指数与指数函数 讲义-2026届高三数学一轮复习

指数与指数函数 课前学习任务 一、必备知识 1．根式 (1) 概念：式子叫做____，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (2) 性质：()n＝a(a使得有意义)；当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 (1) 规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝____(a＞0，m，n∈N*且n＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝____(a＞0，m，n∈N*且n＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂____． (2) 有理指数幂的运算性质：aras＝___； (ar)s＝____；(ab)r＝____，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q． 3．指数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 ____ 性质 过定点____，即当x＝0时，y＝1 当x＞0时，____； 当x＜0时，____ 当x＜0时，____； 当x＞0时，____ 在(－∞，＋∞)上是____ 在(－∞，＋∞)上是____ 4． 常用结论 (1) 画指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象时注意两个关键点：(1，a)，(0，1)． (2) 底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”． (3) f(x)＝ax与g(x)＝(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称． 二、练基础 1．(人A必一P109习题T2(1))设a＞0，则下列运算中正确的是(　　) A．aa＝a B．a÷a＝a C．aa－＝0 D．(a)4＝a 2．(人A必一P118练习T2改)设a＝30.7，b＝2-0.4，c＝90.4，则(　　) A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c 3．(人A必一P110习题T8(1)改)已知x＋x－＝5，则x＋x-1的值为(　　) A．5 B．23 C．25 D．27 4．下列函数的值域是(0，＋∞)的有(　　) A．y＝4 B．y＝ C．y＝ D．y＝ 5．函数y＝ax+2 026＋2 026(a＞0，a≠1)的图象恒过定点____． 课堂核心考点 考点一 指数式的求值与化简 例1　指数式的求值与化简． (1) ＋(0.002)－－10(－2)-1＋π0＝__－__． (2) 已知a－a－＝，则a＋a－＝__3__． (3) ÷＝__ab－__． 变式1　(1) 已知ab＝－5，则a＋b的值是(　　) A．2　 B．0　 C．－2　 D．±2 (2) 计算：＋0.1-2＋－3π0＋＝___． 考点二 指数函数的图象及应用 例2　(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为(　　) A．a＝b B．0＜b＜a C．a＜b＜0 D．0＜a＜b 题组强化 1．(多选)已知实数a，b满足等式2 025a＝2 026b，则下列关系式可能成立的是(　　) A．0＜b＜a B．a＜b＜0 C．0＜a＜b D．a＝b 2．函数y＝2|1-x|的图象大致是(　　) 　　　　　　 A　　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 考点三 指数函数的性质及应用 视角1　比较函数值(式)的大小 例 3－1　已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　) A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 变式 3－1　(2024·天津卷)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 视角2　单调区间 例 3－2　(1) 设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) (2) 函数f(x)＝2的单调递减区间为(　　) A． B． C． D． 视角3　最值 例3－3　(1) 函数f(x)＝+4x的值域为(　　) A．[81，＋∞) B． C． D．(－∞，－81] (2) 函数y＝4x－3×2x+2＋1(x∈(－∞，3])的值域是(　　) A．[－31，1) B．[－35，－31] C．[－35，1) D．(－∞，－31] 视角4　综合应用 例3－4　已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝． (1) 求函数f(x)在R上的解析式； (2) 判断函数f(x)在R上的单调性，并用定义证明； (3) 若对任意实数m∈[－1，1]，f(m)＋f(m2－2t)＜0 恒成立，求实数t的取值范围． 课后提升练 1．若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c 2．通过长期数据研究某人驾驶汽车的习惯，发现其行车速度v(km/h)与行驶地区的人口密度p(人/km2)有如下关系：v＝50·(0.4＋e-0.000 04p)．如果他在人口密度为a的地区行车时速度为65km/h，那么他在人口密度为的地区行车时速度约是(　　) A．69.4km/h B．67.4km/h C．62.5km/h D．60.5km/h 3．(多选)已知函数f(x)＝，则(　　) A．f(log34)＝ B．f(x)的值域为(－∞，1) C．f(x)是R上的减函数 D．函数f(x)的图象关于点对称 4．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个交点，则a的取值范围是____． 答案解析 课前学习任务 1. (1) 根式　 2. (1) 　　没有意义　(2) ar＋s　ars　arbr　 3. (0，＋∞)　(0，1)　y>1　0<y<1　y>1　0<y<1　增函数　减函数 1. D　【解析】 对于A，aa＝a＋＝a；对于B，a÷a＝a1－＝a；对于C，aa－＝a0＝1；对于D，(a)4＝a. 2. D　【解析】 b＝2－0.4<20＝1，c＝90.4＝30.8>30.7＝a>30＝1，所以b<a<c. 3. B　【解析】 因为x＋x－＝5，所以(x＋x－)2＝52，即x＋x－1＋2＝25，所以x＋x－1＝23. 4. C　【解析】 对于A，y＝4的值域是(0，1)∪(1，＋∞)；对于B，y＝的值域是[0，＋∞)；对于C，y＝的值域是(0，＋∞)；对于D，y＝的值域是[0，1). 5. (－2 026，2 027) 课堂核心考点 例1　(1) －　【解析】 原式＝＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－. (2) 3　【解析】 因为(a－a－)2＝a＋a－1－2＝(a＋a－)2－4＝5，所以(a＋a－)2＝9.又因为a＋a－>0，所以a＋a－＝3. (3) ab－　【解析】 ÷＝×＝a＋－－b－－－＝ab－. 变式1　(1) B　【解析】 由题意知ab<0，a＋b＝a＋b＝a＋b＝a＋b，由于ab<0，故＝－，则原式＝0. (2) 100　【解析】 原式＝＋＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100. 例2　ABC　【解析】 由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示，由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，故A正确；作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则0<b<a，故B正确；作出直线y＝m，当0<m<1时，若3a＝6b＝m，则a<b<0，故C正确；当0<a<b时，易得2b>1，则3a<3b<2b·3b＝6b，故D错误． (例2) 　　 题组·高频强化 1.ABD　【解析】 如图，观察易知a，b的关系为a<b<0或0<b<a或a＝b＝0. 　 (第1题) 2. A　【解析】 函数y＝2|1－x|＝所以当x>1时，y＝2x－1是增函数，当x≤1时，y＝21－x是减函数，且当x＝1时，y＝1，即函数的图象过点(1，1)，所以符合条件的图象是A. 例3-1　A　【解析】 因为a＝2＝4>4＝b，c＝25＝5>4＝a，所以c>a>b. 变式3-1　B　【解析】 因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3<0<0.3，所以0<4.2－0.3<4.20<4.20.3，所以0<4.2－0.3<1<4.20.3，即0<a<1<b.因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1，所以log4.20.2<log4.21＝0，即c<0，所以b>a>c. 例3-2　(1) D　【解析】 函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在(0，1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝－在(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞). (2) B　【解析】 设t＝4－3x－x2，则由t＝4－3x－x2≥0，得－4≤x≤1，即函数f(x)的定义域为[－4，1].又t＝4－3x－x2＝－(x＋)2＋，所以t＝4－3x－x2在上单调递减，即函数f(x)的单调递减区间是. 例3-3　(1) B　【解析】 易知二次函数y＝－x2＋4x的图象开口向下，当x＝2时，取得最大值4.又函数y＝是减函数，所以f(x)＝＋4x的值域为. (2) C　【解析】 令t＝2x，因为x∈(－∞，3]，所以t∈(0，8]，则4x－3×2x＋2＋1＝t2－12t＋1.令g(t)＝t2－12t＋1＝(t－6)2－35，t∈(0，8]，所以当t＝6时，g(t)取得最小值，且g(t)min＝－35.又g(0)＝1，g(8)＝－31，所以g(t)∈[－35，1)，即函数y＝4x－3×2x＋2＋1(x∈(－∞，3])的值域是[－35，1). 例3-4　【解答】 (1) 当x>0时，f(x)＝＝＝1－，任取x<0，则－x>0，f(－x)＝1－＝1－＝.又因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝.又因为f(0)＝0也符合上式，所以f(x)＝. (2) f(x)在R上单调递增，证明如下：任取x1，x2∈R且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝－＝.因为 x1<x2，所以2x1<2x2，所以2x1－2x2<0.又因为2x1＋1>0，2x2＋1>0，所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x)在R上单调递增． (3) 由f(m)＋f(m2－2t)<0，得f(m)<－f(m2－2t)，所以f(m)<f(2t－m2)，所以m<2t－m2，即m2＋m<2t，所以对∀m∈[－1，1]，m2＋m<2t恒成立．令y＝m2＋m＝－，m∈[－1，1]，当m＝1时，ymax＝2，所以2<2t，解得t>1，所以实数t的取值范围为(1，＋∞). 课后提升练 1. D　【解析】 由y＝1.01x在R上单调递增，得a＝1.010.5<b＝1.010.6，由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，得a＝1.010.5>c＝0.60.5，所以b>a>c. 2. B　【解析】 由题知65＝50·(0.4＋e－0.000 04a)，整理得e－0.000 04a＝0.9，所以e－0.000 02a＝(e－0.000 04a)＝，所以当他在人口密度为的地区行车时速度v＝50·(0.4＋e－0.000 02a)＝50·(0.4＋)≈67.4km/h. 3. ACD　【解析】 f(log34)＝＝＝，故A正确；由y＝1＋3x的值域是(1，＋∞)，知f(x)＝的值域是(0，1)，故B错误；由y＝1＋3x恒正且在R上单调递增，知f(x)＝是R上的减函数，故C正确；由f(x)＋f(－x)＝＋＝＋＝1，知D正确． 4. 　【解析】 y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方，保持x轴及其上方的图象不变得到的．当a＞1时，如图(1)，两图象只有一个交点，不符合题意；当0＜a＜1时，如图(2)，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，即0＜a＜.综上可知，a的取值范围是. 图(1) 　　 图(2) (第4题) 学科网（北京）股份有限公司 $$