广东省梅州市广东梅县东山中学2024-2025学年高三下学期模拟测试（一）数学试题

广东梅县东山中学2024—2025学年度第二学期高三模拟测试（一） （数学科） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知互不相等的数据，，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的方差为，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系无法判断 4. 已知正项等差数列的公差为，前项和为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 展开式中二项式系数最大的项为第5项 6. 如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 7. 已知A，B，F分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的两个零点分别为和，则（   ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的命题是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1 B. 口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量X，则X的数学期望 C. 若随机变量，当μ不变时，σ越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖 D. 经验回归方程相对于点的残差为 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的图像在处的切线斜率为 C. D. 有两个零点，且 11. 曲线的形状类似希腊字母“”，其方程为.若点在曲线上，，则（ ） A. 当在第一象限时， B. 当在第四象限时， C. 直线与曲线的所有交点的横坐标之和大于6 D. 直线与曲线恰有4个公共点 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，均为单位向量，且，则______． 13. 分别以锐角三角形的边，，为旋转轴旋转一周后得到的几何体体积之比为，则________． 14. 在数列中给定，且函数的导函数有唯一零点，函数且，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 在公差不为0的等差数列中，已知，，成等比数列， （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前2n项和． 16. 2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，3月22日-28日是第三十七届“中国水周”.为了唤起孩子们的节约用水意识，加强水资源保护，某中学举办了关于“水资源”的问答比赛.比赛规则如下：盒中有5个红球，4个白球，盒中有5个红球，5个白球（两盒中的球除颜色外其他都相同）.现随机选择一盒，然后从中随机抽取2个球，若抽到球的颜色相同，则回答第一类问题，答对得2分，若抽到球的颜色不同，则回答第二类问题，答对得3分，两类问题答错均不得分.每位同学进行二轮比赛. （1）求甲同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率； （2）已知甲同学二轮比赛后得分为4分，乙同学答对第一类问题的概率为，答对第二类问题的概率为，求乙同学二轮比赛后得分高于甲同学的概率. 17. 已知双曲线过点，左、右焦点分别为，且左焦点到渐近线的距离为. （1）求的标准方程； （2）过左焦点作直线交的左支于两点，过右焦点作直线交的右支于两点，，若四边形的面积为，求直线的方程. 18. 如图，在三棱锥中，，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若，，用平面α将三棱锥分为两部分，求截面面积的最大值． 19. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）若对于恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得，求证：. 广东梅县东山中学2024—2025学年度第二学期高三模拟测试（一） （数学科） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】BC 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）或 【18题答案】 【答案】（1） 如图所示，取中点，连接， 因为，，可得且， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）由，得. 要证，只需证. 令，则. 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以，故， 因此. （2） （3）由（2）知，设， 则在上单调递减，在上单调递增， 注意到， 故在上存在唯一的零点. 若，则成立； 若，且在上单调递增. 要证明，只需证， 因为，所以只需证， 即证. 因为，即， 所以，只需证， 只需证（*） 由（1）得， 因此， 设， 则，所以在上单调递增， 所以， 从而，即，因此（*）得证， 从而. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $