2025年中考数学真题完全解读（辽宁卷）

2025年中考数学真题完全解读（辽宁卷） 本套试卷面向辽宁省初中学业水平考试，其整体结构安排得非常合理，紧密贴合了《中考评价体系》和《课程标准》对初中数学的具体要求。试卷中包含了23道试题，总分为120分，考试时间为120分钟。这样的设置既保持了该地区历年中考的传统形式，又在题目的结构和考查角度上进行了创新和改进。试题从选择题开始，逐步过渡到填空题，最后是解答题，层次清晰，逐步深入。试题重点考查学生对基础知识的掌握、运算技能的熟练程度、思维方式的灵活性以及综合应用能力的强弱。与以往的试卷相比，这份试题在题型和数量上并没有太大的变化，但在应用性和探究性题目的设置上有了显著的提升，更加符合新时代对数学素养和综合能力的要求。这不仅需要学生具备扎实的基础知识，还需要他们具备较强的理解问题的能力、分析问题的能力以及解决问题的能力。 整体而言，该试卷紧密贴合课程标准要求，注重基础知识和核心素养的有机融合，难度梯度设置合理，覆盖面广泛。从试题设计来看，它力求兼顾不同层次学生的学习状况，既不偏重于偏难怪题，也能通过最后几题在几何推理、函数应用和运算能力等方面对学生进行有效区分，充分体现了中考选拔与育人功能的有机结合。 对教师教学而言，试卷全面检验了数学思想方法（如数形结合、方程模型、分类讨论、数理统计）的综合应用；对学生而言，则需要凭借扎实的基础知识和熟练的思维应用来应对各类实际场景与综合题型，从而全面考查学生的思维深度和实践能力。 总体来看，该试卷非常契合当前教学改革方向，能够有效衡量学生达成课程目标的程度及其关键素养的发展水平。 1. 题型多样，循序渐进 · 试卷分为选择题（10 题）、填空题（5 题）和解答题（8 题），难度呈阶梯状分布，以保证不同层次学生的区分度。选择题注重对基础概念和计算技巧的快速考查，形式简洁，涵盖了实数运算、几何识别、概率初步、一次函数、二次函数等内容。填空题较好地衔接了基础与综合，试题多涉及几何计算和函数模型，要求学生具备较强的运算能力和逻辑推理能力。解答题部分则侧重考查综合思维、创新意识和数学应用能力，包含了经典的坐标平移、尺规作图、函数综合以及圆与几何变换等命题方式。 1. 与地区往年试卷相比的差异 · 相较往年，此次试卷在以下方面有所改进： · 更注重将生活情境融入数学问题，如植树活动概率分析、文创产品进价设计等，体现出对“地区学情、教情、校情”三者的兼顾； · 增加部分实践与探究型试题，如“抛物线形框架结构”及“旋转变换”相关问题，鼓励学生从多角度分析问题，体现素养立意； · 对算法、方差、函数等知识的要求更高，促使学生能在题目中运用概念、方法并解决实际问题。 · 学生在学习数学的过程中，不仅需要掌握基本的数学知识和技能，更需要具备数学模型的构造能力，在面对复杂问题时，随机应变，灵活运用所学知识，构建出合适的数学模型来解决实际问题。 1. 覆盖面广，难度分层 · 试卷涉及到初中阶段大量核心知识点，如实数运算、方程（组）、函数、几何图形的性质和计算等，覆盖全面、分层合理。难度上遵循“基础+提高+拔高”的层级设计，大多数学生能在前中部分题目获得稳健得分，部分压轴题对于拔尖生和综合能力较强的学生具有较好的区分度，以符合中考选拔与评价的基本需求。 1. 紧扣课程标准，突出素养导向 · 试卷在命题过程中积极践行《课程标准》中对“数学核心素养”的要求，尤其突出以下几点： · 强调数形结合以及几何直观的思维能力，如在平面几何及坐标几何的压轴题中，通过旋转、对称、直角三角形和相似三角形等知识的融合，考查学生对图形性质的理解； · 注重模型思想与实际应用，如电流与电阻反比例函数、文创产品进价优化、植树活动抽样统计和概率推断等，鼓励学生体验数学与真实生活的关联； · 要求较强的逻辑推理和严谨演算，对坐标平移、形式的勾股定理应用以及利用方差衡量数据稳定性等做了多层面考查。 1. 契合地区学情，关注计算与思维 · 辽宁地区的初中教学注重学生对基础知识与技能的扎实掌握，同时也鼓励表达、思辨能力的培养。本套试卷在计算量上适中，如分式、根式和方程解题集中在中档难度；在几何、函数题里展现出对思维严谨性的要求，如坐标旋转或证明压轴题部分，需要学生具备良好的几何想象与综合分析能力。这些特征与地区教学实际相吻合，有利于学校在日常教学中重视演算训练与思维引导相结合。 1. 教学层面 · 教师应继续夯实学生的“双基”——基础知识和基本技能，同时融入更多的应用情境与探究活动，让学生在学习中不断体会函数和几何的联系，形成对数学知识体系更为整体的认知。 1. 能力培养 · 试卷对统计与概率思想的综合运用、对函数模型的理解与应用、对几何图形的推理与变换能力都有较高要求。这启示教师要在课题设计中加强随机抽样方法、数据分析方法与函数思想的渗透，让学生熟练掌握由数到形、由形到数的转化和逻辑证明的结构。 总体而言，2025 年辽宁省初中学业水平考试数学试卷立足区域教育教学实际，既符合“中考评价体系”的命题精神，又注重对《课程标准》中核心素养的落实，能有效区分学生的不同水平，对指导教学和评价学生综合能力具有较强的实践意义。试卷对综合思维与应用能力的要求较为突出，体现出当下命题趋势，也为学校和师生在后续教学中指明了努力方向。 1. 题型构成保持稳定 · 与往年相同，整卷依旧分为选择题、填空题和解答题三大板块，题目数量与分值分布（10 道选择题、5 道填空题、8 道解答题，总计 120 分）均未发生明显变化。 1. 考查情境更贴近生活 · 多道试题（如第 14、19、18 题）在几何测量、函数应用等内容中融入真实情境，如测量树高、校门设计、植树数据统计等，要求学生在理解和建模的基础上进行计算与推理，进一步提升了对数学应用能力的考查深度。 1. 知识融合度与综合性提升 · 试题在几何与函数、统计与概率等板块中出现更多综合题目，体现了多知识点的交叉，如第 20、22、23 题中将一次函数、二次函数、相似与旋转等元素结合，要求学生在解题过程中多角度综合运用所学知识。 1. 对学生思维与能力的新要求 · 题目更加注重探究与应用，鼓励学生对问题情境进行分析与抽象，及时转化为数学表达式或几何模型，并借助数据或几何性质精确推理。这要求学生不仅掌握基础概念与公式，还需具备较强的逻辑思维、建模能力和运算推理能力。 综上可见，本套试卷虽题型结构未变，但在情境设置、知识交叉及应用深度方面有所加强，更强调考生综合运用数学工具解决真实情境问题的能力。 一、整体结构 本套试卷共包含 23 小题，分为三大题型： 1. 选择题（第 1～10 题）：每题 3 分，共 10 题，合计 30 分，约占 25%； 1. 填空题（第 11～15 题）：每题 3 分，共 5 题，合计 15 分，约占 12.5%； 1. 解答题（第 16～23 题）：共 8 题，合计 75 分，约占 62.5%。 总分为 120 分，考试时长 120 分钟。 试卷整体涵盖代数、几何、统计与概率、函数与图形变换等多方面的基础知识与综合应用，题目布局由易到难，能够较全面地考查考生对初中数学知识的理解和运用能力。 二、考情分析（表格形式） 下表列出了全卷各题目的分值、题型、主要考查内容以及难易程度，便于在宏观上了解各知识点的分布和考核方式。 题号 分值 题型 考查内容 难易分析 1 单选 简单几何体三视图 容易 2 单选 科学记数法 容易 3 单选 轴对称与中心对称图形的辨识 容易 4 单选 整式运算（合并同类项、幂的运算） 容易 5 单选 概率与枚举（列表或树状图） 容易 6 单选 几何基础（平行线、三角形外角等简单推理） 中等 7 单选 矩形性质与勾股定理 中等 8 单选 坐标平移 容易 9 单选 一元二次方程的应用（矩形长宽问题） 中等 10 单选 角平分线与尺规作图 中等 11 填空 正负数在实际情境中的应用（乒乓球质量检测） 容易 12 填空 反比例函数的实际应用（电流与电阻） 容易 13 填空 方差与稳定性（统计学中基本概念） 容易 14 填空 解直角三角形（仰角测树高） 中等 15 填空 菱形性质、折线与勾股定理、中位线 中等 16 8 解答 实数运算、分式运算的综合计算 容易 17 8 解答 一元一次方程与不等式的应用（文创产品购进问题） 容易 18 8 解答 统计与抽样估计（扇形统计图、中位数与估算） 中等 19 9 解答 二次函数的实际应用（抛物线形结构、坐标系建立与求解） 中等 20 9 解答 坐标几何与一次函数、垂直平分、几何作图相结合 中等 21 9 解答 圆与三角形结合（直径所对的圆周角、等边三角形、弧长） 中等 22 12 解答 几何综合（旋转、全等、相似综合应用） 中等 23 12 解答 二次函数综合（多函数叠加、最值与范围判定） 较难 三、整体难度评估 1. 试卷难度 · 通过题型和题目的综合分析，全卷难度分布大致如下： · 容易题约占 道（占比约 ）； · 中等题约占 道（占比约 ）； · 较难题约占 道（占比约）。 · 这种难度配置符合初中学业水平考试的命题规律，即保证大部分学生能通过基础题拿到稳定分数，同时利用中档题和少量的较难题对学生综合能力进行区分。 1. 不同难度层级题目特点举例 · 容易题（如第 题、第 题）：知识点通常是初中阶段的基础内容，如简单的几何图形辨识、科学记数法、整式基本运算、概率的基础应用等。这类题运算量小、步骤简单，考查学生对基本概念和基本方法的掌握。 · 中等题（如第 题、第题、第 题）：往往需要多步推理或综合应用两个以上的知识点。例如勾股定理和矩形、坐标平移与一次函数结合、二次函数与几何图形的联系等。这类题既考查学生对知识的综合运用能力，也要求有一定的运算和逻辑思维能力。 · 较难题（如第 题）：涉及多个知识板块的综合与拓展。该题常常需要学生在函数、方程、几何关系等多个角度同时思考，或涉及对最值问题的研究、构造函数并求解范围，能很好地区分学生对知识的融会贯通程度。 综上，本试卷结构合理、题型多样，既能考查学生对数学基础知识的掌握，也能测评学生的综合运用能力和逻辑思维水平。建议考生在平时复习中注重对基础知识的夯实与对综合题型的适当训练，提升思维灵活度与解题速度。 四、备考指津 在备战本次中考的过程中，除了要熟悉题型与真题结构外，更要根据自己的学习进度和薄弱环节，有针对性地进行复习与训练。下面从知识板块、题型策略、命题趋势三个方面，为同学们提出以下建议： 1. 数与代数 · 注重对整式、分式及其运算规律的梳理。特别是整式运算中的合并同类项、分式运算中的分母因式分解等，需反复演练，保证规范书写和有序计算。 · 对于二次函数要重点掌握抛物线的顶点坐标、开口方向、对称轴以及图像与系数的关系。熟悉 在应用题中的建模方法，例如利用三次测量数据求解。 · 反比例函数 的图像与性质要熟记，通过待定系数法确定 的值，同时要能结合实际情境（如电阻与电流）灵活运用。 1. 空间与图形 · 直观图形与三视图：注意理解主视图、俯视图、左视图的对应关系。例如圆锥、圆柱、球、正方体等常见立体几何体的三视图判断及识别。 · 三角形与四边形：重视菱形、矩形、正方形、平行四边形等的判定与性质，尤其是对角线的特征和全等三角形或相似三角形的应用。要灵活使用勾股定理 、三角形中位线定理、等腰与等边三角形性质来解决综合题。 · 圆的知识：熟悉与圆相关的常见辅助线作图，如过弦的中垂线、直径所对的圆周角为 等。遇到圆与多边形综合题，常需添辅助线或巧妙构造全等或相似三角形。 1. 统计与概率 · 熟悉扇形统计图、条形统计图、折线统计图三类常见统计图，掌握平均数、方差、中位数和众数的意义与计算。 · 概率基础要扎实，尤其是列表法、树状图法以及古典概型中的基本原理。清楚 的含义，并学会在简单随机实验中列举所有等可能结果。 1. 选择题 · 熟读题干，分析选项差异。可通过排除法先排除明显错误选项，再结合运算或关键性质做出判断。 · 对于几何选择题，常常先画草图，比较各选项的合理性；对数值拟合出的选项，也可使用特殊值或代入检验法。 1. 填空题 · 注意答题卡填写的规范性。若涉及部分分式、根式或坐标答案，一定要写完整，如 、 等。 · 若题目中出现需“四舍五入到0.1”或类似要求，必须在最后给出准确数值并附单位。 1. 解答题 · 保持书写“分步骤、分层次”。对几何题，画辅助线后先写“作法”，再进行推理；对代数题，先列方程或列不等式，然后逐步解，最后要写简明结论。 · 注意先理顺逻辑关系，再动笔写推导过程，避免出现来回修改或思路中断的写作痕迹。 1. 应用情境更丰富 · 以往中考题注重与生活相联系，如树高测量、工程应用、市场调研等真实场景。今年题目中明显包含了更多情境应用题，需继续关注社会热点和实际数据分析的题型。 1. 综合与创新程度提升 · 题目往往涉及多知识点融合，比如在几何中穿插一次函数或二次函数、在统计或概率问题中嵌入方程或不等式求解等。要加强跨章节综合训练，形成系统思维。 1. 关注基础与思维深度 · 基础知识必考，如基本运算、几何定理和函数性质。命题人也会考查对数学思想方法（如分类讨论、转化与化归）的理解与应用。 · 建议在强化基础之余，提高对灵活运用数学思想的意识，必要时多做开放题或探究题，加深对所学知识的认识和理解。 在最后的复习阶段，希望各位同学能稳中求进，结合上述建议制定科学的冲刺计划，注重夯实基础、提升方法素养与实践能力，预祝大家在中考考场上沉着应对、考出佳绩！祝大家金榜题名！真题解析 2025年辽宁省初中学业水平考试 数学试卷 （本试卷共23小题满分120分考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标是 第一部分选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列几何体中，主视图为三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从正面看到的图形，据此判断出对应几何体的主视图形状即可得到答案． 【详解】解；A、圆锥的主视图是三角形，符合题意； B、圆柱的主视图是长方形，不符合题意； C、球的主视图是圆，不符合题意； D、正方体的主视图是正方形，不符合题意； 故选：A． 2. 十年砥砺，春华秋实．据2025年5月6日《辽宁日报》报道，辽宁省科学技术馆作为我省重要的科普宣传阵地和科学文化交流平台，自2015年开馆以来，累计接待4超1900万人次．数据19000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 3. 数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意． 故选D． 5. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出相同颜色的小球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 红 黄 红 (红，红) (红，黄) 黄 (黄，红) (黄，黄) 共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种， ∴两次摸出的都是红球的概率为． 故选：C． 6. 如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故选C． 7. 如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 5 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，是解题的关键，勾股定理求出的长，进而得到的长，推出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D. 8. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，根据平移的性质，由点A平移后的对应点C的坐标确定平移规则，再应用于点B即可得到点D的坐标． 【详解】解：由题意，点向上平移5个单位得到点， ∴点向上平移5个单位得到点， ∴点的坐标为，即； 故选B． 9. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 10. 如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 【详解】解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 第二部分非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若超出标准质量用“”表示，那么低于标准质量就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作， 故答案为：． 12. 在电压不变的情况下，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流与电阻之间的函数表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，设电流与电阻之间的函数表达式为，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设电流与电阻之间的函数表达式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 甲、乙两名运动员进行跳远测试，每人测试10次，他们各自测试成绩（单位：）的平均数和方差如下表： 运动员 平均数 方差 甲 601 乙 601 则这两名运动员测试成绩更稳定的是___________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，方差越小，成绩越稳定，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴甲的方差小于乙的方差， ∴这两名运动员测试成绩更稳定的是甲， 故答案为：甲． 14. 如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为___________（结果精确到．参考数据：，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形实际应用，正确使用三角函数是解题的关键． 在中，由即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴在中，， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等．由菱形对角线互相垂直且平分，可得，，取中点H，连接，则，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：在菱形中，对角线与相交于点， ，， ， ， 如图，取中点H，连接， 点为的中点，点H为的中点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别进行乘方、乘法运算，以及求立方根和绝对值，再进行加减计算； （2）先将除法化为乘法，再进行分式的减法计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． （1）求种文创产品每件的进价； （2）小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 【答案】（1）种文创产品每件的进价为元 （2）小张最多可以购进50件种文创产品 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设种文创产品每件的进价为元，根据种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可； （2）设小张购进件种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设种文创产品每件的进价为元，则：种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：， 答：种文创产品每件的进价为元； 【小问2详解】 设小张购进件种文创产品，由（1）可知，种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：； 答：小张最多可以购进50件种文创产品． 18. 种下绿色希望，建设美丽辽宁．某学校学生积极参与春季义务植树活动，在活动结束后，该学校为了解八年级学生植树棵数的情况，随机抽取若干名八年级参加植树的学生，统计每人的植树棵数，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 抽取的八年级学生植树棵数的人数扇形统计图 抽取的八年级学生植树棵数的人数统计表 棵数/棵 1 2 3 4 5 人数/人 4 10 6 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求的值； （2）求被抽取的八年级学生植树棵数的中位数； （3）本次植树活动中，植树不少于4棵的学生将被学校评为“绿动先锋”，该学校八年级有320名学生参加了此次植树活动，请你估计这些学生中被评为“绿动先锋”的人数． 【答案】（1） （2）3 （3）估计这些学生中被评为“绿动先锋”的人数为人 【解析】 【分析】本题考查统计图表，求中位数，利用样本估计总体，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键： （1）先用植树棵数为2棵的人数除以所占的比例求出调查的人数，进而用总人数乘以植树棵数为3棵的人数所占的比例，求出的值，再用总数减去其它组的数量求出的值即可； （2）根据中位数的确定方法进行求解即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可. 【小问1详解】 解：（人）； ∴，； 故答案为：； 【小问2详解】 将数据排序后，位于第20个和第21个数据均为3， ∴中位数为3； 【小问3详解】 （人）； 答：估计这些学生中被评为“绿动先锋”的人数为人. 19. 为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 【答案】（1） （2）这根材料的长度够用 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）求出点坐标，代入函数解析式，进行求解即可； （2）求出的坐标，进而求出的长，进行判断即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：，， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴； 小问2详解】 由题意，可知：， ∴关于轴对称， ∵， ∴当时，， ∴， ∵， 故这根材料的长度够用． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． （1）求证：； （2）设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 【答案】（1）见解析 （2）四边形面积的最大值为． 【解析】 【分析】（1）先求得，，得到，，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立； （2）由题意得，，根据折叠的性质得，，利用等腰直角三角形的判定和性质求得，，再利用梯形的面积公式求得四边形面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：对于直线， 令，则；令，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵点的坐标为， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积 ∵， ∴当，四边形面积有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质．第2问求得四边形面积关于的二次函数的解析式是解题的关键． 21. 如图，在中，，以直径作，与相交于点．连接，与相交于点． （1）如图1，连接，求的度数； （2）如图2，若点为的中点，且，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，先证明，得到，由等腰三角形性质得到，设，在四边形中，由四边形内角和等于计算即可； （2） 根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求度数，再由弧长公式即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在四边形中，∵ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为：． 22. （1）如图1，在与中，与相交于点，，求证：； （2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角求得，再利用证明即可； （2）由题意得，得到，，，作于点，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，证明，推出，利用相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）设，由旋转的性质得，则，利用三角形内角和定理以及平角的性质求得，，推出，求得，作于点，求得，再求得，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， ∵，， ∴； （2）∵，即， ∴，，， 作于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）设， 由旋转的性质得，则， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，即， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． （1）求点的坐标及的值． （2）直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． （3）二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 【答案】（1）点的坐标为，的值分别为 （2）①见解析②或 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像综合问题，二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数，平行线的性质，相似三角形，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先求出，，再分别代入，列出二元一次方程组，即可解答． （2）①设直线的解析式为，将，分别代入，得直线的解析式为，设点E的坐标为，求出，设，，则，，即可解答． ②当时，，当时，，再分类讨论，即可解答． （3）易得，当时，取得最小值为，解出；当时，函数的最大值为，解得；当时，，解得，或（舍去），，即可解答． 【小问1详解】 解：当时，， 解得， ∴， 将代入，得， ∴， 将，分别代入，得 ， 解得． 答：点的坐标为，的值分别为． 【小问2详解】 ①证明：如图， 设直线的解析式为，将，分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 设点E的坐标为 ∵， ∴， 将代入得， 将代入，得， ∴， ， ∴ ②如图 当时，， ∴， ∴， 即，解得． 当时，， ∴， ∴， 即，解得， ∴或． 【小问3详解】 ∵次函数与二次函数组成新函数， ∴， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x增大而增大．且当时，取得最小值． ∵当时，函数的最小值为，最大值为， ∴当时，取得最小值为，即， 解得． ∵时，函数的最大值为， ∴当时，函数的最大值为，即， 解得； 当时，， 解得，或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 解得，． 21 学科网（北京）股份有限公司 $$