精品解析：甘肃省兰州市某校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024－2025学年度第一学期联考九年级数学期中考试试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（ ） A. B. C. D. 4. 若是反比例函数，则m的取值为（    ） A. 1 B. C. D. 任意实数 5. 如图所示的几何体是由9个大小相同的小正方体组成的，将小正方体①移走后，所得几何体的三视图没有发生变化的是（　　） A. 主视图和左视图 B. 主视图和俯视图 C. 左视图和俯视图 D. 主视图、左视图、俯视图 6. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 7. 如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 函数与（）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，反比例函数（，且k为常数）的图象与直线（，且a为常数）交于、B两点，则点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，将边长的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM、PN、MN，则下列结论：①PM＝PN；②；③若∠ABC＝60°，则△PMN为等边三角形；④若∠ABC＝45°，则BN＝PC．其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 分解因式：x2-16= ________________． 14. 如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上且BC：CA＝1：2，双曲线y＝（x＞0）经过点C，则k＝_____． 15. 已知关于的方程的解为正数，则的取值范围是__________． 16. 如图，点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，如果分别以点C、B为圆心，以AC的长为半径作弧相交于点D，那么∠B的度数是_____________． 三、解答题：本题共12小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 解不等式组：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 21. 如图，身高1.6米的小明从距路灯的底部（点O）20米的点A沿AO方向行走14米到点C处，小明在A处，头顶B在路灯投影下形成的影子在M处． （1）已知灯杆垂直于路面，试标出路灯P的位置和小明在C处，头顶D在路灯投影下形成的影子N的位置． （2）若路灯（点P）距地面8米，小明从A到C时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 22. 汛期到来，山洪暴发．下表记录了某水库内水位的变化情况，其中表示时间(单位：)，表示水位高度(单位：)，当时，达到警戒水位，开始开闸放水． 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 14 15 16 17 18 14.4 12 10.3 9 8 7.2 (1)在给出的平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点． (2)请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式． (3)据估计，开闸放水后，水位的这种变化规律还会持续一段时间，预测何时水位达到． 23. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长． 24. 某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元． （1）若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率． （2）市场调研表明：当每台售价为2900 元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 25. 目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． （1）根据图中信息求出m=　 　，n=　 　； （2）请你帮助他们将这两个统计图补全； （3）根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？ （4）已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”D同学最认可“网购”从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，且，，若反比例函数的图象经过线段的中点，交于点，交于点．设直线的解析式为． （1）求反比例函数和直线的解析式； （2）求的面积； （3）请结合图象直接写出不等式的解集． 27. 在平面直角坐标系中，已知矩形OABC，其中点，给出如下定义：若点P关于直线的对称点在矩形OABC的内部或边上，则称点P为矩形OABC关于直线l的“关联点”． 例如，图1中的点D，点E都是矩形OABC关于直线的“关联点”． （1）如图2，在点中，是矩形OABC关于直线的“关联点”的为_____________； （2）如图3，点是矩形OABC关于直线的“关联点”，且是等腰三角形，求t的值； （3）若在直线上存在点Q，使得点Q是矩形OABC关于直线的“关联点”，请直接写出b的取值范围． 28. 综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【实践探究】 （2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期联考九年级数学期中考试试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据意义即可求解，解题的关键是正确理解表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 【详解】解：根据绝对值的定义可得：的绝对值是， 故选：． 2. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 3. 如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行投影的意义．根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案． 【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上可知，选项D中的图形比较符合题意． 故选：D． 4. 若是反比例函数，则m的取值为（    ） A. 1 B. C. D. 任意实数 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义直接解答即可． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴且， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是知道是反比例函数． 