第16讲 用一元一次方程解决问题-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（苏科版2024）

第16讲 用一元一次方程解决问题 内容导航——预习三步曲 第一步：主动学 析教材 学知识：教材精讲精析，全方位预习 讲典例 练习题：教材习题学解题，快速掌握解题方法 练考点 强知识：三大核心考点七种常考题型精准练 第二步：用心记 串知识 识框架：学习目标复核内容掌握，思维导图助力掌握知识脉络，理清知识之间的联系 第三步：限时测 过关测 稳提升：过关检测效果好，查漏补缺练考点 知识点1：用一元一次方程解决问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 名师指点 （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 知识点2：解决方程应用常用方法： 方法1：列表法（适用于题目含有多个研究对象） 方法2：画圆形示意图（适用于题目含有多个研究对象） 方法3：画线型示意图（适用于行程问题） 方法4：柱状示意图（适用于有关价格，利润率等问题） 知识点3：方程应用的常见类型： 1．和差倍分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2．行程问题 （1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　（2）基本类型有： 　 ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第1， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第2， 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 3．工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 5．利润问题 （1） (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 6.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数。 例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 7．方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 教材习题第124页练习第2题 解题方法指导 第一步：审题，找出等量关系 第二步：设未知数，列方程 第三步：解方程 第四步：检验 第五步：写答案 【分析】 解： 设小红和爷爷跑步的速度分别为 ………………………………此处的等量关系为：小红的路程—爷爷的路程=400 解得： 答：小红跑步的速度为200m/min,爷爷的跑步速度为120m/min. 教材习题128页练习第2题 解题方法指导 有不少同学把它当成行程问题做，但是找不到速度，路程。 此题看似是一个行程问题，实际上是一个工程问题，把从南海到北海的路程看作工作总量1即可。 【分析】 解：设经过x天能够相遇。 题型1 古代数学文化问题 1．我国古代《孙子算经》记载了“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”其意思是“每3人共乘一辆车，恰好空余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”求人和车的数量． 【答案】有39人，15辆车 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设有x个人，根据每3人共乘一辆车，恰好空余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，再建立方程求解即可． 【详解】解：设有x个人，则根据题意列方程，得， 解得． 车的数量为． 答：有39人，15辆车． 2．我国古代数学名著《九章算术》中记载“粟米之法；粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有多少斗米？（不计损耗） 【答案】原来有斗米 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题．设原来有x斗米，则后加入斗谷子，由题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：设原来有x斗米，则后加入斗谷子， 根据题意，得， 解得， 答：原来有斗米． 3．相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，图3，图4的幻方均满足此规律． (1)请填出图3幻方空格中的数． (2)求图4幻方中的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类． （1）由第3列上的3个数之和及每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，即可求出其他方格中的数，将其填入图3中即可； （2）由对角线及第1列上的3个数之和相等，可求出第2行第1个方格中的数，利用两对角线上的3个数之和相等，可求出第1行第3个方格中的数，再结合对角线及第1列上的3个数之和相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵第3列上的3个数之和为， ∴第1行第2个方格中的数为， 第2行第1个方格中的数为， 第2行第2个方格中的数为， 第3行第2个方格中的数为， 将图3中的数据补充完整，如图所示； （2）解：第2行第1个方格中的数为， 第1行第3个方格中的数为， 根据题意得：， 解答：． 答：图4幻方中x的值为． 4．课本第三章《一元一次方程》的章首语里摘引了明代数学著作《算法统宗》中记录着的一个问题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为：山上有一座古寺，在这座古寺里，每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗，问：寺里有多少个和尚？ 请解答这个中国古代数学问题． 【答案】624个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设寺里有x个和尚，根据“每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗”，可列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设寺里有x个和尚， 根据题意得：，解得：． 答：寺里有624个和尚． 5．《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫．问织几何？” 译文：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？请解答上述问题． 【答案】一共织了尺布 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；设每天减少尺布，根据题意得出，解方程得出，进而根据题意根据列出算式进行计算即可求解． 【详解】解：设每天减少尺布， ∵第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工， ∴，解得， ∴（尺）． 答：一共织了尺布． 题型2 行程问题 1．随着全民健身的理念逐渐深入人心，跑步作为一项简单易行，老少皆宜的运动，成为许多人日常锻炼的首选．周末，小聪和小明准备去迎泽大街进行跑步活动．已知迎泽大桥与五一广场之间的距离为千米．小聪从迎泽大桥出发，以10千米/时的速度向五一广场方向跑步；小明从五一广场出发，以8千米/时的速度向迎泽大桥方向跑步．两人同时出发，相向而行． (1)两人出发后多长时间相遇？ (2)若小聪在出发后5分钟发现忘记带水壶，于是停下来休息2分钟后以原速度返回迎泽大桥取水壶，随后再次以原速度向五一广场方向跑步，求两人出发后多长时间相遇？ 【答案】(1)12分钟 (2)分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程进行求解； （1）设两人出发后分钟相遇，根据两人的速度及距离为千米列出等式求解即可； （2）先判断出两人应在小聪拿到水壶后，再次以原速度向五一广场跑步的途中相遇，设两人在出发后分钟相遇，列出等式求解即可． 【详解】（1）解：设两人出发后分钟相遇． 由题意得，， 解得． 答：两人出发后12分钟相遇． （2）解：设两人在出发后分钟相遇． 当时，，且小聪跑步速度大于小明跑步速度， 两人应在小聪拿到水壶后，再次以原速度向五一广场跑步的途中相遇． 由题意得，． 解得． 两人在出发后分钟相遇． 2．如图，甲、乙两位同学在长方形的场地上绕着四周跑步，甲沿着方向循环跑步，同时乙沿着方向循环跑步，米，米，若甲速度为2米/秒，乙速度3米/秒． (1)设经过的时间为秒，则用含的代数式表示甲的路程为________米； (2)当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间为多少秒？请在图中用圆点标出相遇点的位置． (3)若甲改为沿着的方向循环跑步，而乙仍按原来的方向跑步，两人的速度不变，求经过多少秒，乙第一次追上甲？请在图中用圆点标出追及点的位置并直接写出、两点间的距离． 【答案】(1) (2)26秒，见解析 (3)130秒，见解析，、两点间的距离为8米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）利用路程=速度×时间，可用含t的代数式表示甲的路程； （2）利用甲、乙的路程之和等于米，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值，将其代入2t中，可求出甲的路程，结合甲的路径，即可找出点P的位置； （3）利用甲、乙的路程之差等于米，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值，将其代入2t中，可求出甲的路程，结合甲的路径，即可找出点Q的位置，再利用，即可求出结论． 【详解】（1）解：用含的代数式表示甲的路程为米， 故答案为：； （2）解：依题意，得， 解得：， ∴（米）， （米）． 当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间为26秒，相遇点的位置如图所示： （3）解：依题意，得， 解得：， ∴（米）， （米）， （米）． 答：经过130秒，乙第一次追上甲，相遇点的位置如图所示，此时、两点间的距离为8米． 3．