第2章 整式及其加减（复习讲义）数学华东师大版2024七年级上册

第二章 整式及其加减（复习讲义） 基础目标：学生能准确识别单项式、多项式，清晰区分整式与非整式，掌握系数、次数、项数等核心概念。 进阶目标：灵活运用合并同类项、去括号法则，准确完成整式的加减混合运算，提高计算的速度和准确率，减少符号错误与计算疏漏，理解整式加减运算的算理，体会类比、转化等数学思想方法。 拓展目标：结合方程、几何图形等知识，运用整式建立数学模型，解决实际生活中的复杂问题。引导学生了解整式相关的数学史知识，如古代代数的发展历程，体会数学文化的魅力，增强学习数学的兴趣和文化认同感。 一、字母表示数 知识点 核心内容 字母表示数 字母可以表示任意数，如a既可以表示正数，也可以表示负数、零 用字母表示数的书写规范 （1） 当数字与字母相乘，字母与字母相乘时，乘号通常不写或简写成“·” （2） 除法写成分数形式 （3）如果结果是合差形式，且带单位，则必须把式子用括号括起来，再写单位名称 二、代数式 （1）规范书写： ①数字在字母前面，“×”通常写成“·”或省略不写 ②带分数化成假分数 ③1x中，1可以省略 ④书写顺序：符号、数字、字母 ⑤相同代数式写成乘方的形式 ⑥“÷”应该写成分数线的形式 （2）在实际问题中，表示某一数量的代数式往往是有单位名称的。若代数式是积或商的形式，则将单位名称直接写在式子后面即可；若代数式是和或差的形式，则需要需要用括号将代数式括起来，再将单位名称写的式子后面 三、列代数式 列代数式的步骤： ①认真审题，对语言叙述中的关键词语所代表的意义进行仔细辨析，弄清 题目中的数量关系 ②用运算符号表示出数量关系，列代数式要遵循“先读先写”的原则， 如a与b的和的平方表示为（a+b）²；a、b的平方和表示为a²+b² ③在复杂问题中，要弄清题目中的数量关系的运算顺序，正确使用表明 算顺序的括号，分层列出代数式 四、代数式的值 （1）定义：用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算计算出的结果叫做代数式的值 （2）代数式求值的注意事项： ①代入时，原式中的运算符号及数字不能变 ②如果代数式里省略乘号，那么字母用数值代替后要添上乘号，代入负 数或分数时要加上括号 ③计算时要注意运算顺序，同时运用运算律进行简化计算 五、整式 知识点 核心知识 整式 单项式 概念 数字与字母的乘积单独的一个数或字母也是单项式 系数 单项式中的数字因数 次数 一个单项式中所有字母的指数和，单项式的次数与字母有关，与系数无关 多项式 概念 几个单项式的和叫做多项式 项和次数 组成多项式的每一个单项式叫做多项式的项，次数最高的项的次数是多项式的次数 六、整式的加减 知识点 核心内容 同类项的概念 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项 合并同类项 概念：把同类项合并成一项，叫做合并同类项 法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变 去括号法则 括号前是“+”，把括号和它前面的加号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是减号，把括号和它前面的减号去掉后，原括号里各项的符号都要改变 整式的化简求值 （1）化简求值的步骤：一化简、二代入、三计算 （2）化简时若有多重括号，去括号时可以从内到外进行，也可以从外到内进行 （3）字母代换成数字时，一般要将省略的乘号还原，当代入负数时，应将负数用括号括起来 七、探索与表达规律 探索数字变化的规律 （1）若是数字为整数的数列，可考虑相邻两数的和、差、积、商等方面的规律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律 （2）若是数字方面的等式（或表格），可将每个等式对应写好，然后比较每一行、每一列数字之间的关系 （3）若数字为分数，可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系 （4）方法有：分类讨论法、转化法、归纳法… 探索图形变化的规律 探索图形变化的规律，要观察图形，分析图形中输的关系。从特殊到一般，从不同的角度探索，最后用代数式表示出一般规律。不同代数式表达的结果，可根据去括号和合并同类项法则化简，最终结果是一致的 题型一 列代数式 【例1】用代数式表示与差的平方，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）． 【变式1-2】一瓶的果汁售价是元，奇思购买瓶这种果汁共需 元． 【变式1-3】有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中代数式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 题型二 代数式求值 【例1】当时，代数式的值是（　　） A．7 B． C．5 D． 【变式1-1】若，则 ． 【变式1-2】当时，下列代数式的值与代数式相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】，y是最大的负整数，，则 题型三 单项式 【例1】单项式次数是 ，系数是 ． 【变式1-1】在代数式 、、、、a中，单项式的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】请写出一个只含字母，的五次单项式 ． 【变式1-3】单项式的系数和次数分别是（    ）． A．，12 B．1，12 C．，9 D．1，9 题型四 多项式 【例1】多项式的次数是 ，它的三次项系数是 ． 【变式1-1】多项式是 次 项式． 【变式1-2】多项式的次数是 ． 【变式1-3】多项式是关于x的四次三项式，则m的值是 ． 题型五 同类项 【例1】如果和是同类项，则x、y的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】若单项式与的和仍为单项式，则 ． 【变式1-2】下列式子中，的同类项是（   ） A． B． C．2 D． 【变式1-3】若与是同类项，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．5 题型六 合并同类项 【例1】计算： ． 【变式1-1】单项式与 的和是单项式，则 ， ． 【变式1-2】计算： ． 【变式1-3】合并同类项的结果等于（   ） A． B． C．1 D． 题型七 去括号和添括号 【例1】计算： ． 【变式1-1】下列各式化简后与不相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】的相反数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型八 整式的加减 【例1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】小明把错写成，所得的结果与正确答案相比（　　） A．多 B．多 C．少 D．少 【变式1-2】已知多项式A、B，其中，马小虎同学在计算“”时，误将“”看成了“”，求得的结果为，则多顶式A为 ． 【变式1-3】计算：． 题型九 整式化简求值 【例1】先化简，再求值 其中， 【变式1-1】已知关于x、y的多项式 (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求该多项式的值． 【变式1-2】已知， (1)化简； (2)若，求的值． 【变式1-3】先化简，再求值：，其中． 题型十 整式加减中的无关型问题 【例1】已知代数式合并同类项后不含，项，求的值． 【变式1-1】若关于a、b的多项式与的和不含，则m的值是 ． 【变式1-2】若关于的多项式化简后不含二次项，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】若多项式的值与x无关，则的值为（   ） A．0 B．2 C．6 D．3 题型十一 带字母的绝对值化简问题 【例1】有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：． 【变式1-1】已知有理数，，在数轴上所对应的点的位置如图所示． (1)将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来； (2)填空：______；______；______；（填“”或“”） (3)化简：． 【变式1-2】如果 ，那么 的值为（    ） A． B． C． D．