第二章 等式与不等式 单元测评-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第二章 等式与不等式 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式组的解集是(　　) A．{x|x＞－3}　　　 B．{x|－3≤x＜2} C．{x|－3＜x≤2} D．{x|x≤2} 2．设方程x2＋x－2＝0的两个根为α，β，那么(α－1)(β－1)的值等于(　　) A．－4 B．－2 C．0 D．2 3．设A＝(m，n为互不相等的正实数)，B＝＋4x－2，则A与B的大小关系是(　　) A．A>B B．A≥B C．A<B D．A≤B 4．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b＝(　　) A．－3 B．1 C．－1 D．3 5．若不等式4x2＋(m－1)x＋1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　) A．m＞5或m＜－3 B．m≥5或m≤－3 C．－3≤m≤5 D．－3＜m＜5 6．某种产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是(　　) A．200台 B．150台 C．100台 D．50台 7．在R上定义运算⊗：M⊗N＝(1＋M)(1－N)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，1) B．(0，2) C． D． 8．若两个正实数x，y满足4x＋y＝xy，且存在这样的x，y使不等式x＋<m2＋3m有解，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1，4) B．(－4，1) C．(－∞，－4)∪(1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0，＋∞) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若a>b，c<0，则下列不等式成立的是(　　) A．ac2>bc2 B．a＋c<b＋c C．a>b＋c D．> 10．设a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，则下列结论错误的是(　　) A．a＋b有最小值2(＋1) B．a＋b有最大值(＋1)2 C．ab有最大值＋1 D．ab有最小值2(＋1) 11．已知关于x的一元二次不等式ax2－bx＋c<0的解集为{x|x<－2或x>3}，下列说法正确的是(　　) A．a＋5b＋c＝0 B．c<0 C．bx2－ax＋c>0的解集是(－2，3) D．对于任意的x∈R，cx2＋ax－b<0恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－的上确界为________． 13．已知关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则＝________，关于x的不等式>0的解集是________．(本小题第一空2分，第二空3分) 14．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：①若ab>0，bc－ad>0，则>0；②若ab>0，>0，则bc－ad>0；③若bc－ad>0，>0，则ab>0．其中正确的命题是________．(填序号) 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)求下列不等式的解集． (1)－4＜－x2－x－； (2)(x＋3)2≥(1－2x)2． 16．(15分)已知ax2＋2ax＋1≥0恒成立． (1)求a的取值范围； (2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0． 17．(15分)已知x>0，y>0，2xy＝x＋4y＋a． (1)当a＝16时，求xy的最小值； (2)当a＝0时，求x＋y＋的最小值． 18．(17分)在①x2－(2a－1)x＋a2－a＜0，②x2－2ax＋a2－1＜0，③x2－(a＋1)x＋a＜0(a＞1)这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，求实数a的取值范围． 已知p：＜0，q：________，且p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19．(17分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间有函数关系：y＝(v>0)． (1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01) (2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ 1．C　[ 解不等式①得，x≤2，解不等式②得，x>－3， ∴不等式组的解集为{x|－3<x≤2}， 故选C．] 2．C　[(法一)依题意得α+β＝－1，α·β＝－2， ∴(α－1)(β－1)＝α·β－(α+β)+1＝－2+1+1＝0． (法二)解方程可得方程的两根为－2，1，不妨设α＝－2，β＝1，∴(α－1)(β－1)＝0．] 3．A　[因为m，n为互不相等的正实数，则≠， 所以A＝+>2＝2， B＝－x2+4x－2＝－(x－2)2+2≤2． 当x＝2时，Bmax＝2，所以A>B．] 4．A　[由题意：A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－3<x<2}． A∩B＝{x|－1<x<2}， 由根与系数的关系可知a＝－1，b＝－2， ∴a+b＝－3．] 5．D　[依题意有Δ＝(m－1)2－16<0， 所以m2－2m－15<0， 解得－3<m<5．] 6．B　[要使生产者不亏本，则应满足25x≥3 000+20x－0.1x2，整理得x2+50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)，故最低产量是150台．] 7．B　[因为(x－a)􀱋(x+a)<1对任意实数x均成立， 所以(1+x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立． 即(1－a)2－x2<1恒成立， 所以(1－a)2<1+x2恒成立， 所以只需(1－a)2<(1+x2)min． 又因为(1+x2)min＝1， 所以(1－a)2<1， 解得0<a<2．] 8．C　[因为x>0，y>0且4x+y＝xy， 所以+＝1， 所以x+·＝2++≥2+2＝4， 当且仅当，即y＝4x＝8时，等号成立， 所以m2+3m>4，即(m+4)(m－1)>0， 解得m<－4或m>1， 所以实数m的取值范围是(－∞，－4)∪(1，+∞)．] 9．AC　[对A：∵a>b，c<0，则c2>0， ∴ac2>bc2，A正确； 对B：∵a>b，故a+c>b+c，B错误； 对C：∵c<0，故a>a+c>b+c，即a>b+c，C正确； 对D：做差可得，， ∵a>b，c<0，则a－b>0， ∴<0，即<，D错误．故选AC．] 10．BCD　[因为ab－(a+b)＝1，ab≤， 所以－(a+b)≥1， 它是关于a+b的一元二次不等式， 解得a+b≥2(+1)或a+b≤2(1－)(舍去)， 所以a+b有最小值2(+1)． 又ab－(a+b)＝1，a+b≥2， 所以ab－2≥1，它是关于的一元二次不等式， 解得≥+1或≤1－(舍去)， 所以ab≥3+2， 即ab有最小值3+2．故选BCD．] 11．AC　[因为关于x的一元二次不等式ax2－bx+c<0的解集为{x|x<－2或x>3}， 所以a<0，且方程ax2－bx+c＝0的解为x＝－2或x＝3， 则＝1，＝－6， 即b＝a，c＝－6a， 所以a+5b+c＝a+5a－6a＝0，故A正确； c＝－6a>0，故B错误； 由bx2－ax+c>0，即ax2－ax－6a>0， 即x2－x－6<0，解得－2<x<3， 即bx2－ax+c>0的解集是(－2，3)，故C正确； 由cx2+ax－b<0，得－6ax2+ax－a<0， 即6x2－x+1<0，不等式无解，故D错误．] 12．－　[因为a，b为正实数，且a+b＝1， 所以+×(a+b) ＝+≥+2， 当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时，等号成立， 因此有－≤－， 即－的上确界为－．] 13．－1　{x|x<－1或x>2}　[依题意，a>0且－＝1， 所以＝－1；不等式>0可变形为(ax－b)(x－2)>0，即(x－2)>0， 所以(x+1)(x－2)>0， 故x>2或x<－1．] 14．①②③　[对于①，若ab>0，bc－ad>0， 不等式两边同时除以ab得>0，所以①正确； 对于②，若ab>0，>0，不等式两边同时乘以ab得bc－ad>0，所以②正确； 对于③，若>0， 当两边同时乘以ab时可得bc－ad>0， 所以ab>0，所以③正确． 综上，正确的命题是①②③．] 15．解：(1)原不等式可化为x2+x+<4， 化简，得x2+2x－5<0． 因为x2+2x－5＝x2+2x+1－1－5＝(x+1)2－6， 所以原不等式等价于(x+1)2<6， 开平方，得|x+1|<， 解得－－1<x<－1． 所以原不等式的解集为{x|－－1<x<－1}． (2)移项，得(x+3)2－(1－2x)2≥0， 因式分解，得(3x+2)(x－4)≤0， 解得－≤x≤4， 所以原不等式的解集为． 16．解：(1)因为ax2+2ax+1≥0恒成立． ①当a＝0时，1≥0恒成立； ②当a≠0时，则解得0<a≤1． 综上，a的取值范围为0≤a≤1． (2)由x2－x－a2+a<0，得(x－a)[x－(1－a)]<0． 因为0≤a≤1， 所以①当1－a>a， 即0≤a<时，a<x<1－a； ②当1－a＝a，即a＝<0，不等式无解； ③当1－a<a，即<a≤1时，1－a<x<a． 综上所述，当0≤a<时， 原不等式的解集为{x|a<x<1－a}； 当a＝时，原不等式的解集为∅； 当<a≤1时，原不等式的解集为{x|1－a<x<a}． 17．解：(1)当a＝16时，2xy＝x+4y+16≥2+16＝4+16， 即2xy≥4+16，即(+2)(－4)≥0， 所以≥4， 即xy≥16，当且仅当x＝4y＝8时等号成立， 所以xy的最小值为16． (2)当a＝0时，2xy＝x+4y，即+＝1， 所以x+y++＝x+y+1＝(x+y)+1＝++≥+2， 当且仅当，即x＝3，y＝时等号成立， 所以x+y++． 18．解：由命题p：<0，得－3<x<4， 规定集合A＝{x|－3<x<4}．设q对应的x的范围即为集合B，因为p是q的必要不充分条件，所以B⫋A． 选条件①：x2－(2a－1)x+a2－a<0． 由x2－(2a－1)x+a2－a<0可解得a－1<x<a． 因为B⫋A，只需且等号不能同时取得， 解得－2≤a≤4， 即实数a的取值范围为[－2，4]． 选条件②：x2－2ax+a2－1<0， 由x2－2ax+a2－1<0可解得a－1<x<a+1． 因为B⫋A，只需且等号不能同时取得， 解得－2≤a≤3， 即实数a的取值范围为[－2，3]． 选条件③：x2－(a+1)x+a<0(a>1)． 由x2－(a+1)x+a<0(a>1)可解得1<x<a． 因为B⫋A，只需解得1<a≤4， 即实数a的取值范围为(1，4]． 19．解：(1)y＝ ＝≤≈11.08． 当且仅当v＝，即v＝40千米/时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/时． (2)据题意有≥10， 化简得v2－89v+1 600≤0， 即(v－25)(v－64)≤0，所以25≤v≤64． 所以汽车的平均速度应控制在25≤v≤64这个范围内． 学科网（北京）股份有限公司 $$