5. 如图所示的几何体是由9个大小相同的小正方体组成的，将小正方体①移走后，所得几何体的三视图没有发生变化的是（　　） A. 主视图和左视图 B. 主视图和俯视图 C. 左视图和俯视图 D. 主视图、左视图、俯视图 【答案】A 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：将正方体①移走后，主视图不变，俯视图变化，左视图不变， 故选A． 【点睛】此题主要考查简单组合图的三视图，解题的关键是熟知三视图的定义. 6. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段． 根据成比例线段的定义，若四条线段满足前两条的比等于后两条的比，则它们成比例，据此判断即可． 【详解】解：A．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； B．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； C．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； D．前两条的比，后两条的比，相等，故符合题意； 故选：D． 7. 如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：， ，，； ∴选项A、C、D正确， 故选：B． 8. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于第二个转盘不等分，所以首先将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，然后画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与可配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：如图，将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分， 画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，可配成紫色的有3种情况， ∴可配成紫色的概率是： 故选D． 9. 函数与（）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可． 【详解】时，，在一、二、四象限，在一、三象限，无选项符合． 时，，在一、三、四象限，（）在二、四象限，只有D符合； 故选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限． 10. 如图，反比例函数（，且k为常数）的图象与直线（，且a为常数）交于、B两点，则点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，根据反比例函数的对称性可知点A和点B关于原点对称，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数（，且k为常数）的图象与直线（，且a为常数）交于、B两点， ∴由反比例函数的对称性可知，点B的坐标为， 故选：D． 11. 如图，将边长的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=2-x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解． 【详解】解：设AC交A′B′于H， ∵AC是正方形的对角线， ∴∠A=45°，∠D=90°， ∴△A′HA是等腰直角三角形， 设AA′=x，则阴影部分的底A′H=x，高A′D=2-x， ∴x•(2-x)=1，即， 解得：， 即AA′=1cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解一元二次方程，解决本题关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题． 12. 如图，在△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM、PN、MN，则下列结论：①PM＝PN；②；③若∠ABC＝60°，则△PMN为等边三角形；④若∠ABC＝45°，则BN＝PC．其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；先证明△ABM∽△ACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确；如果△PMN为等边三角形，求得∠MPN＝60°，推出△CPM是等边三角形，得到△ABC是等边三角形，而△ABC不一定是等边三角形，故③错误；当∠ABC＝45°时，∠BCN＝45°，由P为BC边的中点，得出BN＝PB＝PC，判断④正确． 【详解】解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点， ∴PM＝BC，PN＝BC， ∴PM＝PN，正确； ②在△ABM与△ACN中， ∵∠A＝∠A，∠AMB＝∠ANC＝90°， ∴△ABM∽△ACN， ∴， ∴，②正确； ③∵∠ABC＝60°， ∴∠BPN＝60°， 如果△PMN为等边三角形， ∴∠MPN＝60°， ∴∠CPM＝60°， ∴△CPM是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， 则△ABC是等边三角形， 而△ABC不一定是等边三角形，故③错误； ④当∠ABC＝45°时，∵CN⊥AB于点N， ∴∠BNC＝90°，∠BCN＝45°， ∴BN＝CN， ∵P为BC边的中点， ∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形 ∴BN＝PB＝PC，故④正确． 故选：B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的性质． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 分解因式：x2-16= ________________． 【答案】（x-4）（x+4） 【解析】 【分析】利用平方差公式进行分解即可 【详解】解：x2-16=（x-4）（x+4） 故答案为（x-4）（x+4） 14. 如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上且BC：CA＝1：2，双曲线y＝（x＞0）经过点C，则k＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论． 【详解】解：连接OC， ∵点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B， ∴S△OAB＝×6＝3， ∵BC：CA＝1：2， ∴S△OBC＝3×＝1， ∵双曲线y＝（x＞0）经过点C， ∴S△OBC＝|k|＝1， ∴|k|＝2， ∵双曲线y＝（x＞0）在第一象限， ∴k＝2， 故答案为2． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 15. 已知关于的方程的解为正数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】首先去分母化成整式方程，求得x的值，然后根据方程的解大于0，且即可求得m的范围． 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数为1，得：， ∵原分式方程得解为正数，且， ∴，且， 解得：且． 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式的分母不能为0． 16. 如图，点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，如果分别以点C、B为圆心，以AC的长为半径作弧相交于点D，那么∠B的度数是_____________． 【答案】72° 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义得到AC2=BC•AB，而AC=CD=BD，则BD2=BC•AB，根据相似三角形的判定得△BDC∽△BAD，则∠A=∠BDC，设∠A=x，则∠BDC=x，根据三角形外角性质得∠ADC=∠A=2x，然后根据三角形内角和定理得到x+2x+2x =180°，再解方程即可． 【详解】解：∵点C是线段AB的一个黄金分割点， ∴AC2=BC•AB， ∵CD=AC=BD， ∴BD2=BC•AB， 即BD：BC=AB：BD， 而∠ABD=∠DBC， ∴△BDC∽△BAD， ∴∠A=∠BDC， 设∠A=x，则∠ADC=x， ∴∠DCB=∠ADC+∠A=2x， 而CD=BD， ∴∠DCB=∠B=2x， ∴x+2x+2x=180°，解得x=36°， ∴ 故答案为：72°． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 三、解答题：本题共12小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】直接利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握公式法． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再取两个不等式的解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， 解得：， 由②得：， 解得：， ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组是解法，掌握解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，将除法变乘法，进行约分化简后，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 20. 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 【答案】（1）如图，为所作． （2） 如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）． 【解析】 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1． （2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． 21. 如图，身高1.6米的小明从距路灯的底部（点O）20米的点A沿AO方向行走14米到点C处，小明在A处，头顶B在路灯投影下形成的影子在M处． （1）已知灯杆垂直于路面，试标出路灯P的位置和小明在C处，头顶D在路灯投影下形成的影子N的位置． （2）若路灯（点P）距地面8米，小明从A到C时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】 （1） 如图 （2）身影的长度变短了，变短了3.5米 【解析】 【分析】（1）连接MB并延长，与过点O作的垂直与路面的直线相交于点P，连接PD并延长交路面于点N，点P、点N即为所求； （2）利用相似三角形对应边成比例列式求出AM、CN，然后相减即可得解． 【详解】（1）略 （2）设在A处时影长AM为x米，在C处时影长CN为y米 由解得x=5 由 解得y=1.5 ∴x-y=5-1.5=3.5 ∴变短了，变短了3.5米 【点睛】本题考查了中心投影以及相似三角形的应用，读懂题目信息，列出两个影长的表达式是解题的关键． 22. 汛期到来，山洪暴发．下表记录了某水库内水位的变化情况，其中表示时间(单位：)，表示水位高度(单位：)，当时，达到警戒水位，开始开闸放水． 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 14 15 16 17 18 14.4 12 10.3 9 8 7.2 (1)在给出的平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点． (2)请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式． (3)据估计，开闸放水后，水位的这种变化规律还会持续一段时间，预测何时水位达到． 【答案】(1)在平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点，如图所示． (2)和； (3)预计水位达到． 【解析】 【分析】根据描点的趋势，猜测函数类型，发现当时，与可能是一次函数关系：当时，与就不是一次函数关系：通过观察数据发现与的关系最符合反比例函数． 【详解】(1)略 (2)观察图象当时，与可能是一次函数关系：设，把，代入得，解得：，，与的关系式为：，经验证，，都满足，因此放水前与的关系式为：，观察图象当时，与就不是一次函数关系：通过观察数据发现：.因此放水后与的关系最符合反比例函数，关系式为：，所以开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式为：和. (3)当时，，解得：，因此预计水位达到． 【点睛】此题考查二元一次函数的应用，统计图，解题关键在于根据图象猜测函数类型，尝试求出，再验证确切性；也可根据自变量和函数的变化关系进行猜测，关系式确定后，可以求自变量函数的对应值． 23. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，． ，， ． 在与中， ． （2）6 【解析】 【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似； （2）利用，可以求出线段的长度；然后在中，利用勾股定理求出线段的长度． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是平行四边形， ． 由（1）知， ， ． ，， ， ， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是证明． 24. 某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元． （1）若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率． （2）市场调研表明：当每台售价为2900 元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 【答案】（1）每次降价的百分率是 （2）每台冰箱的定价应为2750 元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出方程． （1）设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格降价前的价格（降价的百分率），则第一次降价后的价格是元，第二次后的价格是元，据此即可列方程求解； （2）假设下调a个50元，销售利润一台冰箱的利润销售冰箱数量，一台冰箱的利润售价进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利销售的件数元，即可列方程求解． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为x， 依题意得 ， 解得 （不合题意，舍去）． 答：每次降价的百分率是． 【小问2详解】 解：假设下调a个50元， 依题意得， 解得 ，则（元） 则每台冰箱的定价应为元， 答：每台冰箱的定价应为2750 元． 25. 目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． （1）根据图中信息求出m=　 　，n=　 　； （2）请你帮助他们将这两个统计图补全； （3）根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？ （4）已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”D同学最认可“网购”从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率． 【答案】（1）100、35； （2）补全图形如下： （3）800人； （4） 【解析】 【分析】（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得其百分比n的值； （2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补全两个图形； （3）总人数乘以样本中微信人数所占百分比可得答案； （4）列表得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，根据概率公式计算可得． 【详解】（1）∵被调查的总人数m=10÷10%=100人， ∴支付宝的人数所占百分比n%=×100%=35%，即n=35， （2）网购人数为100×15%=15人，微信对应的百分比为×100%=40%， （3）估算全校2000名学生中，最认可“微信”这一新生事物的人数为2000×40%=800人； （4）列表如下： 共有12种情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种， 所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，且，，若反比例函数的图象经过线段的中点，交于点，交于点．设直线的解析式为． （1）求反比例函数和直线的解析式； （2）求的面积； （3）请结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、矩形的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法即可得反比例函数的解析式，再分别求出点的坐标，利用待定系数法即可得直线的解析式； （2）根据的面积等于矩形的面积减去的面积之和即可得； （3）结合函数图象，找出一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方即可得． 【小问1详解】 解：将点代入得：， 则反比例函数的解析式为， ∵四边形是矩形，且，， 点的纵坐标为4，点的横坐标为6， 对于反比例函数， 当时，，即， 当时，，即， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，且，，，， ，， ， 则的面积为 ． 【小问3详解】 解：不等式可转化为，表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方， 所以由函数图象可知，不等式的解集． 27. 在平面直角坐标系中，已知矩形OABC，其中点，给出如下定义：若点P关于直线的对称点在矩形OABC的内部或边上，则称点P为矩形OABC关于直线l的“关联点”． 例如，图1中的点D，点E都是矩形OABC关于直线的“关联点”． （1）如图2，在点中，是矩形OABC关于直线的“关联点”的为_____________； （2）如图3，点是矩形OABC关于直线的“关联点”，且是等腰三角形，求t的值； （3）若在直线上存在点Q，使得点Q是矩形OABC关于直线的“关联点”，请直接写出b的取值范围． 【答案】（1）； （2）t=，，； （3）． 【解析】 【分析】⑴理解“关联点”的定义，分别求出关于直线的“关联点”，并找出在OABC内部或边上的点，即为答案； ⑵当△是等腰三角时的三种情况，并根据“关联点”的定义求出t的值； ⑶明确b为当x=0时的y轴的坐标，先求出满足题意时b的最小值，此时在原点，得出b的值；再找b的最大值，此时在B点，求出b的值，此时即求出b的取值范围． 【小问1详解】 当时，根据对称可得，的关联点为，因为在OABC外，所以不符合； 的关联点为，在OABC内，所以符合； 的关联点为，在OABC边上，所以符合； 的关联点为，在OABC外，所以不符合． 故答案为：． 【小问2详解】 当是等腰三角形时，有以下三种情况满足题意： ①如下图，以OA为底时， 因为△为等腰三角形，可得的横坐标为， ， 根据中点坐标公式得． ②如下图，以为底时，作， ， 根据勾股定理， 的横坐标为OA-AD=5-4=1， 根据中点坐标公式得． ③如下图，以为底时，作， ， 根据勾股定理， 的横坐标为4， 根据中点坐标公式得． 【小问3详解】 当在原点时，b取最小值，直线如下图所示， ，， 的坐标为，代入中， 得最小值b=1； 当在B点时，b取最大值，直线如下图所示， ，， 的坐标为，代入中， 得最大值b= ． 由题意可得，b存在最大值和最小值，综上． 【点睛】本题考查了对新定义的理解，中点坐标公式，函数图像在坐标中的综合应用，理解题意是解答本题的关键． 28. 综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【实践探究】 （2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题． 【答案】（1）四边形是正方形， 证明：∵，，， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． （2）； （3）； 【解析】 【分析】（1）证明，可得，从而可得结论； （2）证明四边形是矩形，可得，同理可得：，证明，，，证明四边形是正方形，可得，从而可得结论； （3）如图，连接，证明，，，，可得，再证明，可得，证明，可得，从而可得答案． 【详解】解：（1）略 （2）∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． （3）如图，连接， ∵，正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，构建相似三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $