第11讲 一元一次方程的应用 （知识清单+13大题型+好题必刷）核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学（沪科版2024）

第11讲 一元一次方程的应用 （知识清单+13大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 配套问题(一元一次方程的应用) 题型二 工程问题(一元一次方程的应用) 题型三 销售盈亏(一元一次方程的应用) 题型四 比赛积分(一元一次方程的应用) 题型五 方案选择(一元一次方程的应用) 题型六 数字问题(一元一次方程的应用) 题型七 几何问题(一元一次方程的应用) 题型八 动点问题（一元一次方程的应用） 题型九 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 题型十 行程问题(一元一次方程的应用) 题型十一 日历问题(一元一次方程的应用) 题型十二 古代问题(一元一次方程的应用) 题型十三 其他问题(一元一次方程的应用) 知识清单 知识点1．由实际问题抽象出一元一次方程 审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程． （1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程． （2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程． 知识点2．一元一次方程的应用 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 题型练习 【题型一】配套问题(一元一次方程的应用) 【例1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）某口罩厂有60名工人，每人每天可以生产400个口罩面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）某景区定制一批文创用品，要求每套文创用品中包括2个书签和1个冰箱贴．已知生产厂家共有70位工人，每位工人每天可生产15个书签，或生产10个冰箱贴．问厂家如何安排工人才能使得每天生产的书签和冰箱贴刚好配套？若设安排x位工人生产书签，则根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）某车间有40名工人，某月接到订单，要求加工甲、乙两种零件，每人每天可以生产10个甲种零件或5个乙种零件，已知1个甲种零件和2个乙种零件可以组装成一个成品．为使每天生产的甲、乙两种零件刚好配套，应各安排多少人生产甲、乙两种零件？ 3．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）巢湖某工厂主要生产各种样式的包装盒，现收到一批糖果盒的订单，主管要安排工人即刻生产．已知该工厂共有84名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少36人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底110个． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 【题型二】工程问题(一元一次方程的应用) 【例2】（23-24七年级上·安徽淮南·期末）某工程，甲独做需12天完成，乙独做需8天完成，该工程要在规定时间内完成，现由甲先做2天，乙再参与合作，正好如期完成，求完成这项工程规定的时间．设完成此项工程用了天，则下列方程正确的是 (   ) A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）某件手工制品，甲单独做需1个小时完成，乙单独做需个小时完成．若甲先做20分钟，然后甲、乙合作完成了此手工制品，设乙做了x个小时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）整理一批图书，由一个人做要30h完成．现计划由一部分人先做1h，然后增加6人与他们一起做3h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排 人工作． 3．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）甲、乙两公司承包了一项民生工程，甲公司单独完成需要40天，乙公司单独完成需要20天，甲、乙公司先共同合作5天后，剩下的工程由甲公司完成，则比甲公司单独完成提前了几天？ 【题型三】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【例3】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）超市里为了促销某种商品，将其价格先提高，并在此基础上执行第二件半价，某顾客购买了两件该商品，经过计算实际到手价格平均为18元/件，则该商品的原价是（   ） A．18元/件 B．19元/件 C．20元/件 D．21元/件 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）一双篮球鞋先按成本价提高标价，再以七五折（标价的）出售，结果获利40元．若设一双篮球鞋的成本价是x元，则根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）某电子商品每件的标价为元，按标价的六折销售，每件仍能获利，则这件商品每件的进价为 元； 3．（24-25七年级上·安徽六安·期末）我校微尘爱心社的同学组织了爱心义卖活动：他们用240元钱从批发市场批发了卡套和小挂件共50个，他们会把活动的盈利全部捐出，卡套和小挂件当天每个的批发价与零售价如表所示： 品名 卡套 小挂件 批发价（元/个） 6 3 零售价（元/个）） 9 6 (1)求同学们批发卡套和小挂件各多少个？ (2)如果当天卡套和小挂件共卖出25个后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天共捐出了114元． ①设打折的商品中有个卡套，则：打折售出的小挂件有 个，原价售出的小挂件有 个． ②求打折后卖出的卡套和小挂件各多少个？ 【题型四】比赛积分(一元一次方程的应用) 【例4】（23-24七年级上·安徽蚌埠·开学考试）某足球预选赛中，一共有6支队伍，其中A、B、C、D、E五个队分别比赛了5、4、3、2、1场，则F队比赛了几场？（　　） A．1场 B．2场 C．3场 D．4场 【举一反三】 1．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）利辛县某次数学竞赛共有20道题，已知做对一道得4分，做错一道或不做扣一分，某同学最后的得分是55分，则他做对（    ）道题 A．16 B．15 C．14 D．13 2． 小彬是学校的篮球队长，在一场篮球比赛中，他一人得了25分，其中罚球得了5分，他投进的2分球比3分球多5个，则他本场比赛3分球进了 个． 3．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5分，答错一题扣3分，一共20道题，小芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了76分，她做对了几题？ 【题型五】方案选择(一元一次方程的应用) 【例5】把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，图书y本，则可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．某街道居委会需印制主题为“做文明有礼北京人，垃圾分类从我做起”的宣传单，其附近两家图文社印制此种宣传单的收费标准如图所示： （1）为达到及时宣传的目的，街道居委会同时在A、B两家图文社共印制了1500张宣传单，印制费用共计179元，则街道居委会在A图文社印制了 张宣传单； （2）为扩大宣传力度，街道居委会还需要再加印5000张宣传单，在A、B两家图文社中，选择 图文社更省钱（填A或B）． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）某农产品基地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为100元；经粗加工后销售，每吨利润可达450元；经精加工后销售，每吨利润涨至750元．现收获这种蔬菜140吨，该基地加工能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案． 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成． 你认为选择哪种方案获利 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）秋高气爽之时，水果丰收之际．某水果加工厂收购了30吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在8天内全部销售或加工完毕，为此水果加工厂研制了两种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好8天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨·千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多450元，求水果加工厂到市场的距离． 【题型六】数字问题(一元一次方程的应用) 【例6】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知三个连续奇数的和为111，其中最小的奇数为（  ） A．31 B．33 C．35 D．37 【举一反三】 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）幻方最早起源于中国，在《自然科学大事年表》中，对幻方做了特别的述说：“公元前一世纪，《大戴礼》记载，中国古代有象征吉祥的河图、洛书、纵横图，即为九宫算，被认为是现代组合数学最古老的发现”．请将，，，，，，，，分别填入如图所示的幻方中，要求同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽芜湖·阶段练习）我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位妇人在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了43个野果，则在第2根绳子上的打结数是 个．    3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）探究与发现 某学校七年级数学学习小组同学，通过自主学习课本知道了：一般地，任何一个无限纯循环小数都可以写成分数（，是整数，）的形式，如以无限循环小数，，为例： 设，由……可知，……，所以．解方程，得．于是，． 设，由……可知，……，所以．解方程，得．于是，． 设，由……可知，……，所以．解方程，得．于是，． 学习小组的同学们进一步思考讨论并提出了以下问题： 课本上这种将一个无限纯循环小数写成分数的化归方式属于什么思想的运用呢？无限混循环小数可以化成分数吗？如，，，，分别可以化成什么分数呢？请你参与该学校学习小组同学们的思考，试着解决以上问题． 【题型七】几何问题(一元一次方程的应用) 【例7】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，一个长方形恰好能分割成6个较小的正方形，中间最小的正方形的边长为2，则该长方形的周长为（    ） A．86 B．88 C．90 D．96 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，三块形状完全相同的小长方形可以拼成一个大长方形．若大长方形的周长为，则大长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）一张宽为的长方形纸条有灰色和白色两面，小颖折叠该纸条得到如图所示的图形．已知图中四个灰色的梯形是一模一样的，则原来的长方形纸条长度为 ． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，矩形为“优美矩形”且图中①②③④均为正方形． (1)若最小正方形①的边长为x，则正方形②的边长为______；正方形③的边长______；为正方形④的边长为______；（用含x的代数式表示） (2)若此“优美矩形”的周长为52，求正方形④的边长． 