不确定 【变式1-3】的最小值是 ． 题型十二 数字型规律探索 【例1】一组按规律排列的代数式：，…，则第个式子是 ． 【变式1-1】归纳是发现数学规律、解决数学问题的一种重要策略．张老师写了一组有理数，根据你观察到的规律，第8个数是 ． 【变式1-2】对于一个三位正整数，如果的各个数位的数字均不相等且都不为零，满足，那么称这个数为“四方数”．例如：对于286，，是“四方数”；对于不是“四方数”．那么最大的“四方数”为 ．若都是“四方数”，的百位数字是的个位数字是5，M、N各自去掉个位数字后得到的两位数之和能被13整除，规定，则的最大值为 ． 【变式1-3】中国古代是用算筹（条形小棒）的摆放来表示数目的，有纵横两种方式： 记数时，个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，…，这样从右到左，纵横相间．例如，算筹表示的数是6653．则用3根算筹表示的两位数可以是 ．（写出一个即可，算筹不剩余且个位不为0） 题型十三 图形类规律探索 【例1】观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 【变式1-1】生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 【变式1-2】按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 【变式1-3】如图，数学探究课上丽丽将正方形对边中点连接起来，将正方形分割成4个小正方形，第一次操作后图中共有5个正方形，再将其中一个小正方形按上述方法操作，第二次操作后图中共有9个正方形，按此操作办法操作506次后，图中正方形的总数为 个． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）已知，则代数式的值为（ ） A．2025 B． C．2024 D． 2．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）若实数，在数轴上的对应点的位置如图所示．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·广东江门·期中）用代数式表示“的3倍与的差的平方”，正确的是（　　） A． B．3 C． D． 4．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）下列各数，，0，3.14，，，中，整数有a个，负有理数有b个，则等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简的值为（    ） A． B． C．a D． 6．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的系数是1 C．的次数是6次 D．是二次三项式 7．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算，则输出的是，．．．，则第2024次输出的结果是（   ）    A． B． C． D． 9．（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（2024七年级上·四川成都·专题练习）有A，B，C三根绳子，A，C的长度之和是B的2倍．如果把C剪去66分米，那么A的长度就是B，C长度之和的一半．A与B相比， 比 长 分米． 11．（24-25七年级下·重庆万州·期末）单项式与是同类项，则的值为 ． 12．（24-25六年级下·上海青浦·期末）已知关于x，y的单项式与的次数相同，则 ． 13．（24-25七年级上·浙江金华·开学考试）一些棱长为的小正方体如下图摆放，第5个立体图形有( )个小正方体，第n个立体图形露在外面的面积为( )平方分米． 14．（2025·江苏扬州·中考真题）若，则代数式的值是 ． 三、解答题 15．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）计算题 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 16．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）化简求值 (1)化简求值：，其中． (2)已知与是同类项，求多项式的值． 17．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求 (1)直接写出，， x的值． (2)求的值． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25九年级下·甘肃平凉·期中）对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”记为．若是“相随数对”则（    ） A． B． C．2 D．3 2．（24-25七年级下·重庆南川·期末）已知整式，整式，令，令，其中，，，为自然数，，，，为正整数，下列说法： ①若，时，则； ②若，时，则的值不可能是； ③若时，则满足条件的整式共有9个． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25七年级下·福建泉州·期中）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中图案①中有5个正方形，图案②中有9个正方形，图案③中有13个正方形，图案④中有17个正方形，…，按此规律排列下去，若图案中有2025个正方形，则的值为（   ） A．503 B．504 C．505 D．506 4．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）下列说法正确的是（   ） A．单项式m既没有系数也没有次数 B．系数是，次数是2次 C．多项式的项是 D．是整式 5．（2025·新疆·模拟预测）随着新疆旅游业的持续升温，喀什景区凭借其独特的人文风情与壮丽景色，成为了国内外游客心驰神往的热门打卡点．国庆假期第一天网络预约游客人，第二天网络预约游客人数比第一天的2倍多100人，则代数式“”的实际意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的游客人数 B．第二天比第一天多预约的游客人数 C．两天网络预约游客的总人数 D．第二天网络预约的游客人数 6．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）某经济开发区，今年一月份工业产值达亿元，假设二月、三月产值一直增长，设月平均增长率是，则第一季度的总产值是（   ）亿元． A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）将如图1的张长为，宽为的小长方形纸片按图的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，若图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，则的值是（   ） A．3 B．2 C．0 D． 8．（2025·陕西咸阳·三模）对于任意实数，定义，则对于实数的化简结果为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2025·四川成都·中考真题）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ． 10．（24-25七年级下·四川眉山·期中）若，且，则的值为 ． 11．（24-25七年级下·重庆南川·期末）已知三位自然数，若的百位数字与个位数字的和是十位数字的平方，我们把这样的三位数叫做“和方数”．例如：三位数123，，∴123是“和方数”；例如：三位数649，∵，，∴649不是“和方数”；若是“和方数”，且（，，，，，是整数），把的百位数字和个位数字交换（十位数字不变）得到一个数，规定．（1） ．（2）已知数是“和方数”，若能被7整除，则所有满足条件的的值的和是 ． 12．（2024七年级上·四川成都·专题练习）在7个点之间连接18条线段，其中每3个点都不在同一条直线上，那么这些线段最多能构成 个三角形． 三、解答题 13．（24-25九年级下·安徽黄山·期中）教学兴趣小组开展探究活动，探索的数字规律（为正整数）． (1)当时，记表示三位数，如． 猜想：，与的关系，得___________，___________；（用含的代数式表示） (2)证明上述猜想的两个结论的正确性． 14．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）若多项式是关于x，y的四次二项式，求代数式的值． 15．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）计算及化简： (1) (2)有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简：的值． 16．（24-25六年级上·山东烟台·期中）仔细观察分析下列图形和式子，完成下面的问题．将一些边长为1的小正方形按如图方式拼图： 图①中边长为1小正方形的个数：； 图②中边长为1小正方形的个数：； 图③中边长为1小正方形的个数：； ．．．．．． (1)类比上例，写出第四个等式___________； (2)类比上例，计算：； (3)根据你所发现归纳的规律计算的值； (4)在图②的大正方形网格中包含___________个正方形，在的大正方形网格中包含___________个正方形． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 整式及其加减（复习讲义） 基础目标：学生能准确识别单项式、多项式，清晰区分整式与非整式，掌握系数、次数、项数等核心概念。 进阶目标：灵活运用合并同类项、去括号法则，准确完成整式的加减混合运算，提高计算的速度和准确率，减少符号错误与计算疏漏，理解整式加减运算的算理，体会类比、转化等数学思想方法。 拓展目标：结合方程、几何图形等知识，运用整式建立数学模型，解决实际生活中的复杂问题。引导学生了解整式相关的数学史知识，如古代代数的发展历程，体会数学文化的魅力，增强学习数学的兴趣和文化认同感。 一、字母表示数 知识点 核心内容 字母表示数 字母可以表示任意数，如a既可以表示正数，也可以表示负数、零 用字母表示数的书写规范 （1） 当数字与字母相乘，字母与字母相乘时，乘号通常不写或简写成“·” （2） 除法写成分数形式 （3）如果结果是合差形式，且带单位，则必须把式子用括号括起来，再写单位名称 二、代数式 （1）规范书写： ①数字在字母前面，“×”通常写成“·”或省略不写 ②带分数化成假分数 ③1x中，1可以省略 ④书写顺序：符号、数字、字母 ⑤相同代数式写成乘方的形式 ⑥“÷”应该写成分数线的形式 （2）在实际问题中，表示某一数量的代数式往往是有单位名称的。若代数式是积或商的形式，则将单位名称直接写在式子后面即可；若代数式是和或差的形式，则需要需要用括号将代数式括起来，再将单位名称写的式子后面 三、列代数式 列代数式的步骤： ①认真审题，对语言叙述中的关键词语所代表的意义进行仔细辨析，弄清 题目中的数量关系 ②用运算符号表示出数量关系，列代数式要遵循“先读先写”的原则， 如a与b的和的平方表示为（a+b）²；a、b的平方和表示为a²+b² ③在复杂问题中，要弄清题目中的数量关系的运算顺序，正确使用表明 算顺序的括号，分层列出代数式 四、代数式的值 （1）定义：用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算计算出的结果叫做代数式的值 （2）代数式求值的注意事项： ①代入时，原式中的运算符号及数字不能变 ②如果代数式里省略乘号，那么字母用数值代替后要添上乘号，代入负 数或分数时要加上括号 ③计算时要注意运算顺序，同时运用运算律进行简化计算 五、整式 知识点 核心知识 整式 单项式 概念 数字与字母的乘积单独的一个数或字母也是单项式 系数 单项式中的数字因数 次数 一个单项式中所有字母的指数和，单项式的次数与字母有关，与系数无关 多项式 概念 几个单项式的和叫做多项式 项和次数 组成多项式的每一个单项式叫做多项式的项，次数最高的项的次数是多项式的次数 六、整式的加减 知识点 核心内容 同类项的概念 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项 合并同类项 概念：把同类项合并成一项，叫做合并同类项 法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变 去括号法则 括号前是“+”，把括号和它前面的加号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是减号，把括号和它前面的减号去掉后，原括号里各项的符号都要改变 整式的化简求值 （1）化简求值的步骤：一化简、二代入、三计算 （2）化简时若有多重括号，去括号时可以从内到外进行，也可以从外到内进行 （3）字母代换成数字时，一般要将省略的乘号还原，当代入负数时，应将负数用括号括起来 七、探索与表达规律 探索数字变化的规律 （1）若是数字为整数的数列，可考虑相邻两数的和、差、积、商等方面的规律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律 （2）若是数字方面的等式（或表格），可将每个等式对应写好，然后比较每一行、每一列数字之间的关系 （3）若数字为分数，可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系 （4）方法有：分类讨论法、转化法、归纳法… 探索图形变化的规律 探索图形变化的规律，要观察图形，分析图形中输的关系。从特殊到一般，从不同的角度探索，最后用代数式表示出一般规律。不同代数式表达的结果，可根据去括号和合并同类项法则化简，最终结果是一致的 题型一 列代数式 【例1】用代数式表示与差的平方，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，理解题中的数量关系是解题的关键； “a与b差的平方”指先求a减b的差，再将这个差整体平方，即． 【详解】解：A. ：这是平方差公式的结果，表示的平方减去的平方，而非差的平方，错误，不符合题意； B. ：表示先求差再平方，正确，符合题意； C. ：仅对平方后减去，未对差整体平方，错误，不符合题意； D. ：表示减去的平方，运算顺序错误，错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意是关键；求出售出一个布老虎增加的利润，即可求出售出a个布老虎增加的利润． 【详解】解：售出一个布老虎增加的利润为（元）， 则售出a个布老虎增加的利润为． 故答案为：． 【变式1-2】一瓶的果汁售价是元，奇思购买瓶这种果汁共需 元． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据单价乘以数量，即可求解． 【详解】解：一瓶的果汁售价是元，奇思购买瓶这种果汁共需元． 故答案为：． 【变式1-3】有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中代数式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查代数式，掌握用运算符号连接数或字母的式子叫代数式，单独的数或字母也是代数式．根据代数式的定义排除含有等号或不等号的式子，再统计即可． 【详解】解：①是代数式； ②是代数式； ③是代数式； ④是代数式； ⑤不是代数式； ⑥不是代数式； ⑦是代数式． 综上，代数式有①②③④⑦，共5个． 故选：C． 题型二 代数式求值 【例1】当时，代数式的值是（　　） A．7 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，将代入代数式，按照有理数运算法则及运算顺序计算即可得到答案，掌握代数式求值的方法及有理数相关运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：当时，， 故选：D． 【变式1-1】若，则 ． 【答案】1 【分析】根据非负数的性质，得，确定两个字母的值，代入解答即可． 本题考查了非负性的性质，求代数式的值，熟练掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：由， 得， 解得， 故， 故答案为：1． 【变式1-2】当时，下列代数式的值与代数式相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，将代入原式和各选项代数式，计算比较即可． 【详解】当时，原式， 选项A：； 选项B：； 选项C：； 选项D：， 综上，只有选项C的值与原式相等， 故选C． 【变式1-3】，y是最大的负整数，，则 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握最大的负整数，绝对值的概念是解题的关键． 先根据绝对值的性质求出，y是最大的负整数，再根据，确定的值,然后代入计算即可． 【详解】解：∵，则或；y是最大的负整数是，且， ∴，， ∴， 故答案为： . 题型三 单项式 【例1】单项式次数是 ，系数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． 【详解】解：依题意，， ∴单项式次数是3，系数是， 故答案为：3，． 【变式1-1】在代数式 、、、、a中，单项式的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的判断，根据单项式的定义：数字与字母的积的形式，单个数字或字母也是单项式，逐一判断各代数式是否为单项式即可． 【详解】：用减号连接两个项，是多项式，不是单项式． ：数字与字母的积，是单项式． ：数字与字母的积，是单项式． ：分母含字母，是分式，不是单项式． ：单独的数字，是单项式． ：单独的字母，是单项式． 综上，共有4个单项式， 故选C． 【变式1-2】请写出一个只含字母，的五次单项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了单项式有关概念，根据单项式系数、次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：写出一个只含字母，的五次单项式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1-3】单项式的系数和次数分别是（    ）． A．，12 B．1，12 C．，9 D．1，9 【答案】A 【分析】本题考查的是单项式，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解答此题的关键． 【详解】解：∵， ∴该单项式的系数为，次数为． 故故选A． 题型四 多项式 【例1】多项式的次数是 ，它的三次项系数是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了多项式的次数，单项式的系数，掌握单项式、多项式的系数，次数是关键． 在多项式中，最高次项的次数即为多项式的次数，数字因数即为该项的系数，由此即可求解． 【详解】解：多项式中，的次数是次，的次数是次， ∴多项式的次数是， 三次项系数是， 故答案为：①；② ． 【变式1-1】多项式是 次 项式． 【答案】 三 三 【分析】本题考查了多项式的项数与次数，多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数，组成该多项式中的单项式的个数就是多项式的项数；根据多项式的项、次数的相关知识解答即可． 【详解】解：多项式是三次三项式． 故答案为：三；三． 【变式1-2】多项式的次数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了多项式的次数，多项式中最高次项的次数叫做多项式的次数． 据此即可求解． 【详解】解：多项式的次数是4， 故答案为：4． 【变式1-3】多项式是关于x的四次三项式，则m的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查多项式的概念，熟练掌握单项式的个数就是多项式的项数，这些单项式中最高次项的次数就是这个多项式的次数是解题的关键． 利用多项式次数和项数的确定方法可得，且，再求解即可． 【详解】解：∵多项式是关于的四次三项式， ， 或0， 又， ， 故答案为：8． 题型五 同类项 【例1】如果和是同类项，则x、y的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，即相同字母的指数相同，可以列出方程组，然后求出方程组的解即可． 【详解】解：∵和是同类项， ∴，， 解得，， 故选：C． 【变式1-1】若单项式与的和仍为单项式，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握两个相同是解题关键．含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项．根据单项式与的和仍为单项式，得出与是同类项，根据同类项定义求出a、b的值，然后求出结果即可． 【详解】解：单项式与的和仍为单项式， 与为同类项， ，， ， ． 故答案为：1． 【变式1-2】下列式子中，的同类项是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同类项的定义，解题的关键在于掌握判断同类项的依据． 根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，逐项判断，即可解题． 【详解】解：根据同类项的定义可知，的同类项是， 故选：D． 【变式1-3】若与是同类项，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了是同类项，根据同类项的定义求解即可，解题的关键是掌握同类项的定义． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 故选：C． 题型六 合并同类项 【例1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键． 直接根据合并同类项法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-1】单项式与 的和是单项式，则 ， ． 【答案】 2 3 【分析】本题考查合并同类项，根据题意，易得两个单项式为同类项，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵单项式与 的和是单项式， ∴单项式与为同类项， ∴， ∴； 故答案为：2，3 【变式1-2】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加法，合并同类项，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据合并同类项系数相加减字母不变计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-3】合并同类项的结果等于（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 题型七 去括号和添括号 【例1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查去括号法则：括号前是正号，把括号和正号去掉后，原括号里各项不变号，根据去括号法则直接求解即可得到答案．熟记去括号法则是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-1】下列各式化简后与不相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号，根据去括号法则逐一化简即可判断求解，掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解： 、，与原式相等，不合题意； 、，与原式相等，不合题意； 、，与原式相等，不合题意； 、，与原式不相等，符合题意； 故选：． 【变式1-2】的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了相反数，去括号．根据相反数的定义，一个数的相反数是将其整体取相反数，即原数前加负号，再化简即可． 【详解】解：的相反数为， 根据去括号法则，得： ． 故选：D． 【变式1-3】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 题型八 整式的加减 【例1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减．根据合并同类项法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、和不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】小明把错写成，所得的结果与正确答案相比（　　） A．多 B．多 C．少 D．少 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减，计算错误写法与正确写法的差值，即可得到两者的差异． 【详解】解：正确算式为：， 错误算式为：， 计算两者的差值： ， 错误结果比正确答案多， 故选：B． 【变式1-2】已知多项式A、B，其中，马小虎同学在计算“”时，误将“”看成了“”，求得的结果为，则多顶式A为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据题意可得，然后将代入并求解即可． 【详解】解：根据题意，， 即， ∴； 故答案为：． 【变式1-3】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，假设，则原式，然后消去，再计算即可． 【详解】解：假设， 原式 题型九 整式化简求值 【例1】先化简，再求值 其中， 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，利用去括号：括号前是负数去括号都变号，括号前是正数去括号不变号是解题关键． 根据去括号、合并同类项，可化简整式，根据代数式求值，可得答案． 【详解】原式 当，时，原式． 【变式1-1】已知关于x、y的多项式 (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求该多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，多项式的概念，代数式求值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据去括号和合并同类项法则将多项式化简，再根据不含三次项可知，三次项的系数为0，即可求出m的值； （2）由（1）可得，该多项式为，再整体代入计算求值即可． 【详解】（1）解：， 该多项式不含三次项， ， ； （2）解：由（1）可得，该多项式为， 当，时， ． 【变式1-2】已知， (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则． （1）根据整式的加减运算法则进行化简， （2）根据题意可求出与的值，然后将与的值代入中即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ，， 当，时， ， ， ． 【变式1-3】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的加减−−化简求值．原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出，，代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵， ∴，， 解得，， 原式． 题型十 整式加减中的无关型问题 【例1】已知代数式合并同类项后不含，项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是合并同类项，代数式求值的有关知识，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 首先合并同类项，然后求出，最后再代入计算即可． 【详解】解：原式， 由题意，得， 解得， 所以． 【变式1-1】若关于a、b的多项式与的和不含，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的和中不含某项的条件；求出多项式的和为，由多项式中不含某项的条件，即可求解；理解“多项式中不含某一项就是使得这一项的系数为零．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 不含， ， 解得：， 故答案为：． 【变式1-2】若关于的多项式化简后不含二次项，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减不含某项问题，先化简整式，进而根据化简后不含二次项，可得二次项系数为，据此列出等式解答即可求解，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵关于的多项式化简后不含二次项， ∴， ∴， 故选：． 【变式1-3】若多项式的值与x无关，则的值为（   ） A．0 B．2 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减法中与x无关的问题， 先去括号，再根据整式的加减法整理得出x的系数，然后根据系数等于0求出m,n,可得答案. 【详解】解：原式 . 因为该多项式的值与x无关， 所以， 解得， 所以. 故选：C. 题型十一 带字母的绝对值化简问题 【例1】有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】此题主要考查了数轴以及绝对值，正确得出各式的符号是解题关键．直接利用数轴上，，的位置进而得出，，，，再去绝对值即可． 【详解】解：由数轴可得：，，，， ∴，，，， ． 【变式1-1】已知有理数，，在数轴上所对应的点的位置如图所示． (1)将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来； (2)填空：______；______；______；（填“”或“”） (3)化简：． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值和整式的加减； （1）根据数轴上，左边的数小于右边的数即可解答； （2）根据有理数的加法，减法，乘法法则判断符号，即可求解． （3）根据点在数轴上的位置和绝对值化简解答即可． 【详解】（1）解：根据数轴可得：； （2）解：由数轴可知，，，且， ∴，，； 故答案为：，，； （3）解：由数轴可知，，，且， ∴，， ∴ ． 【变式1-2】如果 ，那么 的值为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查有理数的除法，绝对值的意义，利用，得出有一个正数，二个负数是解题关键．根据，得出中有1个正数，2个负数，设，，，化简绝对值即可求解．． 【详解】解：∵， ∴中有1个正数，2个负数． 不妨设，，，则 ． 故选：C． 【变式1-3】的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值与数轴，解题的关键是理解绝对值的几何意义． 根据绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解： 如图所示：由绝对值的几何意义可知，就是要在数轴上求一点x，使它到、2、3这三个点的距离和最小， 所以当时，，故此时有最小值，最小值是4． 故答案为：4． 题型十二 数字型规律探索 【例1】一组按规律排列的代数式：，…，则第个式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式中的规律探究，根据已有多项式可知，多项式为二项式，第一项的字母为，指数为从1开始连续的正整数，第二项的系数为2，字母为，指数是从1开始的连续的奇数，即可得出结果． 【详解】解：∵， ， ，，… 以此类推可得，第个式子为：， 故答案为：． 【变式1-1】归纳是发现数学规律、解决数学问题的一种重要策略．张老师写了一组有理数，根据你观察到的规律，第8个数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字规律问题，找出规律是解题的关键．规律是：分母是从2开始的自然数，分子比分母小1的自然数的平方，根据此规律即可完成解答． 【详解】解：根据规律得：第个数是， 则第8个数是； 故答案为：． 【变式1-2】对于一个三位正整数，如果的各个数位的数字均不相等且都不为零，满足，那么称这个数为“四方数”．例如：对于286，，是“四方数”；对于不是“四方数”．那么最大的“四方数”为 ．若都是“四方数”，的百位数字是的个位数字是5，M、N各自去掉个位数字后得到的两位数之和能被13整除，规定，则的最大值为 ． 【答案】 961 1310 【分析】本题主要考查了新定义，要使“四方数”最大，则百位数字要最大，故可确定最大的“四方数”的百位数字为9，再确定十位数字，进而确定个位数字即可；设M的十位数字为x，N的百位数字为y，则M的个位数字为，N的十位数字为，根据题意可得能被13整除，则能被13整除，即能被13整除，根据，，再根据是13的倍数讨论求解即可． 【详解】解：∵要使“四方数”最大， ∴百位数字要最大， ∴最大的“四方数”的百位数字为9， 接着要保证十位数字最大，则最大的“四方数”的十位数字为6， ∴最大的“四方数”的个位数字为1，即最大的“四方数”为961； 设M的十位数字为x，N的百位数字为y，则M的个位数字为，N的十位数字为， ∵M、N各自去掉个位数字后得到的两位数之和能被13整除， ∴能被13整除， ∴能被13整除， ∴能被13整除， ∵， ∴， 当时，则， 当时，，， ∴，，此时符合题意； ∴此时； ∵， ∴，且y是正整数， ∴此时，都满足是最大， ∴的最大值即为． 故答案为：961；1310． 【变式1-3】中国古代是用算筹（条形小棒）的摆放来表示数目的，有纵横两种方式： 记数时，个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，…，这样从右到左，纵横相间．例如，算筹表示的数是6653．则用3根算筹表示的两位数可以是 ．（写出一个即可，算筹不剩余且个位不为0） 【答案】12（答案不唯一） 【分析】本题考查了规律探索，理解题意是解题的关键． 根据题意作图求解即可． 【详解】 解：由题意可得：3根算筹表示的两位数图象可以是 ∴用3根算筹表示的两位数可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 题型十三 图形类规律探索 【例1】观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可． 【详解】解：第一个图形中有个三角形； 第二个图形中有个三角形； 第三个图形中有个三角形； 第四个图形中有个三角形； ； 第n个图形中有个三角形． 故答案为： 【变式1-1】生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 【答案】21 【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：；第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：，算出第10个图案中矩形个数即可． 【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数：； 第2个图案中矩形的个数：； 第3个图案中矩形的个数：； … 第n个图案中矩形的个数：， ∴则第10个图案中矩形的个数为：， 故答案为：21． 【变式1-2】按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 【答案】C 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是个， 故选：C． 【变式1-3】如图，数学探究课上丽丽将正方形对边中点连接起来，将正方形分割成4个小正方形，第一次操作后图中共有5个正方形，再将其中一个小正方形按上述方法操作，第二次操作后图中共有9个正方形，按此操作办法操作506次后，图中正方形的总数为 个． 【答案】2025 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，后一个图形比前一个图形多4个正方形，进而求出第个图形中正方形的个数，再进行计算即可． 【详解】解：第一次操作后图中共有5个正方形，观察可知，后一个图形比前一个图形多4个正方形， ∴第个图形中正方形的个数为， ∴操作506次后，图中正方形的总数为个； 故答案为：2025 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）已知，则代数式的值为（ ） A．2025 B． C．2024 D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵ ∴当时， ． 故选：A． 2．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）若实数，在数轴上的对应点的位置如图所示．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的性质，利用绝对值的意义，有理数的大小比较的原则，逐一判断即可． 【详解】解：如图，根据题意，得，且，， A、∴， 该选项错误，不符合题意； B、∵， 该选项错误，不符合题意； C、根据题意，得， 该选项错误，不符合题意； D、根据题意，得， 该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴上点表示有理数，有理数大小的比较，绝对值的意义，数轴的意义，熟练掌握数轴的意义，有理数的大小比较是解题的关键． 3．（24-25七年级上·广东江门·期中）用代数式表示“的3倍与的差的平方”，正确的是（　　） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，根据题意的先求倍数，然后求差，最后求平方列出代数式即可． 【详解】解：由题意可得，“的3倍与的差的平方”可表示为， 故选：A． 4．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）下列各数，，0，3.14，，，中，整数有a个，负有理数有b个，则等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了整数和负数的定义，代数式求值，熟记有理数的分类是关键． 根据整数和负数的定义，找出整数的个数，负数的个数，再求和即可． 【详解】下列各数，，0，3.14，，，中， 整数有0，，，共3个， ∴； 负有理数有，，，共3个， ∴； ∴． 故选：B． 5．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简的值为（    ） A． B． C．a D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值，去括号，合并同类项，解题的关键是判断出． 由图可知，，然后确定各项的符号，去掉绝对值号，计算答案． 【详解】解：由图可知， ∴，， ∴ ． 故选：B． 6．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的系数是1 C．的次数是6次 D．是二次三项式 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式和多项式，熟练掌握定义是解题的关键；直接利用单项式的次数与系数、多项式的项数与次数确定方法分别分析得出答案． 【详解】A．单项式的系数是，而非，故错误，该选项不符合题意； B．多项式中，项的系数是1，但题目未指明具体项的系数，故错误，该选项不符合题意； C．单项式的次数为字母指数之和，即的次数为，而非6，故错误，该选项不符合题意； D．多项式由（一次项）、（二次项）和（常数项）组成，最高次数为2，且有三项，是二次三项式，故正确，该选项符合题意； 故选：D． 7．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减．如果两个单项式所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同，那么这两个单项式为同类项，可以进行合并，逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； 故选：C． 8．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算，则输出的是，．．．，则第2024次输出的结果是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式的求值，理解程序中的框图以及能找到输出值的规律是解题的关键． 把代入程序中计算，以此类推得到一般性的规律，即可确定出第2024次输出的结果． 【详解】解：当时， 第1次的输出结果为， 第2次的输出结果为， 第3次的输出结果为， 第4次的输出结果为， 第5次的输出结果为， 第6次的输出结果为， 第7次的输出结果为， 第8次的输出结果为， ， 从第二次的结果开始，每6次运算结果循环一次， ， 第2024次的结果与第次的结果一样， 第2024次输出的结果是． 故选B． 9．（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 第5个代数式为， ……， 以此类推，可知，第n个代数式是， 故选：A． 二、填空题 10．（2024七年级上·四川成都·专题练习）有A，B，C三根绳子，A，C的长度之和是B的2倍．如果把C剪去66分米，那么A的长度就是B，C长度之和的一半．A与B相比， 比 长 分米． 【答案】 B A 22 【分析】本题主要考查列代数式，先根据已知条件列出等式，代入消元，即可求得A，B的大小关系． 【详解】解： 将②代入①，得， 整理：， 得：， 将代入①， 得，整理：， 即B比A长22分米． 故答案为：B，A，22． 11．（24-25七年级下·重庆万州·期末）单项式与是同类项，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查根据同类项求代数式的值，根据同类项的定义，得到，进而得到，再求和即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：4． 12．（24-25六年级下·上海青浦·期末）已知关于x，y的单项式与的次数相同，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式的次数计算，根据题意列出方程计算即可． 【详解】解：由题意可知：， 解得：． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·浙江金华·开学考试）一些棱长为的小正方体如下图摆放，第5个立体图形有( )个小正方体，第n个立体图形露在外面的面积为( )平方分米． 【答案】 【分析】本题考查组合立体图形的个数、表面积的求法，解题的关键是结合图形，找准相应规律． 根据题意，结合图形，找出规律求解即可． 【详解】解：第1个图形有1个小正方体； 第2个图形有个小正方体； 第3个图形有个小正方体； 第4个图形有个小正方体； ∴第5个图形有个小正方体； 第1个图形有漏在外面的有个面； 第2个图形有个面； 第3个图形有个面； 第4个图形有个面； ∴第n个图形有个面； ∴第n个立体图形露在外面的面积为平方分米， 故答案为：；． 14．（2025·江苏扬州·中考真题）若，则代数式的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键．先将变形为，再将变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 三、解答题 15．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）计算题 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)5 (2) (3)9 (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题考查有理数的混合运算与整式的加减运算，解题的关键是熟练运用运算法则和运算律． （1）利用有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数进行计算； （2）将除法转换成乘法，计算即可； （3）利用有理数的加减混合运算法则计算； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （5）利用乘法分配律进行简便计算； （6）合并同类项，同类项的系数相加，字母和指数不变； （7）先找出同类项，再分别合并同类项； （8）先找出同类项，再分别合并同类项． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解：； （7）解： ； （8）解： ． 16．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）化简求值 (1)化简求值：，其中． (2)已知与是同类项，求多项式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查同类项的概念以及整式的化简求值，解题的关键是掌握同类项定义和整式加减运算法则． （1）先通过合并同类项化简式子，再代入的值计算． （2）先根据同类项定义求出、的值，再代入多项式求值． 【详解】（1）解： 把代入，可得： 原式 ； （2）解：已知与是同类项，所以， 把代入， 原式 ． 17．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求 (1)直接写出，， x的值． (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值的定义以及代数式求值，熟练掌握有理数的基础知识是解题的关键； （1）根据相反数的定义、倒数的定义和绝对值的定义求解即可； （2）由x的绝对值是2可得，然后把，代入所求式子解答即可． 【详解】（1）解：因为a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2， 所以，，， 所以； （2）解：因为， 所以， 所以． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25九年级下·甘肃平凉·期中）对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”记为．若是“相随数对”则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减—化简求值，由题意得，整理得，即，然后将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可． 【详解】解：由题意得， 整理得， 则， ， 故选：A． 2．（24-25七年级下·重庆南川·期末）已知整式，整式，令，令，其中，，，为自然数，，，，为正整数，下列说法： ①若，时，则； ②若，时，则的值不可能是； ③若时，则满足条件的整式共有9个． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值，整式加减的应用，数字规律探索，解题的关键是理解题意，注意分类讨论．将代入得出，求出正整数解为，或，，可以判定①正确；将代入得出，根据为偶数，即可判定②正确；当时，，分别根据时，时，时，时，分别讨论各种情况数，即可判定③错误． 【详解】解：①当时，， ∵，，为正整数， ∴正整数解为，或，，故，故①正确； ②当且时，， ∵所有项均为偶数， ∴为偶数， ∵为奇数， ∴的值不可能是，故②正确； ③当时，，列举（正整数）的可能值： 时，，有4种组合； 时，，有3种组合； 时，，有2种组合； 时，，有1种组合； 总共有种，而非9种，故③错误； 综上，正确的有①和②，共2个． 故选：C． 3．（24-25七年级下·福建泉州·期中）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中图案①中有5个正方形，图案②中有9个正方形，图案③中有13个正方形，图案④中有17个正方形，…，按此规律排列下去，若图案中有2025个正方形，则的值为（   ） A．503 B．504 C．505 D．506 【答案】D 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形的变化规律得出第个图案中有个正方形，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意知： 第①个图案中有个正方形， 第②个图案中有个正方形， 第③个图案中有个正方形， 第④个图案中有个正方形， ， ∴第个图案中有个正方形， ∴， 解得：， 故选：D． 4．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）下列说法正确的是（   ） A．单项式m既没有系数也没有次数 B．系数是，次数是2次 C．多项式的项是 D．是整式 【答案】D 【分析】本题考查单项式的系数和次数、多项式的项以及整式的定义．逐一分析各选项是否符合相关概念即可． 【详解】解：A． 单项式的系数为1，次数为1，原说法错误； B． 的系数是，次数是和的指数之和，原说法错误； C． 多项式的项应为、、，原选项未正确标注项的符号，错误； D． 可拆分为，属于多项式，是整式，正确． 故选：D． 5．（2025·新疆·模拟预测）随着新疆旅游业的持续升温，喀什景区凭借其独特的人文风情与壮丽景色，成为了国内外游客心驰神往的热门打卡点．国庆假期第一天网络预约游客人，第二天网络预约游客人数比第一天的2倍多100人，则代数式“”的实际意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的游客人数 B．第二天比第一天多预约的游客人数 C．两天网络预约游客的总人数 D．第二天网络预约的游客人数 【答案】B 【分析】本题考查代数式的意义．根据第一天网络预约游客a人，得到第二天网络预约游客人，从而确定答案，准确用代数式表示相关数量是解决问题的关键． 【详解】解：第一天网络预约游客人，第二天人数为第一天的2倍加100，即． A：第一天比第二天多的人数应为，与代数式不符． B：第二天比第一天多的人数为，符合代数式． C：两天总人数为，不符． D：第二天人数为，不符． 故选：B． 6．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）某经济开发区，今年一月份工业产值达亿元，假设二月、三月产值一直增长，设月平均增长率是，则第一季度的总产值是（   ）亿元． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，解决本题的关键是根据月平均增长率分别计算各月产值，再求和得到第一季度总产值即可． 【详解】解：一月份产值为亿元， 二月份产值为亿元，三月份产值为亿元， 第一季度总产值为： ． 故选：B． 7．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）将如图1的张长为，宽为的小长方形纸片按图的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，若图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，则的值是（   ） A．3 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减，首先设，则有，，根据矩形的面积公式可以用含的代数式分别表示出、，再利用整式的加减法求出即可． 【详解】解：如下图所示， 设， 则，， ，， ． 故选：A． 8．（2025·陕西咸阳·三模）对于任意实数，定义，则对于实数的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查整式的加减运算，理解新定义运算法则是解题关键． 根据新定义法则化简，然后计算整式的加减法即可． 【详解】解：根据题意得： 故选：D． 二、填空题 9．（2025·四川成都·中考真题）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题中定义，找到等式左右两边代数式的变化规律是解答的关键．先根据题中定义，结合题干例子可求解第一空；分别求得、5、7…对应等式，由此得到等式左右两边代数式的变化规律，进而可得答案． 【详解】解：； 由题意， 当时，， 当时，， 当时，， ……， 当时，， 又， ∴对于任意奇数k（），， 故答案为：；． 10．（24-25七年级下·四川眉山·期中）若，且，则的值为 ． 【答案】18 【分析】本题考查代数式求值，遇到比例，设每份是解决本题的关键． 通过设系数，将、、用表示，代入已知等式求出，再代入所求式子计算． 【详解】解：设 ， 则，，， ∴， 解得， ∴把，，，代入，得： ， 把代入，得． 故答案为：18． 11．（24-25七年级下·重庆南川·期末）已知三位自然数，若的百位数字与个位数字的和是十位数字的平方，我们把这样的三位数叫做“和方数”．例如：三位数123，，∴123是“和方数”；例如：三位数649，∵，，∴649不是“和方数”；若是“和方数”，且（，，，，，是整数），把的百位数字和个位数字交换（十位数字不变）得到一个数，规定．（1） ．（2）已知数是“和方数”，若能被7整除，则所有满足条件的的值的和是 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减的应用， （1）由根据题意表示出y，然后代入求解即可； （2）首先表示出，然后代入得到，得到，然后根据能被7整除结合a，b，c的取值范围分情况求解即可． 【详解】（1）根据题意得，； 故答案为：； （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵能被7整除，，，，，，是整数 ∴当时，解得，； 当时，解得或，或； 当时，解得，； ∴． 故答案为：． 12．（2024七年级上·四川成都·专题练习）在7个点之间连接18条线段，其中每3个点都不在同一条直线上，那么这些线段最多能构成 个三角形． 【答案】23 【分析】本题主要考查图形类规律探索；根据在有关平面上的7个点可以连成21条线段，可构成35个三角形，由于本题中连接18条线段，由此要减去少的3条线段所构成的那部分三角形即可求出． 【详解】解：在平面上7个点最多可以连成21条线段，可以构成35个三角形， 但实际只连了18条线段，所以应该去掉3条线段， 去第一条线段，就少了5个三角形， 去第二条线段，最少能少4个三角形(有个顶点和前条线段共点)， 去第三条线段最少能少3个三角形， 有一个点和前两条的公共点共点(三线共点)，去的最少，留下的就最多， 所以最多能组成个三角形． 故答案为：23． 三、解答题 13．（24-25九年级下·安徽黄山·期中）教学兴趣小组开展探究活动，探索的数字规律（为正整数）． (1)当时，记表示三位数，如． 猜想：，与的关系，得___________，___________；（用含的代数式表示） (2)证明上述猜想的两个结论的正确性． 【答案】(1)； (2)成立，见解析 【分析】本题主要考查数字规律，分别求出当至当时，a、b的值是解题的关键． （1）分别求出当至当时，a、b的值是解题的关键． （2）把，代入验证即可． 【详解】（1）解：∵，且n为正整数， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ⋯ 由此可得，；； 故答案为：；； （2）证明：∵，， ∴ ， ∴． 14．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）若多项式是关于x，y的四次二项式，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，代数式求值，去括号，合并同类项后，根据多项式为关于x，y的四次二项式，求出的值，进而代入代数式进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵多项式是关于x，y的四次二项式， ∴， ∴， ∴ ． 15．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）计算及化简： (1) (2)有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简：的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，有理数与数轴，化简绝对值，熟知相关知识是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据数轴可得，则，据此去绝对值后，根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：由数轴可得， ∴， ∴ ． 16．（24-25六年级上·山东烟台·期中）仔细观察分析下列图形和式子，完成下面的问题．将一些边长为1的小正方形按如图方式拼图： 图①中边长为1小正方形的个数：； 图②中边长为1小正方形的个数：； 图③中边长为1小正方形的个数：； ．．．．．． (1)类比上例，写出第四个等式___________； (2)类比上例，计算：； (3)根据你所发现归纳的规律计算的值； (4)在图②的大正方形网格中包含___________个正方形，在的大正方形网格中包含___________个正方形． 【答案】(1) (2)2500 (3)1500 (4)14，91 【分析】本题考查数字类、图形类规律探究，找到变化规律并灵活运用是解答的关键． （1）仿照例子直接写出等式即可； （2）根据所给几个等式，发现规律，进而求解即可； （3）把变形为，然后利用（2）中规律求解即可； （4）根据图①、②、③中正方形个数发现规律为：在的大正方形网格中包含个正方形，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：观察前几个等式的左右变化，得：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得， ∴ （3）解： ； （4）解：在图①即的大正方形网格中包含个正方形； 在图②即的大正方形网格中包含个正方形； 在图③即的大正方形网格中包含个正方形； …… ∴在的大正方形网格中包含个正方形， ∴当时，在图的大正方形网格中包含个正方形， 故答案为为：14，91． 2 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $$