图形的轴对称 期末复习专题突破课件-2025-2026学年浙教版（2024）数学八年级上册

图形的轴对称 思维导图 知识要点： 1. 图形的轴对称与轴对称图形的概念。 2. 轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。 3. 成轴对称的两个图形是全等图形。 1. 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互 相重合，这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴，这时，我们 也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2. 由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能 够互相重合，这样的图形改变叫作图形的轴对称。 3. 轴对称的性质：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平 分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我 们只要找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得 到这两个图形的对称轴。 4. 最近距离之“将军饮马”问题：将军饮马问题是利用轴对称求平面几何 最近距离问题的一个常见的基本模型，其数学化之后的模型如下： 如图，在直线l上的同侧有两个点A，B，在直线l上有到点A，B的距离之 和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l的 对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点。 知识点一：轴对称与轴对称图形 下列图形中，不属于轴对称图形的是 （　　） A. B. C. D. 根据轴对称图形的定义找对称轴逐项判断即可。 观察四个选项可知，除选项A外，选项B，C，D中的图形沿 着一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，因此选项A不是轴对 称图形，选项B，C，D是轴对称图形。故选A。 本题考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题 的关键。 下面四个图案中是轴对称图形的是（　B　） A. B. C. D. B 知识点二：轴对称的性质 如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上。 （1）若∠BAC=100°，∠CAD=30°，求∠EAF的度数。 （2）若BC∥AD，AE平分∠BAM，∠BFE+∠C=81°，求∠EAF的度数。 （1）根据轴对称的性质可知△ABC≌△ADE，∠CAF=∠EAF，可得∠DAE=100°，进一步可得∠CAE的度数，从而可得∠EAF的度数。（2）根据BC∥AD，可得∠D=∠BFE，∠C=∠CAD，根据AE平分∠BAM，可得 ∠DAC=∠CAF=∠EAF=∠BAE，进一步可得∠CAF+∠EAF+∠E=99°，从而可得∠EAF的度数。 （1）∵△ABC和△ADE关于直线MN对称，∴△ABC≌△ADE，∠CAF=∠EAF。∴∠DAE=∠BAC=100°。∵∠CAD=30°，∴∠CAE=100°-30°=70°。 ∴∠EAF=70°÷2=35°。 （2）∵BC∥AD，∴∠D=∠BFE，∠C=∠CAD。∵∠DAC=∠BAE， ∠EAF=∠CAF， 又∵AE平分∠BAM，∴∠DAC=∠CAF=∠EAF=∠BAE。∵∠BFE+∠C=81°，∴∠D+∠DAC=81°。∴∠CAF+∠EAF+∠E=180°-81°=99°。∵∠C=∠E， ∴3∠EAF=99°。∴∠EAF=33°。 本题考查轴对称的性质、平行线的性质，根据轴对称的性质 确定三角形的全等关系是解题的关键。 如图，点P在∠AOB内，M，N分别是点P关于AO，BO的对称 点，MN分别交OA，OB于点E，F。 （1）若∠AOB=α°，则∠MON= 　　　　，∠EPF= 　　　　。（用含α的代数式表示） 【答案】（1）如图，连结OP。∵M是点P关于AO的对称 点，∴OP=OM，ME=PE，∠MOA=∠AOP。 ∴∠OMP=∠OPM，∠EMP=∠EPM。∴∠OME=∠OPE。同理可得OP=ON，∠BOP=∠BON，∠OPF=∠ONF，∴OM=ON，∠MON=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=2α°。∴∠OMN+∠ONM=180°-∠MON=180°-2α°。 ∴∠EPF=∠OPE+∠OPF=∠OMN+∠ONM= 180°-2α°。故答案为2α°；180°-2α°。 （2）若△PEF的周长是10 cm，求MN的长。 【答案】（2）∵M，N分别是点P关于AO，BO的对称点，∴ME=PE， NF=PF。∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长。∵△PEF的周长等于10 cm。∴MN=10 cm。 知识点三：轴对称的应用—折叠问题 如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在F处，折痕为BC。 （1）如果BE是∠FBD的平分线，那么BE与BC有怎样的位置关系？为什么？ （2）在（1）的条件下，将BE沿BF作轴对称变换使其落在∠FBC的内部，交CF于点M，若BM平分∠FBC，求∠FBE的度数。 （1）由翻折的性质可知∠FBC=∠ABC=∠ABF，利用角平分线的定义可得出∠FBE=∠FBD，结合∠ABF与∠FBD互补即可得出∠CBE=90°，由此即可得出BE⊥BC。（2）设∠FBE=x°，根据翻折的性质结合角平分线的定义即可得出∠FBC=2x°，再根据（1）中的结论∠CBE=90°即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论。 （1）BE⊥BC。理由如下：∵∠FBC由∠ABC翻折而成， ∴∠FBC=∠ABC=∠ABF。∵BE是∠FBD的平分线，∴∠FBE=∠FBD。 ∴∠CBE=∠FBC+∠FBE=∠ABF+∠FBD=（∠ABF+∠FBD）=×180°=90°。∴BE⊥BC。 （2）如图，依照题意画出图形。设∠FBE=x°。∵BE是∠FBD的平分线，∴∠DBE=∠FBE=x°。∵∠FBM由∠FBE翻折而成，∴∠FBM=∠FBE=x°。 ∵BM平分∠FBC，∴∠FBC=2∠FBM=2x°。∵由（1）得∠CBE=90°， ∴∠FBE+∠FBC=90°，即x+2x=90，解得x=30。∴∠FBE=30°。 本题解题的关键一是熟练掌握翻折的性质，从中得到角度之 间的等量关系；二是根据角的关系列出关于x的一元一次方程，方程思 想是几何计算常用的思想方法。 如图，四边形ABCD为一长方形纸带，AD∥BC，将四边形 ABCD沿EF折叠，C，D两点分别与C′，D′两点对应。若∠1=2∠2，求∠3的度数。 【答案】如图，过点D′作D′G∥AD，则∠2=∠ED′G。∵AD∥BC， ∴BC∥D′G。 ∴∠3=∠C′D′G。∵AD∥BC，∴∠1=∠4。根据折叠的性质得∠4=∠5，∵∠1=2∠2，∴∠4=∠5=2∠2。∴2∠2+2∠2+∠2=180°。∴∠2=36°。 ∵∠ED′C′=∠D=90°，∴∠2+∠3=90°。∴∠3=90°-36°=54°。 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=100°，在BC，CD上分别找一点M，N，当△AMN的周长最小时，求∠MAN的度数。 要使△AMN的周长最小，可利用点的对称，将三角形的三边 转化到同一直线上，分别作出点A关于BC，CD的对称点A′，A″，即可得 出∠A′+∠A″=80°，进而得出∠MAN=∠BAD-（∠A′+∠A″），即可得出答案。 如图，分别作点A关于BC，CD的对称点A′，A″，连结A′A″，交BC于点M，交CD于点N，则A′A″即为△AMN的周长最小值。 ∵∠BAD=100°，∴∠A′+∠A″=180°-∠BAD=180°-100°=80°。∵∠A′=∠MAA′，∠NAD=∠A″，∴∠MAN=∠BAD-∠MAA′-∠NAD=∠BAD-（∠A′+∠A″） =100°-80°=20°。∴当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为20°。 本题考查最短路线问题，利用轴对称将三角形周长最小转化 为两点之间线段最短是解题的关键，再利用轴对称的性质结合角的数量 关系求角度即可。 1. 下列运动图标中，属于轴对称图形的是（　B　） A. B. C. D. B 2. 如图，在四边形ABCD中，对角线BD所在的直线是其对称轴，P是直线 BD上的点，下列判断中，错误的是（　C　） A. AD=CD B. ∠DAP=∠DCP C. AP=BC D. ∠ABP=∠CBP C 3. 如图，把长方形ABCD沿EF对折后使AB与A′B′重合，若∠AEF=110°，则∠1的度数为（　C　） A. 30° B. 35° C. 40° D. 50° C 4. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠至△FDE位置，点A的对应点为F。若∠A=15°，∠BDF=120°，则∠DEF的度数为（　B　） A. 130° B. 135° C. 125° D. 120° B 5. 为了庆祝“神舟十五号”的成功发射，学校组织了一次小制作展示活 动，小彬计划制作一个如图所示的简易飞机模型。已知该模型是一个关 于AC对称的轴对称图形。若AB=30 cm，AC=22 cm，则AD= cm。 30 6. 如图，在纸片ABCD中，∠MON=126°，将∠MON沿直线EF折叠，使得射线ON落在与OM在同一平面内的射线ON′处，当OM恰好平分∠N′OE时，∠NOE的度数为 ⁠。 84° 7. 如图，在3×3的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找 出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角 形共有 ⁠个。 5 8. 如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC和DE的交点F在直线MN上。 （1）图中点B的对称点是点 ，∠E的对应角是 ⁠。 （2）若ED=9，BF=6，则EF= ⁠。 （3）连结BD和EC，则BD和EC的位置关系为 ⁠。 D ∠C 3 BD∥EC 9. 在图1中补充2个小方块，在图2，3，4中分别补充3个小方块，使每个 图中小方块组成的图形为轴对称图形。 【答案】作轴对称图形如下（答案不唯一）： 10. 如图，在△ABC中，∠CAB=36°，∠B=48°，D，E分别是边AB和BC上的点，△ACE和△ADE关于直线AE对称，CD交AE于点F。求： （1）∠ADC的度数。 【答案】（1）∵△ACE和△ADE关于直线AE对称，∴AC=AD。 ∴∠ACD=∠ADC。∵∠CAB=36°， ∴∠ADC=∠ACD==72°。 （2）∠DEB的度数。 【答案】（2）∵△ACE和△ADE关于直线AE对称，∴EC=ED。 ∴∠ECD=∠EDC。∵∠CAB=36°，∠B=48°，∠ACD=72°，∴∠DCB=180°-36°-48°-72°=24°。 ∴∠EDC=∠ECD=24°。∴∠DEB=∠EDC+∠ECD=48°。 11. 如图，在△ABC中，∠ACB>90°，△ABC的面积为18，AB=9，BD平分∠ABC，E，F分别是BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值为（　A　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 9 A 【解析】如图，过点C作CH⊥AB，垂足为H，交BD于点E′，过点E′作 E′F′⊥BC，垂足为F′，则CE′+E′F′为所求的最小值。∵BD是∠ABC的平分线，∴E′H=E′F′。∵△ABC的面积为18，AB=9，∴CH==4。 ∴CE+EF的最小值是CE′+E′H=CH=4。故选A。 12. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，EF垂直平分BC，P为直线EF上任意一点，则AP+BP的最小值是 ⁠。 10 13. 如图，将长方形纸带ABCD沿EF折叠，点A的对应点是A′，EA′与CD交于点G，再沿着GH折叠，点C的对应点是C′。若∠AEF=70°，∠EHG=60°，则∠EGC′= ⁠。 20° 【解析】∵长方形纸带ABCD沿EF折叠，点A的对应点是A′，∠AEF=70°，∴∠FEG=∠AEF=70°。 ∴∠GEH=180°-∠AEF-∠FEG=40°。∵∠EHG=60°，∴∠EGH=180°-∠GHE-∠GEH=180°-60°-40°=80°。 ∵AB∥CD，∴∠CGH=∠EHG=60°。∵长方形纸带ABCD沿着GH折叠，点C的对应点是C′，∴∠CGH=∠C′GH=60°。∴∠EGC′=∠EGH-∠C′GH=80°-60°=20°。故答案为20°。 14. 如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB的对 称点是D，连结CD交OA于点M，交OB于点N。 （1）①若∠AOB=60°，求∠COD的度数。 【答案】（1）①∵点C和点P关于OA对称，∴∠AOC=∠AOP。 ∵点P关于OB的对称点是D，∴∠BOD=∠BOP。 ∴∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD= 2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=2×60°=120°。 ②若∠AOB=n°，则∠COD= 　　　　°（用含n的代数式表示）。 【答案】②2n （2）若CD=4，则△PMN的周长为 　　　　。 【答案】（2）∵点C和点P关于OA对称，∴CM=PM。∵点P关于OB的对称点是D，∴DN=PN。 ∵CD=4，∴CM+MN+DN=4。∴PM+MN+PN=4，即△PMN的周长为4。故答案为4。 15. 如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE 的外部A′的位置，且点A′与点C在直线AB的异侧，折痕为DE，已知 ∠C=90°，∠A=30°。 （1）求∠1-∠2的度数。 【答案】（1）由折叠可知，∠A′=∠A=30°， 又∵∠A′+∠2=∠AFD，∠AFD+∠A=∠1，∴30°+∠2+30°=∠1。 ∴∠1-∠2=60°。 （2）若保持△A′DE的一边与BC平行，求∠ADE的度数。 【答案】（2）如图1，当DA'∥BC时，∠A′DA=∠ACB=90°， ∵△ADE沿DE折叠到△A′DE，∴∠ADE=∠A′DE=∠ADA′=45°。 如图2，当EA'∥BC时，∠2=∠ABC=60°。由（1）知∠1-∠2=60°， ∴∠1=∠2+60°=120°。∵△ADE沿DE折叠到△A′DE， ∴∠ADE=∠A′DE=（180°-∠1）=30°。 综上所述，∠ADE的度数为45°或30°。 16. 如图，∠AOB=20°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM=α，∠OQN=β，当MP+PQ+QN最小时，下列关于α，β的数量关系正确的是（　D　） A. β-α=30° B. β+α=210° C. β-2α=30° D. β+α=200° D 【解析】如图，作点M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连结M′N′交OA于点Q，交OB于点P，则MP+PQ+QN最小。易知 ∠OPM=∠OPM′=∠NPQ=α， ∠OQP=∠AQN′=∠AQN，∵∠OQN=180°-20°-∠ONQ， ∠OPM=∠NPQ=20°+∠OQP，∠OQP=∠AQN=20°+∠ONQ，∴β+α=（180°-20°-∠ONQ）+（20°+20°+∠ONQ）=200°。故选D。 $$