精品解析：北京市朝阳外国语学校2024—2025学年上学期八年级期中数学试题

2024北京朝阳外国语学校初二（上）期中 数学 一、选择题 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答的关键．根据轴对称图形的定义:沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形,依次判定即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意， B、不是轴对称图形，故此选项符合题意， C、是轴对称图形，故此选项不符合题意， D、是轴对称图形，故此选项不符合题意， 故选：B． 2. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握坐标关于轴对称的变化规律，即关于轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵关于轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 故选：B． 3. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 4. 下列说法错误的是（ ） A. 直角三角形两锐角互余 B. 直角边、斜边分别相等的两个直角三角形全等 C. 如果两个三角形全等，则它们一定是关于某条直线成轴对称 D. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定．根据直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，一一判断即可． 【详解】解：A、直角三角形两锐角互余，故A不符合题意； B、直角边、斜边分别相等的两个直角三角形全等，故B不符合题意； C、如果两个三角形全等，则它们不一定是关于某条直线成轴对称，故C符合题意； D、与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故D不符合题意． 故选：C． 5. 如图，直线是四边形的对称轴，点在上．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据直线是四边形的对称轴，得到点与点对应，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】解：直线是四边形的对称轴， 点与点对应， ，，， 点是直线上的点， ，， A，B，C正确，而D错误， 故选：D． 6. 如图，直线，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，先利用等腰三角形的性质可得，然后再利用平行线的性质可得． 【详解】解：，， ， ， ， 故选C． 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到结论． 【详解】解：∵AB＝AC＝9， ∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AE的中垂线交BC于点D， ∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴CD＝AB＝9，BD＝CE， ∵CD＝3BD， ∴CE＝BD＝3 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题． 8. 如图，中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论中正确的有（ ） ①若，则；②；③；④． A. ①③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．由角平分线的定义和三角形内角和定理可求，，由外角的性质和直角三角形的性质可求出，可判断①；如图，延长，交于点，证明，得，由等腰三角形的性质及三角形内角和可推出，可判断②；如图，在上截取，连接，证明，得，证明，得，可判断③；过点作于，于，由角平分线的性质可得，由全等三角形的性质可得，，得的值，可判断④，即可得解． 【详解】解：①∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ②如图，延长，交于点， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 假设， 则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，与矛盾， ∴假设不成立，即， ∴， 故结论②错误； ③如图，在上截取，连接， ∵平分，平分，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故结论③正确； ④如图，过点作于，于， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故结论④正确； ∴正确的结论有①③④． 故选：B． 二、填空题（共24分，每小题3分．） 9. 工人师傅盖房子时，常将房梁设计如图所示的图形，使其牢固不变形，这是利用________性． 【答案】三角形的稳定 【解析】 【详解】由生活经验，易得根据三角形的稳定性. 10. 学了全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，，，，求证：”，老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是：______________． 【答案】或## 或 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理，为公共边， ，根据ASA即可证明，或者根据SSS证明即可求得答案 【详解】根据题意，若，， 又 （SAS） 或者， （SSS） 故答案为：或 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 11. 若一个多边形的内角和等于1260°，它是_____边形，从这个多边形的一个顶点出发共有_____条对角线． 【答案】 ①. 九 ②. 27 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式得到多边形边数，根据多边形对角线的条数的计算公式进行计算即可得到答案. 【详解】设这个多边形的边数为n， ∴（n﹣2）×180°＝1260°， 解得n＝9， ∴这个多边形为九边形； ∴对角线的条数＝＝27条． 故答案为九；27 【点睛】本题考查多边形内角和、多边形对角线的条数，解题的关键是掌握多边形内角和、多边形对角线的条数的计算. 12. 已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为8，则它的周长是_____． 【答案】19． 【解析】 【详解】试题分析：①当3为底时，其它两边都为8，3.8、8可以构成三角形，周长为19； ②当4为腰时，其它两边为3和8，∵3+3＜8，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有19． 故答案为19． 考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系． 13. 如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是_________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得：的周长，即可解答． 【详解】解：、分别是、的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故答案为：11． 14. 如图，在中，，平分，交于点，且，若，则_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键．过点作于，根据三角形内角和定理可得，然后根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作于， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 15. 如图，中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为_________． 【答案】##110度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，已知，在边 上顺次取点，，，在边 上顺次取点，，，使得，得到等腰△，△，△，△ （1）若，可以得到的最后一个等腰三角形是____________； （2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△，则的度数的取值范围是____________． 