 在中，，，的角平分线交AC于点D，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 钟鼓楼是宜宾市老城区中山街的一座标志性建筑，某同学为测量钟鼓楼的高度MN，在钟鼓楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为15m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，钟鼓楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得钟鼓楼顶部M的仰角为15°，则钟鼓楼的高度约为（ ） A. 21m B. 26m C. 30m D. 45m 8. 已知菱形沿对角线向上折起，得到三棱锥，分别是棱的中点，，为棱上的一点，且平面，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知直线a，b和平面，，下列说法正确的是（ ） A 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D 若，，，则 10. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则下列结论正确的是（ ） A. 与互斥 B. C. D. 与相互独立 11. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则有两解 B. 若，则△ABC为等腰三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若的外接圆的圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为 12. 已知正方体的棱长为2，点P为平面上一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当点P为的中点时，直线CP与所成角的余弦值为 B. 当点P在棱上时，最小值为 C. 当点P在正方形内时，若与平面所成的角为45°，则点P的轨迹长度为 D. 该正方体被过，，中点的平面分割成两个空间几何体和，某球能被整体放入或内，则该球的表面积的最大值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知在复平面内，向量对应的复数是，对应的复数是，则向量对应的复数为_______． 14. 已知事件与事件相互独立，且，，则_______． 15. 著名数学家欧几里得《原本》中曾谈到：任何一个大于1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如．已知，且均为质数，若从中任选2个数，则这两个数之和小于10的概率为_______． 16. 在等腰梯形ABCD中，已知，，，，点E，F分别在线段BC和CD上，则的最大值为_______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知，，与的夹角为． （1）求； （2）当实数何值时，与垂直？ 18. 2024年全国城市节约用水宣传主题为“推进城市节水，建设美丽城市”．某市为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在全市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（单位：吨），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，且该市政府希望有的居民月用水量不超过标准x吨．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了200户居民某年的月均用水量（单位：吨），并将数据制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中m值，并估计月用水量标准x的值； （2）若从月平均用水量在第一组和第二组的样本居民中按比例分配的分层抽样随机抽取6户，再从这6户中任意选取两户，求这两户来自同一组的概率． 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 20. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求b，c． 条件①：中线AD长为；条件②：△ABC的面积为． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 21. 如图，在三棱柱中，，，，，为的中点，平面． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 22. 依据《宜宾市城市总体规划（2018~2035）》规划战略定位，拟将我市建设成“长江生态首城、中华美酒之都、华夏最美竹海”．若将宜宾临港经济开发区某地段（如图所示）中的四边形区域ACEF建成生态园林公园，为主要道路（不考虑宽度）．已知，，． （1）求道路的长度； （2）若在道路的另一侧规划一块四边形的商业用地，使，且为等边三角形，求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$