2.6 直角三角形 期末复习专题突破 课件-2024-2025学年浙教版数学八年级上册

直角三角形 思维导图 知识要点： 1. 直角三角形的定义：有一个角为90°的三角形，叫作直角三角形。 2. 直角三角形的性质1：在直角三角形中，两个锐角互余。 3. 直角三角形的性质2：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的 一半。 1. 将三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，直 角三角形是特殊的三角形，其角、边及中线都有特殊的数量关系。 2. 由三角形的内角和定理可得直角三角形的两个锐角互余，这一性质是 角度计算或证明的常用定理。 3. 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。反过来，一个三角 形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边 为斜边的直角三角形。该命题可以用来判定直角三角形。 4. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。此结论是由 等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形 的相关问题中常用来求边的长度和角的度数。反过来，在直角三角形 中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等 于30°。 知识点一：直角三角形中角的关系及角度计算 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E。已知∠BAC=5∠BAE，求∠C的度数。 设∠BAE=x°，则∠BAC=5x°，根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，根据等腰三角形的性质得出∠C=∠EAC，则∠C=4x°，根据直角三角形的性质得出∠C+∠BAC=90°，求出x即可。 设∠BAE=x°，则∠BAC=5x°。∵ED是AC的垂直平分线，∴AE=CE。 ∴∠C=∠EAC=5x°-x°=4x°。∵∠B=90°，∴∠C+∠BAC=90°。 ∴4x+5x=90，解得x=10。∴∠C=4x°=40°。 本题考查直角三角形的性质、等腰三角形及线段垂直平分线 的性质，利用直角三角形两个锐角互余及等边对等角建立角度之间的数 量关系是解题的关键。 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，点E在DB的延长线上，EF交BC于点H，∠1=∠2，∠E=30°，求∠A的度数。 【答案】∵BD⊥AC，∴∠EDF=90°。∴∠2+∠E=90°。∵∠E=30°，∴∠2=60°。∵∠1=∠2，∴∠1=60°。∵∠ABC=90°，∴∠ABD=90°-∠1=30°。∵∠EDA=90°，∴∠A=90°-∠ABD=60°。 知识点二：直角三角形斜边中线的性质及应用 如图，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CF是边AB上的中线，且 DC=BF，DE⊥CF于点E。 （1）求证：E是CF的中点。 （2）若∠B=30°，求∠BCF的度数。 （1）连结DF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半可得DF=BF=AB，进而得到CD=DF，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得到结论。（2）根据等腰三角形的性质可得∠DCF=∠DFC，∠B=∠BDF，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可。 （1）如图，连结DF。 ∵AD是边BC上的高线，CF是边AB上的中线，∴DF=BF=AB。 ∵DC=BF，∴CD=DF。∵DE⊥CF，∴E是CF的中点。 （2）由（1）的结论DF=BF得∠FDB=∠FBD=30°。∵DC=DF， ∴∠DCF=∠DFC。 由外角的性质得∠FDB=∠DCF+∠DFC=2∠DCF， ∴∠BCF=∠FDB=15°。 本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质， 事实上直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形，从 而获得了更多边、角之间的等量关系，因此在直角三角形中若已知斜边 的中点，往往要与斜边上的中线联系起来。 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M，N分别是AC，BD的中点。 （1）求证：MN⊥BD。 【答案】（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，∴BM=AC。∴BM=DM。又∵N是BD的中点，∴MN⊥BD。 （2）若∠DAC=64°，∠BAC=56°，求∠DMB的度数。 【答案】（2）∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，∴BM=AM，DM=AM。 ∴∠ABM=∠BAC=56°，∠ADM=∠DAC=64°。∴∠DMB=360°-56°×2-64°×2=120°。 （1）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高线，AE，CD相交于点F，∠CEF与∠CFE的数量关系为 　　　　　　　　。 （2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E。探究∠CEF与∠CFE的数量关系并说明理由。 （3）如图3，在△ABC中，边AB上存在一点D，使得∠ACD=∠B， ∠BAC的平分线AE交CD于点F，交BC于点E。△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M。请补全图形并直接写出∠M与∠CFE的数量关系。 （1）根据三角形的外角的性质有∠CFE=∠CAF+∠ACD， ∠CEF=∠DAF+∠B，再利用直角三角形的性质及角平分线的定义可得 ∠ACD=∠B，∠CAF=∠DAF，即可得到结论。（2）根据角平分线的定义、直角三角形的性质探究角之间的数量关系。（3）根据条件作出图形，与（1）（2）的方法相同。 （1）∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°。∴∠B=∠ACD。∵AE是角平分线，∴∠CAF=∠DAF。 ∵∠CFE=∠CAF+∠ACD，∠CEF=∠DAF+∠B，∴∠CEF=∠CFE。故答案为∠CEF=∠CFE。 （2）∠CEF=∠CFE。理由如下：∵AF为∠BAG的平分线， ∴∠GAF=∠DAF。 ∵CD为AB边上的高线，∴∠ADC=90°。∴∠ADF=∠ACE=90°。 ∴∠DAF+∠CFE=∠CAE+∠CEF=90°。又∵∠CAE=∠GAF， ∴∠CEF=∠CFE。 （3）补全图形如图4。 ∵AE，AN分别为∠BAC，∠BAG的平分线，∴∠CAE=∠BAE， ∠GAN=∠BAN。 ∵∠BAC+∠BAG=180°，∴∠BAE+∠BAN=90°。∴∠EAN=90°。∴∠M+∠CEF=90°。同（1）理得∠CEF=∠CFE。∴∠M+∠CFE=90°。 本题考查三角形的外角的性质、三角形内角和定理，利用这 些性质结合直角三角形两锐角互余，对图形中角度之间的数量关系进行 转化，从而得到我们所需要的结论是解决问题的主要思路，同时作出符 合条件的几何图形也是必备能力。 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=2∠B，则∠A的度数为（　C　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 70° C 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D。下列结论中，不一定成立的是（　D　） A. ∠A与∠1互余 B. ∠B与∠2互余 C. ∠A=∠2 D. ∠1=∠2 D 3. 如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，M为梯子AB的中点，当梯子底端 向左水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是（　B　） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 先变小再变大 B 4. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在边AC上的点E处。若∠B=65°，则∠ADE的度数为（　A　） A. 40° B. 50° C. 65° D. 75° A 5. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，∠CDE=160°，则∠B的度数为 ⁠。 6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD交AD的延长线于点E。若∠DBE=28°，则∠CAB= ⁠。 70° 56° 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连结CD。若△ABC的周长为24 cm，△BCD的周长为16 cm，则AC= cm。 8 8. 如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C=90°，并画出了两锐角的平分线AD，BE及其交点F。小明发现，无论怎样变动 Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数为定值。这个定值为 ⁠。 135° 【解析】∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°。∵AD平分∠CAB，EB平分∠ABC，∴∠FAB=（∠CAB+∠CBA）=45°。∴∠AFB=180°-（∠FAB+∠FBA）=135°。故答案为135°。 9. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E。 （1）若∠BAC=48°，求∠EDA的度数。 【答案】（1）∵∠BAC=48°，AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD=∠BAC=24°。∵DE⊥AB，∴∠AED=90°。∴∠EDA=90°-24°=66°。 （2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线。 【答案】（2）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB。又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC。又∵AD=AD，∴△AED≌△ACD（AAS）。∴AE=AC。∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，AD平分线段EC，即直线AD是线段CE的垂直平分线。 10. 有一道题目：“如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿DE折叠，使得点B落在边AC上的点F处，若∠CFD=60°，且△AEF中有两个内角相等，求∠A的度数。”嘉嘉的答案是∠A=40°，淇淇说：“嘉嘉考虑的不全面，∠A还应该有另外一个值。”下列判断正确的是（　B　） A. 淇淇说得不对，∠A就是40° B. 淇淇说得对，且∠A的另一个值是50° C. 淇淇说得对，且∠A的另一个值是55° D. 两人都不对，∠A应有三个不同值 B 【解析】∵∠C=90°，∠CFD=60°，∴∠CDF=30°。∵△FDE，△BDE关于DE对称，∴∠DFE=∠B，∠FED=∠BED，∠FDE=∠BDE=75°。令∠B=x°，则∠DFE=x°，∴∠AFE=180°-60°-x°=120°-x°，∠FED=∠BED=180°-75°-x°=105°-x°。∴∠AEF=180°-∠FED-∠BED=2x°-30°。∵∠AFE=120°-x°，∠A=90°-x°，∴∠AFE≠∠A。当∠AEF=∠AFE时，2x-30=120-x，∴x=50。∴∠A=90°-∠B=40°。当∠A=∠AEF时，90-x=2x-30，∴x=40。∴∠A=90°-∠B=50°。∴∠A=40°或50°。故选B。 11. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连结BE，ED，BD，若∠BAD=52°，则∠EBD= ⁠。 38° 【解析】∵∠ABC=∠ADC=90°，E为AC的中点，∴EA=EB=EC=DE。∴∠DAE=∠EDA，∠BAE=∠EBA。∴在△AED中，∠DEC=∠DAE+∠ADE=2∠DAE。同理可得∠BEC=2∠BAE，∴∠DEB=∠DEC+∠BEC=2∠DAE+2∠BAE=2（∠DAE+∠BAE）=2×52°=104°。∵EB=ED，∴∠EBD=×（180°-104°）=38°。故答案为38°。 12. 我们规定：在△ABC中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成 两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条 直线为△ABC的关于点B的二分割线。如图1，在Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线。在图2的△ABC中，∠C=20°，且∠C为最小角，若△ABC中存在关于点B的二分割线BD，则∠A的度数为 ⁠ ⁠。 35°，45°， 50°或90° 【解析】由题意可知当∠A=90°时，符合题意。如图1，当∠CDB=90°，DA=DB时，满足条件。此时∠A=45°。如图2，当∠ABD=90°，DB=DC时，可得∠DBC=∠C=20°，∴∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-（90°+20°）-20°=50°。如 图3，当∠DBC=90°，DA=DB时，∵∠BDC=90°-∠C=70°， ∴∠A=∠DBA=∠BDC=35°。综上所述，满足条件的∠A的度数为35°，45°，50°或90°。 故答案为35°，45°，50°或90°。 13. 如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，M，N分别是BC，DE的中点。 （1）求证：MN⊥DE。 【答案】（1）如图，连结EM，DM。∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC=∠BEC=90°。 ∵在Rt△DBC和Rt△EBC中，M是BC的中点， ∴DM=BC。∴DM=EM。∵N是DE的中点，∴MN⊥ED。 （2）若∠ECB+∠DBC=45°，DE=10，求MN的长。 【答案】（2）在Rt△DBC中，M是BC的中点，∴DM=BC=BM。 ∴∠DBM=∠BDM。同理可得∠MEC=∠MCE，∵∠ECB+∠DBC=45°，∴∠EMB+∠DMC=2 （∠ECB+∠DBC）=90°。∴∠EMD=90°。∵N是DE的中点，DE=10，∴MN=DE=5。 14. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，DE⊥PD交BC于点E。 （1）求证：点E在BD的垂直平分线上。 【答案】（1）在△ABC中，∠C=90°，∴∠B=90°-∠A。 ∵DE⊥PD，∴∠PDE=90°。∴∠EDB=90°-∠PDA。 ∵PD=PA，∴∠A=∠PDA。∴∠B=∠EDB。 ∴ED=EB。∴点E在BD的垂直平分线上。 （2）若∠DEB=α。 ①求∠CPD的度数。（用含α的式子表示） 【答案】（2）①∵∠PDE=∠C=90°， ∴∠CPD+∠CED=360°-90°-90°=180°。 ∵∠DEB+∠CED=180°，∴∠CPD=∠DEB。 ∵∠DEB=α，∴∠CPD=α。 ②当α=110°时，求∠A的度数。 【答案】②∵α=110°，∠CPD=α，∴∠CPD=110°。∵∠A=∠ADP，∠A+∠ADP=∠CPD，∴∠A=∠CPD=55°。 15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABD=2∠EBC，AD∥BC，求证：DE=2AB。 【答案】如图，取ED的中点O，连结AO。 ∵∠C=90°，AD∥BC，∴∠CAD=90°。∴OD=OA=OE=DE。 ∴∠AOE=2∠D。 ∵AD∥BC，∴∠EBC=∠D。∴∠AOE=2∠EBC。∵∠ABD=2∠EBC，∴∠ABD=∠AOB。 ∴AB=OA。∵DE=2OA，∴DE=2AB。 $$