【答案】 ①. △ ②. 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出即可判断． （2）由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是△，需要满足：且，解不等式即可解决问题． 【详解】（1）， ， ， ， △不存在， 得到的最后一个等腰三角形是△． 故答案为△． （2）由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是△， 需要满足：且， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题关键是理解某个三角形为最后一个等腰三角形的条件． 三、解答题（共52分，17题8分，18题-23题，每题5分，24题7分，25题7分．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方等知识，熟练掌握运算法则是关键． （1）先计算幂的乘方，再根据同底数幂相乘的运算法则计算即可得答案； （2）同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方计算后，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，C是AB的中点，CDBE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD＝CE． 【答案】 证明：∵C是AB的中点， ∴AC=CB， ∵CD∥BE， ∴∠ACD=∠B． 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（SAS）， ∴AD=CE． 【解析】 【分析】根据平行线的性质和中点的定义以及全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、平行线的性质及其应用等几何知识点问题．应牢固掌握全等三角形的判定定理． 19. 已知：如图，点在的边上． 求作：射线，使，且点在的角平分线上． 作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点；③画射线；④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；⑤画射线．射线就是所求作的射线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： ∵平分， ∴ ． ∵， ∴ ． ∴． ∴（ ）（填推理的依据）． 【答案】（1） 依作法补全图形如下图： （2）；；内错角相等，两直线平行． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，等边对等角，平行线的判定，解题的关键是正确理解作图过程． （1）根据题意依作法补全图形即可； （2）根据角平分线的定义，等边对等角，平行线的判定，补全证明过程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明： ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；内错角相等，两直线平行． 20. 如图，在中，，D为边上一点，平分，且，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，过点A作于H，利用“”可证明，得到，再利用“”可证明，得到，利用线段的和差关系即可求出的长，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点A作于H， ， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． （1）的面积是_______； （2）已知与关于y轴对称，与关于x轴对称，请在坐标系中画出和； （3）在y轴有一点P，使得周长最短，请画出点P的位置（保留画图的痕迹）． 【答案】（1）4 （2） 和如图所示． （3） 如图所示， 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，运用网格求三角形的面积，作轴对称的图形，两点之间线段最短，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用割补法进行列式计算，即可作答． （2）根据关于轴对称的点的特征，找出点，然后依次连接，得；根据关于轴对称的点的特征，找出点，然后依次连接，得，即可作答． （3）因为的周长，则由（2）得出，故，即当共线时，根据两点之间线段最短，则的周长最短，即连接，与轴相交于一点，即点的位置，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，， 的面积是4； 故答案为：4； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，与y轴相交于点， 的周长， 则由（2）得出， ， 即当共线时，根据两点之间线段最短， 则的周长最短． 22. 下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，请你先补全已知求证，并选择其中一种方法，完成证明． 定理：在直角三角形中．如果一个锐角等于．那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，__________． 求证：__________． 方法一 证明：如图，延长到点，使得，连接． 方法二 证明：如图，在线段上取一点，使得．连接． 【答案】；； 若选择方法一： 如图：延长到点D，使得，连接， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 若选择方法二： 如图，在线段上取一点D，使得，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 根据定理及图形补全已知求证； 若选择方法一：先根据直角三角形的两个锐角互余求出，再利用平角定义求出，从而可得，然后利用证明，从而可得，进而可得是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答； 若选择方法二：先根据直角三角形的两个锐角互余求出，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，，从而可得，进而可得，最后利用等量代换可得，即可解答． 【详解】解：已知：如图，在中，，． 求证：． 23. 我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”，例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”． （1）①如图1，在中，，，请你在这个三角形中画出它的“等腰线段”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数； ②如图2，等边三角形 （填“存在”或“不存在”）“等腰线段”． （2）如图3，，点在射线上，若存在“等腰线段”，则的度数为 ． 【答案】（1） ①如图，即为所求， ②不存在 （2）或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识．解题的关键是： （1）①作的平分线即可，然后根据角平分线的定义，三角形的内角和定理求解即可； ②根据“等腰线段”的定义和等边三角形的判定与性质判定即可； （2）分三种情况讨论：①；②；③三种情况讨论，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识求解即可． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， ∴、是等腰三角形， ∴是的“等腰线段”； ②若等边三角形存在“等腰线段”，如图， 则，都是等腰三角形， 又是等边三角形， ∴， ∴，都是等边三角形， ∴D和A或D和C重合， 此时不存在或， ∴等边三角形不存在“等腰线段”， 故答案为：不存在； 【小问2详解】 解∶∵存在“等腰线段”， ∴、是等腰三角形， ①当时，如图， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴； ②当时，如图， ∴ ∴， ∵是等腰三角形， ∴； ③当时，如图， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴； 综上，的度数为或或． 24. 