列一元一次方程解应用题． 在一次体育测试中，小红同学在进行女子800米测试时，先以4米/秒的平均速度跑了大部分路程，之后以5米/秒的平均速度逐渐冲刺到达终点，成绩为3分零12秒．问小红在冲刺阶段用了多少秒？ 【答案】32秒 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设小红在冲刺阶段用了x秒，则在另一阶段用时秒，根据两个阶段的路程之和为800米，建立方程求解即可． 【详解】解：设小红在冲刺阶段用了x秒， 由题意得，， 解得， 答：小红在冲刺阶段用了32秒． 4．列方程解应用题 小华一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路．走普通公路比高速公路的路程多60公里，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百公里耗电20度，在高速公路上行驶比普通公路上行驶平均每百公里耗电增加，该车选择的充电站充电综合电费均为元/度．最终发现走普通公路的电费比高速公路的电费少15元，求返回时所走高速公路的路程． 【答案】所走高速公路的路程为550公里 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键 设所走高速公路的路程为x公里，则普通公路的路程为公里，根据题意列出方程求解即可，注意单位换算． 【详解】解：设所走高速公路的路程为x公里，则普通公路的路程为公里， 根据题意得：， 解得， ∴所走高速公路的路程为550公里． 5．小亮和小红课间去校园操场锻炼，两人沿环形跑道跑步，每次总是小红跑完圈时，小亮跑完圈．一天两人同时同地出发，反向而跑，小亮最后发现两人第一次相遇用时． (1)求两人的速度． (2)若两人同时同地沿该跑道同向跑，则经过多长时间两人第一次相遇？ (3)一天，小亮与小红约定在此操场进行赛跑，等小亮完成全程的时，原地停留后以原来的速度开始匀速追赶小红，在此过程中，小红始终保持速度不变，小亮能否在终点前追上小红？如果能，求追上时距离终点还有多少；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)小亮的速度为，小红的速度为 (2)经过两人第一次相遇 (3)小亮能在终点前追上小红，追上时距离终点还有 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系． （1）设小亮的速度为，小红的速度为，根据两人的路程之和等于跑道总长度列方程即可求解； （2）设经过两人第一次相遇，根据两人的路程之差等于跑道总长度； （3）先求出两人到达终点的时间，可判断小亮能否在终点前追上小红，设小亮追上小红需要的时间为，根题意列方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：设小亮的速度为，小红的速度为， 根据题意得：， 解得：，   ，， 答：小亮的速度为，小红的速度为； （2）设经过两人第一次相遇， 根据题意得：， 解得，， 答：经过两人第一次相遇； （3）小亮能在终点前追上小红，     理由：小红到终点时需要的时间为，小亮到终点需要的时间为， ， 小亮能在终点前追上小红，   设小亮追上小红需要的时间为， 根据题意得：，     解得：， ，     答：小亮能在终点前追上小红，追上时距离终点还有． 题型3 配套问题 1．在劳技课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．该班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)该班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【答案】(1)男生26人；女生29人 (2)应该分配30名学生剪筒身，25名学生剪筒底 【分析】（1）设该班有男生x人，根据“共有学生55人，男生人数比女生人数少3人”即可列方程求得结果； （2）设分配剪筒身的学生为y人，根据“一个筒身配两个筒底，每小时剪出的筒身与筒底刚好配套”即可列方程求得结果． 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）解：设该班有男生x人，依题意得 ， 解得， ∴该班有男生26人，女生29人； （2）解：设分配剪筒身的学生为y人，依题意得 ， 解得， ∴， ∴应该分配30名学生剪筒身，25名学生剪筒底． 2．太阳镜，也称遮阳镜，在光线较强的地方佩戴太阳镜可以减轻强光对眼睛的刺激．一个太阳镜由两个镜片和一个镜架组成．某工厂现共有36名工人，平均每人每天生产70个镜架或100个镜片．应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片恰好配套？ 【答案】分配名工人生产镜架，则有人生产镜片． 【分析】本题考查一元一次方程的应用——配套问题，根据套数相等建立方程是解题的关键． 设分配名工人生产镜架，用含的代数式表示镜架和镜片的数量，根据套数相等建立方程，求解即可． 【详解】设分配名工人生产镜架，则有人生产镜片，根据题意列方程 ，得 ， 解得：， ， 答：分配名工人生产镜架，则有人生产镜片． 3．某车间有名工人，每人每天可加工甲种零件个或乙种零件个．在这名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件． (1)如果某产品要求甲种零件与乙种零件每天生产的个数按照配比，那么应该安排几名工人加工甲种零件，几名工人加工乙种零件？ (2)已知每加工一个甲种零件可获利元，每加工一个乙种零件可获利元．若此车间某天一共获利元，求这一天有几名工人加工甲种零件． 【答案】(1)安排生产甲零件的工人为人、安排生产乙种零件的工人为人； (2)这一天有名工人加工甲种零件． 【分析】本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系列方程． （1）根据题意可以列出相应的一元一次方程，从而可以解答本题； （2）等量关系为：加工甲种零件的总利润加工乙种零件的总利润，把相关数值代入求解即可； 【详解】（1）解：设生产甲种零件的工人有人， 根据题意得：， 解得， ， 答：安排生产甲零件的工人为人、安排生产乙种零件的工人为人； （2）解：设这一天有名工人加工甲种零件，则这天加工甲种零件有个，乙种零件有个， 根据题意，得， 解得． 答：这一天有名工人加工甲种零件． 4．某生产线共有60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？ 【答案】应分配25名工人生产电压表 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设应分配x名工人生产电压表．根据题意列出方程，解出的值即可解答． 【详解】解：设应分配x名工人生产电压表， 根据题意，得， 解得：． 答：应分配25名工人生产电压表． 5．制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)家具公司欲将制作餐桌全部出售，一张餐桌可获利，全部出售后销售额为144000元．求每张餐桌的进价是多少？ 【答案】(1)安排木材制作桌面，则安排制作桌腿 (2)每张餐桌的进价是500元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设安排木材制作桌面，则安排制作桌腿，根据一个桌面配4个桌腿列出方程求解即可； （2）设每张餐桌的进价是y元，则每张餐桌的售价为元，再根据销售额等于售价乘以销售量建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排木材制作桌面，则安排制作桌腿， 由题意得， 解得， ∴， 答：安排木材制作桌面，则安排制作桌腿； （2）解；设每张餐桌的进价是y元， 由题意得，， 解得， 答：每张餐桌的进价是500元． 题型4 工程问题 1．黄茅海跨海通道连接珠海市和江门市，是港珠澳大桥西延的关键通道，黄茅海大桥建设过程中，有甲、乙两个工程队参与其中，甲、乙两个工程队一天共铺设桥梁构件80件，甲工程队施工3天比乙工程队施工2天多铺设桥梁构件30件，问甲、乙工程队每天各铺设桥梁构件多少件？ 【答案】设甲工程队每天铺设桥梁构件 38 件，则乙工程队每天铺设桥梁构件 42 件 【分析】设甲工程队每天铺设桥梁构件 x 件，则乙工程队每天铺设桥梁构件件，根据甲工程队施工3天比乙工程队施工2天多铺设桥梁构件30件，即可求解． 本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，得出等量关系是解题关键． 【详解】解：设甲工程队每天铺设桥梁构件 x 件，则乙工程队每天铺设桥梁构件件， 解得： 乙工程队每天铺设桥梁构件为： 答：设甲工程队每天铺设桥梁构件 38 件，则乙工程队每天铺设桥梁构件 42 件． 2．甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知该段隧道长度为600米，甲工程队每天挖掘的长度是乙工程队每天挖掘长度的倍，甲、乙两工程队合作4天完成该工程的． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米． (2)若甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好94万元．已知甲工程队每天的挖掘费用为5万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，求甲工程队单独挖掘的天数． 【答案】(1)甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米 (2)8天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程； （1）设乙工程队每天可挖掘隧道米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5米，根据甲、乙两工程队合作4天完成该工程的列出等式； （2）设甲工程队单独挖掘天，得出乙工程队挖掘天，再根据总费用为94万元建立等式求解． 【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5米． 由题意得，． 解得． ． 答：甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米． （2）解：设甲工程队单独挖掘天，则乙工程队挖掘天， 即天． 由题意得，． 解得． 答：甲工程队单独挖掘8天． 3．市中区欲将四方块打造成内江的“太古里”，现一期工程已基本完工，即将进入道路施工阶段．该工程由甲队单独完成需要24天，由乙队单独完成需要16天．甲、乙两队合作施工一段时间后，由于乙队另有任务离开，剩下的工程由甲队单独施工完成．甲队单独施工完成剩余工程的时间比两队合作施工的时间少4天． (1)求甲、乙两队合作施工的时间． (2)施工完成后，两队共获得工程款30万元，若按每队所完成的工程量进行分配，甲、乙两队各获得工程款多少万元？ 【答案】(1)甲、乙两队合作8天才能完成该工程； (2)甲、乙两队各获得工程款万元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数四则混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出方程和算式，准确计算； （1）设甲、乙两队合作天才能完成该工程，将整个工程看作单位1，然后列方程，解方程即可； （2）根据题意求得各自完成工作量，再按比例分配，计算即可． 【详解】（1）.解：设甲、乙两队合作天才能完成该工程，则甲队单独施工的时间为天， 依题意可列方程：， 解得：， 所以甲、乙两队合作8天才能完成该工程； （2）解：由（1）知乙队完成工作量，则甲队也完成工作量， 按比例分配得甲队获得工程款万元，乙队获得工程款万元， 答：甲、乙两队各获得工程款万元． 4．西安拥有丰富的历史文化遗产和深厚的文化底蕴，也成为汉服文化的重要传播地和展示窗口．某制衣厂现有一批汉服订单需交付，汉服店要求6天内完成．若工厂安排10位工人缝制，则6天后还有90套汉服未缝制；若安排14位工人缝制，则恰好提前一天完成任务．假设每位工人的工作效率相同，问每位工人每天可以缝制多少套汉服． 【答案】每位工人每天可以缝制9套汉服 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设每位工人每天可以缝制套汉服，根据生产的汉服数量关系列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设每位工人每天可以缝制套汉服，则 答：每位工人每天可以缝制9套汉服． 5．为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座小型光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，若由乙工程队单独施工需要6周． (1)若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？ (2)若由甲、乙两工程队先合作施工，剩下的由乙工程队单独完成，恰好用了4周完成建设任务，求甲工程队施工了几周？ 【答案】(1)甲、乙两工程队全程合作施工，需要2周完成 (2)甲工程队施工了1周 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． （1）设甲、乙两工程队全程合作施工，需要x周完成，把工作总量看做单位“1”，求出两个工程队的工作效率，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间建立方程求解即可． （2）设甲工程队施工了y周，分别求出两个施工队的工作量，二者的和为1，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解；设甲、乙两工程队全程合作施工，需要x周完成， 由题意得，， 解得， 答：甲、乙两工程队全程合作施工，需要2周完成； （2）解；设甲工程队施工了y周， 由题意得，， 解得：， 答：甲工程队施工了1周． 题型5 购物问题 1．博鳌亚洲论坛期间，某纪念品商店用1800元购进A、B两种纪念品共100件，A种纪念品的进价为每件20元，B种纪念品的进价为每件10元，求购进A、B两种纪念品各多少件？ 【答案】购进A种纪念品件，B种纪念品件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键．设购进A种纪念品件，则购进B种纪念品件，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设购进A种纪念品件，则购进B种纪念品件，根据题意得， ， 解得， （件）， 答：购进A种纪念品件，B种纪念品件． 2．列方程解决下列问题： 年，新能源汽车市场竞争异常激烈，某新能源汽车品牌生产厂为抢占市场份额，提高销售量，对经销商采取销售奖励活动．某经销商在新奖励办法出台前一个月共售出该品牌汽车的型和型共台，新奖励办法出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共台，其中型汽车和型汽车的销售量分别比新奖励办法出台前一个月增长和． (1)在新办法出台后的第一个月，该经销商销售的型汽车和型汽车分别为多少台？ (2)若型汽车每台售价为万元，型汽车每台售价为万元．新奖励办法是：每销售一台型汽车按每台汽车售价的给予奖励，每销售一台型汽车按每台汽车售价的给予奖励．新奖励办法出台后的第二个月，型汽车的销售量比出台后的第一个月增加了；而型汽车受到某问题零件召回的影响，销售量比出台后的第一个月减少了，新奖励办法出台后的第二个月，该经销商共获得的奖励金额万元，求的值． 【答案】(1)分别为台和台 (2) 【分析】（）设办法出台前该经销商销售的型汽车为台，则该经销商销售的型汽车为台，根据题意列出方程求出的值，进而即可求解； （）根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设办法出台前该经销商销售的型汽车为台，则该经销商销售的型汽车为台， 由题意得，， 解得， ∴新办法后第一个月型汽车台数：(台)， 新办法后第一个月型汽车台数：(台) ， 答：在新办法出台后第一个月，该经销商销售的型和型汽车分别为台和台； （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得， 答：的值为． 3．的出现，不仅为我国人工智能的发展注入新的活力，更让全世界见证了我国在领域的卓越创新与突破．某人工智能研发公司要购进一种芯片，他们购买的这种芯片价格是：商家按成本提价后标价，再打八五折卖给他们．结果商家每片这种芯片获利元，求这种芯片的标价． 【答案】这种芯片的标价为元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这种芯片的成本价为元，则这种芯片的标价为元，由题意列出方程，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这种芯片的成本价为元，则这种芯片的标价为元， 由题意得，， 解得：， ∴这种芯片的标价为， 答：这种芯片的标价为元． 4．已知某商店有两件进价不同的运动衫都卖了150元，其中一件盈利，另一件亏损，在这次买卖中这家商店是亏了还是赚了？亏了（或赚了）多少钱？ 【答案】在这次买卖中这家商店是亏了，亏了元钱． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设第一件运动衫的进价为x元，第二件运动衫的进价为y元，根据题意求出x，y，然后再用售价减去进价即可得出答案． 【详解】解：设第一件运动衫的进价为x元，第二件运动衫的进价为y元， 则，， 解得（元），（元）． ∴（元）． 答：在这次买卖中这家商店是亏了，亏了元钱． 5．在家电以旧换新的政策下，购买一台节能家电的实际费用（商场的实际售价旧家电的折合价）．张强借此政策为自己的婚房添加一台节能电视机，他与销售员协商后，电视机的实际售价为标价的九折，张强的旧电视折合200元．经计算，张强发现自己实际费用比这台电视机按标价出售便宜了．求这台电视机的标价是多少元． 【答案】8000元 【分析】本题考查了一元一次方程得应用，准确找出等量关系，列出一元一次方程是解题的关键； 根据 “购买一台节能家电的实际费用 =（商场的实际售价 - 旧家电的折合价）×(1 - 20%)”，可得出实际费用为元．又已知实际费用比按标价出售便宜了，那么实际费用也可表示为元．根据上述两种方式表示的实际费用相等，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这台电视机的标价为元，由题意得， ，      解得． 答：这台电视机的标价是8000元． 题型6 方案选择问题 1．根据下面的两种移动电话计费方式，考虑下列问题： 方式一 方式二 月租费 30元／月 0 本地通话费 0.3元／分钟 0.4元／分钟 (1)一个月内在本地通话200分钟，按方式一需交费多少元？按方式二呢？ (2)本地累计通话时间为多少分钟时，两种计费方式收费一样多？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解掌握统计表的特点及作用，并根据统计表提供的信息，解决有关实际问题． （1）根据题意和表格中的数据可以解答本题； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：方式一：（元）， 方式二：（元）， 答：一个月内在本地通话分钟,按方式一需交费元，按方式二需交费元. （2）解：设分钟两种计费方式收费一样多， 根据题意得，， 解得， 答：当通话分钟时，两种计费方式收费一样. 2．甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案，在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按收费，在乙商场累计购物超过100元后，超过100元的部分按收费．设顾客累计购物金额为x元 (1)用含x的式子分别表示出顾客在甲、乙两商场购物的花费； (2)顾客到哪家商场购物花费少？ 【答案】(1)当时，甲商场购物的花费为x元，当时，甲商场购物的花费为元；当时，乙商场购物的花费为x元，当时，乙商场购物的花费为元； (2)当或时，到两个商场购物花费一样；当乙商场购物花费少；当时，到甲商场购物花费少 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程和整式加减的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）求甲的花费时分和两种情况，求乙的花费时分和两种情况； （2）分当，和三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，甲商场购物的花费为x元， 当时，甲商场购物的花费为元； 当时，乙商场购物的花费为x元， 当时，乙商场购物的花费为元； （2）解：当时，两个商场都没有优惠，故此时到两个商场购物花费一样； 当时，由于甲商场没有优惠，乙商场有优惠，故此时到乙商场购物花费少； 当时，解得，故当时，此时到两个商场购物花费一样； ∵， ∴当时，， ∴当时，到乙商场购物花费少； 当时，，此时到两个商场购物花费一样； 当时，，此时到甲商场购物花费少； 综上所述，当或时，到两个商场购物花费一样；当乙商场购物花费少；当时，到甲商场购物花费少． 3．暑假期间，某校组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50人时，研学社给出两种优惠方案（只选其中一种方案）： 方案一：研学团队先交1600元后，每人再收费320元； 方案二：其中5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当两种方案的收费相同时，求该校参加研学的总人数． 【答案】(1)当参加研学的总人数是时，方案一收费元，方案二收费元 (2)85 【分析】本题考查了列代数式，以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据两种方案的优惠方法列出关于的代数式即可； （2）根据采用两种方案的收费列方程求解即可． 【详解】（1）解：方案一共收费：元， 方案二共收费：元， 答：当参加研学的总人数是时，方案一收费元，方案二收费元； （2）解：当时， 解得， 答：当参加研学的总人数是85人时，采用两种方案的收费是一样的． 4．某农产品基地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为100元；经粗加工后销售，每吨利润可达450元；经精加工后销售，每吨利润涨至750元．现收获这种蔬菜140吨，该基地加工能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案． 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成． 你认为选择哪种方案获利 【答案】方案三获利最多 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．此题中的数量关系较多，正确理解题意是解决此题的重点．根据题中方案列式进行计算即可． 【详解】解：方案一：（元），即将食品全部进行粗加工后销售， 则可获利润万元；     方案二：（元）， 即将食品尽可能多的进行精加工，没来得及加工的在市场上直接销售， 则可获利润元； 方案三：设粗加工吨食品，则精加工吨食品， 由题意可得：， 解得， ，        这时利润为：（元）， ∵， ∴方案三获利最多 ． 答：方案三获利最多 ． 5．某学校计划购买30张办公桌和若干个书架，现从甲、乙两家商场了解到：同型号的产品价格相同，办公桌每张160元，书架每个60元，甲商场的优惠政策为每买一张办公桌赠送一个书架，乙商场的优惠政策为所有商品八折出售．设该学校购买个书架． (1)若到同一家商场购买所有办公桌和书架，分别求出到甲商场和乙商场所需费用；（用含x的式子表示） (2)若只到其中一家商场购买所有办公桌和书架，求当购买多少个书架时，两家商场所需费用相同？ 【答案】(1)甲商场所需费用为：元，乙商场购买需费用为：元． (2)70个 【分析】本题主要考查用字母表示数量关系，一元一次方程的运用，理解题意，列出相应的代数式是解题关键． （1）根据数量关系列式即可； （2）根据题意将（1）中两个代数式组成方程求解即可． 【详解】（1）解：到甲商场购买所需费用为：（元）， 到乙商场购买需费用为：（元）． （2）由题意，得：， 解得：． 答：当购买70个书架时，两家商场购买所需费用相同． 题型7 水费电费出租车问题 1．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 超过17吨但不超过30吨的部分 超过30吨的部分 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求，的值． (2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的2%），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【答案】(1) (2)40吨 (3)13吨 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据收费方法，列出方程进行求解即可； （2）设小王家这个月用水吨， 根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设11月份用水吨，则10月份用水吨，分和，两种情况进行讨论，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：， ∴， 解得：； （2）解：由题意可知，元，元，元； 设小王家这个月用水吨， 由题意，得， 解得． 答：小王家这个月用水40吨． （3）解：设11月份用水吨，则10月份用水吨． ①当， 可得， 解得； ②当， 可得， 解得 (舍去)． 即小王家11月份用水13吨． 2．“水是生命之源”，我县自来水公司鼓励居民节约用水，收费按以下标准： 用水量/月 单价（元/） 不超过 超过的部分 (1)如果1月份某用户用水量为，那么该用户1月份应该缴纳水费______元． (2)某用户2月份共缴纳水费80元，那么该用户2月份用水多少？ 【答案】(1) (2)设该用户2月份用水 【分析】本题考查了有理数的乘法运算的应用，一元一次方程的应用．熟练掌握有理数的乘法运算的应用，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，根据该用户1月份应该缴纳水费为，计算求解即可； （2）设该用户2月份用水，依题意得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，该用户1月份应该缴纳水费（元）， 故答案为：； （2）解：设该用户2月份用水， 依题意得，， 解得，， ∴该用户2月份用水． 3．学科实践： 近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对，两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示． 名称 充电桩领 服务费 充电费 充电速度 充电站 直流式 免费 1.5元 每小时充电 充电站 直流式 前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元 1.2元 每小时充电 问题解决： (1)若汽车充电的总电量为， ①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为_____； ②请分别写出当和时，在充电站需要支付的费用（元）与的关系表达式． (2)出租车司机小李和小王分别在，两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少． 【答案】(1)①；②； (2)他们此次的充电量是． 【分析】（1）①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为； ②当时，最高充电时间为（小时），此时； 当时，最高充电时间大于（小时）， 解答即可． （2）根据充电结束后两人所支付的费用相同．判定他们充电都超过了4小时，故得到一元一次方程，解答即可． 本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握列代数式，解方程是解题的关键. 【详解】（1）解：①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为； 故答案为：． ②解：当时，最高充电时间为（小时），此时； 当时，最高充电时间大于（小时），此时， 综上所述，． （2）解：由题意得，充电量大于， . 解得. 答：他们此次的充电量是. 4．为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准如下表所示： 一户居民一个月用电量 电费价格（元/千瓦时） 不超过千瓦时的部分 超过千瓦时的部分 某居民五月份用电千瓦时，缴纳电费元． (1)求x和超出部分的电费单价． (2)若该户居民六月份缴纳电费元，求该户居民六月份的用电量． 【答案】(1)，元/千瓦时 (2)该户居民六月份的用电量为千瓦时 【分析】本题考查一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键； （1）根据题意列方程求解，进而求解超出部分的电费单价； （2）设该户居民六月份的用电量为千瓦时，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 所以超出部分的电费单价是 (元千瓦时)； （2）解：因为， 所以该户居民六月份的用电量超过千瓦时； 设该户居民六月份的用电量为千瓦时， 根据题意，得， 解得， 故该户居民六月份的用电量为千瓦时． 5．某出租车公司推出专车和快车两种出租车，它们的收费方式如下： 专车：千米以内收费元，超过千米的部分每千米收费元，不收其他费用； 快车： 计费项目 起步价 里程费 远途费 计费价格 元 2元/千米 1元/千米 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程千米；里程大于千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过千米的，超出的部分每千米加收元． (1)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付费用多少元？ (2)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付的费用多少元（用含的式子表示）？ (3)如果乘车路程是千米时，使用快车出行的费用比使用专车出行省4元，求的值． 【答案】(1)使用专车、快车出行各需支付费用元、元； (2)使用专车、快车出行各需支付的费用元、元； (3)的值为或 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用，根据题意正确列出代数式和一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列代数式即可； （3）分三种情况讨论：当时，不符合题意；当时，得到，求出；当时，得到，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：使用专车出行需支付费用为（元） 使用快车出行需支付费用为（元）， 答：使用专车、快车出行各需支付费用元、元； （2）解：当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元）， 答：使用专车、快车出行各需支付的费用元、元； （3）解：当时， 使用专车出行需支付的费用为元， 使用快车出行需支付的费用最少为元， 元， 不符合题意； 当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元） ， 解得； 当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元）， ， 解得， 综上所述，的值为或． 知识导图记忆 知识目标复核 1.感悟建立方程模型解决实际问题的重要性； 2.掌握一元一次方程解决实际问题的一般步骤，并能根据实际问题的意义检验所得结果是否合理； 一、选择题 1．某学校组织七年级学生共200人去参加两项科技体验活动，参加“九天揽月”活动的人数比参加“深海探幽”活动的人数的2倍少1，求参加“深海探幽”活动的人数是多少？设参加“深海探幽”活动的人数为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题目中的相等关系列出方程． 设参加“深海探幽”活动的人数为，则参加“九天揽月”活动的人数为，再根据七年级学生共200人列方程即可． 【详解】解：设参加“深海探幽”活动的人数为， ∵参加“九天揽月”活动的人数比参加“深海探幽”活动的人数的2倍少1， ∴参加“九天揽月”活动的人数为， ∴可列方程为， 故选：B． 2．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中住宿，如果每间客房住7人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就空出1间房．问有多少间客房？多少客人？设有间房，则可列出方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据“如果每间客房住7人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就空出1间房”，结合客人人数不变，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 3．古代中国的数学专著《九章算术》中有一题记载道：今有共买犬，人出五，不足九十；人出五十，适足．问人数、犬价各几何？其大意是：现共同买狗，每人出5钱，不足90钱；每人出50钱，钱数刚好．问人数、狗价各是多少？若设有人买狗，根据题意，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据“今有人合伙买狗，若每人出5钱，还差90钱；若每人出50钱，刚好够买”，结合狗价不变，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 4．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，不多不少．下列说法正确的是（   ） A．设牧童有人，所列方程为 B．设竹竿有根，所列方程为 C．竹竿有28根 D．牧童有7人 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设牧童有人，设竹竿有根，根据每人6竿，多14竿可得竹竿有根，人数有人，根据每人8竿，不多不少可得竹竿有根，人数有人，据此建立方程并解方程即可得到答案． 【详解】解：设牧童有人，所列方程为； 设竹竿有根，所列方程为， 解得，． 故选：D． 5．一件夹克衫先按成本提高标价，再以8折（标价的）出售，结果获利28元，若设这件夹克衫的成本是x元，根据题意，可得到的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，根据“售价＝成本＋利润”即可列出方程． 【详解】解：设这件夹克衫的成本是x元，根据题意，得 ． 故选：B 二、填空题 6．2025年春节期间，某商场举办促销活动并推出了两种消费券．A券：满300元减30元，B券：满500元减50元．晨晨有一张A券，萱萱有一张B券，他们都只购买了一件标价相同的商品并各自付款，若购物时尽可能使用消费券，且两人共付款950元，则所购商品的标价是 元． 【答案】490或515 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键．设所购商品的标价是x元，然后根据两人共付款950元的等量关系，分所购商品的标价小于500元和大于等于500元两种情况，分别列出方程求解即可． 【详解】解：设所购商品的标价是x元，则： ①所购商品的标价小于500元， ， 解得； ②所购商品的标价大于等于500元， ， 解得：． 故所购商品的标价是490或515元． 故答案为：490或515． 7．我国《购车税法》规定：汽车购置税税率为裸车价的．一辆汽车的裸车价为元，买这辆汽车要付( )元的购置税．李叔叔买了一辆这样的车一共付了15.4万元，这辆车的裸车价是( )万元． 【答案】 14 【分析】本题考查了百分数的意义和用字母表示数的方法，购置税税率为（裸车价的），用裸车的价格乘就是需要付的购置税；买一辆这样的车一共付了15.4万元，是裸车的，求裸车价，用除法计算，要熟练掌握． 【详解】解：（元）， （万元）， 答：买这辆汽车要付元的购置税，李叔叔买了一辆这样的车一共付了15.4万元，这辆车的裸车价是14万元． 故答案为：；14． 8．某车间有30名工人，平均每人每天可制作5个茶壶或15个茶杯．已知1个茶壶与6个茶杯配成一套，如果要使每天制作的茶壶和茶杯刚好配套，那么应该安排多少名工人制作茶壶？设安排名工人制作茶壶，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设安排名工人制作茶壶，则安排名工人制作茶杯，根据1个茶壶与6个茶杯配成一套，可得出关于x的一元一次方程，即可得出结论． 【详解】解：设安排名工人制作茶壶，则安排名工人制作茶杯， 根据题意得： ， 故答案为：． 9．一项工程，甲队独立完成需24天，乙队独立完成需30天，甲、乙两队合作若干天后，甲队继续做了6天完成，则乙队做了 天． 【答案】10 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，把工作总量看做单位“1”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，设乙队做了x天．分别求出甲、乙的工作总量，二者的工作总量之和为1，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设乙队做了x天． 根据题意，得 解得， ∴乙队做了了10天． 故答案为：10． 10．某班级为丰富学生课余生活，为学生准备了音乐剧《流苏雪》的入场券，已知若每名学生分3张，则少28张；若每名学生分2张，则余22张入场券，这个班的学生人数为 人． 【答案】50 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这个班的学生人数为x人，根据每名学生分3张可得入场券有张，根据每名学生分2张，则余22张入场券可得入场券有张，根据入场券数量不变建立方程求解即可． 【详解】解：设这个班的学生人数为x人， 由题意得，， 解得， ∴这个班的学生人数为50人， 故答案为：50． 三、解答题 11．人工智能已经成为当今社会发展的重要驱动力，合理使用人工智能可以大幅度提升工作效率．一家公司开发了甲、乙两款AI模型．为了提高效率，实验中学同时使用这两款模型处理一批数据，甲模型工作了2小时，乙模型工作了3小时，一共处理了255GB数据．已知乙模型每小时处理的数据比甲模型少15GB．甲模型和乙模型每小时分别处理多少GB的数据？ 【答案】甲模型每小时处理60GB的数据，乙模型每小时处理45GB的数据 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设甲模型每小时处理的数据，则乙模型每小时处理的数据．甲模型工作了2小时，乙模型工作了3小时，一共处理了255GB数据．据此列方程并解方程即可． 【详解】解：设甲模型每小时处理的数据，则乙模型每小时处理的数据． 由题意，得， 解得， （）， 答：甲模型每小时处理60的数据，乙模型每小时处理45的数据． 12．一家商店因换季将某种服装打折销售．如果每件服装按标价的5折出售，将亏本30元；如果按标价的8折出售，将盈利60元． (1)每件服装的标价是多少元？ (2)打几折销售能恰好保证利润率为？ 【答案】(1)每件服装的标价是300元 (2)9折 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）设每件服装的标价是元，根据成本相同，列出方程即可； （2）设打折销售能恰好保证利润率为，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设每件服装的标价是元，根据题意得：， 解得，经检验，符合题意． 每件服装的标价是300元； （2）设打折销售能恰好保证利润率为， 根据题意得：， 解得，经检验，符合题意． 答：打9折销售能恰好保证利润率为． 13．为了满足学生的物质需求，小卖部准备购进甲、乙两种绿色袋装食品，若购买袋甲和袋乙共需要元，其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如表： (1)甲的进价______元，乙的进价______元； (2)小卖部第一次购进的甲、乙两种绿色袋装食品共袋，全部售完后总利润（利润=售价-进价）为元，求小卖部甲、乙两种食品分别购进多少袋？ (3)小卖部第二次购进了与第一次一样多的甲、乙两种食品，由于两种食品进价比第一次优惠，小卖部准备对甲种袋装食品进行打折出售，让利于学生，乙种袋装食品价格不变，全部售完后总利润比上次还多元，求甲商品打了几折？ 甲 乙 进价（元/袋） 售价（元/袋） 【答案】(1)； (2)小卖部本次购进甲种食品袋，乙种食品袋 (3)甲商品打了折 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）根据“购买袋甲和袋乙共需要元”列方程，解方程即可求解； （2）设甲种绿色袋装食品购进袋，则乙种绿色袋装食品购进袋，由全部售完后总利润（利润售价进价）为元可列方程，解方程结可求解； （3）设甲种绿色袋装食品打了折，分别求解袋的进价和售价，根据袋的利润列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题得：依题意得：， 解得， （元）， 答：甲种食品的进价是元袋、乙种食品的进价是元袋． 故答案为：，； （2）设小卖部本次购进甲种食品袋，乙种食品袋， 由题意得：， 解得， 则． 答：小卖部本次购进甲种食品袋，乙种食品袋； （3）解：设甲商品打了折，则由题意得： ． 解得， 答：甲商品打了折． 14．暑假期间，某校组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50人时，研学社给出两种优惠方案（只选其中一种方案）： 方案一：研学团队先交1600元后，每人再收费320元； 方案二：其中5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当两种方案的收费相同时，求该校参加研学的总人数． 【答案】(1)当参加研学的总人数是时，方案一收费元，方案二收费元 (2)85 【分析】本题考查了列代数式，以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据两种方案的优惠方法列出关于的代数式即可； （2）根据采用两种方案的收费列方程求解即可． 【详解】（1）解：方案一共收费：元， 方案二共收费：元， 答：当参加研学的总人数是时，方案一收费元，方案二收费元； （2）解：当时， 解得， 答：当参加研学的总人数是85人时，采用两种方案的收费是一样的． 15．某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨的部分 超过12吨但不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 (1)若小明家3月份用水量是15吨，则需交水费 元； (2)若小明家3月份用水a吨（其中），则应交水费 元（用含a的代数式表示）； (3)若小明家3月份交水费60元．求小明家3月份的用水量是多少吨？ 【答案】(1) (2) (3)25吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的加减和乘法混合运算，解题要先把区间划分出来，先计算出极限数值，这样有利于解题． （1）根据收费标准列式求解即可； （2）根据收费标准列式求解即可； （3）首先判断出3月份的用水量超过了18吨，设小明家3月份用水量为x吨，依题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：元， 即需交水费元； 故答案为： （2）解：根据题意得：元， 即需交水费元； 故答案为： （3）解：如果一个月用水12吨，则需水费：（元）； 如果一个月用水18吨，则需水费：（元）； ∵ ∴3月份的用水量超过了18吨． 设小明家3月份用水量为x吨，依题意可得： ， 解得：． 答：小明家3月份用水量为25吨． 16．数学活动：轮胎换位问题 随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车，大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣．如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前后轮的轮胎换位的建议． 资料显示：汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到60000千米时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到80000千米时报废． 请根据以上信息回答问题： (1)设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则安装在前轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为__________；安装在后轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为__________； (2)如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少千米时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？请求出轮胎报废时汽车行驶里程．（结果保留整数） 【答案】(1)； (2)68571千米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数除法的实际应用，正确理解题意建立方程求解是解题的关键． （1）用总磨损量除以轮胎的使用寿命（行驶里程数）即可得到答案； （2）设应在汽车行驶里程达到x千米时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废，根据交换轮胎后前轮和后轮使用寿命相同建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，安装在前轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为；安装在后轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为； （2）解：设应在汽车行驶里程达到x千米时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废， 由题意得，， 解得， ∴应在汽车行驶里程达到34286千米时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废， ∴， 答：轮胎报废时汽车行驶里程为68571千米． 17．《孙子算经》是中国古代著名的数学著作，书中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：用一根绳子去量一根木条，绳子多出4.5尺；将绳子对折后量木条，木条多出1尺．问木条的长度为多少？请你用方程的方法解决该问题． 【答案】木条的长度为尺． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识．设木条的长度为x尺，则绳子的长度为尺，根据“将绳子对折后量木条，木条多出1尺”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设木条的长度为x尺，则绳子的长度为尺， 根据题意得：， 解得：． 答：木条的长度为尺． 18．扬州雕版印刷技艺历史悠久．元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问：良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，问：快马几天追上慢马？ 【答案】20天 【分析】设快马天追上慢马，根据路程速度时间结合两马的路程相等，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设快马走天追上慢马，则此时慢马走了天， 依题意，得， 解得， 答：快马20天追上慢马． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 用一元一次方程解决问题 内容导航——预习三步曲 第一步：主动学 析教材 学知识：教材精讲精析，全方位预习 讲典例 练习题：教材习题学解题，快速掌握解题方法 练考点 强知识：三大核心考点七种常考题型精准练 第二步：用心记 串知识 识框架：学习目标复核内容掌握，思维导图助力掌握知识脉络，理清知识之间的联系 第三步：限时测 过关测 稳提升：过关检测效果好，查漏补缺练考点 知识点1：用一元一次方程解决问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 名师指点 （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 知识点2：解决方程应用常用方法： 方法1：列表法（适用于题目含有多个研究对象） 方法2：画圆形示意图（适用于题目含有多个研究对象） 方法3：画线型示意图（适用于行程问题） 方法4：柱状示意图（适用于有关价格，利润率等问题） 知识点3：方程应用的常见类型： 1．和差倍分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2．行程问题 （1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　（2）基本类型有： 　 ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第1， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第2， 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 3．工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 5．利润问题 （1） (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 6.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数。 例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 7．方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 教材习题第124页练习第2题 解题方法指导 第一步：审题，找出等量关系 第二步：设未知数，列方程 第三步：解方程 第四步：检验 第五步：写答案 【分析】 解： 设小红和爷爷跑步的速度分别为 ………………………………此处的等量关系为：小红的路程—爷爷的路程=400 解得： 答：小红跑步的速度为200m/min,爷爷的跑步速度为120m/min. 教材习题128页练习第2题 解题方法指导 有不少同学把它当成行程问题做，但是找不到速度，路程。 此题看似是一个行程问题，实际上是一个工程问题，把从南海到北海的路程看作工作总量1即可。 【分析】 解：设经过x天能够相遇。 题型1 古代数学文化问题 1．我国古代《孙子算经》记载了“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”其意思是“每3人共乘一辆车，恰好空余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”求人和车的数量． 2．我国古代数学名著《九章算术》中记载“粟米之法；粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有多少斗米？（不计损耗） 3．相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，图3，图4的幻方均满足此规律． (1)请填出图3幻方空格中的数． (2)求图4幻方中的值． 4．课本第三章《一元一次方程》的章首语里摘引了明代数学著作《算法统宗》中记录着的一个问题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为：山上有一座古寺，在这座古寺里，每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗，问：寺里有多少个和尚？ 请解答这个中国古代数学问题． 5．《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫．问织几何？” 译文：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？请解答上述问题． 题型2 行程问题 1．随着全民健身的理念逐渐深入人心，跑步作为一项简单易行，老少皆宜的运动，成为许多人日常锻炼的首选．周末，小聪和小明准备去迎泽大街进行跑步活动．已知迎泽大桥与五一广场之间的距离为千米．小聪从迎泽大桥出发，以10千米/时的速度向五一广场方向跑步；小明从五一广场出发，以8千米/时的速度向迎泽大桥方向跑步．两人同时出发，相向而行． (1)两人出发后多长时间相遇？ (2)若小聪在出发后5分钟发现忘记带水壶，于是停下来休息2分钟后以原速度返回迎泽大桥取水壶，随后再次以原速度向五一广场方向跑步，求两人出发后多长时间相遇？ 2．如图，甲、乙两位同学在长方形的场地上绕着四周跑步，甲沿着方向循环跑步，同时乙沿着方向循环跑步，米，米，若甲速度为2米/秒，乙速度3米/秒． (1)设经过的时间为秒，则用含的代数式表示甲的路程为________米； (2)当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间为多少秒？请在图中用圆点标出相遇点的位置． (3)若甲改为沿着的方向循环跑步，而乙仍按原来的方向跑步，两人的速度不变，求经过多少秒，乙第一次追上甲？请在图中用圆点标出追及点的位置并直接写出、两点间的距离． 3．列一元一次方程解应用题． 在一次体育测试中，小红同学在进行女子800米测试时，先以4米/秒的平均速度跑了大部分路程，之后以5米/秒的平均速度逐渐冲刺到达终点，成绩为3分零12秒．问小红在冲刺阶段用了多少秒？ 4．列方程解应用题 小华一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路．走普通公路比高速公路的路程多60公里，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百公里耗电20度，在高速公路上行驶比普通公路上行驶平均每百公里耗电增加，该车选择的充电站充电综合电费均为元/度．最终发现走普通公路的电费比高速公路的电费少15元，求返回时所走高速公路的路程． 5．小亮和小红课间去校园操场锻炼，两人沿环形跑道跑步，每次总是小红跑完圈时，小亮跑完圈．一天两人同时同地出发，反向而跑，小亮最后发现两人第一次相遇用时． (1)求两人的速度． (2)若两人同时同地沿该跑道同向跑，则经过多长时间两人第一次相遇？ (3)一天，小亮与小红约定在此操场进行赛跑，等小亮完成全程的时，原地停留后以原来的速度开始匀速追赶小红，在此过程中，小红始终保持速度不变，小亮能否在终点前追上小红？如果能，求追上时距离终点还有多少；如果不能，请说明理由． 题型3 配套问题 1．在劳技课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．该班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)该班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 2．太阳镜，也称遮阳镜，在光线较强的地方佩戴太阳镜可以减轻强光对眼睛的刺激．一个太阳镜由两个镜片和一个镜架组成．某工厂现共有36名工人，平均每人每天生产70个镜架或100个镜片．应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片恰好配套？ 3．某车间有名工人，每人每天可加工甲种零件个或乙种零件个．在这名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件． (1)如果某产品要求甲种零件与乙种零件每天生产的个数按照配比，那么应该安排几名工人加工甲种零件，几名工人加工乙种零件？ (2)已知每加工一个甲种零件可获利元，每加工一个乙种零件可获利元．若此车间某天一共获利元，求这一天有几名工人加工甲种零件． 4．某生产线共有60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？ 5．制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)家具公司欲将制作餐桌全部出售，一张餐桌可获利，全部出售后销售额为144000元．求每张餐桌的进价是多少？ 题型4 工程问题 1．黄茅海跨海通道连接珠海市和江门市，是港珠澳大桥西延的关键通道，黄茅海大桥建设过程中，有甲、乙两个工程队参与其中，甲、乙两个工程队一天共铺设桥梁构件80件，甲工程队施工3天比乙工程队施工2天多铺设桥梁构件30件，问甲、乙工程队每天各铺设桥梁构件多少件？ 2．甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知该段隧道长度为600米，甲工程队每天挖掘的长度是乙工程队每天挖掘长度的倍，甲、乙两工程队合作4天完成该工程的． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米． (2)若甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好94万元．已知甲工程队每天的挖掘费用为5万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，求甲工程队单独挖掘的天数． 3．市中区欲将四方块打造成内江的“太古里”，现一期工程已基本完工，即将进入道路施工阶段．该工程由甲队单独完成需要24天，由乙队单独完成需要16天．甲、乙两队合作施工一段时间后，由于乙队另有任务离开，剩下的工程由甲队单独施工完成．甲队单独施工完成剩余工程的时间比两队合作施工的时间少4天． (1)求甲、乙两队合作施工的时间． (2)施工完成后，两队共获得工程款30万元，若按每队所完成的工程量进行分配，甲、乙两队各获得工程款多少万元？ 4．西安拥有丰富的历史文化遗产和深厚的文化底蕴，也成为汉服文化的重要传播地和展示窗口．某制衣厂现有一批汉服订单需交付，汉服店要求6天内完成．若工厂安排10位工人缝制，则6天后还有90套汉服未缝制；若安排14位工人缝制，则恰好提前一天完成任务．假设每位工人的工作效率相同，问每位工人每天可以缝制多少套汉服． 5．为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座小型光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，若由乙工程队单独施工需要6周． (1)若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？ (2)若由甲、乙两工程队先合作施工，剩下的由乙工程队单独完成，恰好用了4周完成建设任务，求甲工程队施工了几周？ 题型5 购物问题 1．博鳌亚洲论坛期间，某纪念品商店用1800元购进A、B两种纪念品共100件，A种纪念品的进价为每件20元，B种纪念品的进价为每件10元，求购进A、B两种纪念品各多少件？ 2．列方程解决下列问题： 年，新能源汽车市场竞争异常激烈，某新能源汽车品牌生产厂为抢占市场份额，提高销售量，对经销商采取销售奖励活动．某经销商在新奖励办法出台前一个月共售出该品牌汽车的型和型共台，新奖励办法出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共台，其中型汽车和型汽车的销售量分别比新奖励办法出台前一个月增长和． (1)在新办法出台后的第一个月，该经销商销售的型汽车和型汽车分别为多少台？ (2)若型汽车每台售价为万元，型汽车每台售价为万元．新奖励办法是：每销售一台型汽车按每台汽车售价的给予奖励，每销售一台型汽车按每台汽车售价的给予奖励．新奖励办法出台后的第二个月，型汽车的销售量比出台后的第一个月增加了；而型汽车受到某问题零件召回的影响，销售量比出台后的第一个月减少了，新奖励办法出台后的第二个月，该经销商共获得的奖励金额万元，求的值． 3．的出现，不仅为我国人工智能的发展注入新的活力，更让全世界见证了我国在领域的卓越创新与突破．某人工智能研发公司要购进一种芯片，他们购买的这种芯片价格是：商家按成本提价后标价，再打八五折卖给他们．结果商家每片这种芯片获利元，求这种芯片的标价． 4．已知某商店有两件进价不同的运动衫都卖了150元，其中一件盈利，另一件亏损，在这次买卖中这家商店是亏了还是赚了？亏了（或赚了）多少钱？ 5．在家电以旧换新的政策下，购买一台节能家电的实际费用（商场的实际售价旧家电的折合价）．张强借此政策为自己的婚房添加一台节能电视机，他与销售员协商后，电视机的实际售价为标价的九折，张强的旧电视折合200元．经计算，张强发现自己实际费用比这台电视机按标价出售便宜了．求这台电视机的标价是多少元． 题型6 方案选择问题 1．根据下面的两种移动电话计费方式，考虑下列问题： 方式一 方式二 月租费 30元／月 0 本地通话费 0.3元／分钟 0.4元／分钟 (1)一个月内在本地通话200分钟，按方式一需交费多少元？按方式二呢？ (2)本地累计通话时间为多少分钟时，两种计费方式收费一样多？ 2．甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案，在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按收费，在乙商场累计购物超过100元后，超过100元的部分按收费．设顾客累计购物金额为x元 (1)用含x的式子分别表示出顾客在甲、乙两商场购物的花费； (2)顾客到哪家商场购物花费少？ 3．暑假期间，某校组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50人时，研学社给出两种优惠方案（只选其中一种方案）： 方案一：研学团队先交1600元后，每人再收费320元； 方案二：其中5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当两种方案的收费相同时，求该校参加研学的总人数． 4．某农产品基地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为100元；经粗加工后销售，每吨利润可达450元；经精加工后销售，每吨利润涨至750元．现收获这种蔬菜140吨，该基地加工能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案． 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成． 你认为选择哪种方案获利 5．某学校计划购买30张办公桌和若干个书架，现从甲、乙两家商场了解到：同型号的产品价格相同，办公桌每张160元，书架每个60元，甲商场的优惠政策为每买一张办公桌赠送一个书架，乙商场的优惠政策为所有商品八折出售．设该学校购买个书架． (1)若到同一家商场购买所有办公桌和书架，分别求出到甲商场和乙商场所需费用；（用含x的式子表示） (2)若只到其中一家商场购买所有办公桌和书架，求当购买多少个书架时，两家商场所需费用相同？ 题型7 水费电费出租车问题 1．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 超过17吨但不超过30吨的部分 超过30吨的部分 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求，的值． (2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的2%），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 2．“水是生命之源”，我县自来水公司鼓励居民节约用水，收费按以下标准： 用水量/月 单价（元/） 不超过 超过的部分 (1)如果1月份某用户用水量为，那么该用户1月份应该缴纳水费______元． (2)某用户2月份共缴纳水费80元，那么该用户2月份用水多少？ 3．学科实践： 近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对，两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示． 名称 充电桩领 服务费 充电费 充电速度 充电站 直流式 免费 1.5元 每小时充电 充电站 直流式 前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元 1.2元 每小时充电 问题解决： (1)若汽车充电的总电量为， ①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为_____； ②请分别写出当和时，在充电站需要支付的费用（元）与的关系表达式． (2)出租车司机小李和小王分别在，两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少． 4．为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准如下表所示： 一户居民一个月用电量 电费价格（元/千瓦时） 不超过千瓦时的部分 超过千瓦时的部分 某居民五月份用电千瓦时，缴纳电费元． (1)求x和超出部分的电费单价． (2)若该户居民六月份缴纳电费元，求该户居民六月份的用电量． 5．某出租车公司推出专车和快车两种出租车，它们的收费方式如下： 专车：千米以内收费元，超过千米的部分每千米收费元，不收其他费用； 快车： 计费项目 起步价 里程费 远途费 计费价格 元 2元/千米 1元/千米 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程千米；里程大于千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过千米的，超出的部分每千米加收元． (1)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付费用多少元？ (2)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付的费用多少元（用含的式子表示）？ (3)如果乘车路程是千米时，使用快车出行的费用比使用专车出行省4元，求的值． 知识导图记忆 知识目标复核 1.感悟建立方程模型解决实际问题的重要性； 2.掌握一元一次方程解决实际问题的一般步骤，并能根据实际问题的意义检验所得结果是否合理； 一、选择题 1．某学校组织七年级学生共200人去参加两项科技体验活动，参加“九天揽月”活动的人数比参加“深海探幽”活动的人数的2倍少1，求参加“深海探幽”活动的人数是多少？设参加“深海探幽”活动的人数为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中住宿，如果每间客房住7人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就空出1间房．问有多少间客房？多少客人？设有间房，则可列出方程是（    ） A． B． C． D． 3．古代中国的数学专著《九章算术》中有一题记载道：今有共买犬，人出五，不足九十；人出五十，适足．问人数、犬价各几何？其大意是：现共同买狗，每人出5钱，不足90钱；每人出50钱，钱数刚好．问人数、狗价各是多少？若设有人买狗，根据题意，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，不多不少．下列说法正确的是（   ） A．设牧童有人，所列方程为 B．设竹竿有根，所列方程为 C．竹竿有28根 D．牧童有7人 5．一件夹克衫先按成本提高标价，再以8折（标价的）出售，结果获利28元，若设这件夹克衫的成本是x元，根据题意，可得到的方程是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．2025年春节期间，某商场举办促销活动并推出了两种消费券．A券：满300元减30元，B券：满500元减50元．晨晨有一张A券，萱萱有一张B券，他们都只购买了一件标价相同的商品并各自付款，若购物时尽可能使用消费券，且两人共付款950元，则所购商品的标价是 元． 7．我国《购车税法》规定：汽车购置税税率为裸车价的．一辆汽车的裸车价为元，买这辆汽车要付( )元的购置税．李叔叔买了一辆这样的车一共付了15.4万元，这辆车的裸车价是( )万元． 8．某车间有30名工人，平均每人每天可制作5个茶壶或15个茶杯．已知1个茶壶与6个茶杯配成一套，如果要使每天制作的茶壶和茶杯刚好配套，那么应该安排多少名工人制作茶壶？设安排名工人制作茶壶，则可列方程 ． 9．一项工程，甲队独立完成需24天，乙队独立完成需30天，甲、乙两队合作若干天后，甲队继续做了6天完成，则乙队做了 天． 10．某班级为丰富学生课余生活，为学生准备了音乐剧《流苏雪》的入场券，已知若每名学生分3张，则少28张；若每名学生分2张，则余22张入场券，这个班的学生人数为 人． 三、解答题 11．人工智能已经成为当今社会发展的重要驱动力，合理使用人工智能可以大幅度提升工作效率．一家公司开发了甲、乙两款AI模型．为了提高效率，实验中学同时使用这两款模型处理一批数据，甲模型工作了2小时，乙模型工作了3小时，一共处理了255GB数据．已知乙模型每小时处理的数据比甲模型少15GB．甲模型和乙模型每小时分别处理多少GB的数据？ 12．一家商店因换季将某种服装打折销售．如果每件服装按标价的5折出售，将亏本30元；如果按标价的8折出售，将盈利60元． (1)每件服装的标价是多少元？ (2)打几折销售能恰好保证利润率为？ 13．为了满足学生的物质需求，小卖部准备购进甲、乙两种绿色袋装食品，若购买袋甲和袋乙共需要元，其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如表： (1)甲的进价______元，乙的进价______元； (2)小卖部第一次购进的甲、乙两种绿色袋装食品共袋，全部售完后总利润（利润=售价-进价）为元，求小卖部甲、乙两种食品分别购进多少袋？ (3)小卖部第二次购进了与第一次一样多的甲、乙两种食品，由于两种食品进价比第一次优惠，小卖部准备对甲种袋装食品进行打折出售，让利于学生，乙种袋装食品价格不变，全部售完后总利润比上次还多元，求甲商品打了几折？ 甲 乙 进价（元/袋） 售价（元/袋） 14．暑假期间，某校组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50人时，研学社给出两种优惠方案（只选其中一种方案）： 方案一：研学团队先交1600元后，每人再收费320元； 方案二：其中5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当两种方案的收费相同时，求该校参加研学的总人数． 15．某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨的部分 超过12吨但不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 (1)若小明家3月份用水量是15吨，则需交水费 元； (2)若小明家3月份用水a吨（其中），则应交水费 元（用含a的代数式表示）； (3)若小明家3月份交水费60元．求小明家3月份的用水量是多少吨？ 16．数学活动：轮胎换位问题 随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车，大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣．如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前后轮的轮胎换位的建议． 资料显示：汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到60000千米时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到80000千米时报废． 请根据以上信息回答问题： (1)设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则安装在前轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为__________；安装在后轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为__________； (2)如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少千米时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？请求出轮胎报废时汽车行驶里程．（结果保留整数） 17．《孙子算经》是中国古代著名的数学著作，书中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：用一根绳子去量一根木条，绳子多出4.5尺；将绳子对折后量木条，木条多出1尺．问木条的长度为多少？请你用方程的方法解决该问题． 18．扬州雕版印刷技艺历史悠久．元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问：良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，问：快马几天追上慢马？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$