【题型八】动点问题（一元一次方程的应用） 【例8】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，在数轴上，点表示的数为，．若点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（   ） A．6 B．9 C．6或9 D．9或12 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，已知，两点在数轴上，且点表示的数为． （1）若将这条数轴对折，折痕经过点，点刚好与表示的点重合，则点表示的数是 ． （2）在（1）的条件下，已知动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当点到点与点到点的距离之和是个单位长度时，运动的时间为 ． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，点与点之间的距离记作，已知，比大16，则： （1）的值是 ． （2）若点以每秒1个单位的速度从点出发，沿数轴向右运动，同时点以每秒3个单位的速度从点出发，沿数轴向左运动，设运动时间是秒，当点与点之间的距离是8时，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）将两个完全相同的长方形，按如图所示方式放置在数轴上． (1)若点在线段上，且，求点在数轴上表示的数． (2)若长方形，分别以每秒2个单位长度和1个单位长度在数轴上相向而行，设两个长方形重叠部分的面积，移动时间为秒． ①在整个运动过程中，的最大值是多少？持续时间为多少秒？ ②当是长方形的面积的一半时，求的值． 【题型九】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【例9】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）安徽某中学开展校运动会，参加跳高的学生是参加立定跳远的学生的2倍少3人，已知参与这两项运动的人数共86人．设参加立定跳远的学生有人，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（七年级上·安徽合肥·期末）某校甲、乙、丙三个班为“希望工程”捐款，甲班捐的钱数是另外两个班捐款总和的一半，乙班捐的钱数是另外两个班捐款总和的，丙班共捐了160元，求这三个班捐款数的总和（　　　） A．440 B．384 C．382 D．364 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）体育课上，体育老师要求男、女各站成一队，记男生队为A队，女生队为B队． （1）设A队有人，B队有人，从A队调人到B队，则此时B队比队多 人；（结果要化简） （2）已知A队有32人，B队有28人．从A队调人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）在清冰雪工作中，某武警部队出动兵力600人参加三条街路的清冰雪劳动，其中街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加街路和街路的清冰雪劳动，且参加街路清冰雪的人数是参加街路的清冰雪人数的． (1)求参加街路的清冰雪劳动有多少人？ (2)在街路清冰雪过程中，因有其它工作需要，调走了此处的兵力后，附近的居民主动参加劳动，此时在街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人，求参加清冰雪劳动的居民有多少人？ 【题型十】行程问题(一元一次方程的应用) 【例10】（22-23七年级上·安徽亳州·期末）某铁路桥全长约10000米，现有一列高铁从开始上桥到完全过桥共用206秒，整列高铁在桥上的时间是194秒．那么这列高铁的车长为（　　） A．200米 B．240米 C．280米 D．300米 【举一反三】 1．（22-23七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第2023次相遇在哪条边上？（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．如果慢马先走天． （1）快马 天可以追上慢马； （2）当两者相距里时，快马走了 天． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）一辆小轿车和一辆货车分别沿同一条路线从甲地驶往乙地，货车的速度为，小轿车的速度为，货车先出发后小轿车再出发． (1)小轿车出发多长时间后追上货车？ (2)在两车的行驶过程中，小轿车行驶多长时间后与货车相距？ 【题型十一】日历问题(一元一次方程的应用) 【例11】．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）小明在某月的日历上圈出三个数，并求出它们的和是，则这三个数在日历中的位置不可能的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）如图，表中给出的是某月的月历．任意选取“”型框中的7个数（如阴影部分所示），这7个数的和不可能是（    ） A．42 B．70 C．98 D．147 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）在某月的日历上用长方形圈到四个数（如图），如果，那么的值为 ． a b c d 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图是2024年12月的月历，观察月历，解答下列问题： (1)小宝在该月外出旅行三天，三天日期之和是，小宝是星期几出发的？ (2)“十”字型阴影图形覆盖其中五个方格，设十字型阴影覆盖的最小数字为，五个数字之和为，的值能否等于？若能，求出值；若不能，请说明理由． 【题型十二】古代问题(一元一次方程的应用) 【例12】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤两，故有“半斤八两”这个成语）．设总共有个人，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）将这9个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”．下图展示了“洛书”中对应的部分数值，则 ． 3．（2023·安徽六安·模拟预测）我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，问清、醐酒各几何？”大意：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醐酒价值2斗谷子，拿20斗谷子共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？ 【题型十三】其他问题(一元一次方程的应用) 【例13】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）某班级劳动时，将全班同学分成小组，若每小组7人，则余下3人；若每小组8人，则有一组少4人．按下列哪个选项重新分组，能使每组人数相同？（   ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业，某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表： 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元） A 5 8 B 2 6 已知农作物种植人员共26位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共50万元，问A种农作物的种植面积为 公顷． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）某景点今年接待市民游客105.3万人，比去年同期增长了，求去年该景点接待市民游客人数．设去年该景点接待市民游客x万人，则可列方程为 ． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 物理常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度温水的体积×温水升高的温度． (1)甲同学用空杯先接了温水后再接 s的开水，此时温水和开水混合后共有的水； (2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间； (3)丙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是，求这杯水混合后的水温． 好题必刷 一、单选题 1．一个数在数轴上所对应的点向左移4个单位长度后，得到它的相反数对应的点，则这个数是（    ） A．4 B．2 C． D． 2．一个长方形的周长为，若这个长方形的长减少，宽增加，就可成为一个正方形．设长方形的长为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．某位同学连续答题40道，答对一题得5分，答错一题扣2分（不答同样算作答错），最终该同学获得144分，若这位同学所列的方程是，则表示的意义是（    ） A．答对题的数目 B．答错题的数目 C．答对题目总得分 D．答错题目总扣分 4．某学校在元旦联欢会活动中，设座位有x排，若每排坐25人，则有8人无座位；若每排坐29人，则空24个座位，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．现有一把无刻度的直尺和四块一样的矩形纸片，已知纸片的长度是其宽度的2倍，将纸片和直尺按如图所示的方式摆放在桌面上，则根据图中给出的数据可知直尺的长度是（     ） A．18cm B．17cm C．16cm D．15cm 6．某次篮球积分赛，每队均比赛14场，胜一场记2分，平一场记1分，负一场记0分．某中学篮球队的胜场数是负场数的3倍，这个足球队在这次积分赛中积分可能为（    ） A．12 B．17 C．20 D．22 7．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了这样一个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何.”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94 只脚，问笼中各有多少只鸡和兔.设鸡有x 只，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．根据如图中两人的对话纪录，求出哥哥买游戏机的预算为多少元？（   ） A．3800 B．4800 C．5800 D．6800 9．把9个数填入3×3的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中a的值为（    ）                A．2 B．4 C．6 D．1 10．如图，长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，P，Q两动点同时出发，分别沿着长方形的边长运动，P点从B点出发，顺时针旋转一圈，到达B点后停止运动，Q点的运动路线为B→C→D，P，Q点的运动速度分别为2cm/秒，1cm/秒，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设两动点运动的时间为t秒，要使△BDP和△ACQ的面积相等，满足条件的t值的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．比的3倍大5的数等于a的2倍，依题意列出的方程是 ． 12．某数的3倍加上4等于10，设某数为x，那么可列出方程为 ． 13．一个数与2的差的一半等于这个数的三分之一与1的和，则这个数是 ． 14．一个两位数，十位上的数比个位上的数大5，个位上的数与十位上的数的和为9，这个两位数是 ． 15．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果1托为5尺，那么索长为 尺．（其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺．） 16．某工厂生产一批零件，计划20天完成，若每天多生产5个，则16天完成且还多生产8个．设原计划每天生产x个，根据题意可列方程为 ． 17．我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，银子共有 两．（注：明代时1斤=16两） 18．今年9月10日赶上了本世纪第一个“教师节”和“中秋节”喜相逢．为迎接“双节”的到来，某便利店购进桃片、米花糖、麻花三种特产进行销售．其中每包桃片的成本是麻花的2倍，销售每包桃片、米花糖、麻花的利润率分别是20%、30%、20%．该便利店9月10日当天销售桃片、米花糖、麻花三种特产的数量之比为3：5：4，三种特产的总利润率是25%，若每包米花糖的成本是m元，则每包麻花的成本为 元． 三、解答题 19．某县准备用灯饰美化广场，需用A､B两种不同类型的灯笼共200个，且B种灯笼的个数是A种灯笼的，求A，B两种灯笼各需多少个． 20．为大力发展现代农业，某省2025年下达农田建设补助资金为14.5亿元，与2024年相比增长率为，则该省2025年下达的农田建设补助资金比2024年增加了多少亿元？ 21．父子二人今年的年龄和为44岁，已知两年前父亲的年龄是儿子的4倍，求今年儿子的年龄． 22．某文艺团体为“环保行动”募捐组织了一场义演，共有1000张票，其中成人票8元/人，学生票5元/人． (1)已知1000张票全部售出后筹得了票款6920元，则成人票与学生票各售出多少张？ (2)若票价和总票数不变，则所得的票款可能是7290元吗？为什么？ 23．一个水池有两个管可注水，若单开甲管，小时注满；若单开乙管，小时注满． (1)由甲管先开若干小时，再由乙管接替甲管工作，甲、乙两管共用小时注满水池，问乙管开了几小时？ (2)若在水池下面安装一个排水管丙，单独开丙管小时可以将一水池的水放完，现三管齐开，几小时可将一空池注满？ 24．甲、乙两班共有98人，若从甲班调3人到乙班，那么两班人数正好相等．甲班原有多少人？ ①认真审题，弄清题意： ②找出等量关系：________； ③找未知量，设未知数：________； ④列方程：________； ⑤解方程：________； ⑥检验：将解得的未知数的值放入实际问题中进行检验； ⑦作答：答：甲班原有________人． 25．某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工． 方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售． 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成． 你认为哪种方案获利最多？为什么？ 26．已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，、之间的距离记为或，请回答问题： (1)直接写出，，的值， ， ， ． (2)设点在数轴上对应的数为，若，则 ． (3)如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点、之间，则 ； ②若，则 ； ③若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是8？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 一元一次方程的应用 （知识清单+13大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 配套问题(一元一次方程的应用) 题型二 工程问题(一元一次方程的应用) 题型三 销售盈亏(一元一次方程的应用) 题型四 比赛积分(一元一次方程的应用) 题型五 方案选择(一元一次方程的应用) 题型六 数字问题(一元一次方程的应用) 题型七 几何问题(一元一次方程的应用) 题型八 动点问题（一元一次方程的应用） 题型九 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 题型十 行程问题(一元一次方程的应用) 题型十一 日历问题(一元一次方程的应用) 题型十二 古代问题(一元一次方程的应用) 题型十三 其他问题(一元一次方程的应用) 知识清单 知识点1．由实际问题抽象出一元一次方程 审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程． （1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程． （2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程． 知识点2．一元一次方程的应用 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 题型练习 【题型一】配套问题(一元一次方程的应用) 【例1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）某口罩厂有60名工人，每人每天可以生产400个口罩面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，题目已经设出安排x名工人生产口罩面，则人生产耳绳，由一个口罩面需要配两个耳绳可知耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设安排x名工人生产口罩面，则人生产耳绳， ， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）某景区定制一批文创用品，要求每套文创用品中包括2个书签和1个冰箱贴．已知生产厂家共有70位工人，每位工人每天可生产15个书签，或生产10个冰箱贴．问厂家如何安排工人才能使得每天生产的书签和冰箱贴刚好配套？若设安排x位工人生产书签，则根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准相等关系是解题的关键．设安排x位工人生产书签，则安排位工人生产冰箱贴，根据“每套文创用品中包括2个书签和1个冰箱贴”列方程即可． 【详解】设安排x位工人生产书签，则安排位工人生产冰箱贴， 根据题意得，． 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）某车间有40名工人，某月接到订单，要求加工甲、乙两种零件，每人每天可以生产10个甲种零件或5个乙种零件，已知1个甲种零件和2个乙种零件可以组装成一个成品．为使每天生产的甲、乙两种零件刚好配套，应各安排多少人生产甲、乙两种零件？ 【答案】安排8人生产甲种零件，32人生产乙种零件 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，弄清题意 ，正确确定等量关系是解题的关键；设安排人生产甲种零件，则安排人生产乙种零件，根据“每人每天可以生产10个甲种零件或5个乙种零件，已知1个甲种零件和2个乙种零件可以组装成一个成品”，可列方程求解． 【详解】解：设安排人生产甲种零件，则安排人生产乙种零件， 根据题意列方程得：， 解得， ， 答：安排8人生产甲种零件，32人生产乙种零件． 3．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）巢湖某工厂主要生产各种样式的包装盒，现收到一批糖果盒的订单，主管要安排工人即刻生产．已知该工厂共有84名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少36人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底110个． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 【答案】(1)该工厂有男工30人，有女工54人 (2)调14名女工帮男工制作盒身，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套． 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． （1）设该工厂有男工人，则女工有人，根据“男工人数女工人数”列出方程并解答； （2）首先设设调名女工帮男工制作盒身，根据题意可得等量关系：盒身数量盒底数量，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）解：设该工厂有男工人，则女工有人， 由题意得：， 解得：， 女工：（人）， 答：该工厂有男工30人，有女工54人； （2）解：设调名女工帮男工制作盒身， 由题意得：， 解得：， 答：调14名女工帮男工制作盒身，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套． 【题型二】工程问题(一元一次方程的应用) 【例2】（23-24七年级上·安徽淮南·期末）某工程，甲独做需12天完成，乙独做需8天完成，该工程要在规定时间内完成，现由甲先做2天，乙再参与合作，正好如期完成，求完成这项工程规定的时间．设完成此项工程用了天，则下列方程正确的是 (   ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设完成此项工程用了天，根据“甲完成工作量乙完成工作量1”列出方程即可． 【详解】解：设完成此项工程用了天， 根据题意，可得． 故选：A． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）某件手工制品，甲单独做需1个小时完成，乙单独做需个小时完成．若甲先做20分钟，然后甲、乙合作完成了此手工制品，设乙做了x个小时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系式解答的关键．设工程总量为1，先求出甲的工作时间，以及甲乙的工作效率，再根据工作效率工作时间工作量列出方程即可． 【详解】解：设乙做了x个小时，则甲一共做了小时，根据题意得： ， 故选：B． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）整理一批图书，由一个人做要30h完成．现计划由一部分人先做1h，然后增加6人与他们一起做3h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排 人工作． 【答案】3 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设应先安排x人工作，根据题意得： ， 解得：， 答：应先安排3人工作． 故答案为：3． 3．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）甲、乙两公司承包了一项民生工程，甲公司单独完成需要40天，乙公司单独完成需要20天，甲、乙公司先共同合作5天后，剩下的工程由甲公司完成，则比甲公司单独完成提前了几天？ 【答案】提前了10天 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设剩下的工程由甲公司完成还需天，根据甲乙完成的工程量和为1列方程求解即可． 【详解】解：设剩下的工程由甲公司完成还需天， 由题意得，， 解得， （天）， 答：比甲公司单独完成提前了10天． 【题型三】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【例3】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）超市里为了促销某种商品，将其价格先提高，并在此基础上执行第二件半价，某顾客购买了两件该商品，经过计算实际到手价格平均为18元/件，则该商品的原价是（   ） A．18元/件 B．19元/件 C．20元/件 D．21元/件 【答案】C 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意，设该商品的原价是元/件，则提高后的价格为元/件，第二件半价的价格为元/件，根据两件商品的平均价格为18元/件，列出方程求解即可，正确地找到等量关系列出方程是解决此题的关键． 【详解】解：设该商品的原价是元/件， 由题意得，， ， ， ， 答：该商品的原价是20元/件， 故选：． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）一双篮球鞋先按成本价提高标价，再以七五折（标价的）出售，结果获利40元．若设一双篮球鞋的成本价是x元，则根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设一双篮球鞋的成本价是x元，根据一双鞋获利40元，列出方程即可． 【详解】解：设一双篮球鞋的成本价是x元，根据题意得： ． 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）某电子商品每件的标价为元，按标价的六折销售，每件仍能获利，则这件商品每件的进价为 元； 【答案】 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这种商品每件的进价为元，根据题意列出方程，然后解方程即可，读懂题意，根据题目给出的条件，由售价找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这种商品每件的进价为元， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期末）我校微尘爱心社的同学组织了爱心义卖活动：他们用240元钱从批发市场批发了卡套和小挂件共50个，他们会把活动的盈利全部捐出，卡套和小挂件当天每个的批发价与零售价如表所示： 品名 卡套 小挂件 批发价（元/个） 6 3 零售价（元/个）） 9 6 (1)求同学们批发卡套和小挂件各多少个？ (2)如果当天卡套和小挂件共卖出25个后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天共捐出了114元． ①设打折的商品中有个卡套，则：打折售出的小挂件有 个，原价售出的小挂件有 个． ②求打折后卖出的卡套和小挂件各多少个？ 【答案】(1)卡套30个，小挂件20个 (2)①，，②打折后卖出的卡套10个，小挂件15个 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用问题，正确理解题意，找出等量关系是解题的关键； （1）根据批发了卡套和小挂件共50个，设出未知数，然后根据卡套个数卡套批发价小挂件个数小挂件批发价，列出一元一次方程，计算即可； （2）设打折的商品中有个卡套，根据一共有50个，共卖出25个，则打折出售的小挂件有个，表示出打折前卖出卡套和小挂件获得的利润，然后加上打折后的即为捐出的总钱数，列方程解答； 【详解】（1）解：设批发卡套m个，则批发小挂件个， 根据题意得：， 解得：， 则（个） 答：批发卡套30个、小挂件20个； （2）解：①设打折的商品中有个卡套，则打折卖出的小挂件有个， 原价售出的小挂件有个，即个； ②根据题意得： ， 解得：， 则（个）， 答：打折后卖出的卡套10个，小挂件15个． 【题型四】比赛积分(一元一次方程的应用) 【例4】（23-24七年级上·安徽蚌埠·开学考试）某足球预选赛中，一共有6支队伍，其中A、B、C、D、E五个队分别比赛了5、4、3、2、1场，则F队比赛了几场？（　　） A．1场 B．2场 C．3场 D．4场 【答案】C 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】根据题意可知，每2个队赛一场，A赛5场，所以A和B、C、D、E、F各赛1场．由于E只赛1场，所以B没有和E比赛，所以B和A、C、D、F各赛一场，共4场．然后再进一步推断就容易了． 【详解】因为每2个队赛一场， A赛5场， 所以A和B、C、D、E、F各赛1场． 由于E只赛1场， 所以B没有和E比赛，B和A、C、D、F各赛一场，共4场． D只赛2场，根据上述，只能和A、B各赛一场，共2场． C只赛3场，C不能和D、E比赛，只能和A、B、F各赛一场，共3场． 所以F共赛3场． 故答案为：C． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）利辛县某次数学竞赛共有20道题，已知做对一道得4分，做错一道或不做扣一分，某同学最后的得分是55分，则他做对（    ）道题 A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】B 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设他做对道，则做错或不做道，根据等量关系列出方程并解方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设他做对道，则做错或不做道， 依题意得：， 解得：， 答：他做对15道题， 故选：B． 2． 小彬是学校的篮球队长，在一场篮球比赛中，他一人得了25分，其中罚球得了5分，他投进的2分球比3分球多5个，则他本场比赛3分球进了 个． 【答案】2 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用：利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为，然后用含的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．设他本场比赛3分球进了个，则2分球进了个，利用得分的和为25列方程，得到，然后解方程即可． 【详解】解：设他本场比赛3分球进了个， 根据题意得， 解得． 故他本场比赛3分球进了2个． 故答案为：2． 3．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5分，答错一题扣3分，一共20道题，小芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了76分，她做对了几题？ 【答案】她答对了17道题 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设她答对了道题，则答错道题．根据“本次竞赛中获得了76分”列出一元一次方程，解方程，即可求解．关键是根据题意找到等量关系式． 【详解】解：设她答对了道题，则答错道题． 根据题意，得 解得 答：她答对了17道题． 【题型五】方案选择(一元一次方程的应用) 【例5】把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，图书y本，则可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】设这个班有学生x人，图书y本，根据每人分3本，则剩余20本可知图书数为本，班级人数为人；根据每人分4本，则缺25本可知图书数为本，班级人数为人，由此列出方程即可． 【详解】解：设这个班有学生x人，图书y本， 由题意得，，， 故选B． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 【举一反三】 1．某街道居委会需印制主题为“做文明有礼北京人，垃圾分类从我做起”的宣传单，其附近两家图文社印制此种宣传单的收费标准如图所示： （1）为达到及时宣传的目的，街道居委会同时在A、B两家图文社共印制了1500张宣传单，印制费用共计179元，则街道居委会在A图文社印制了 张宣传单； （2）为扩大宣传力度，街道居委会还需要再加印5000张宣传单，在A、B两家图文社中，选择 图文社更省钱（填A或B）． 【答案】 800 B 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】（1）：设街道居委会在A图文社印制了张宣传单，则在B图文社印制了张宣传单，由题意知，，计算求解的值即可； （2）印制5000张宣传单，在A图文社印制需要元，在B图文社印制需要元；比较费用的大小，进而可得答案． 【详解】（1）解：设街道居委会在A图文社印制了张宣传单，则在B图文社印制了张宣传单， 由题意知，， 解得，， 故答案为：800． （2）解：由题意知，印制5000张宣传单，在A图文社印制需要元； 在B图文社印制需要元； ∵， ∴B图文社更省钱， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于审清题意，正确的列方程求解． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）某农产品基地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为100元；经粗加工后销售，每吨利润可达450元；经精加工后销售，每吨利润涨至750元．现收获这种蔬菜140吨，该基地加工能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案． 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成． 你认为选择哪种方案获利 【答案】方案三获利最多 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．此题中的数量关系较多，正确理解题意是解决此题的重点．根据题中方案列式进行计算即可． 【详解】解：方案一：（元），即将食品全部进行粗加工后销售， 则可获利润万元；     方案二：（元）， 即将食品尽可能多的进行精加工，没来得及加工的在市场上直接销售， 则可获利润元； 方案三：设粗加工吨食品，则精加工吨食品， 由题意可得：， 解得， ，        这时利润为：（元）， ∵， ∴方案三获利最多 ． 答：方案三获利最多 ． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）秋高气爽之时，水果丰收之际．某水果加工厂收购了30吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在8天内全部销售或加工完毕，为此水果加工厂研制了两种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好8天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨·千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多450元，求水果加工厂到市场的距离． 【答案】(1)方案二可使工厂所获利润最多 (2)加工厂到市场的距离为50千米 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的运用，解题的关键在于根据题意得到等量关系． （1）分别算出方案一和方案二所获利润，再进行比较即可解题； （2）设加工厂到市场的距离为y千米，根据题意建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：方案一：（万元）， 方案二：设吨制成罐头，则吨进行加工包装， 则，解得：， 获利：（万元）， ， 方案二可使工厂所获利润最多． （2）解：设加工厂到市场的距离为千米， 则， 解得：， 答：加工厂到市场的距离为50千米． 【题型六】数字问题(一元一次方程的应用) 【例6】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知三个连续奇数的和为111，其中最小的奇数为（  ） A．31 B．33 C．35 D．37 【答案】C 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设最小的奇数为n，根据“三个连续奇数的和为111”列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设最小的奇数为n，则中间的奇数为，最大的奇数为， 由题意得：， 化简得， 解得， 故选C． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）幻方最早起源于中国，在《自然科学大事年表》中，对幻方做了特别的述说：“公元前一世纪，《大戴礼》记载，中国古代有象征吉祥的河图、洛书、纵横图，即为九宫算，被认为是现代组合数学最古老的发现”．请将，，，，，，，，分别填入如图所示的幻方中，要求同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，代数式求值．设如图所示的幻方中右边的方格中的数为，根据“同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0”可得，，，求出和的值，然后代入即可求出的值． 【详解】解：设如图所示的幻方中右边的方格中的数为， ∵同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0， ∴，解得：， 又∵，将代入得：， 又∵，将代入得：， ∴． 故选：B． 2．（23-24七年级上·安徽芜湖·阶段练习）我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位妇人在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了43个野果，则在第2根绳子上的打结数是 个．    【答案】3 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列出方程，然后求解即可得出答案． 【详解】解：解：设在第2根绳子上的打结数是x个， 根据题意得：， 解得， ∴在第2根绳子上的打结数是3个， 故答案为：3． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）探究与发现 某学校七年级数学学习小组同学，通过自主学习课本知道了：一般地，任何一个无限纯循环小数都可以写成分数（，是整数，）的形式，如以无限循环小数，，为例： 设，由……可知，……，所以．解方程，得．于是，． 设，由……可知，……，所以．解方程，得．于是，． 设，由……可知，……，所以．解方程，得．于是，． 学习小组的同学们进一步思考讨论并提出了以下问题： 课本上这种将一个无限纯循环小数写成分数的化归方式属于什么思想的运用呢？无限混循环小数可以化成分数吗？如，，，，分别可以化成什么分数呢？请你参与该学校学习小组同学们的思考，试着解决以上问题． 【答案】课本上这种化归方式属于方程（巧妙设元）思想的运用；无限混循环小数可以化成分数． ；；；；． 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，仿照题干中的方法，通过方程形式，即可把无限小数化成整数形式． 【详解】解：课本上这种化归方式属于方程（巧妙设元）思想的运用；无限混循环小数可以化成分数． 设， 由……可知，……， 所以． 解方程，得． 于是，． 设， 由……可知，……， 所以． 解方程，得． 于是，． 设， 由……可知，……， 所以． 解方程，得． 于是，． 设， 由……可知，……， 所以． 解方程，得． 于是，． 设， 由……可知，……， 所以． 解方程，得． 于是，． 方法2：，则． 设，由……可知，……， 所以． 解方程，得，即． 可知，． 于是，． ，则， 设，由……可知，…… 所以． 解方程，得，即． 可知，． 于是，． ，则， 由上面解答知． 所以，． 于是，． ，则， 由上面解答知． 所以． 于是，． ，则， 设，由……，所以． 解方程，得，即． 可知，． 于是． 【题型七】几何问题(一元一次方程的应用) 【例7】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，一个长方形恰好能分割成6个较小的正方形，中间最小的正方形的边长为2，则该长方形的周长为（    ） A．86 B．88 C．90 D．96 【答案】D 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设正方形D，正方形E的边长为x，则正方形C的边长为，正方形B的边长为，正方形A的边长为，根据大长方形的对边相等，列出方程，解方程即可． 【详解】解：如图，设正方形D，正方形E的边长为x，则正方形C的边长为，正方形B的边长为，正方形A的边长为， ∴， 解得． ∴这个长方形的长为， 宽为． ∴这个长方形的周长为． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，三块形状完全相同的小长方形可以拼成一个大长方形．若大长方形的周长为，则大长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设小长方形的宽为，由图可得小长方形的长为cm，再根据大长方形的周长即可列方程求解． 【详解】解：设小长方形的宽为，由图可得小长方形的长为cm， 依题意，得：， 解得：， ∴小长方形的宽为，长为， ∴大长方形的宽为，长为， ∴大长方形的面积是； 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）一张宽为的长方形纸条有灰色和白色两面，小颖折叠该纸条得到如图所示的图形．已知图中四个灰色的梯形是一模一样的，则原来的长方形纸条长度为 ． 【答案】51 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．根据“如图摆放时的长度为”列方程求解． 【详解】解：设灰色梯形的上底为， 则， 解得：， ∴， 故答案为：51． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，矩形为“优美矩形”且图中①②③④均为正方形． (1)若最小正方形①的边长为x，则正方形②的边长为______；正方形③的边长______；为正方形④的边长为______；（用含x的代数式表示） (2)若此“优美矩形”的周长为52，求正方形④的边长． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出代数式和方程是解此题的关键． （1）根据题意，用含的代数式分别表示出正方形②③④的边长即可； （2）根据题意，建立关于的方程即可解决问题． 【详解】（1）解：∵最小正方形①的边长为x， ∴正方形②的边长为，正方形③的边长；为正方形④的边长为； （2）解：由题意可得：，， ∴， ∴， ∴正方形④的边长为． 【题型八】动点问题（一元一次方程的应用） 【例8】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，在数轴上，点表示的数为，．若点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（   ） A．6 B．9 C．6或9 D．9或12 【答案】C 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，根据题意设经过秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为，相遇前和相遇后距离为，分别列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵点表示的数为，， ∴， ∴点表示的数为， 设经过秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 当，相遇前，可得， 解得：； 当，相遇后，可得， 解得：； 综上，t的值为6或9； 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，已知，两点在数轴上，且点表示的数为． （1）若将这条数轴对折，折痕经过点，点刚好与表示的点重合，则点表示的数是 ． （2）在（1）的条件下，已知动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当点到点与点到点的距离之和是个单位长度时，运动的时间为 ． 【答案】 秒 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查数轴上的两点距离及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点距离及行程问题是解题的关键． （1）先求出的点到点的距离，再根据的点到点的距离和点到点的距离相等，即可得出点表示的数． （2）设点运动的时间为秒，，即可得出点在点的右侧，即可得到点到点和点的距离，两者之和等于，解一元一次方程即可． 【详解】解：（1）∵点表示的数为， ∴的点到点的距离为， ∴在点右侧的点表示的数是， （2）设点运动的时间为秒， 则点运动的路程为， ∵点表示的数为，点表示的数是， ∴点到点距离为 ∴点在点的右侧， ∴点到点的距离为，点到点的距离 ∴当点到点与点到点的距离之和是个单位长度时，可得：， 解得：秒 ∴点运动的时间为秒． 故答案为：，秒． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，点与点之间的距离记作，已知，比大16，则： （1）的值是 ． （2）若点以每秒1个单位的速度从点出发，沿数轴向右运动，同时点以每秒3个单位的速度从点出发，沿数轴向左运动，设运动时间是秒，当点与点之间的距离是8时，则的值为 ． 【答案】 16 6或2 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值方程、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查数轴上两点间的距离、数轴上的动点问题、解绝对值方程，理解数轴上的两点间的距离是解答的关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）先求得点B表示的数，再用t表示出点M、N运动t秒后表示的数，再根据两点间的距离公式列方程，然后根据绝对值的意义解方程求解即可． 【详解】解：（1）∵比大16， ∴， 故答案为：16； （2）根据题意，点B表示的数为，运动t秒后，点M表示的数为，点N表示的数为， ∵点与点之间的距离是8， ∴， ∴或， 解得或， 答：当点与点之间的距离是8时，t的值为6或2， 故答案为：6或2． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）将两个完全相同的长方形，按如图所示方式放置在数轴上． (1)若点在线段上，且，求点在数轴上表示的数． (2)若长方形，分别以每秒2个单位长度和1个单位长度在数轴上相向而行，设两个长方形重叠部分的面积，移动时间为秒． ①在整个运动过程中，的最大值是多少？持续时间为多少秒？ ②当是长方形的面积的一半时，求的值． 【答案】(1)1； (2)①；秒；②或4． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离的应用，动点问题，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知条件得出，设，则，再根据列方程，求解即可得点表示的数， （2）①结合图形可得，当点和点重合时，到点和点重合时，重叠所形成的部分为长和宽均为的正方形时，面积最大，即可求出的最大值，根据，，可得持续的距离，从而列式求解即可；②本题求解时应根据当在之间时，点在之间时，根据是长方形面积一半列方程，可得结论． 【详解】（1）解：由图可得： ∴设，则， ∵ ∴， 解得：， ∵， ∴点表示的数为1． （2）解：①由图可得， ∵长方形，完全相同， ∴， ∴当点和点重合时，到点和点重合时，重叠所形成的部分为长和宽均为的正方形时，面积最大， ∴重叠所形成的部分最大面积为：， ∵，， ∴持续的距离为， ∵长方形，分别以每秒2个单位长度和1个单位长度在数轴上相向而行， ∴， 解得：， ∴最大值为，持续时间为秒． ②解：∵，， ∴长方形的面积为：， 当是长方形的面积的一半时，即面积为：， 当在之间时，如图： ∵，， ∴， ∴移动距离为 ∴， 解得： 当点在之间时，如图： 同理可得，移动距离为， ∴， 解得：， 综上可得：的值为或4． 【题型九】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【例9】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）安徽某中学开展校运动会，参加跳高的学生是参加立定跳远的学生的2倍少3人，已知参与这两项运动的人数共86人．设参加立定跳远的学生有人，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设参加立定跳远的学生有人，则参加跳高的学生有人，根据“参加跳高的学生是参加立定跳远的学生的2倍少3人，已知参与这两项运动的人数共86人”即可求解．解题的关键是找到正确的等量关系． 【详解】解：设参加立定跳远的学生有人，则参加跳高的学生有人， 由题意可得，， 故选：D． 【举一反三】 1．（七年级上·安徽合肥·期末）某校甲、乙、丙三个班为“希望工程”捐款，甲班捐的钱数是另外两个班捐款总和的一半，乙班捐的钱数是另外两个班捐款总和的，丙班共捐了160元，求这三个班捐款数的总和（　　　） A．440 B．384 C．382 D．364 【答案】B 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】由甲班捐的钱数是另外两个班捐款总和的一半，可知甲班捐款数是三个班捐款数总和的，由乙班捐的钱数是另外两个班捐款总和的，可知乙班捐款数是三个班捐款数总和的，设三个班捐款总和为x元，根据题意列方程求解． 【详解】解：∵甲班捐的钱数是另外两个班捐款总和的一半， ∴甲班捐款数是三个班捐款数总和的， ∵乙班捐的钱数是另外两个班捐款总和的， ∴乙班捐款数是三个班捐款数总和的， 设三个班捐款总和为x元，则甲班捐款x元，乙班捐款x元，根据题意可得 ，解得： ∴三个班捐款总和为384元 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，分析部分与整体的关系，找准题目等量关系，列方程求解是解题关键． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）体育课上，体育老师要求男、女各站成一队，记男生队为A队，女生队为B队． （1）设A队有人，B队有人，从A队调人到B队，则此时B队比队多 人；（结果要化简） （2）已知A队有32人，B队有28人．从A队调人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人，则的值为 ． 【答案】 13 【知识点】整式加减的应用、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意，调动后B队有人，A队有人，即可列出代数式，计算可得答案； （2）根据题意，调动后B队有人，A队有人，再列出方程，解方程即得答案． 【详解】解:（1）由题意得，从A队调人到B队，则此时B队比A队多人； 故答案为：； （2）由题意得，， 解得． 故答案为：13． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）在清冰雪工作中，某武警部队出动兵力600人参加三条街路的清冰雪劳动，其中街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加街路和街路的清冰雪劳动，且参加街路清冰雪的人数是参加街路的清冰雪人数的． (1)求参加街路的清冰雪劳动有多少人？ (2)在街路清冰雪过程中，因有其它工作需要，调走了此处的兵力后，附近的居民主动参加劳动，此时在街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人，求参加清冰雪劳动的居民有多少人？ 【答案】(1)216人 (2)72人 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）参加街路的清冰雪劳动有人，参加街路清冰雪的人数为，参加街路清冰雪的人数为人，根据总数为600人列方程，即可求解； （2）调走了街路清冰雪的人数的后，剩余武警官兵人，根据“在街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人”列方程，即可求解． 【详解】（1）解：设参加街路的清冰雪劳动有人， 由题意得，， 解得， 答：参加街路的清冰雪劳动有216人． （2）解：设参加清冰雪劳动的居民有人， 由题意得，， 解得， 答：参加清冰雪劳动的居民有72人． 【题型十】行程问题(一元一次方程的应用) 【例10】（22-23七年级上·安徽亳州·期末）某铁路桥全长约10000米，现有一列高铁从开始上桥到完全过桥共用206秒，整列高铁在桥上的时间是194秒．那么这列高铁的车长为（　　） A．200米 B．240米 C．280米 D．300米 【答案】D 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】设这列高铁的车长为米，根据列车车速不变可列一元一次方程，求解即可． 【详解】设这列高铁的车长为米，由题意得 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 【举一反三】 1．（22-23七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第2023次相遇在哪条边上？（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】设出正方形的边长，甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为a，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知： ①第一次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ②第一次相遇到第二次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ③第二次相遇到第三次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ④第三次相遇到第四次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ⑤第四次相遇到第五次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； 四次一个循环，因为，所以它们第2023次相遇在边上， 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．如果慢马先走天． （1）快马 天可以追上慢马； （2）当两者相距里时，快马走了 天． 【答案】 或 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了用一元一次方程解决追及问题．通过设立未知数，将题干信息转化为数学等式，再解等式得到结果，设快马追上慢马需要的天数为天，列出方程，并求解，再设当两者相距里时，快马此时已经走了天，此时慢马走了天，再列方程求解即可． 【详解】解：设快马追上慢马需要的天数为天，根据题意得： ， ， 解得， 故快马追上慢马需要天， 设当两者相距里时，快马此时已经走了天，此时慢马走了天，则有： ， 解得：， ， ， 解得：， 因此当两者相距里时，快马走了或天， 故答案为：，或． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）一辆小轿车和一辆货车分别沿同一条路线从甲地驶往乙地，货车的速度为，小轿车的速度为，货车先出发后小轿车再出发． (1)小轿车出发多长时间后追上货车？ (2)在两车的行驶过程中，小轿车行驶多长时间后与货车相距？ 【答案】(1)2小时 (2)1小时或3小时 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设小轿车出发小时后追上货车，根据小轿车追上货车时，小轿车和货车所行驶的路程相等； （2）设小轿车行驶小时后与货车相距，分两种情况：小轿车在追上货车之前，两车相距，小轿车在追上货车之后，两车相距，分别列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设小轿车出发小时后追上货车，根据题意得： ， 解得：． 答：小轿车出发2小时后追上货车． （2）解：设小轿车行驶小时后与货车相距， ①小轿车在追上货车之前，两车相距，则： ， 解得：； ②小轿车在追上货车之后，两车相距，则： ， 解得：， 答：小轿车行驶1小时或3小时后与货车相距． 【题型十一】日历问题(一元一次方程的应用) 【例11】．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）小明在某月的日历上圈出三个数，并求出它们的和是，则这三个数在日历中的位置不可能的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意对每个选项列出方程求解是解题的关键 【详解】解：设最小的数， 对于选项，，可得， 解得：，故本选项不符合题意； 对于B选项，， ， 解得：，故本选项不符合题意； 对于C选项，， ， 解得：，故本选项不符合题意； 对于D选项， 可得， 解得：，故本选项符合题意； 故选D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）如图，表中给出的是某月的月历．任意选取“”型框中的7个数（如阴影部分所示），这7个数的和不可能是（    ） A．42 B．70 C．98 D．147 【答案】A 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据图中的数，找出规律，再计算求解． 【详解】解：设最中间的数为x， 则， ∴这7个数的和为7的倍数， ∵，，，， 当时，不能构成“”型，故不符合题意， ∴这7个数的和不可能是42． 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）在某月的日历上用长方形圈到四个数（如图），如果，那么的值为 ． a b c d 【答案】 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用)、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，求解代数式的值．根据日历上的数据排列可以得到，而，利用这些关系即可求解． 【详解】解：依题意得：， ， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图是2024年12月的月历，观察月历，解答下列问题： (1)小宝在该月外出旅行三天，三天日期之和是，小宝是星期几出发的？ (2)“十”字型阴影图形覆盖其中五个方格，设十字型阴影覆盖的最小数字为，五个数字之和为，的值能否等于？若能，求出值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)小宝是星期二出发的 (2)的值能等于；理由见解析 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）设小明出发的日期是，根据题意得一元一次方程，然后解方程即可； （2）根据月历的特点可得另外四个数为，，，，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设小宝出发的日期是，则另外两天的日期分别是，， 根据题意得：，解得：， 月日是星期二， 小宝是星期二出发的； （2）解：的值能等于，理由如下： 假设的值能等于， “十型”阴影覆盖的最小数字为， “十型”阴影覆盖的另外四个数字分别为，，，， 根据题意得：， 解得：， 月日是星期二，在第三列，此时能形成“十型”阴影， 符合题意， 假设成立，即的值能等于． 【题型十二】古代问题(一元一次方程的应用) 【例12】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程解实际问题，理解数量关系，正确列式是解题的关键．根据总人数不变，分别表示出每3人乘一车，每2人共乘一车时的总人数即可求解． 【详解】解：设有x辆车， 当每3人乘一车，最终剩余2辆车时，则人数为， 当每2人共乘一车，最终剩 余9个人无车可乘时，则人数为， ∵总人数不变， ∴，即， 故选：D ． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤两，故有“半斤八两”这个成语）．设总共有个人，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，设有x人分银子，根据“如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（八两）”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设有x人分银子， 依题意，得：． 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）将这9个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”．下图展示了“洛书”中对应的部分数值，则 ． 【答案】2 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据第一行及对角线上的三个数之和相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：2． 3．（2023·安徽六安·模拟预测）我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，问清、醐酒各几何？”大意：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醐酒价值2斗谷子，拿20斗谷子共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？ 【答案】清酒2斗，醐酒有2斗． 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】设清酒x斗，则醐酒有斗．根据“拿20斗谷子，共换了4斗酒”，即可得出关于x的方程，解之可得答案． 【详解】解：设清酒有x斗，则醐酒有斗． 根据题意，得， ∴， ． 答：清酒2斗，醐酒有2斗． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程． 【题型十三】其他问题(一元一次方程的应用) 【例13】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）某班级劳动时，将全班同学分成小组，若每小组7人，则余下3人；若每小组8人，则有一组少4人．按下列哪个选项重新分组，能使每组人数相同？（   ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【答案】B 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．根据两次分组的总人数相等列出方程并求解，即得全班人数，再根据质因数分解结果，即知答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 全班同学共有（人）， ， A、B、C、D四个选项中，只有4组满足题意． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业，某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表： 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元） A 5 8 B 2 6 已知农作物种植人员共26位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共50万元，问A种农作物的种植面积为 公顷． 【答案】4 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解一元一次方程等知识点，设种农作物的种植面积为公顷，则种农作物的种植面积为公顷，根据种植两种农作物投入资金共50万元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解决此题的关键． 【详解】解：设种农作物的种植面积为公顷，则种农作物的种植面积为公顷， 根据题意得：， 解得：， 种农作物的种植面积为4公顷， 故答案为：4． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）某景点今年接待市民游客105.3万人，比去年同期增长了，求去年该景点接待市民游客人数．设去年该景点接待市民游客x万人，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握增长率的计算，准确找出等量关系，列出一元一次方程是解题的关键． 设去年该景点接待市民游客x万人，根据增长率的计算方法，找出等量关系列出方程即可求解． 【详解】解：设去年该景点接待市民游客x万人， 根据题意得，， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 物理常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度温水的体积×温水升高的温度． (1)甲同学用空杯先接了温水后再接 s的开水，此时温水和开水混合后共有的水； (2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间； (3)丙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是，求这杯水混合后的水温． 【答案】(1)8 (2)乙同学接了温水，开水 (3)这杯水混合后的水温为 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）利用接开水的时间温水的流速×接温水的时间开水的流速，即可求出接开水的时间； （2）设乙同学接了温水，则接了开水，根据这杯水混合后的水温为，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即接温水的时间），再将其代入中，即可求出接开水的时间； （3）设丙同学接了温水，则接了开水，根据共接了的水，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，将其代入及中，即可求出接温水及开水的体积，设这杯水混合后的水温为，根据开水的体积×开水降低的温度温水的体积×温水升高的温度，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴再接的开水． 故答案为：8； （2）解：设乙同学接了温水，则接了开水， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：乙同学接了温水，开水； （3）解：设丙同学接了温水，则接了开水， 根据题意得：， 解得：， ∴，， ∴丙同学接了温水，开水． 设这杯水混合后的水温为， 根据题意得：， 解得：． 答：这杯水混合后的水温为． 好题必刷 一、单选题 1．一个数在数轴上所对应的点向左移4个单位长度后，得到它的相反数对应的点，则这个数是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设这个数是a,利用平移的距离和方向可得平移后的数为,根据相反数的定义可得这个数的相反数为,根据题意列出方程，解出方程即可. 【详解】解：设这个数是， 根据题意可得，， 解得. 故选B. 【点睛】本题考查一元一次方程，数轴上点的平移，找出等量列方程是解题的关键. 2．一个长方形的周长为，若这个长方形的长减少，宽增加，就可成为一个正方形．设长方形的长为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列一元一次方程解应用题．首先理解题意找出题中存在的等量关系：长方形的长长方形的宽，根据此列方程即可． 【详解】解：设长方形的长为，则宽是， 根据题意得： ， 故选：B． 3．某位同学连续答题40道，答对一题得5分，答错一题扣2分（不答同样算作答错），最终该同学获得144分，若这位同学所列的方程是，则表示的意义是（    ） A．答对题的数目 B．答错题的数目 C．答对题目总得分 D．答错题目总扣分 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键．根据已知一元一次方程，分析出为答对题的数目，为答错题的数目，即可得出答案． 【详解】解：设答对题目总得分为，则答对题的数目为，答错题的数目为， 由题意得：， 即表示的意义是答对题目总得分， 故选：C． 4．某学校在元旦联欢会活动中，设座位有x排，若每排坐25人，则有8人无座位；若每排坐29人，则空24个座位，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到不变的量建立等量关系，根据人数不变，即可得到相对应的关系式； 【详解】找到不变的量建立等量关系：因为人数是确定不变的，每排坐25人，则有8人无座位， 所以人数；每排坐29人，则空24个座位，所以人数， 因此． 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列式是解题的关键． 5．现有一把无刻度的直尺和四块一样的矩形纸片，已知纸片的长度是其宽度的2倍，将纸片和直尺按如图所示的方式摆放在桌面上，则根据图中给出的数据可知直尺的长度是（     ） A．18cm B．17cm C．16cm D．15cm 【答案】D 【分析】设长方形的宽为xcm，则长为2xcm，根据直尺的长度列方程，然后解方程即可． 【详解】解：设长方形的宽为xcm，则长为2xcm， 根据题意，得：2x×4-1=2x+2×2x+3， 解得：x=2， 经检验：x=2，是方程的解，并符合题意， ∴直尺的长度是8x-1=8×2-1=15(cm)． 故选：D ． 【点睛】本题考查列一元一次方程解应用题，掌握列一元一次方程解应用题的方法与步骤，抓住图形直尺的长度不变列方程是解题关键． 6．某次篮球积分赛，每队均比赛14场，胜一场记2分，平一场记1分，负一场记0分．某中学篮球队的胜场数是负场数的3倍，这个足球队在这次积分赛中积分可能为（    ） A．12 B．17 C．20 D．22 【答案】C 【分析】设所负场数为x场，则胜3x场，平(14 - 4x)场，积分=负的场数的得分+胜的场数的得分+平的场数的得分，依此求解即可． 【详解】设所负场数为x场，则胜3x场，平(14 - 4x)场, 依题意得，积分= 0×x +2×3x+ 14 - 4x = 14+2x， 当14 + 2x= 12时， x=-2，不符合题意； 当14 + 2x= 17时，x= 1.5，不符合题意； 当14 + 2x= 20时， x= 3，符合题意； 当14 + 2x= 22时，x= 4，3x= 12，12 +4>14,不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知表示出胜、负、平所得总分是解题关键． 7．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了这样一个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何.”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94 只脚，问笼中各有多少只鸡和兔.设鸡有x 只，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握每只鸡脚数与每只兔脚数列出方程，是解题的关键． 本题可设鸡有x只，则兔有只，根据“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．”即可得出等量关系，根据等量关系列出方程即可， 【详解】设有x只鸡，则有只兔子， 可列方程为：． 故选：A． 8．根据如图中两人的对话纪录，求出哥哥买游戏机的预算为多少元？（   ） A．3800 B．4800 C．5800 D．6800 【答案】C 【分析】设哥哥买游戏机的预算为元，根据题意列出方程求解即可； 【详解】解：设哥哥买游戏机的预算为元， 由题意得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程是解决问题的关键． 9．把9个数填入3×3的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中a的值为（    ）                A．2 B．4 C．6 D．1 【答案】D 【分析】根据题意设左边中间位置为b，左上为c．求出“九宫格”中的b、c，再求出a即可求解． 【详解】如图，依题意可得2+5+8=3+5+b， 解得b=7． ∴2+5+8=2+7+c， 解得c=6． ∴2+5+8=6+8+a， 解得a=1． 故选：D． 【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解． 10．如图，长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，P，Q两动点同时出发，分别沿着长方形的边长运动，P点从B点出发，顺时针旋转一圈，到达B点后停止运动，Q点的运动路线为B→C→D，P，Q点的运动速度分别为2cm/秒，1cm/秒，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设两动点运动的时间为t秒，要使△BDP和△ACQ的面积相等，满足条件的t值的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】分五种情况，根据运动的路径和△BDP和△ACQ的面积相等列出方程，求解即可． 【详解】解：由题意进行分类讨论： ①当P点在AB上，Q点在BC上时（t≤4）， BP＝2t，CQ＝6﹣t， 要使△BDP与△ACQ面积相等，则 ， 解得：； ②当P点在AD上，Q点在BC上时（4＜t≤6）， DP＝14﹣2t，CQ＝6﹣t， 要使△BDP与△ACQ面积相等，则DP＝CQ， 即14﹣2t＝6﹣t， 解得：t＝8（舍去）； ③当P点在AD上，Q点在CD上时（6＜t≤7）， DP＝14﹣2t，CQ＝t﹣6， 要使△BDP与△ACQ面积相等，则 ， 解得t＝； ④当P点在CD上，Q点在CD上时（7＜t≤11）， DP＝2t﹣14，CQ＝t﹣6， 要使△BDP与△ACQ面积相等，则DP＝CQ， 即2t﹣14＝t﹣6， 解得：t＝8； ⑤当P点在BC上，Q点在CD上时（11＜t≤14）， BP＝28﹣2t，CQ＝t﹣6， 要使△BDP与△ACQ面积相等，则 ， 解得：t＝； 综上可得共有4种情况满足题意，所以满足条件的t值得个数为4． 故选：C． 【点睛】本题考查了长方形的性质、三角形的面积以及一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键，注意：需要分类讨论． 二、填空题 11．比的3倍大5的数等于a的2倍，依题意列出的方程是 ． 【答案】 【分析】的3倍，即为，则比的3倍大5的数为，a的2倍即为，由此建立方程即可． 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确表示出的3倍大5的数和a的2倍的数是解题的关键． 12．某数的3倍加上4等于10，设某数为x，那么可列出方程为 ． 【答案】 【分析】首先表示出某数的3倍为3x，再表示出该数的3倍加4为3x+4，根据题意可得方程． 【详解】解：设某数为x，由题意得： 3x+4=10， 故答案为：3x+4=10． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 13．一个数与2的差的一半等于这个数的三分之一与1的和，则这个数是 ． 【答案】12 【分析】设这个数为x，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个数为x， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解本题的关键． 14．一个两位数，十位上的数比个位上的数大5，个位上的数与十位上的数的和为9，这个两位数是 ． 【答案】72 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、正确列出方程是解题的关键． 设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为，然后根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为， 根据题意：，解得：，即这个两位数的个位数字为2， ∴这个两位数的十位数字为7， ∴这个两位数为：72． 故答案为：72． 15．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果1托为5尺，那么索长为 尺．（其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺．） 【答案】20 【分析】设绳索长尺，根据两种量竿的方法建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设绳索长尺， 由题意得：， 解得， 即绳索长20尺， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键． 16．某工厂生产一批零件，计划20天完成，若每天多生产5个，则16天完成且还多生产8个．设原计划每天生产x个，根据题意可列方程为 ． 【答案】20x＝16（x+5）﹣8． 【分析】设原计划每天生产x个，则实际每天生产（x+5）个，根据原计划在20天内完成的任务实际16天完成且还多生产8个，列方程即可． 【详解】解：设原计划每天生产x个，则实际每天生产（x+5）个， 由题意得，20x＝16（x+5）﹣8． 故答案为：20x＝16（x+5）﹣8． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可． 17．我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，银子共有 两．（注：明代时1斤=16两） 【答案】46 【分析】题目中分银子的人数和银子的总数不变，有两种分法，根据银子的总数一样建立等式，进行求解． 【详解】解：设有人一起分银子，根据题意建立等式得， ， 解得：， 银子共有：（两） 故答案是：46． 【点睛】本题考查了一元一次方程在生活中的实际应用，解题的关键是：读懂题目意思，根据题目中的条件，建立等量关系． 18．今年9月10日赶上了本世纪第一个“教师节”和“中秋节”喜相逢．为迎接“双节”的到来，某便利店购进桃片、米花糖、麻花三种特产进行销售．其中每包桃片的成本是麻花的2倍，销售每包桃片、米花糖、麻花的利润率分别是20%、30%、20%．该便利店9月10日当天销售桃片、米花糖、麻花三种特产的数量之比为3：5：4，三种特产的总利润率是25%，若每包米花糖的成本是m元，则每包麻花的成本为 元． 【答案】 【分析】设麻花的成本为，则桃片的成本为，再设此次桃片、米花糖、麻花三种特产的销售数量分别为：包，包，包，且，再根据利润率等于利润除以成本，总利润率等于总利润除以总成本，列出等式，化简即可求解． 【详解】设麻花的成本为，则桃片的成本为，再设此次桃片、米花糖、麻花三种特产的销售数量分别为：包，包，包，且，将、看成是常量，列出一元一次方程， 即根据题意有：， 化简得：， 即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是掌握利润率等于利润除以成本乘以百分之百，总利润率等于总利润除以总成本乘以百分之百． 三、解答题 19．某县准备用灯饰美化广场，需用A､B两种不同类型的灯笼共200个，且B种灯笼的个数是A种灯笼的，求A，B两种灯笼各需多少个． 【答案】A､B两种灯笼分别需要120个，80个 【分析】首先设A种灯笼需x个，则B种灯笼个数＝A种灯笼个数× ，根据关键语句“需采用A、B两种不同类型的灯笼200个”可列出一元一次方程，再解即可. 【详解】解：设A种灯笼需x个，则B种灯笼需个， 根据题意，得， 解这个方程，得， 则． 即A､B两种灯笼分别需要120个，80个． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，抓住题目中的关键语句，找出等量关系，列出方程． 20．为大力发展现代农业，某省2025年下达农田建设补助资金为14.5亿元，与2024年相比增长率为，则该省2025年下达的农田建设补助资金比2024年增加了多少亿元？ 【答案】该省2025年下达的农田建设补助资金比2024年增加了2亿元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该省2024年下达的农田建设补助资金为亿元，根据“2025年下达农田建设补助资金为14.5亿元”列方程，然后进行计算即可解答． 【详解】解：设该省2024年下达的农田建设补助资金为亿元， 由题意得， 解得：， （亿元）． 答：该省2025年下达的农田建设补助资金比2024年增加了2亿元． 21．父子二人今年的年龄和为44岁，已知两年前父亲的年龄是儿子的4倍，求今年儿子的年龄． 【答案】10岁 【分析】设今年儿子的年龄为岁，根据父子二人今年的年龄和为44岁，两年前父亲的年龄是儿子的4倍，列出方程进行计算即可． 【详解】解：设今年儿子的年龄为岁，则父亲的年龄为岁，由题意，得： ， 解得：； 答：今年儿子的年龄为岁． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程． 22．某文艺团体为“环保行动”募捐组织了一场义演，共有1000张票，其中成人票8元/人，学生票5元/人． (1)已知1000张票全部售出后筹得了票款6920元，则成人票与学生票各售出多少张？ (2)若票价和总票数不变，则所得的票款可能是7290元吗？为什么？ 【答案】(1)成人票640张，学生票360张 (2)不可能，见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，读懂题意找准等量关系列出方程式是解题的关键． （1）设成人票张，则学生票张，根据题意列出方程进行求解，得出答案； （2）设成人票张，则学生票张，然后根据题意列出方程求出的值，看是否为整数，如果是整数则符合条件，如果不是整数则不符合条件． 【详解】（1）解：设成人票有x张，则学生票有张 根据题意，得： 解得： （张） 答：成人票640张，学生票360张． （2）解：不可能，理由如下， 设成人票有张，则学生票有张 根据题意，得： 解得： 所以不可能 答：票价和总票数不变，则所得的票款不可能是7290元． 23．一个水池有两个管可注水，若单开甲管，小时注满；若单开乙管，小时注满． (1)由甲管先开若干小时，再由乙管接替甲管工作，甲、乙两管共用小时注满水池，问乙管开了几小时？ (2)若在水池下面安装一个排水管丙，单独开丙管小时可以将一水池的水放完，现三管齐开，几小时可将一空池注满？ 【答案】(1)乙管开了小时； (2)三管一起开放，小时注满一空水池． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确列出方程是解题关键． （1）设乙管开放了小时，由题意可知，等量关系为：甲工作量乙工作量总工作量，列出方程，解出的值； （2）设三管一起开放，小时注满一空池水，然后根据等量关系：甲工作量乙工作量丙的工作量总工作量，列出方程，解出的值． 【详解】（1）解：（1）设乙管开放了小时， 则：， 解得：， 答：乙管开了小时； （2）设三管一起开放，小时注满一空池水， 则；， 解得：， 答：三管齐开，小时可将一空池注满． 24．甲、乙两班共有98人，若从甲班调3人到乙班，那么两班人数正好相等．甲班原有多少人？ ①认真审题，弄清题意： ②找出等量关系：________； ③找未知量，设未知数：________； ④列方程：________； ⑤解方程：________； ⑥检验：将解得的未知数的值放入实际问题中进行检验； ⑦作答：答：甲班原有________人． 【答案】②甲班原有人数乙班原有人数；③设甲班原有人；④；⑤；⑦52 【分析】该题考查了一元一次方程的应用，掌握列方程解决实际问题的一般步骤． 理解列方程解决实际问题的一般步骤，并会应用．根据题意解答即可． 【详解】解：②找出等量关系：甲班原有人数乙班原有人数， ③找未知量，设未知数：设甲班原有人， ④列方程：， ⑤解方程：， ⑥经检验，符合题意， ⑦答：甲班原有52人． 故答案为：②甲班原有人数乙班原有人数；③设甲班原有人；④；⑤；⑦52． 25．某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工． 方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售． 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成． 你认为哪种方案获利最多？为什么？ 【答案】方案三获利最多，可以粗加工这种蔬菜80吨，精加工这种蔬菜60吨，可获得最高利润为810000元 【分析】本题主要考查的一元一次方程的应用，根据题意列出关于x的方程是解题的关键．方案一：直接用算术方法计算：粗加工的每吨利润×吨数；方案二：首先根据每天精加工的吨数以及天数的限制，可知精加工了吨，还有50吨直接销售；方案三：设精加工x天，则粗加工天，根据加工的总吨数为140吨列方程求得x的值，然后可求得获得的利润． 【详解】解：方案一：（元）， ∴将蔬菜全部进行粗加工后销售，则可获利润630000元， 方案二：（元）， ∴将蔬菜尽可能多的进行精加工，没来得及加工的在市场上直接销售，则可获利润725000元； 方案三：设精加工x天，则粗加工天． 根据题意得：， 解得：， 所以精加工的吨数吨，粗加工的吨数吨． 此时利润为：（元）， 答：方案三获利最多，该公司可以粗加工这种蔬菜80吨，精加工这种蔬菜60吨，可获得最高利润为810000元．　 26．已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，、之间的距离记为或，请回答问题： (1)直接写出，，的值， ， ， ． (2)设点在数轴上对应的数为，若，则 ． (3)如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点、之间，则 ； ②若，则 ； ③若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是8？ 【答案】(1)，2，5 (2)8或 (3)①5；②或6.5；③经过2.5秒或10.5秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是8 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的意义，数轴动点问题，熟练的掌握求两点间距离的方法是解题关键． （1）根据绝对值的非负性可得答案； （2）分在3的左侧和右侧两种情况； （3）①由题意可得，化简绝对值可得答案； ②分或两种情况解答； ③分点在的左侧和的右侧两种情况解答． 【详解】（1）解：， ，， ，， ； 故答案为：，2，5． （2）解：， ， 或； 故答案为：8或． （3）解：①由题意得，， ， 故答案为：5； ②， 或， 当时， ， 即， 解得； 当时， ， 即， 解得； 故答案为：或6.5； ③秒后，点表示的数是，，， 当时，，解得， 当时，，解得， 答：经过2.5秒或10.5秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是8．所在的点到点M、点N的距离之和是8. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$