在中，，点D在的内部，，． （1）如图1，线段的延长线交于点E，且． ①求的度数； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，直接写出结果； （2）如图2，点F在线段的延长线上，连接交射线于点M，且M为的中点．求证：． 【答案】（1）①45度；② （2） 延长到点N，使，在上截取， ∵M为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和为180度， （1）①通过证明可得，再由等边对等角及三角形内角和为180度即可求解；②根据可得，再由线段的转换即可求解； （2）延长到点N，使，在上截取，通过证明，可得，再证明，可得，由等边对等角及角的转换可得，即可求解； 熟练掌握知识点，并添加适当的辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 ①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 25. 在平面直角坐标系中，点，分别在线段，上，如果存在点使得，（，，逆时针排列），则称点是线段的“关联点”如图1，点是线的“关联点”． （1）如图2，已知点，，点与点重合． ①当点是线段中点时，在，中，其中是线段的“关联点”的是 ； ②已知点是线段的“关联点”，则点的坐标是 ． （2）如图3，已知，． ①当点与点重合，点在线段上运动时（点不与点重合），若点是线段的“关联点”，求证：； ②当点，分别在线段，上运动时，直接写出线段的“关联点”形成的区域的周长． 【答案】（1）；； （2） 证明∶ 如图中， ∵，， ∴是等边三角形， ∵点是线段（即）的“关联点”， ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ，， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴； ． 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题． （）画出图形，利用图象法解决问题； 画出图形发现点与点重合时满足条件； （）证明，推出，可得结论； 当点，分别在线段，上运动时，线段的“关联点”形成的区域是菱形，则可求出周长． 【小问1详解】 解∶如图中， 观察图形可知， 点是线段的“关联点”， 故答案为：； ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴当点与重合时，满足条件， 此时， 故答案为：； 【小问2详解】 略 如图，当点与重合时，得到， 同理可得是边长为的等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 观察图形可知，当点，分别在线段，上运动时， 线段的“关联点”形成的区域是菱形，周长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024北京朝阳外国语学校初二（上）期中 数学 一、选择题 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 4. 下列说法错误的是（ ） A. 直角三角形两锐角互余 B. 直角边、斜边分别相等的两个直角三角形全等 C. 如果两个三角形全等，则它们一定是关于某条直线成轴对称 D. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 5. 如图，直线是四边形的对称轴，点在上．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A. 3 B. 2 C. D. 8. 如图，中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论中正确的有（ ） ①若，则；②；③；④． A. ①③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③ 二、填空题（共24分，每小题3分．） 9. 工人师傅盖房子时，常将房梁设计如图所示的图形，使其牢固不变形，这是利用________性． 10. 学了全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，，，，求证：”，老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是：______________． 11. 若一个多边形的内角和等于1260°，它是_____边形，从这个多边形的一个顶点出发共有_____条对角线． 12. 已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为8，则它的周长是_____． 13. 如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是_________． 14. 如图，在中，，平分，交于点，且，若，则_____． 15. 如图，中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为_________． 16. 如图，已知，在边 上顺次取点，，，在边 上顺次取点，，，使得，得到等腰△，△，△，△ （1）若，可以得到的最后一个等腰三角形是____________； （2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△，则的度数的取值范围是____________． 三、解答题（共52分，17题8分，18题-23题，每题5分，24题7分，25题7分．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，C是AB的中点，CDBE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD＝CE． 19. 已知：如图，点在的边上． 求作：射线，使，且点在的角平分线上． 作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点；③画射线；④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；⑤画射线．射线就是所求作的射线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： ∵平分， ∴ ． ∵， ∴ ． ∴． ∴（ ）（填推理的依据）． 20. 如图，在中，，D为边上一点，平分，且，若，求的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． （1）的面积是_______； （2）已知与关于y轴对称，与关于x轴对称，请在坐标系中画出和； （3）在y轴有一点P，使得周长最短，请画出点P的位置（保留画图的痕迹）． 22. 下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，请你先补全已知求证，并选择其中一种方法，完成证明． 定理：在直角三角形中．如果一个锐角等于．那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，__________． 求证：__________． 方法一 证明：如图，延长到点，使得，连接． 方法二 证明：如图，在线段上取一点，使得．连接． 23. 我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”，例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”． （1）①如图1，在中，，，请你在这个三角形中画出它的“等腰线段”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数； ②如图2，等边三角形 （填“存在”或“不存在”）“等腰线段”． （2）如图3，，点在射线上，若存在“等腰线段”，则的度数为 ． 24. 在中，，点D在的内部，，． （1）如图1，线段的延长线交于点E，且． ①求的度数； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，直接写出结果； （2）如图2，点F在线段的延长线上，连接交射线于点M，且M为的中点．求证：． 25. 在平面直角坐标系中，点，分别在线段，上，如果存在点使得，（，，逆时针排列），则称点是线段的“关联点”如图1，点是线的“关联点”． （1）如图2，已知点，，点与点重合． ①当点是线段中点时，在，中，其中是线段的“关联点”的是 ； ②已知点是线段的“关联点”，则点的坐标是 ． （2）如图3，已知，． ①当点与点重合，点在线段上运动时（点不与点重合），若点是线段的“关联点”，求证：； ②当点，分别在线段，上运动时，直接写出线段的“关联点”形成的区域的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $