专题01 整式（专项训练）数学华东师大版2024七年级上册

专题01 整式 目录 A题型建模・专项突破 题型一、单项式的判断 1 题型二、单项式的系数、次数 1 题型三、写出满足某些特征的单项式 2 题型四、单项式规律题 2 题型五、多项式的判断 3 题型六、多项式的项、项数和次数 4 题型七、多项式系数、指数中字母求值 4 题型八、将多项式按某个字母升幂或降幂排列 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、单项式的判断 1．（24-25七年级上·北京丰台·期末）下列说法正确的是（   ） A．0是单项式 B．的次数是6 C．的系数是2 D．的系数是1 2．（22-23七年级上·福建宁德·期末）在这五个代数式中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（22-23七年级上·福建泉州·期中）下列语句中，错误的是（　　） A．是单项式 B．单项式的系数与次数都是 C．单项式的系数是 D．的系数是 4．（22-23七年级上·四川资阳·期末）下列代数式中，次数是3的单项式是（　　） A． B． C． D． 5．（21-22六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在整式，，0，，，中，单项式有(   )个 A．3 B．4 C．5 D．6 题型二、单项式的系数、次数 6．（24-25七年级上·江苏南京·期中）单项式的系数是 ，次数是 ． 7．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）单项式的系数和次数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）已知是关于的四次单项式，则的值是 ． 9．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）若单项式的系数为，次数为，则 ． 10．（23-24七年级上·全国·课后作业）观察下列单项式：，，，，，，，，写出第个单项式，为了解决这个问题，特提供下面的解题思路． (1)这组单项式的系数依次为多少，系数的绝对值的规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)请你根据上面的归纳猜想出第个单项式． (4)请你根据猜想，写出第2023个，第2024个单项式． 题型三、写出满足某些特征的单项式 11．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 12．（23-24七年级上·云南德宏·期末）写出系数为，含有字母，的三次单项式 ． 13．（2025·河南郑州·三模）请写出一个只含字母x，y的五次单项式 14．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）一个单项式满足下列三个条件：①系数是2；②次数是3；③只含有两个字母．写出一个满足上述条件的单项式： ． 15．（24-25七年级上·全国·期中）写出一个以为系数，含有字母x、y的三次单项式： ． 题型四、单项式规律题 16．（2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为 ． 17．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为 ，从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有 个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出 a … 18．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）观察下列单项式： 第1个单项式：． 第2个单项式：． 第3个单项式：． 第4个单项式：． …… (1)第5个单项式为______． (2)第n个单项式为______（用含有n的式子表示）． (3)前3个（第1个到第3个）单项式中字母a，b的所有指数之和为，求前10个（第1个到第10个）单项式中字母a，b的所有指数之和． 19．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列单项式：，回答下列问题： (1)请写出第五项、第六项； (2)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？ (3)请你根据猜想，写出第2024，2025个单项式． 20．（24-25七年级上·天津红桥·期中）观察下列各单项式 按此规律可以得到第2020个单项式是 ，第n个单项式是 ． 题型五、多项式的判断 21．（24-25七年级上·广东河源·期末）在代数式中，多项式的个数是（   ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 22．（23-24七年级上·吉林·期中）（1）把下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④；⑤2；⑥；⑦． 单项式有_________，多项式有____________； （2）利用上面的部分代数式写出一个三次四项式． 23．（23-24七年级上·北京西城·期中）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“7倍系数多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“7倍系数和”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“7倍系数多项式”，它的“7倍系数和”为28． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“7倍系数多项式”的是 ；（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x、y的“7倍系数多项式”（其中m，n均为整数），则多项式也是关于x、y的“7倍系数多项式”吗?若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 24．（24-25七年级上·山西晋中·期中）在学习数与代数领域知识时，小明查阅资料了解到对代数式做如图所示的分类，下列选项符合▲的是（   ） A． B． C． D． 25．（22-23七年级上·内蒙古乌海·期末）在下列整式，，，中多项式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型六、多项式的项、项数和次数 26．（24-25七年级上·河南商丘·期中）多项式是关于的二次三项式，则取值为（   ） A．0 B．4 C．4或0 D．-4或1 27．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如果是关于的四次二项式，则 ． 28．（24-25七年级上·江西宜春·期末）多项式的次数和项数分别是（   ） A．3，5 B．8，3 C．5，2 D．5，3 29．（23-24七年级上·河南驻马店·期中）已知关于x的多项式是二次二项式．求： (1)k的值． (2)代数式的值 30．（24-25七年级上·吉林·期末）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求． 题型七、多项式系数、指数中字母求值 31．（24-25七年级上·吉林·期末）若多项式是关于、的九次二项式，则的值为 ． 32．（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）若多项式是四次三项式，则 ． 33．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）规定：对于两个一元多项式（含字母x）来说，当x任取一个数时，这两个多项式的值都相等，那么就称这两个一元多项式是恒等的．例如：如果两个一元多项式与（a、b是常数）是恒等的，那么，；如果（a、b是常数）与恒等，那么 ． 34．（24-25七年级上·江西赣州·阶段练习）若多项式是关于的三次多项式，则多项式的值为 ． 35．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）若多项式是关于a，b的五次二项式，则的值为 ． 题型八、将多项式按某个字母升幂或降幂排列 36．（24-25七年级上·山西长治·期末）多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 37．（24-25七年级上·全国·期末）已知多项式是六次四项式，单项式与该多项式的次数相同，求的值，并将多项式按x的降幂排列． 38．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）已知多项式是六次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求，的值； (2)把这个多项式按的降幂排列． 39．（24-25七年级上·吉林通化·期中）已知多项式是关于x、y的八次四项式， (1)求该多项式的四次项； (2)将该多项式按y的降幂重新排列． 40．（20-21六年级下·上海·期末）合并同类项，将结果按a的降幂排列：． 一、单选题 1．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）已知代数式，，从第三个式子开始，每一个式子都等于前两个式子的和，，，下列说法：①；②前2023个式子中，的系数为奇数的式子有1349个；③．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）对于一个多项式，任意选择其中两项的系数，变成其相反数后再交换它们的位置，称为“换系数操作”，例如，对进行“换系数操作”后，所有可能的结果为，，，则下列说法： ①存在多项式进行“换系数操作”后的结果与原多项式相同； ②对于，若且，则“换系数操作”后的不同多项式有3个； ③将展开得到多项式，对它进行“换系数操作”后的所有多项式的常数项和为． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2024·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（21-22七年级下·山东烟台·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． （a＋b）0＝1 （a＋b）1＝a＋b （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 （a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 （a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5 … 则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是（    ） A．2048 B．1024 C．512 D．256 二、填空题 5．（20-21九年级下·江苏常州·期末）已知（x+1）2021＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则a2+a4+…+a2018+a2020＝ ． 6．（21-22七年级上·全国·单元测试）观察下列单项式：-2x，22x2，-23x3，24x4…-25x5，26x6…请观察规律，写出第n个式子 . 三、解答题 7．（23-24七年级上·广东惠州·期中）已知是的系数，是多项式的次数，是单项式的系数，且、、分别是点、、在数轴上对应的数． (1)求、、的值，并在数轴上标出点、、． (2)若动点、分别从、同时出发沿数轴负方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点？ (3)在数轴上找一个点，使点到、、三点的距离之和等于，请直接写出所有点对应的数． 8．（19-20七年级上·上海青浦·期中）已知：a是单项式-xy2的系数，b是最小的正整数，c是多项式2m2n－m3n2－m－2的次数．请回答下列问题： (1)请直接写出a、b、c的值．a＝ ，b＝ ，c＝ ． (2)数轴上，a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC．   ①t秒钟过后，AC的长度为 （用含t的关系式表示）； ②请问：BC-AB的值是否会随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 整式 目录 A题型建模・专项突破 题型一、单项式的判断 1 题型二、单项式的系数、次数 3 题型三、写出满足某些特征的单项式 5 题型四、单项式规律题 7 题型五、多项式的判断 10 题型六、多项式的项、项数和次数 12 题型七、多项式系数、指数中字母求值 14 题型八、将多项式按某个字母升幂或降幂排列 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、单项式的判断 1．（24-25七年级上·北京丰台·期末）下列说法正确的是（   ） A．0是单项式 B．的次数是6 C．的系数是2 D．的系数是1 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的定义、单项式的系数与次数的定义，掌握以上的知识是解答本题的关键；本题根据单项式的定义、系数与次数的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：A、0是单项式，此项说法正确； B、的次数是，此项说法错误； C、的系数是，此项说法错误； D、的系数是，此项说法错误； 故选A． 2．（22-23七年级上·福建宁德·期末）在这五个代数式中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据单项式的定义解决此题 【详解】解：根据单项式的定义，数字或字母的乘积组成的代数式（单个数字或单个字母也是单项式）， ∴单项式有，共3个 故选：C. 【点睛】本题主要考查单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解决本题的关键 3．（22-23七年级上·福建泉州·期中）下列语句中，错误的是（　　） A．是单项式 B．单项式的系数与次数都是 C．单项式的系数是 D．的系数是 【答案】A 【分析】利用单项式的概念逐一判断即可． 【详解】解：A． 是多项式，故原选项说法错误； B． 单项式的系数与次数都是1，故原选项说法正确； C． 单项式的系数是，故原选项说法正确； D． 的系数是，故原选项说法正确． 故选:A． 【点睛】本题考查了单项式的有关概念，理解掌握单项式的概念是解题的关键． 4．（22-23七年级上·四川资阳·期末）下列代数式中，次数是3的单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式的次数及定义逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 是4次单项式，故A不符合题意； 是4次单项式，故B不符合题意； 是3次单项式，故C,符合题意； 是3次2项式，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查单项式的定义及次数：数与字母的积叫单项式，所有字母指数和为单项式的次数． 5．（21-22六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在整式，，0，，，中，单项式有(   )个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据单项式的定义（由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式）判断即可． 【详解】解：由题意得在整式，，0，，，中， 单项式的有：、0、和． 故选B． 【点睛】本题考查了单项式的定义，理解单项式的定义是解题的关键． 题型二、单项式的系数、次数 6．（24-25七年级上·江苏南京·期中）单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的系数、次数，熟练掌握单项式的系数、次数的定义是解题的关键：单项式的系数、次数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，注：单项式表示数字与字母相乘时，通常把数字写在前面，当一个单项式的系数是或时通常省略数字不写而只写符号，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，强调：单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，字母的指数不写的，表示这个字母的指数是，不是“没有”． 根据单项式的系数、次数的定义即可直接得出答案． 【详解】解：单项式的系数是，次数是， 故答案为：，． 7．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）单项式的系数和次数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】此题主要考查了单项式，熟练掌握单项式中系数和次数的定义是解题关键． 直接利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而得出答案． 【详解】解：单项式的系数， 单项式的次数为； 故选：A 8．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）已知是关于的四次单项式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的次数的定义以及绝对值，单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，熟练掌握单项式次数的定义是解题的关键； 根据单项式次数的定义求解即可． 【详解】解：是关于的四次单项式， ， 解得：或， ， 故， 则； 故答案为： 9．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）若单项式的系数为，次数为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式的系数和次数，熟练掌握单项式系数和次数的定义是解题的关键．根据项式系数和次数的定义即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， ， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·全国·课后作业）观察下列单项式：，，，，，，，，写出第个单项式，为了解决这个问题，特提供下面的解题思路． (1)这组单项式的系数依次为多少，系数的绝对值的规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)请你根据上面的归纳猜想出第个单项式． (4)请你根据猜想，写出第2023个，第2024个单项式． 【答案】(1)这组单项式的系数依次为，3，，7，，，，；系数的绝对值的规律是从1开始的连续奇数，第个单项式的系数的绝对值可表示为 (2)次数的规律是从1开始的连续自然数，第个单项式的次数表示为 (3)第个单项式是 (4)第2023个单项式是，第2024个单项式是 【分析】（1）观察题目中的单项式，写出几个单项式的系数，发现系数的绝对值的规律是从1开始的连续奇数，用含的代数式表示第个单项式的系数的绝对值即可； （2）观察题目中的单项式，发现次数的规律是从1开始的连续自然数，用表示第个单项式的次数即可； （3）根据（1）、（2）发现的规律，用含的代数式表示第个单项式即可； （4）根据（3）中的表示第个单项式的代数式，写出第2023个，第2024个单项式即可． 【详解】（1）这组单项式的系数依次为，3，，7，，，，；系数为奇数且奇次单项式的系数为负数，故单项式的系数的符号是，系数的绝对值的规律是； （2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数，第个单项式的次数表示为； （3）根据（1）、（2）发现的规律，第个单项式是； （4）根据（3）中的第个单项式是， 当时，代入写出第2023个单项式是， 当时，代入写出第2024个单项式是． 【点睛】本题考查了单项式的书写、单项式的系数和次数，观察题目中的单项式发现规律是解题的关键． 题型三、写出满足某些特征的单项式 11．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【答案】(1)， (2) (3) (4)， 【分析】本题主要考查了单项式规律题，单项式的系数、次数，写出满足某些特征的单项式等知识点，通过观察所给单项式发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）通过对这组单项式的系数进行观察并总结规律，即可得出答案； （2）通过对这组单项式的次数进行观察并总结规律，即可得出答案； （3）根据（1）、（2）的归纳，即可得出答案； （4）根据（3）的猜想，直接写出第个、第个单项式即可． 【详解】（1）解：这组单项式的系数分别为：，，，，，，，， 可以发现，其符号规律是正负交替，即：， 其绝对值规律是，，，，，即：， 故答案为：，； （2）解：这组单项式的次数分别为：，，，，，，，，， 其规律是：从开始的连续自然数，即：， 故答案为：； （3）解：根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是：， 故答案为：； （4）解：根据猜想，可以写出第个、第个单项式，它们分别是： ， ， 故答案为：，． 12．（23-24七年级上·云南德宏·期末）写出系数为，含有字母，的三次单项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的定义，由数或字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，单项式中数字因数叫做单项式的系数（当系数为1或时，1可以省略不写）．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：系数为，含有字母，的三次单项式： 故答案为：（答案不唯一） 13．（2025·河南郑州·三模）请写出一个只含字母x，y的五次单项式 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式，根据单项式的有关概念即可得出答案，确定单项式的系数和次数的关键． 【详解】解：依题意，这个只含字母x，y的五次单项式为， 故答案为：（答案不唯一）． 14．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）一个单项式满足下列三个条件：①系数是2；②次数是3；③只含有两个字母．写出一个满足上述条件的单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的概念和单项式的次数的概念，单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和，根据单项式系数、次数的定义来求解即可． 【详解】解：∵单项式满足∶①系数是2；②次数是3；③只含有两个字母 ∴满足单项式的条件如：， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·全国·期中）写出一个以为系数，含有字母x、y的三次单项式： ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数． 【详解】解：根据单项式定义得以为系数，含有字母x、y的三次单项式为或， 故答案为：或． 题型四、单项式规律题 16．（2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为 ． 【答案】 【分析】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键．分析已知式子，得到第个式子为，即可得到答案． 【详解】解：第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， …… 观察发现，第个式子为， 故答案为： 17．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为 ，从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有 个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出 a … 【答案】 1350 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，单项式的规律探究，通过观察输出结果，得到当输入的数是时，输出项的系数与次数均为奇数，再由，即可求解． 【详解】解：输入1，得到a， 输入2，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入3，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入4，得到，项的系数与次数均为奇数， 输入5，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入6，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入7，得，项的系数与次数均为奇数， 输入8，得，项的系数与次数不都为奇数， 输入9，得，项的系数与次数均为奇数， …… ∴当输入的数是时，输出项的系数与次数均为奇数， ∵， ∴从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有1350个， 故答案为：，1350． 18．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）观察下列单项式： 第1个单项式：． 第2个单项式：． 第3个单项式：． 第4个单项式：． …… (1)第5个单项式为______． (2)第n个单项式为______（用含有n的式子表示）． (3)前3个（第1个到第3个）单项式中字母a，b的所有指数之和为，求前10个（第1个到第10个）单项式中字母a，b的所有指数之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式的系数和次数规律探索等知识点，准确发现其规律是解决此题的关键． (1)观察单项式的系数和次数的规律，可以发现系数是序号的2倍，字母的次数不变，字母的次数是序号的2倍减1即可得解； (2)由(1)的规律即可得解； (3)根据规律计算前10个单项式中字母的所有指数之和即可得解． 【详解】（1）解：第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， 第4个单项式：， …… 观察单项式的系数和次数的规律，可以发现系数是序号的2倍，字母的次数不变，字母的次数是序号的2倍减1， ∴第5个单项式为， 故答案为：； （2）解：由(1)的规律知，第n个单项式为， 故答案为：； （3）根据规律，前10个单项式中字母的所有指数之和为． 19．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列单项式：，回答下列问题： (1)请写出第五项、第六项； (2)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？ (3)请你根据猜想，写出第2024，2025个单项式． 【答案】(1)第5个单项式是：，第6个单项式是： (2) (3)第2024个单项式是，第2025个单项式是 【分析】本题主要考查了单项式规律， （1）根据题意，得到单项式中系数的规律解题：系数是偶数，奇数项为正，偶数项为负，字母的指数为正整数； （2）根据（1）中规律解题； （3）将，分别代入（2）中解题即可； 熟练掌握相关知识找到规律是解决此题的关键． 【详解】（1）解：由题意可知：系数依次为： ， ， ， ， 指数依次是：1，2，3，4，5，6，…， 故第5个单项式是：，第6个单项式是：； （2）解：由（1）规律可知，第n个单项式为：； （3）解：第2024个单项式是，第2025个单项式是． 20．（24-25七年级上·天津红桥·期中）观察下列各单项式 按此规律可以得到第2020个单项式是 ，第n个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律题，观察已知单项式，正确归纳类推出一般规律是解题关键，根据已知单项式归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1个单项式为， 第2个单项式为， 第3个单项式为， 第4个单项式为， 第5个单项式为， 归纳类推得：第n的单项式为，其中n为正整数， 则第2020个单项式为， 故答案为：，． 题型五、多项式的判断 21．（24-25七年级上·广东河源·期末）在代数式中，多项式的个数是（   ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了多项式“由几个单项式的和组成的代数式，称为多项式”，熟记多项式的定义是解题关键．根据多项式的定义求解即可得． 【详解】解：，，，都是多项式，共有4个， 故选：B． 22．（23-24七年级上·吉林·期中）（1）把下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④；⑤2；⑥；⑦． 单项式有_________，多项式有____________； （2）利用上面的部分代数式写出一个三次四项式． 【答案】（1）③⑤⑦；①②；（2）是三次四项式．（答案不唯一） 【分析】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，三次五项式的定义． （1）根据单项式，多项式的定义即可求解． （2）根据三次四项式的定义即可求解 【详解】解：（1）单项式有：③；⑤2；⑦； 多项式有：①；②； 故答案为：③⑤⑦；①②； （2）选①⑤， 则是三次四项式．（答案不唯一）． 23．（23-24七年级上·北京西城·期中）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“7倍系数多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“7倍系数和”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“7倍系数多项式”，它的“7倍系数和”为28． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“7倍系数多项式”的是 ；（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x、y的“7倍系数多项式”（其中m，n均为整数），则多项式也是关于x、y的“7倍系数多项式”吗?若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)①③ (2)是，理由见详解 【分析】本题考查了多项式的新定义， （1）分别算一下这三个多项式各系数之和是否为7的整数陪，即可求出答案； （2）根据题意可知，是7的整数倍，推出，根据要求推一下是否是7的整数倍即可． 【详解】（1）解：（1）①因为，是整式，所以这个多项式是“7倍系数多项式”； ②因为，不是整数，所以这个多项式不是“7倍系数多项式”； ③因为，2是整数，所以这个多项式不是“7倍系数多项式； 故答案选：①③； （2）是，理由如下： 多项式是关于，的“7倍系数多项式”， 是7的整数倍， 设为整数，且， 则， 多项式的系数之和为：， ， ， 为7的倍数，即为7的倍数， 当多项式是关于，的“7倍系数多项式”，多项式也是关于，的“7倍系数多项式”． 24．（24-25七年级上·山西晋中·期中）在学习数与代数领域知识时，小明查阅资料了解到对代数式做如图所示的分类，下列选项符合▲的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查代数式的分类，根据多项式的定义求解即可． 【详解】A．是分式，故A选项不符合题意； B．是多项式，故B选项符合题意； C．是无理式，故C选项不符合题意； D．是单项式，故D选项不符合题意． 故选：B． 25．（22-23七年级上·内蒙古乌海·期末）在下列整式，，，中多项式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查多项式定义，根据多项式是几个单项式的和差理解，逐项验证即可得到答案，熟记多项式定义是解决问题的关键． 【详解】解：整式，，，中多项式有，，共2个， 故选：B． 题型六、多项式的项、项数和次数 26．（24-25七年级上·河南商丘·期中）多项式是关于的二次三项式，则取值为（   ） A．0 B．4 C．4或0 D．-4或1 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式，熟练掌握多项式的次数：多项式中最高次项的次数，叫做多项式的次数；一个多项式有几项就叫几项式是解题的关键． 根据多项式的定义得且，求解即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴且， ∴， 故选：A． 27．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如果是关于的四次二项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的相关定义，理解四次二项式是解答本题的关键． 题目是四次二项式，所以不含的项，令其系数为，求出的值即可． 【详解】解：是关于的四次二项式， ， ， 故答案为：． 28．（24-25七年级上·江西宜春·期末）多项式的次数和项数分别是（   ） A．3，5 B．8，3 C．5，2 D．5，3 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的次数与项数，根据有几个单项式有几项，单项式中最高的次数是多项式的次直接判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 多项式有3项，最高次数是5次， 故答案为：D． 29．（23-24七年级上·河南驻马店·期中）已知关于x的多项式是二次二项式．求： (1)k的值． (2)代数式的值 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查了多项式的项和次数的定义，代数式求值： （1）根据题意得该多项式有二次项和常数项，那么一次项系数必须为0，据此求解即可； （2）根据（1）所求求出，再根据相邻两项之间的和为0即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于x的多项式是二次二项式， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 30．（24-25七年级上·吉林·期末）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，由多项式是六次四项式求得m，再由单项式的次数是6，进一步求得n，代入求得即可． 【详解】解：∵多项式是六次四项式， ∴，                                       ∴，                                              ∵单项式的次数与多项式的次数相同， ∴， ∴，                                           ∴． 题型七、多项式系数、指数中字母求值 31．（24-25七年级上·吉林·期末）若多项式是关于、的九次二项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的概念，多项式中次数最高项的次数就是多项式的次数，解题的关键是掌握多项式的有关概念．根据九次二项式的定义可得，且，计算即可． 【详解】解：由题可知：， 解得∶ ， 故答案为：． 32．（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）若多项式是四次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的项和次数的概念，根据多项式的项和次数的概念得到，计算求解，即可解题． 【详解】解：因为多项式是四次三项式， 所以， 解得， 故答案为：． 33．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）规定：对于两个一元多项式（含字母x）来说，当x任取一个数时，这两个多项式的值都相等，那么就称这两个一元多项式是恒等的．例如：如果两个一元多项式与（a、b是常数）是恒等的，那么，；如果（a、b是常数）与恒等，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，代数式求值，掌握两个多项式恒等，相同项的系数相等是解题的关键． 根据题意，得出，由相同项的系数相等得出a，b，c，d的值，然后再分别代入计算即可． 【详解】解：∵（a、b是常数）与恒等， ∴ ∴，，，， ∴． 故答案为：． 34．（24-25七年级上·江西赣州·阶段练习）若多项式是关于的三次多项式，则多项式的值为 ． 【答案】3或5或1 【分析】本题考查了多项式的定义．分类讨论，根据多项式的次数为三次，超过三次的项的系数为0，即可求得的值，进而即可求解． 【详解】解：∵多项式是关于的三次多项式， 当时，，此时或6，则， ∴， ∴或1； 当，，此时，则， ∴， ∴； 故答案为：3或5或1． 35．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）若多项式是关于a，b的五次二项式，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了多项式的次数，项数的定义，利用多项式的定义求参数，正确掌握多项式的定义是解题的关键．根据五次二项式的定义得到，且，计算求解，即可解题． 【详解】解：多项式是关于a，b的五次二项式， ，且， 解得， 当时，或， 此时或， 故答案为：或． 题型八、将多项式按某个字母升幂或降幂排列 36．（24-25七年级上·山西长治·期末）多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了将多项式按某个字母降幂排列，熟练掌握多项式的项与次数的定义“多项式中每一个单项式称为该多项式的项（带符号）；次数最高的项的次数即为该多项式的次数”是解题关键．求出多项式的每一项中字母的次数，由此即可得． 【详解】解：在多项式中，中字母的次数是2，中字母的次数是0，中字母的次数是1，中字母的次数是4， 则这个多项式按字母的降幂排列为， 故选：C． 37．（24-25七年级上·全国·期末）已知多项式是六次四项式，单项式与该多项式的次数相同，求的值，并将多项式按x的降幂排列． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了多项式的概念，单项式的概念，解一元一次方程等知识点， （1）根据题意得出，，求出m、n的值，进而代入代数式计算即可； （2）由（1）得出原多项式为：，再重新排列即可得到答案； 熟练掌握几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数是解此题的关键． 【详解】∵多项式是六次四项式， ∴，解得：， ∵单项式与该多项式的次数相同， ∴，解得：， 将，代入得， ∴， ∴这个多项式按按x的降幂排列为：． 38．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）已知多项式是六次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求，的值； (2)把这个多项式按的降幂排列． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了多项式和单项式的次数，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式次数的定义． 根据单项式的次数和多项式的次数求出、的值即可； 将多项式按降幂排列即可． 【详解】（1）解：多项式是六次四项式， ， 解得：， 单项式的次数与这个多项式的次数相同， ， 解得：． （2）解：将多项式按降幂排列为． 39．（24-25七年级上·吉林通化·期中）已知多项式是关于x、y的八次四项式， (1)求该多项式的四次项； (2)将该多项式按y的降幂重新排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义及按降幂排列，解题的关键是： （1）根据多项式的次数和多项式的项求m的值和常数项即可； （2）将m值代入多项式并按y降幂排列即可． 【详解】（1）解：∵多项式是关于x、y的八次四项式， ∴，， ∴， ∴原多项式为， ∴该多项式的四次项为； （2）解：按y的降幂重新排列为． 40．（20-21六年级下·上海·期末）合并同类项，将结果按a的降幂排列：． 【答案】 【分析】根据合并同类项法则解答即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变． 一、单选题 1．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）已知代数式，，从第三个式子开始，每一个式子都等于前两个式子的和，，，下列说法：①；②前2023个式子中，的系数为奇数的式子有1349个；③．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字的变化规律以及单项式，找出规律是解题的关键．分别计算到的值，相加可判断（1）；找到各项的的系数，判断奇偶性，得到规律，即可判断（2）；将逐步拆分，根据结果即可判断（3）． 【详解】解：，，，， ， ， ， ， ， ， ，故（1）正确； 中的系数为奇数， 中的系数为奇数， 中的系数为偶数， 中的系数为奇数， 中的系数为奇数， 中的系数为偶数， 中的系数为奇数， 中的系数为奇数， 中的系数为偶数， 中的系数为奇数， ， 以3个式子为一周期，的系数分别为奇数、奇数、偶数， ， 前2023个式子中，的系数为奇数的代数式有个，故（2）正确； 故（3）错误； 综上所述，正确的有2个， 故选：C． 2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）对于一个多项式，任意选择其中两项的系数，变成其相反数后再交换它们的位置，称为“换系数操作”，例如，对进行“换系数操作”后，所有可能的结果为，，，则下列说法： ①存在多项式进行“换系数操作”后的结果与原多项式相同； ②对于，若且，则“换系数操作”后的不同多项式有3个； ③将展开得到多项式，对它进行“换系数操作”后的所有多项式的常数项和为． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，多项式的系数，求代数式的值等知识，解题的关键是： ①取特殊值判断即可； ②把代入，得出，然后按照“换系数操作”列出所有的结果判断即可； ③当时，展开得到多项式的各项系数和为，常数项为，则，然后用每一项与其后面的项进行“换系数操作”，得出多项式的常数项求解即可． 【详解】解：①当时，a与化为相反数，此时“换系数操作”后的结果与原多项式相同，故①正确； ②若，则原多项式为，“换系数操作”后的多项式有，，，共三个，故②正确； ③当时，，则展开得到多项式的各项系数和为，常数项为， ∴， 选择第一项与其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为1，1，1，1，1，1，1，1，1，，即9个1和， 选择第二项与剩余其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为1，1，1，1，1，1，1，1，，即8个1和， …… 选择倒数第二项与剩余其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为， ∴“换系数操作”的所有多项式的常数项和为， 故③正确， 故选：D． 3．（2024·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论得到答案即可． 【详解】解：∵为自然数，为正整数，且， ∴， 当时，则， ∴，， 满足条件的整式有， 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，， 当时，则， ∴，，，，，， 满足条件的整式有：，，，，，； 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，； 当时，， 满足条件的整式有：； ∴满足条件的单项式有：，，，，，故①符合题意； 不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；故②符合题意； 满足条件的整式共有个．故③符合题意； 故选D 4．（21-22七年级下·山东烟台·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． （a＋b）0＝1 （a＋b）1＝a＋b （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 （a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 （a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5 … 则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是（    ） A．2048 B．1024 C．512 D．256 【答案】B 【分析】根据杨辉三角展开式中的所有项的系数和规律确定出展开式的项系数和为，求出系数之和即可 【详解】解：当n＝0时，展开式中所有项的系数和为1＝20， 当n＝1时，展开式中所有项的系数和为2＝21， 当n＝2时，展开式中所有项的系数和为4＝22， 当n＝3时，展开式中所有项的系数和为8＝23 …… 由此可知（a＋b）n展开式的各项系数之和为2n， 则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是210＝1024， 故选：B． 【点睛】本题考查杨辉三角展开式的系数的和的求法，通过观察展开式中的所有项的系数和，得到规律是解题的关键． 二、填空题 5．（20-21九年级下·江苏常州·期末）已知（x+1）2021＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则a2+a4+…+a2018+a2020＝ ． 【答案】22020﹣1 【分析】先令x＝1，再令x＝﹣1得出a0+a2+a4…+a2020=22021÷2，最后令x＝0，a0＝1计算即可 【详解】解：令x＝1，a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021＝a0+a1+a2+a3+…+a2021＝22021；① 令x＝﹣1，a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021＝a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020﹣a2021＝0；② ∴①+②得：a0+a1+a2+a3+…+a2021+a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020﹣a2021=22021 2（a0+a2+a4…+a2020）=22021 a0+a2+a4…+a2020=22021÷2 令x＝0， ∴a0＝1； ∴a2+a4+…+a2018+a2020＝22021÷2﹣1＝22020﹣1， 故答案为：22020﹣1． 【点睛】本题考查赋值法求二项式系数和的问题，正确使用赋值法是解题关键 6．（21-22七年级上·全国·单元测试）观察下列单项式：-2x，22x2，-23x3，24x4…-25x5，26x6…请观察规律，写出第n个式子 . 【答案】(-1) n (2x)n 【分析】要看各单项式的系数和次数与该项的序号之间的变化规律．本题中，奇数项符号为负，偶数项符号为正，数字变化规律是（-1）n2n，字母变化规律是xn 【详解】解：由题意可知第n个单项式是：（-1）n2nxn=(-1) n (2x)n 故答案为(-1) n (2x)n 【点睛】本题考查了单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式改写成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 三、解答题 7．（23-24七年级上·广东惠州·期中）已知是的系数，是多项式的次数，是单项式的系数，且、、分别是点、、在数轴上对应的数． (1)求、、的值，并在数轴上标出点、、． (2)若动点、分别从、同时出发沿数轴负方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点？ (3)在数轴上找一个点，使点到、、三点的距离之和等于，请直接写出所有点对应的数． 【答案】(1)，，，图见解析 (2)运动秒后，点可以追上点 (3)或 【分析】（1）根据单项式的系数、多项式的次数，得出、、的值，在数轴上标出点、、的位置即可； （2）根据，，动点、分别从、同时出发沿数轴负方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，结合“追及时间路程差速度差”计算求解即可； （3）根据题意分“当点在点、之间时”和“当点在点左边时”两种情况讨论．当点在点、之间时，得出，计算，求出点对应的数即可；当点在点左边时，计算出，，进一步计算，求出点对应的数即可． 【详解】（1）解：∵是的系数，是多项式的次数，是单项式的系数， ∴，，， 如图，在数轴上标出点、、， ； （2）解：∵，，动点、分别从、同时出发沿数轴负方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度， ∴（秒）， ∴运动秒后，点可以追上点； （3）解：情况一：当点在点、之间时， 又∵，，， ∴， ∴， ∴点对应的数； 情况二：当点在点左边时， ∵，， ∴， ∴点对应的数． 综上所述，点对应的数为或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题、单项式的系数和多项式的次数，根据题意分类讨论、数形结合是解题的关键． 8．（19-20七年级上·上海青浦·期中）已知：a是单项式-xy2的系数，b是最小的正整数，c是多项式2m2n－m3n2－m－2的次数．请回答下列问题： (1)请直接写出a、b、c的值．a＝ ，b＝ ，c＝ ． (2)数轴上，a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC．   ①t秒钟过后，AC的长度为 （用含t的关系式表示）； ②请问：BC-AB的值是否会随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值． 【答案】(1)-1，1，5 (2)①4t＋6；②不会变化，2 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）①分别表示出t秒后点A对应的数，点B对应的数，点C对应的数，即可表示出AC； （3）先求出AB，BC的值，再计算BC-AB的值，可得BC-AB的值是定值． 【详解】（1）解：由题意得， 单项式-xy2的系数a＝-1， 最小的正整数b＝1， 多项式2m2n-m3n2-m-2的次数c＝5；   故答案为：-1，1，5 （2）①t秒后点A对应的数为a-t，点B对应的数为b＋t，点C对应的数为c＋3t， 故AC＝|c＋3t-a＋t|＝|5＋4t＋1|＝6＋4t； 故答案为：6＋4t ②∵BC＝5＋3t-（1＋t）＝4＋2t， AB＝1＋t-（-1-t）＝2＋2t； ∴BC-AB＝4＋2t-2-2t＝2， 故BC-AB的值不会随时间t的变化而改变．其值为2． 【点睛】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$