精品解析：广东省河源市连平县隆街中学2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

隆街中学2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 篆刻是中华传统艺术之一、如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看几何体；画出从正面看这个印章的平面图形，进行作答即可． 【详解】解：这个组合体从正面看，得到的平面图形如图所示：    故选：B． 2. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘1次，指针指向的数字为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查计算几何概率，掌握相关知识是解决问题的关键．用符合条件的图形面积总面积来计算概率． 【详解】解：图中四个扇形的面积都相等，其中偶数数字占两个扇形面积， ∴． 故选：D． 3. 如图，平行四边形中，点为中点，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形，平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质，得，则，，根据相似三角形的判定和性质，则，得到相似比，根据面积比是相似比的平方，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：C． 4. 如图，已知，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和比例的性质，由，得，又，则，然后代入即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5. 《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　）． A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得， 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：A 6. 一元二次方程配方后化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，化成完全平方的形式即可得出答案． 【详解】解：， ∴， 即． 故选：A 【点睛】此题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键；配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 7. 已知三点，，都在反比例函数的图像上，若，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 先求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数解析式为， ∵点都在反比例函数的图象上，， ∴， 故选：D． 8. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质，得，结合，得到是等边三角形，结合，得到，解得即可． 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】根据矩形的性质，得， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 解得． 故选C． 9. 如图，中，点为上一点，，连结，交于点，延长线交的延长线于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝3k， ∴， ∴, 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 10. 如图1是液体沙漏的立体图形，图2，图3分别是液体沙漏某一时刻沙漏上半部分液体长度与液面距离水平桌面高度的平面示意图，则图3中（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质； 如图，过作交于，交于E，分别求出，，的长度，证明，利用相似三角形的性质求出，然后可得的长． 【详解】解：如图，过作交于，交于E， 根据题意可知， ，， ， ， ， ，即， ∴， ， 故选：C． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. ________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．将特殊角的三角函数值，代入计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：2． 12. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 【答案】k＞1. 【解析】 【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，∴△=（-2）2-4×1×k=4-4k＜0，解得k＞1. 考点：一元二次方程根的判别式. 13. 如图，在由相同的菱形组成的网格中，等于，小菱形的顶点称为格点．已知点A，B，C，D，E都在格点上，连结，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取格点，连接交于点O，由菱形的性质易求，设菱形网格的边长为a，则，求出，进而求出，由勾股定理求出，由即可求解． 【详解】解：如图，取格点，连接交于点O， 则， ∵，此图为相同的菱形组成的网格， ∴四边形，四边形为菱形， ∴， 设菱形网格的边长为a，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，求一个角的正弦值，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握菱形的性质． 14. 如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且∥轴，轴于点C，则四边形的面积为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故答案为：2． 15. 如图，正方形的边长为8，点E在边上，，若点F在正方形的某一边上，满足，且与的交点为M，则的长度为___________． 【答案】或2 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正方形的性质，化为最简二次根式，当点F在上时，证明，可得，证明，求解，进一步可得答案；如图2所示，当点F在上时，同理可得，，证明四边形是矩形，进一步可得答案． 【详解】解：分两种情况： ①如图1所示，当点F在上时， 由，，， 可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴． ②如图2所示，当点F在上时， 同理可得，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴． 故答案为：或． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据直接开平方法即可求解，熟练掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解： ， ∴，． 17. 如图，在正方形网格中，的顶点都在格点（小正方形的顶点）上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，以点C为位似中心作，使得与位似，且相似比为，点D，E分别在边上． （2）如图2，在边上找一点F，使得． 【答案】（1）即为所求； （2）点F即为所求， 【解析】 【分析】本题主要考查了画位似图形，相似三角形的判定，全等三角形判定与性质，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）取格点M、N并连接交于点E，可证点E 为中点，与格点交于点D，连接，即可得，即为所求； （2）取格点H，连接交于点F，可证，点F即为所求． 【小问1详解】 解：取格点M、N并连接交于点E， 与格点交于点D，连接， 即为所求； 由题意得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 与位似，且相似比为； 【小问2详解】 解：取格点H，连接交于点F，点F即为所求， 由图知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 18. 如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F，AE与DF交于点O，连接EF，OC． （1）请依题意补全图形．求证：四边形ADEF是菱形； （2）若AD=4，AB=6，∠ADC=60°，求OC的长． 【答案】（1）补全图形如图1所示： 证明：∵DF平分∠ADE，AE平分∠BAD ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∴，， ∴， ∴ ∵ ∴四边形AFED是平行四边形 ∵ ∴四边形AFED是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）以D为圆心画弧交分别于点，以为圆心，大于为半径，画弧交点为Q，连接DQ并延长与AB交点即为F，连接即可补全图形；由DF平分∠ADE，AE平分∠BAD可知，，由四边形ABCD是平行四边形，知 ，，，可知，，可得，，进而可证四边形AFED是菱形． （2）如图2，过点O作OG⊥CD于G，四边形ADEF是菱形，∠ADF=∠EDF=30°，，在中，，由勾股定理得， 在中，，由勾股定理得，，在中，勾股定理求解OC即可． 【小问1详解】 解：以D为圆心画弧交分别于点，以为圆心，大于为半径，画弧交点为Q，连接DQ并延长与AB交点即为F，连接即可； 【小问2详解】 解：如图2，过点O作OG⊥CD于G ∴ ∵四边形ADEF是菱形 ∴∠ADO=∠ODG=30°， ∴在中，，由勾股定理知， 在中，，由勾股定理知 ∴ 在中，由勾股定理知OC2 ∴． 【点睛】本题考查了角平分线，菱形的判定与性质，含有30°的直角三角形，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的灵活综合运用． 19. 阳光明媚的天，实践课上，亮亮准备用所学的知识测量教学楼前一座假山AB的高度，如图，亮亮在地面上的点F处，眼睛贴地观察，看到假山顶端A、教学楼顶端C在一条直线上．此时他起身在F处站直，发现自己的影子末端和教学楼的影子末端恰好重合于点G处，测得米，亮亮的身高EF为1.6米．假山的底部B处因有花园围栏，无法到达，但经询问和进行部分测量后得知，米，点D、B、F、G在一条直线上，，，，已知教学楼的高度为16米，请你求出假山的高度． 【答案】 【解析】 【分析】根据同一时刻，物高和影长对应成比例得到，求出的长，进而得到的长，证明，列式求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是证明三角形相似． 20. 由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上． （1）在图1中，______； （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图2，在上找点P，使得； ②如图3，在上找点P，使得． 【答案】（1） （2）①如图中，点P即为所求； ②如图中，点P即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的判定，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）根据网格性质可得，进而可得，即得； （2）①仿照（1）的图形构造相似比为的相似三角形即可； ②利用对称，即可图形转化为（1）的形式． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 ①略 ②略 21. 