解三角形的实际应用 讲义-2026届高三数学一轮复习之一题多变

第4题 解三角形的实际应用（一题多变） 【河北省邢台市邢襄联盟高三上学期10月期中T8】如图，已知为某建筑物的高，，分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，\${{A}_{1}}\$，，分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得米，米，，，在C点测得B点的仰角为33.69°，在B点测得A点的仰角为51.34°，则该建筑物的高约为（参考数据，，）（ ） A．268米           B．265米             C．266米             D．267米 【思路分析】 根据题意，分别过B，C作，，垂足分别为F，D，找到在B，C两点处的仰角，过D作，垂足为E．由题中所给的角，借助于直角三角形，利用正弦定理，依次求得，和，即可求出建筑物的高. 【详解】 如图，分别过，作，，垂足分别为F，D，过D作，垂足为E． 根据题意易得，． 在中，由正弦定理得， 在中，，则， 在中，，则， 所以米． 故选：C. 【题后反思】 本题是一道解三角形的实际问题，其本质是在实际问题中抽象出具体的三角形模型，然后利用正余弦定理解出所求角或边即可;解决本题的关键是分析题意，作出辅助线，找到在B，C两点处的仰角. 解三角形应用题的一般步骤： （1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． （2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． （3）根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． （4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 变问题背景，求高度 【变化角度】改变原题中的实际问题背景，仍求高度，如下： 例：如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度（与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物，测得的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物之间的地面上的点E处测得A点，C点的仰角分别为75°和30°（其中B，E，D三点共线）.该学习小组利用这些数据估算得约为60米，则的高h约为（ ）米 （参考数据：，，） A．11    B．20.8    C．25.4    D．31.8 【思路分析】 易得，在中，求出，在中，利用正弦定理求得，在解直角三角形即可得出答案. 【详解】 由题意可得，则， 在中，， 在中，因为，所以，所以， 又， 所以（米）. 故选：C. 【举一反三】 1．如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得，，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，则该铁塔的高度约为（    ）．（参考数据：，，，）    A．42米 B．47米 C．38米 D．52米 【答案】B 【分析】在中利用正弦定理求，再在中求. 【详解】在中，由题意可得， 则， ， 由正弦定理可得， 在中，可得， 所以该铁塔的高度约为47米. 故选：B. 2．某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案．如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点M的仰角分别为，，，且，则该古建筑的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用三角函数分别表示，然后分别在中利用余弦定理表示，因为，所以可得,进而求解即可. 【详解】设， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：, 因为,所以， 即，解得， 所以该古建筑的高度为. 故选：C. 变求高度为求距离 【变换角度】改变问法，将原题中的测量高度问题变为测距离，如下： 例：海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象．若要测量如图所示的蓝洞的口径，即两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，，，，则两点间的距离为（ ） A．80    B．    C．160    D． 【思路分析】 根据题意，求得各个角度，即可得长，根据正弦定理，可得长，根据余弦定理，即可得答案. 【详解】 因为，， 所以，， 所以， 又因为， 所以， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 故选：D. 【举一反三】 3．海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】在中，由正弦定理求出，在中，由余弦定理求出，得到答案. 【详解】在中，，，，则， 由正弦定理得，即，故，解得. 在中，，，， 则由余弦定理得 ， 所以，即灯塔C与D处之间的距离为海里. 故选：B. （2024·云南昆明·一模） 4．早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在位置时，测出；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了位置，测出，．若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：）（   ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据给定条件，在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理求解即得. 【详解】连接，在中，，又，则是正三角形，， 由，，得，， 在中，，由正弦定理得，则， 在中，由余弦定理得. 故选：A    变求高度为求角度 【变换角度】改变问法，将原题中的测量高度问题变为测角度，如下： 例：如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45°.已知此山的高，小车的速度是，则（ ） A．    B．    C．    D． 【思路分析】 可由，求得，由，求得，由行驶时间和速度求得，再由余弦定理解出即可. 【详解】 由题意可得，， ，，， 则，. 因为，所以由余弦定理可知，. 故选：A. 【举一反三】 5．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为，向山顶前进到达B处，又测得C对于山坡的斜度为，若，山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在ABC中，由正弦定理得AC＝m，再在ADC中，由正弦定理得解. 【详解】由题知，，，所以，. 在ABC中，由正弦定理得， 又m，∴AC＝m． 在ADC中，，m， 由正弦定理得， ∴. 故选：C. 6．如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线前往处救援，则的值为 ． 【答案】 【解析】在中，利用余弦定理计算出，，，再利用两角和的余弦公式计算即可得到答案. 【详解】由已知，，在中，由余弦定理可得 ， 所以， 所以 . 故答案为： 【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，涉及到两角和的余弦公式，是一道中档题. 7．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得，，米，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高AB＝（    ）米. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】中，根据正弦定理解得，在中，利用三角函数关系得到. 【详解】因为，，所以， 在中，根据正弦定理可知 即，解得． 在中， 所以． 故选：A． 8．如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（    ）. A． B．100m C． D． 【答案】C 【分析】先由正弦定理解得，再解直角三角形即可得解. 【详解】由题意， 而，由正弦定理可得，即，解得， 注意到， 从而. 故选：C. （2024·山东临沂·一模） 9．在同一平面上有相距14公里的两座炮台，在的正东方.某次演习时，向西偏北方向发射炮弹，则向东偏北方向发射炮弹，其中为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点，则炮台与弹着点的距离为（    ） A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里 【答案】D 【分析】设炮弹第一次命中点为，在中利用余弦定理求出，又二倍角公式求出，最后在中利用余弦定理计算可得. 【详解】依题意设炮弹第一次命中点为，则，， ，， 在中， 即，解得， 所以，又为锐角，解得（负值舍去）， 在中 ， 所以，即炮台与弹着点的距离为公里. 故选：D 10．《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点，处分别作切线相交于点，测得切线，，，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（    ） A．0.62 B．0.56 C． D． 【答案】A 【分析】由图形可知，由余弦定理求出，可得. 【详解】由题意，，所以， 切线，，由切线长定理，不妨取， 又，由余弦定理， 有， . 故选：A 11．一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离12海里，灯塔C在A的北偏西，距离为12海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，下面结论正确的有（    ） A． B． C．或 D． 【答案】ABD 【分析】先根据题意画出平面图，再根据正、余弦定理解三角形即可得答案. 【详解】解：如图：在中，， 由正弦定理有， ，故A正确. 在中，由余弦定理得， 因为， 所以，故B正确 由正弦定理得， 所以，故或者， 因为，故为锐角，所以，故C不正确，D正确. 故选：ABD. 12．如图，MN是底部N不可到达的一座塔，M为塔的最高点，某同学为测量塔的高度，在塔的正东方向找到一座建筑物AB，高约为，在点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A、塔顶部M的仰角分别为和，在A处测得塔顶部M的仰角为，则塔MN的高度约为 m． 【答案】12 【分析】在求出，然后在中利用正弦定理求出，最后在中可求出. 【详解】在中，， 所以， 在中，， 所以， 由正弦定理得，所以，得， 在中，，， 所以. 故答案为：12 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4题 解三角形的实际应用（一题多变） 【河北省邢台市邢襄联盟高三上学期10月期中T8】如图，已知为某建筑物的高，，分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，\${{A}_{1}}\$，，分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得米，米，，，在C点测得B点的仰角为33.69°，在B点测得A点的仰角为51.34°，则该建筑物的高约为（参考数据，，）（ ） A．268米           B．265米             C．266米             D．267米 【思路分析】 根据题意，分别过B，C作，，垂足分别为F，D，找到在B，C两点处的仰角，过D作，垂足为E．由题中所给的角，借助于直角三角形，利用正弦定理，依次求得，和，即可求出建筑物的高. 【详解】 如图，分别过，作，，垂足分别为F，D，过D作，垂足为E． 根据题意易得，． 在中，由正弦定理得， 在中，，则， 在中，，则， 所以米． 故选：C. 【题后反思】 本题是一道解三角形的实际问题，其本质是在实际问题中抽象出具体的三角形模型，然后利用正余弦定理解出所求角或边即可;解决本题的关键是分析题意，作出辅助线，找到在B，C两点处的仰角. 解三角形应用题的一般步骤： （1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． （2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． （3）根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． （4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 变问题背景，求高度 【变化角度】改变原题中的实际问题背景，仍求高度，如下： 例：如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度（与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物，测得的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物之间的地面上的点E处测得A点，C点的仰角分别为75°和30°（其中B，E，D三点共线）.该学习小组利用这些数据估算得约为60米，则的高h约为（ ）米 （参考数据：，，） A．11    B．20.8    C．25.4    D．31.8 【思路分析】 易得，在中，求出，在中，利用正弦定理求得，在解直角三角形即可得出答案. 【详解】 由题意可得，则， 在中，， 在中，因为，所以，所以， 又， 所以（米）. 故选：C. 【举一反三】 1．如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得，，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，则该铁塔的高度约为（    ）．（参考数据：，，，）    A．42米 B．47米 C．38米 D．52米 2．某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案．如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点M的仰角分别为，，，且，则该古建筑的高度为（    ）    A． B． C． D． 变求高度为求距离 【变换角度】改变问法，将原题中的测量高度问题变为测距离，如下： 例：海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象．若要测量如图所示的蓝洞的口径，即两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，，，，则两点间的距离为（ ） A．80    B．    C．160    D． 【思路分析】 根据题意，求得各个角度，即可得长，根据正弦定理，可得长，根据余弦定理，即可得答案. 【详解】 因为，， 所以，， 所以， 又因为， 所以， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 故选：D. 【举一反三】 3．海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 （2024·云南昆明·一模） 4．早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在位置时，测出；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了位置，测出，．若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：）（   ）      A． B． C． D． 变求高度为求角度 【变换角度】改变问法，将原题中的测量高度问题变为测角度，如下： 例：如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45°.已知此山的高，小车的速度是，则（ ） A．    B．    C．    D． 【思路分析】 可由，求得，由，求得，由行驶时间和速度求得，再由余弦定理解出即可. 【详解】 由题意可得，， ，，， 则，. 因为，所以由余弦定理可知，. 故选：A. 【举一反三】 5．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为，向山顶前进到达B处，又测得C对于山坡的斜度为，若，山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线前往处救援，则的值为 ． 7．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得，，米，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高AB＝（    ）米. A． B． C． D． 8．如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（    ）. A． B．100m C． D． （2024·山东临沂·一模） 9．在同一平面上有相距14公里的两座炮台，在的正东方.某次演习时，向西偏北方向发射炮弹，则向东偏北方向发射炮弹，其中为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点，则炮台与弹着点的距离为（    ） A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里 10．《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点，处分别作切线相交于点，测得切线，，，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（    ） A．0.62 B．0.56 C． D． 11．一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离12海里，灯塔C在A的北偏西，距离为12海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，下面结论正确的有（    ） A． B． C．或 D． 12．如图，MN是底部N不可到达的一座塔，M为塔的最高点，某同学为测量塔的高度，在塔的正东方向找到一座建筑物AB，高约为，在点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A、塔顶部M的仰角分别为和，在A处测得塔顶部M的仰角为，则塔MN的高度约为 m． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$