三角形的边和角 期末复习专题突破课件-2025-2026学年浙教版（2024）数学八年级上册

三角形的边和角 思维导图 知识要点： 1. 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的 图形。 2. 三角形三边关系：三角形任何两边的和大于第三边。 3. 三角形的内角和定理：三角形的内角和是180°。 1. 三角形任何两边的和大于第三边，三角形任何两边的差小于第三边。 利用这两个性质可以根据三角形的两边确定第三条边的取值范围。 2. 在运用三角形的三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定 要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长 度，即可判定这三条线段能构成一个三角形。 3. 三角形的内角和定理是几何图形中角度计算的重要定理，与角有关的 几何计算大多都转化为三角形内角之间的数量关系结合方程解决，与三 角形的角有关的定理还有： （1）三角形的外角和等于360°。 （2）三角形的任意一个外角都等于与它不相邻的两个内角的和。 知识点一：三角形的三边关系 王师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为8 cm和10 cm的 细木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分， 那么他可以把细木条分为两截的是 （　　） A. 8 cm的木条 B. 10 cm的木条 C. 两根都可以 D. 两根都不行 根据三角形的三边关系，将10 cm的细木条截成两段，可以 确保三角形的任何两边的和大于第三边。 ∵三角形任何两边的和大于第三边，∴可以把10 cm的细木条分为两截。故选B。 本题考查三角形的三边关系在实际中的应用，准确理解题意 是解题的关键。 已知三角形两边的长分别为1和6，第三边长为整数，则该三 角形的周长为 ⁠。 【解析】设第三边长为x。根据三角形的三边关系，得6-1<x<6+1，即 5<x<7，∵x为整数，∴x的值为6。∴该三角形的周长为1+6+6=13。故答案为13。 13 已知a，b，c是三角形的三边长。 （1）化简： | a-b-c | + | b-c-a | + | c-a-b | 。 （2）若a=10，b=8，c=6，求（1）中式子的值。 （1）根据三角形的三边关系，任何两边的和大于第三边， 即可确定绝对值符号内的式子的符号，从而去掉绝对值符号，最后进行 化简即可。（2）将a=10，b=8，c=6代入（1）中的式子求值即可。 （1）∵a，b，c是三角形的三边长，∴b+c>a，c+a>b， a+b>c。 ∴a-b-c<0，b-c-a<0，c-a-b<0。 ∴ | a-b-c | + | b-c-a | + | c-a-b | =b+c-a+c+a-b+a+b-c=a+b+c。 （2）把a=10，b=8，c=6代入（1）中的式子，得原式=10+8+6=24。 本题考查三角形的三边关系，以及绝对值的性质，根据三角 形任何两边的和大于第三边确定绝对值符号内代数式的符号是解题的关 键。 某工艺店打算制作一批有两边长分别是7 dm，3 dm，第三边 的长为奇数（单位：dm）的不同规格的三角形木框。 （1）满足上述条件的三角形木框共有 ⁠种。 【解析】三角形的第三边x满足：7-3<x<3+7，即4<x<10。∵第三边的长为奇数，∴第三边的长可以为5，7或9。∴满足上述条件的三角形木框共有3种。故答案为3。 3 （2）若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售 价为8元/分米，问至少需要多少钱购买材料？（忽略接头处的长度） 【答案】（2）制作这种木框的木条的长为3+5+7+3+7+7+3+7+9=51（dm），51×8=408（元）。 ∴至少需要408元购买材料。 知识点二：三角形的内角和 如图，在△ABC中，∠C=80°，在AC边上取一点D，使得∠A=∠ABD，将△ABD沿BD翻折得△A′BD，此时A′D∥BC，求∠ABC的度数。 设∠A=∠ABD=x，根据翻折，得∠A′=∠A=x，∠A′BD=∠ABD=x，由A′D∥BC，得∠CBA′=∠A′=x，∴∠CBA=∠CBA′+∠A′BD+∠ABD=3x，由三角形的内角和定理即可求得答案。 设∠A=∠ABD=x。∵△ABD沿BD翻折得△A′BD，∴∠A′=∠A=x，∠A′BD=∠ABD=x。 ∵A′D∥BC，∴∠CBA′=∠A′=x。∴∠CBA=∠CBA′+∠A′BD+ ∠ABD=3x。 由三角形内角和定理，得∠A+∠ABC+∠C=180°，即x+3x+80°=180°，解得x=25°， ∴∠ABC=3x=3×25°=75°。 在几何图形的角度计算问题中，方程思想是常用的思想方 法，而三角形的内角和作为角之间重要的数量关系，通常是列方程最常 用的等量关系。 如图，在△ABC中，点E在边AB上，D是BC上一个动点，将∠B沿点E，D所在的直线翻折得到∠EFD。 （1）若∠B=50°，则∠AEF+∠FDC= ⁠。 【解析】在△BDE中，∠B=50°，∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=180°-50°=130°。由折叠的性质，可知∠FDE=∠BDE，∠FED=∠BED，∴∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=130°。 又∵∠BDE+∠FDE+∠FDC=180°，∠BED+∠FED+∠AEF=180°， ∴∠AEF+∠FDC=180°-（∠BED+∠FED）+180°-（∠BDE+∠FDE）=360°-（∠BDE+∠BED）-（∠FDE+∠FED）=360°-130°-130°=100°。故答案为100°。 100° （2）在图中细心的小明发现了∠AEF，∠FDC，∠B之间的关系，请你替小明写出这个数量关系并证明。 【答案】（2）∠AEF+∠FDC=2∠B。证明如下：在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED=180°，∴∠BDE+∠BED=180°-∠B。由折叠的性质，可知∠FDE=∠BDE，∠FED=∠BED，∴∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=180°-∠B。 又∵∠BDE+∠FDE+∠FDC=180°，∠BED+∠FED+∠AEF=180°，∴∠AEF+∠FDC=180°-（∠BED+∠FED）+180°-（∠BDE+∠FDE）=360°-（∠BDE+∠BED）-（∠FDE+∠FED）=360°-（180°-∠B）-（180°-∠B）=2∠B，即∠AEF+∠FDC=2∠B。 如图1，已知线段AB，CD相交于点O，连结AC，BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”。 （1）求证：∠A+∠C=∠B+∠D。 （2）如图2，若∠1=130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数 为 　　　　。 （3）如图3，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N。若∠B=110°，∠C=120°，求∠P的度数。 （1）（2）根据三角形的内角和、外角性质即可得到结论。 （3）根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根据（1）的结论得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C-∠P=∠P-∠B，即∠P=（∠C+∠B），再把∠B=110°，∠C=120°代入计算即可。 （1）∵∠A+∠C=180°-∠AOC，∠B+∠D=180°-∠BOD，∠AOC=∠BOD，∴∠A+∠C=∠B+∠D。 （2）如图4，设AD与BE交于点M。∵∠DME=∠A+∠E， ∠3=∠DME+∠D，∴∠A+∠E+∠D=∠3。 ∵∠2=∠3+∠F，∠1=130°， ∴∠3+∠F=∠2=∠1=130°。∴∠A+∠E+∠D+∠F=130°。 ∵∠B+∠C=∠1=130°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260°。 故答案为260°。 （3）在以M为交点的“8字型”中，有∠C+∠CAP=∠P+∠CDP。 在以N为交点的“8字型”中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP。 ∵AP，DP分别平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP=∠CAP， ∠CDP=∠BDP。 ∴（∠C+∠CAP）-（∠P+∠BAP）=（∠P+∠CDP）-（∠B+∠BDP），整理得2∠P=∠B+∠C。∵∠B=110°，∠C=120°，∴∠P=（∠B+∠C）=×（110°+120°）=115°。 本题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义，利用三 角形的内角和定理建立等量关系，并利用等式的性质进行等量转化是解 题的关键。 1. 以下列各组数据为边长，能组成三角形的是（　C　） A. 1，1，3 B. 3，3，8 C. 3，4，5 D. 3，10，4 2. 已知三角形的三边长分别是4，8，a+1，则a的取值可能是（　A　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 C A 3. 如图，直线l1，l2分别与△ABC的两边AB，BC相交，且l1∥l2。若 ∠B=35°，∠1=105°，则∠2的度数为（　C　） A. 45° B. 50° C. 40° D. 60° C 4. 将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数为 （　C　） A. 55° B. 65° C. 75° D. 85° C 5. 已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足 | a-9 | +（b-1）2=0，c为奇数，则c= ⁠。 6. 若一个三角形的三个内角的度数之比为2∶3∶4，则该三角形中最大的一个内角等于 °。 9 80 7. 如图，将一把三角尺DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角尺的两 条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C，若∠A=60°，则∠ABD+∠ACD的度数为 ⁠。 30° 8. 在△ABC中，已知。 （1）求∠A，∠B，∠C的度数。 【答案】（1）设∠A=∠B=x，则∠C=2x，∴x+x+2x=180°，解得x=45°。∴∠A=∠B=45°，∠C=90°。 （2）△ABC按角分类，属于什么三角形？ 【答案】（2）∵∠C=90°，∴△ABC是直角三角形。 9. 某木材市场上木棒规格与价格如下表所示： 规格 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为3 m和5 m的木棒，还需要到该木材市场上购买一根木棒。 （1）有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？ 【答案】（1）设第三根木棒的长度为x m。 根据三角形的三边关系，可得5-3<x<5+3， ∴2<x<8，∴x=3，4，5，6。 ∴有4种规格的木棒可供小明的爷爷选择。 （2）选择哪一种规格的木棒最省钱？ 【答案】（2）根据木棒的价格可得选3 m长的木棒最省钱。 10. 如图，在△CEF中，∠E=78°，∠F=47°，AB∥CF，AD∥CE，连结BC，CD，则∠A的度数为（　C　） A. 45° B. 47° C. 55° D. 78° C 【解析】如图，延长EC交AB于点H。∵∠E=78°，∠F=47°， ∴∠ECF=180°-∠E-∠F=55°。∵AB∥CF，AD∥CE， ∴∠BHE=∠ECF=55°，∠BHE=∠A。∴∠A=55°。故选C。 11. 用13根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断，且全部 用完），能摆出不同形状的三角形的个数是（　B　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【解析】∵三角形任何两边的和大于第三边，∴只能有5种摆放方案，即①1，6，6；②2，5，6；③3，5，5；④4，4，5；⑤3，4，6。故选B。 12. 已知三角形的三边长分别为1，a-1，3，则化简 | a-3 | + | a-5 | 的结 果为 ⁠。 B 2 13. 如图，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB。若∠BA′C=115°，则∠1+∠2的度数为 ⁠。 100° 【解析】连结AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB， ∴∠A'BC=∠ACB。 ∵∠BA'C=115°，∴∠A'BC+∠A'CB=180°-115°=65°。 ∴∠ABC+∠ACB=130°。∴∠BAC=180°- 130°=50°。∵沿DE折叠，∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A。 ∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×50°=100°。故答案为100°。 14. 已知a，b，c为△ABC的三边长。 （1）若b，c满足（b-2）2+ | c-3 | =0，且a为方程 | a-4 | =2的解，求出该三角形的周长，并判断△ABC的形状。 【答案】（1）∵（b-2）2+ | c-3 | =0，∴b-2=0，c-3=0，解得b=2，c=3。∵a为方程 | a-4 | =2的解，∴a-4=±2，解得a=6或2。 ∵a，b，c为△ABC的三边长，∴3-2<a<3+2，即1<a<5，∴a=6不合题意，舍去。∴a=2。∴△ABC的周长为2+2+3=7，△ABC是等腰三角形。 （2）若a=5，b=2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值和最小值。 【答案】（2）∵a=5，b=2，c为整数，∴5-2<c<2+5，即3<c<7。∴c的最小值为4，c的最大值为6。∴△ABC的周长的最大值=5+2+6=13，最小值=5+2+4=11。 15. 如图，D，E分别是锐角三角形ABC的边AC，BC上的点，P是与△ABC在同一平面内的一动点，且与点D，E不在同一直线上，令∠CDP=∠1，∠BEP=∠2。 （1）如图1，当P是△ABC的边AB上的一点时，已知∠C=60°， ∠1=110°，∠2=65°，求∠DPE的度数。 【答案】（1）∵∠2=65°，∴∠CEP=180°-∠2=115°。 ∴∠DPE=360°-∠C-∠1-∠CEP=360°-60°-110°-115°=75°。 （2）当P是△ABC内一点时，直接写出∠1，∠2，∠C和∠DPE之间的数量关系。 【答案】（2）∠1+∠C+∠DPE=180°+∠2或 ∠DPE+∠2=∠1+∠C+180°。理由如下：当点P位于DE下方时，∠DPE=360°-∠C-∠1-∠CEP=360°-∠C-∠1-（180°-∠2），∴∠1+∠C+∠DPE=180°+∠2。当点P位于DE上方时，如图，延长DP交BC于点F。∵∠PFE=∠1+∠C，∠DPE=∠PFE+∠FEP，∠FEP=180°-∠2，∴∠DPE=∠C+∠1+180°- ∠2。∴∠DPE+∠2=∠1+∠C+180°。 （3）如图2，当P是AB的延长线上一点时，探索∠1，∠2，∠C和∠DPE之间的数量关系并加以证明。 【答案】（3）∠1+∠2+∠C+∠DPE=180°。理由如下：设DP与BC交于点Q，∴∠CQD=∠2+∠DPE。∵∠1+∠C+∠CQD=180°， ∴∠1+∠C+∠2+∠DPE=180°。 16. 探究题： （1）我们把如图1的图形称为“8字形”，图中∠A，∠B，∠C，∠D之间的 数量关系是 　　　　。 【答案】（1）∠A+∠B=∠C+∠D （2）如图2，若∠BCD，∠ADE的平分线CP，DP交于点P，则∠P与∠A，∠B的数量关系为∠P= 　　　　　　。 【答案】（2）设∠PCD=x，∠PDE=y。∵CP，DP分别平分∠BCD，∠ADE，∴∠BCD=2x，∠ADE=2y。∵∠P=∠PDE-∠PCD=y-x，∠COD=∠ODE-∠BCD=2y- 2x，∴∠COD=2∠P。∵∠COD=∠AOB，∠AOB+∠A+∠B=180°，∴2∠P+∠A+∠B=180°。∴∠P=90°-（∠A+∠B）。 （3）如图3，CM，DN分别平分∠BCD，∠ADE，当∠A+∠B=70°时，试求∠M+∠N的度数（提示：解决此问题可以直接利用上述结论）。 【答案】（3）如图1，延长CM，DN交于点 P。由（2）知∠P=90°-（∠A+∠B）， ∵∠A+∠B=70°，∴∠P=55°。 ∴∠PMN+∠PNM=125°。 ∴∠CMN+∠DNM=360°-125°=235°。 （4）如图4，若∠MCD=∠BCD，∠NDE=∠ADE，当∠A+∠B=n°时，∠M+∠N的度数为 　　　　　　。 【答案】（4）如图2，延长CM，DN交于点P。设∠PCD=x，∠PDE=y。同（2）理得∠P=y-x，∠COD=4y-4x，∴∠COD=4∠P。∴4∠P+∠A+∠B=180°。 ∵∠A+∠B=n°，∴∠P=。 ∴∠PMN+∠PNM=180°-n°。故答案为225°-n°。 $$