焦点三角形与双曲线离心率讲义-2026届高三数学一轮复习之一题多变

第15题 焦点三角形与双曲线离心率（一题多变） 【2024届常德市高三模拟考试】已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的2倍，则双曲线的离心率为______． 【思路分析】 根据题意可得，设，则，由是等腰三角形知，，或，根据双曲线的定义结合三角形的余弦定理建立关系式，即可求得双曲线的离心率. 【详解】 由题，， 设，则. 因为是等腰三角形，显然，可得，或， ①若，则， 此时，故， 所以，，，，因为， 所以分别在和中，由余弦定理： ，， 因为，所以， 所以． ②若，则，此时，则， ，因为， 所以分别在和中，由余弦定理： ，， 因为，所以， 所以. 故答案为：或. 【题后反思】 本题是一道以双曲线为载体，焦点三角形的面积关系及三角形的形状为条件背景，求双曲线的离心率问题.首先是要能根据为等腰三角形，判断出中相等的边；其次是要能合理利用，由余弦定理建立齐次关系式求解即可. 变条件背景，求离心率 【变化角度】仍以双曲线为载体，改变题中的条件背景，仍求双曲线的离心率，如下： 例：（多选）已知双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过点作圆的切线，与双曲线的左、右两支分别交于两点，且，则的离心率为（    ） A．                 B．                C．             D． 【思路分析】 依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论. 【详解】 （1）若M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以在双曲线的左支， ，， ，设，由即，则， ，， ，故选A； （2）若M、N在双曲线的两支，如图； 因为，所以在双曲线的右支， 所以，， ，设， 由，即，则， ，， 所以，即， 所以双曲线的离心率，故选C 综上：故选A、C. 【举一反三】 1．已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，过原点的直线与相交于两点，，四边形的面积等于，则的离心率等于（    ） A． B． C．2 D． 2．已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与交于，两点，且，四边形的周长与面积满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 变求离心率为求标准方程 【变换角度】改变原题中问题，变求离心率为求双曲线的标准方程，如下： 例：如图，设，是双曲线的左、右焦点，过点作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点，若的面积为，离心率满足，则双曲线的方程为（ ） A．       B．        C．      D． 【思路分析】 根据几何关系列出关于渐近线倾斜角与面积的等量关系式，求出渐近线的倾斜角，从而根据渐近线方程计算的值，确定双曲线的方程 【详解】 设双曲线的渐近线的倾斜角为，则，在等腰三角形中，根据正弦定理可得：，得，所以，解得或，又，，所以，从而，所以双曲的方程为， 故选：B． 【举一反三】 3．已知是双曲线的左，右焦点，点在上，是线段上点，若，则当面积最大时，双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过作与一条渐近线平行的直线，交另一条渐近线于点，交抛物线的准线于点，若三角形（为原点）的面积，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 变载体为椭圆，求离心率 【变换角度】将原题中的双曲线变为椭圆，仍求离心率，如下： 例：已知椭圆的左、右焦点分别是，斜率为的直线经过左焦点且交于两点（点在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率______． 【思路分析】 由题意得，联立直线与椭圆方程得，， 再利用，再代入值计算即可得答案. 【详解】 如图所示，由椭圆定义可得，， 设的面积为，的面积为，因为， 所以，即， 设直线，则联立椭圆方程与直线， 可得， 由韦达定理得：，， 又，即， 化简可得，即， 即时，有. 故答案为： 【举一反三】 5．已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，为的内心，记，的面积分别为，且满足，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的左、右焦点分别是，斜率为的直线l经过点且交于两点（点在第一象限），若的面积是的面积的3倍，则的离心率为 ． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点.若线段与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，且的面积是的2倍，则双曲线的离心率为（） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为且过的直线交双曲线的渐近线于两点，若，（表示的面积），则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．或 9．过双曲线的右顶点A作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P，的面积为（O为坐标原点），离心率为2，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 10．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和．且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 11．已知椭圆）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P为椭圆上一点，直线与直线交于点M，的角平分线与直线交于点N．若，的面积是面积的倍，则椭圆C的离心率是（    ） A． B． C． D． 12．已知椭圆的左、右焦点分别为.点在上且横纵坐标均为非负数，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为9，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 13．已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线交于两点，且，，则双曲线的离心率为 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的3倍，则双曲线的离心率为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15题 焦点三角形与双曲线离心率（一题多变） 【2024届常德市高三模拟考试】已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的2倍，则双曲线的离心率为______． 【思路分析】 根据题意可得，设，则，由是等腰三角形知，，或，根据双曲线的定义结合三角形的余弦定理建立关系式，即可求得双曲线的离心率. 【详解】 由题，， 设，则. 因为是等腰三角形，显然，可得，或， ①若，则， 此时，故， 所以，，，，因为， 所以分别在和中，由余弦定理： ，， 因为，所以， 所以． ②若，则，此时，则， ，因为， 所以分别在和中，由余弦定理： ，， 因为，所以， 所以. 故答案为：或. 【题后反思】 本题是一道以双曲线为载体，焦点三角形的面积关系及三角形的形状为条件背景，求双曲线的离心率问题.首先是要能根据为等腰三角形，判断出中相等的边；其次是要能合理利用，由余弦定理建立齐次关系式求解即可. 变条件背景，求离心率 【变化角度】仍以双曲线为载体，改变题中的条件背景，仍求双曲线的离心率，如下： 例：（多选）已知双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过点作圆的切线，与双曲线的左、右两支分别交于两点，且，则的离心率为（    ） A．                 B．                C．             D． 【思路分析】 依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论. 【详解】 （1）若M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以在双曲线的左支， ，， ，设，由即，则， ，， ，故选A； （2）若M、N在双曲线的两支，如图； 因为，所以在双曲线的右支， 所以，， ，设， 由，即，则， ，， 所以，即， 所以双曲线的离心率，故选C 综上：故选A、C. 【举一反三】 1．已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，过原点的直线与相交于两点，，四边形的面积等于，则的离心率等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 2．已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与交于，两点，且，四边形的周长与面积满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 变求离心率为求标准方程 【变换角度】改变原题中问题，变求离心率为求双曲线的标准方程，如下： 例：如图，设，是双曲线的左、右焦点，过点作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点，若的面积为，离心率满足，则双曲线的方程为（ ） A．       B．        C．      D． 【思路分析】 根据几何关系列出关于渐近线倾斜角与面积的等量关系式，求出渐近线的倾斜角，从而根据渐近线方程计算的值，确定双曲线的方程 【详解】 设双曲线的渐近线的倾斜角为，则，在等腰三角形中，根据正弦定理可得：，得，所以，解得或，又，，所以，从而，所以双曲的方程为， 故选：B． 【举一反三】 3．已知是双曲线的左，右焦点，点在上，是线段上点，若，则当面积最大时，双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 4．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过作与一条渐近线平行的直线，交另一条渐近线于点，交抛物线的准线于点，若三角形（为原点）的面积，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 变载体为椭圆，求离心率 【变换角度】将原题中的双曲线变为椭圆，仍求离心率，如下： 例：已知椭圆的左、右焦点分别是，斜率为的直线经过左焦点且交于两点（点在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率______． 【思路分析】 由题意得，联立直线与椭圆方程得，， 再利用，再代入值计算即可得答案. 【详解】 如图所示，由椭圆定义可得，， 设的面积为，的面积为，因为， 所以，即， 设直线，则联立椭圆方程与直线， 可得， 由韦达定理得：，， 又，即， 化简可得，即， 即时，有. 故答案为： 【举一反三】 5．已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，为的内心，记，的面积分别为，且满足，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 6．已知椭圆的左、右焦点分别是，斜率为的直线l经过点且交于两点（点在第一象限），若的面积是的面积的3倍，则的离心率为 ． 【答案】 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点.若线段与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，且的面积是的2倍，则双曲线的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】B 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为且过的直线交双曲线的渐近线于两点，若，（表示的面积），则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 9．过双曲线的右顶点A作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P，的面积为（O为坐标原点），离心率为2，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 10．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和．且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 11．已知椭圆）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P为椭圆上一点，直线与直线交于点M，的角平分线与直线交于点N．若，的面积是面积的倍，则椭圆C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 12．已知椭圆的左、右焦点分别为.点在上且横纵坐标均为非负数，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为9，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 13．已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线交于两点，且，，则双曲线的离心率为 【答案】 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的3倍，则双曲线的离心率为 ． 【答案】或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$