第一章 空间向量与立体几何 章末综合测试（基础检测）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章《空间向量与立体几何》章末综合测试（基础检测） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 在空间直角坐标系中，点到平面的距离与其到平面的距离的比值等于（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 已知，，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 4. 已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面底面，为正方形内（包括边界）的一个动点，且满足．则点在正方形内的轨迹为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直三棱柱中，，已知与分别为和的中点， 与分别为线和上的动点（不包括端点），若 、则线段长度的取值范围为（ ） A. [] B. [ ] C. [) D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（ ） A. B. C. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为 D. 点O到直线BC的距离是 10. 如图，正方体的棱长为1，正方形的中心为，棱，的中点分别为，，则（ ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离为 11. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为AC，，AB的中点．则下列结论正确的是（ ） A. 与EF相交 B. 平面DEF C. EF与所成的角为 D. 点到平面DEF的距离为 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 下图是一个机器人手臂的示意图，该手臂分为三段，分别可用向量，，代表，用向量代表整条手臂，则 . 13. 已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影向量为 . 14. 如图所示，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是线段，上的点，满足平面，则与平面所成角的范围是 . 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，F为CD的中点，，以B为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）写出B，D，P，F四点的坐标； （2）求. 16. 已知平行六面体，，，，，设，，； （1）试用、、表示； （2）求的长度. 17. 如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点． （1）求证：∥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点． （1）证明：； （2）当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当二面角的余弦值为时，求． 19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. ( 第 1 页 共 7 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章《空间向量与立体几何》章末综合测试（基础检测） 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B A C A B A D AC ABD BCD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 在空间直角坐标系中，点到平面的距离与其到平面的距离的比值等于（ ） A. B. C. 2 D. 4 【详解】C 因为点到平面的距离为，到平面的距离为， 所以它们的比值等于. 2. 已知，，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【解析】B设向量与的夹角为， 因为，，且， 所以，得， 所以， 所以， 因为，所以. 3. 在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【解析】A 由已知，设平面的一个法向量为， ，取，得， 选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线. 4. 已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【解析】C 因为，故与垂直， 故，解得. 5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【解析】A ，， ， ，，，. 6. 如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角为（ ） A. B. C. D. 【解析】B 连接， 以为空间一组基底， 则， ， 所以， ， 设直线与直线所成角为， 则, 由于异面直线夹角的取值范围是，所以. 7. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面底面，为正方形内（包括边界）的一个动点，且满足．则点在正方形内的轨迹为（ ） A. B. C. D. 【解析】A如图，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为，，则，，，，则，．由，得， 所以点在正方形内的轨迹为一条线段， 8. 如图，在直三棱柱中，，已知与分别为和的中点， 与分别为线和上的动点（不包括端点），若 、则线段长度的取值范围为（ ） A. [] B. [ ] C. [) D. 【详解】D建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设点坐标为，， 故，因为， 故可得，则，由可得， 又，故, 故当时，取得最小值；又当时，，但无法取到，则无法取到； 综上，线段DF长度的取值范围为. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（ ） A. B. C. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为 D. 点O到直线BC的距离是 【详解】AC 对于A，，，， 依题意，，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，,因为， 则异面直线OB与AC所成角的余弦值为，故C正确； 对于D，因为，，在上的投影为， 所以点O到直线BC距离是，故D错误. 10. 如图，正方体的棱长为1，正方形的中心为，棱，的中点分别为，，则（ ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离为 【详解】ABD 故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. ，，， ，选项A正确； ， 所以 根据三角函数两角正余弦关系解得： ，选项B正确； ， 选项C错误； 点到直线的距离为：， 而 所以选项D正确. 11. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为AC，，AB的中点．则下列结论正确的是（ ） A. 与EF相交 B. 平面DEF C. EF与所成的角为 D. 点到平面DEF的距离为 【解析】BCD 对选项A，由图知平面，平面，且由异面直线的定义可知与EF异面，故A错误； 对于选项B，在直三棱柱中， ． ，F分别是AC，AB的中点， ， ． 又平面DEF，平面DEF， 平面故B正确； 对于选项C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 则0，，0，，2，，0，，2，，0，，0，，0，，1，． 1，，0，． ，，． 与所成的角为，故C正确； 对于选项D，设向量y，是平面DEF的一个法向量． 0，，1，， 由，即，得 取，则，0，， 设点到平面DEF的距离为d． 又2，， ， 点到平面DEF的距离为，故D正确． 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 下图是一个机器人手臂的示意图，该手臂分为三段，分别可用向量，，代表，用向量代表整条手臂，则 . 【解析】由题意可知，. 所以. 13. 已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影向量为 . 【解析】因为， 所以， 所以， 所以， 所以在方向上的投影向量为． 14. 如图所示，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是线段，上的点，满足平面，则与平面所成角的范围是 . 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 易得不重合，设，其中，且， 所以，所以，， 因为平面，所以，可得，所以，， 因为平面，所以的一个法向量为， 设与平面所成的角为， 则， 当，可得，因为，所以 当，可得，因为，所以， 所以与平面所成的角的范围是为. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，F为CD的中点，，以B为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）写出B，D，P，F四点的坐标； （2）求. 【详解】（1）因为底面是边长为2的菱形，且，F为CD的中点， 所以，又， ； （2）. 16. 已知平行六面体，，，，，设，，； （1）试用、、表示； （2）求的长度. 【详解】（1） （2） ，， 所以 ． 的长度为． 17. 如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点． （1）求证：∥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【解析】（1）证明：因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 故平面； （2）由于平面， 所以平面， 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则,1,，,1,，,0,，,0,，,0,， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 故， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为； （3）因为， 又平面的法向量为， 所以点到平面的距离为． 18. 如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点． （1）证明：； （2）当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当二面角的余弦值为时，求． 【解析】（1）证明：因为， 所以，所以， 又，且平面，所以平面， 又平面，所以． （2）因为，所以，则． 由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 当点为棱的中点时，． 设平面的一个法向量， 则即令，解得，故， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． （3）由（2）可知， 设，则， 设平面的一个法向量， 则即令，解得， 故， 设平面的一个法向量为， 由得令，解得，故， 所以， 即，整理，得，解得或（舍去）． 故． 19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知，且都在面内，所以平面； （2）由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，，. 设与平面所成角的大小为， 则有， 设为与平面所成角，故， 即与平面所成角的大小为； （3）假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为. 在空间直角坐标系中，，，， 设，则，， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 若平面与平面成角余弦值为. 则满足， 化简得，解得或，即或， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或. 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