受市场波动影响，华佳超市某商品的销售量持续两个月下降，销量由1月份的500件下降到3月份的320件，为此，超市进行降价促销去库存活动，根据以往经验，当售价每降价1元时，销量就会增加20件． （1）已知2，3月份的月下降的百分率是相同的，求这个百分率； （2）已知该商品进价为20元/件，原售价为56元/件，超市计划在3月份销量的基础上，4月份销售这种商品能获利13520元，那么每件商品应降价多少元？4月份的销量是多少？ 【答案】（1）2，3月份的月下降的百分率为； （2）当商品降价10元时，4月份销售这种商品能获利13520元，4月份的销量是520件． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据销量、利润、进价、售价之间的关系正确列出一元二次方程． （1）设平均下降的百分率为x，根据1月份、3月份销量列一元二次方程，即可求解； （2）设商品降价y元，用含y的代数式表示出4月份销量及单件利润，根据获利13520元列一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设平均下降的百分率为x， 由题意知， 解得，（不合题意，舍去）， 答：2，3月份的月下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设当商品降价y元时，商场4月份可获利13520元， 由题意知， 整理得，即， 解得， ， 答：当商品降价10元时，4月份销售这种商品能获利13520元，4月份的销量是520件． 22. “数形结合”是数学中的一种基本思想方法，我国著名数学家华罗庚对此曾有生动的描述：“数以形而直观，形以数而入微”，下面我们分别以我国三国时期的数学家赵爽（公元世纪）和公元世纪的阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解一元二次方程即时的做法为例加以说明． 【学习研究】数学家赵爽的做法是，用四个边长分别为，且面积为的矩形构造成图形状的大正方形，然后用两种方式表示出大正方形的面积，得到．从而得到一个正数解．阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是用一个边长为的正方形和个边长分别为，的矩形构造出图的形状（面积为）并把它补成一个大正方形，然后也是用两种方式表示出大正方形的面积，得到，从而得到一个整数解． （1）图中，小正方形的边长为____，将图中补充完整（补充的部分用阴影表示）； 【类比迁移】（2）小明想通过以上述构造图形的方法来解一元二次方程． 请分别构造以上两种图形，并在图中标注出相关线的长：（注：第一种方法中已经画好了一个矩形，第二种方法中已经画好了一个正方形，请在已经画好的图形上进行补充） 请分别根据所画图形，求出方程的一个正数解． （注：需要写出必要的推算过程） 【拓展应用】（3）一般地，形如的一元二次方程可以构造类似以上图形来求解，请选择其中的一种方法，进行图形构造，且在图中标注出相关线段的长，并直接写出该方程的正数解与负数解． 【答案】（1）2， 补充完整，如图所示； （2）①如图所示， ②5 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程， （1）根据边长之间的关系可得小正方形的边长，再根据题意补充完整即可； （2）画出图形，根据面积相等列出方程，再求出解即可； （3）根据题意画出图形，标注长度，再根据面积相等列出方程，求出解即可. 【详解】图1小正方形的边长为：； 故答案为：2； （2）①略 ②用四个边长分别为，且面积为的矩形构造大正方形，用来那个中方式表示出大正方形的面积，得到 整理，得， 解得； ， 即， 解得； （3），如图所示，用四个边长分别为，且面积为的矩形构造大正方形，用两种方式表示出大正方形的面积，得到 可知， 解得． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为，直线经过点、．将四边形绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q． （1）四边形的形状是 　　，当时，的值是 　　； （2）①如图2，当四边形的顶点落在y轴正半轴上时，求的值； ②如图3，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积； （3）在四边形旋转过程中，当时，是否存在这样的点P和点Q，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）矩形， （2）①；② （3）存在点P1（﹣9﹣，6），P2（，6），使BP＝BQ． 【解析】 【分析】（1）根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可得出四边形是矩形．当时，可知， （2）①利用相似三角形的性质，求得的比，求得；求得进而得出答案； ②根据勾股定理求得的长，再根据三角形的面积公式进行计算． （3）构造全等三角形和直角三角形，运用勾股定理求得的长，进一步求得坐标． 【小问1详解】 解：∵O为坐标原点，点，直线经过点、， ∴，，所以四边形是矩形； 当时，P与C重合，如图所示： 根据题意． 故答案为：矩形；； 【小问2详解】 解：①图2中， ∵，， ∴． ∴，即， ∴，． 同理， ∴，即， ∴，． ∴， ②图3，在和中， ， ∴． ∴． 设， 在中，， 解得． ∴． 【小问3详解】 解：存在这样的点P和点Q，使． 点P的坐标是，． 过点Q作于H，连接，则， ∵，， ∴． 设， ∵， ∴， 如图4，当点P在点B左侧时， ， 在中，， 解得，（不符实际，舍去）． ∴， ∴． 如图5，当点P在点B右侧时， ∴，． 在中，，解得． ∴， ∴， 综上可知，存在点P，使，点P的坐标是，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判断与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 隆街中学2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 篆刻是中华传统艺术之一、如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘1次，指针指向的数字为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，平行四边形中，点为中点，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　）． A. B. 4 C. D. 5 6. 一元二次方程配方后化为（ ） A. B. C. D. 7. 已知三点，，都在反比例函数的图像上，若，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 9. 如图，中，点为上一点，，连结，交于点，延长线交的延长线于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1是液体沙漏的立体图形，图2，图3分别是液体沙漏某一时刻沙漏上半部分液体长度与液面距离水平桌面高度的平面示意图，则图3中（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. ________． 12. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 13. 如图，在由相同的菱形组成的网格中，等于，小菱形的顶点称为格点．已知点A，B，C，D，E都在格点上，连结，，则的值为______． 14. 如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且∥轴，轴于点C，则四边形的面积为______． 15. 如图，正方形的边长为8，点E在边上，，若点F在正方形的某一边上，满足，且与的交点为M，则的长度为___________． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程：． 17. 如图，在正方形网格中，的顶点都在格点（小正方形的顶点）上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，以点C为位似中心作，使得与位似，且相似比为，点D，E分别在边上． （2）如图2，在边上找一点F，使得． 18. 如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F，AE与DF交于点O，连接EF，OC． （1）请依题意补全图形．求证：四边形ADEF是菱形； （2）若AD=4，AB=6，∠ADC=60°，求OC的长． 19. 阳光明媚的天，实践课上，亮亮准备用所学的知识测量教学楼前一座假山AB的高度，如图，亮亮在地面上的点F处，眼睛贴地观察，看到假山顶端A、教学楼顶端C在一条直线上．此时他起身在F处站直，发现自己的影子末端和教学楼的影子末端恰好重合于点G处，测得米，亮亮的身高EF为1.6米．假山的底部B处因有花园围栏，无法到达，但经询问和进行部分测量后得知，米，点D、B、F、G在一条直线上，，，，已知教学楼的高度为16米，请你求出假山的高度． 20. 由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上． （1）在图1中，______； （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图2，在上找点P，使得； ②如图3，在上找点P，使得． 21. 受市场波动影响，华佳超市某商品的销售量持续两个月下降，销量由1月份的500件下降到3月份的320件，为此，超市进行降价促销去库存活动，根据以往经验，当售价每降价1元时，销量就会增加20件． （1）已知2，3月份的月下降的百分率是相同的，求这个百分率； （2）已知该商品进价为20元/件，原售价为56元/件，超市计划在3月份销量的基础上，4月份销售这种商品能获利13520元，那么每件商品应降价多少元？4月份的销量是多少？ 22. “数形结合”是数学中的一种基本思想方法，我国著名数学家华罗庚对此曾有生动的描述：“数以形而直观，形以数而入微”，下面我们分别以我国三国时期的数学家赵爽（公元世纪）和公元世纪的阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解一元二次方程即时的做法为例加以说明． 【学习研究】数学家赵爽的做法是，用四个边长分别为，且面积为的矩形构造成图形状的大正方形，然后用两种方式表示出大正方形的面积，得到．从而得到一个正数解．阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是用一个边长为的正方形和个边长分别为，的矩形构造出图的形状（面积为）并把它补成一个大正方形，然后也是用两种方式表示出大正方形的面积，得到，从而得到一个整数解． （1）图中，小正方形的边长为____，将图中补充完整（补充的部分用阴影表示）； 【类比迁移】（2）小明想通过以上述构造图形的方法来解一元二次方程． 请分别构造以上两种图形，并在图中标注出相关线的长：（注：第一种方法中已经画好了一个矩形，第二种方法中已经画好了一个正方形，请在已经画好的图形上进行补充） 请分别根据所画图形，求出方程的一个正数解． （注：需要写出必要的推算过程） 【拓展应用】（3）一般地，形如的一元二次方程可以构造类似以上图形来求解，请选择其中的一种方法，进行图形构造，且在图中标注出相关线段的长，并直接写出该方程的正数解与负数解． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为，直线经过点、．将四边形绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q． （1）四边形的形状是 　　，当时，的值是 　　； （2）①如图2，当四边形的顶点落在y轴正半轴上时，求的值； ②如图3，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积； （3）在四边形旋转过程中，当时，是否存在这样的点P和点Q，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $