第一章 集合与常用逻辑用语 单元测评-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2023·全国乙卷)设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN＝(　　) A．{0，2，4，6，8}　 B．{0，1，4，6，8} C．{1，2，4，6，8} D．U 2．(2024·全国甲卷)若集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x＋1∈A}，则A∩B＝(　　) A．{1，3，4} B．{2，3，4} C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4，9} 3．下列命题中，真命题是(　　) A．集合{(x，y)|y＝x2}与集合{y|y＝x2}表示不同的集合 B．∀x∈R，2x>x2 C．a＋b＝0的充要条件是＝－1 D．∃x∈R，x2＋2≤0 4．命题p：存在一个整数n，使n2＋1是4的倍数．则p的否定是(　　) A．∀n∈Z，n2＋1不是4的倍数 B．∀n∈Z，n2＋1是4的倍数 C．∃n∈Z，n2＋1不是4的倍数 D．∃n∈Z，n2＋1是4的倍数 5．集合A＝{x|3x＋2>m}，若－1∉A，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1] 6．如图所示，I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是(　　) A．(∁IA∩B)∩C B．(∁IB∪A)∩C C．(A∩B)∩∁IC D．(A∩∁IB)∩C 7．“”是“>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}，若集合A有且仅有两个子集，则实数a的取值为(　　) A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中是真命题的为(　　) A．“”是“a＋b>2”的充要条件 B．“x2＝1”是“x＝－1”的必要不充分条件 C．“a≠0或b≠0”是“ab≠0”的充要条件 D．“集合A＝∅”是“A∩B＝A”的充分不必要条件 10．对于集合A，B，定义集合运算A－B＝{x|x∈A且x∉B}，则下列说法正确的是(　　) A．若A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则A－B＝{1，2}，B－A＝{4} B．(A－B)∩(B－A)＝∅ C．(A－B)∪(B－A)＝A∪B D．若A＝B，则A－B＝∅ 11．将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是(　　) A．M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}是一个戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M没有最大元素，N也没有最小元素 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若集合A＝{－1，3}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，则由实数a的取值构成的集合C＝________． 13．设p：－m≤x≤m(m>0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为________，若p是q的必要条件，则m的最小值为________．(本小题第一空2分，第二空3分) 14．已知集合A＝(0，2)，集合B＝(－1，1)，集合C＝{x|mx＋1>0}，若(A∪B)⊆C，则实数m的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|m－2<x<2m}． (1)当m＝2时，求A∩B； (2)若________，求实数m的取值范围． 请从①∀x∈A且x∉B，②“x∈B”是“x∈A”的必要条件，这两个条件中选择一个填入(2)中横线处，并完成第(2)问的解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 16．(15分)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{2<x<10}，C＝{x|5－a<x<a}． (1)求A∪B，(∁RA)∩B； (2)若C⊆(A∪B)，求a的取值范围． 17．(15分)已知p：∀x∈R，m<x2－1，q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0，若p，q都是真命题，求实数m的取值范围． 18．(17分)已知全集U＝R，集合A＝，B＝{x|a－1<x<a＋1，a∈R}． (1)当a＝2时，求(∁UA)∩(∁UB)； (2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 19．(17分)已知A是非空数集，如果对任意x，y∈A，都有x＋y∈A，xy∈A，则称A是封闭集． (1)判断集合B＝{0}，C＝{－1，0，1}是否为封闭集，并说明理由． (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由． ①命题p：若非空集合A1，A2是封闭集，则A1∪A2也是封闭集； ②命题q：若非空集合A1，A2是封闭集，且A1∩A2≠∅，则A1∩A2也是封闭集． (3)若非空集合A是封闭集，且A≠R，R为全体实数集，求证：∁RA不是封闭集． 1．A　[由题意知，∁UN＝{2，4，8}， 所以M∪∁UN＝{0，2，4，6，8}．故选A．] 2．C　[依题意得，对于集合B中的元素x，满足x＋1＝1，2，3，4，5，9， 则x可能的取值为0，1，2，3，4，8，即B＝{0，1，2，3，4，8}， 于是A∩B＝{1，2，3，4}．故选C.] 3．A　[对于A选项，由描述法的概念可知集合{(x，y)|y＝x2}与集合{y|y＝x2}分别表示点的集合与数的集合，显然表示不同的集合，故A正确； 当x＝2时，2x＝x2，故B错误； 当a＝b＝0时，满足a+b＝0，但＝－1不成立，故C错误； ∀x∈R，x2+2>0，故∃x∈R，x2+2≤0错误．故选A．] 4．A　[存在量词命题的否定是全称量词命题，因此命题p的否定是“∀n∈Z，n2+1不是4的倍数”．] 5．C　[∵集合A＝{x|3x+2>m}，－1∉A， ∴3×(－1)+2≤m，即m≥－1，故选C．] 6．D　[补集∁IB画成维恩图如图①，交集A∩∁IB画成维恩图如图②，而(A∩∁IB)∩C画成维恩图就是题目的维恩图． 　] 图①　　　　　　图② 7．A　[∵⇒>0，>0⇒ ∴“>0”的充分不必要条件．故选A．] 8．D　[若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解，讨论：①当a＝1时，x＝，满足题意； ②当a≠1时，Δ＝8a+1＝0， 所以a＝－．综上所述，a＝－或1．] 9．BD　[对于A选项，当 时，a+b>2，但反之，a+b>2不能得到故错误； 对于B选项，x2＝1不一定得到x＝－1，反之x＝－1能够得到x2＝1，故正确； 对于C选项，“a≠0且b≠0”是“ab≠0”的充要条件，故错误； 对于D选项，由A∩B＝A得A⊆B， 所以A＝∅能够推出A∩B＝A， 反之，不一定成立，故正确．] 10．ABD　[对于A，若A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，可得A－B＝{x|x∈A且x∉B}＝{1，2}，B－A＝{x|x∈B且x∉A}＝{4}，所以A正确； 对于B，由A－B＝{x|x∈A且x∉B}， B－A＝{x|x∈B且x∉A}， 所以(A－B)∩(B－A)＝∅， 所以B正确； 对于C，如维恩图所示，由A－B＝{x|x∈A且x∉B}，B－A＝{x|x∈B且x∉A}， 根据集合的运算，可得(A－B)∪(B－A)＝∁A∪B(A∩B)≠A∪B，所以C不正确； 对于D，若A＝B，可得A－B＝{x|x∈A且x∉A}＝∅，所以D正确．故选ABD．] 11．BD　[对选项A，因为M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}， M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A错误； 对选项B，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确； 对选项C，若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，故C错误； 对选项D，设M＝{x∈Q|x<}，N＝{x∈Q|x≥}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确．故选BD．] 12．　[由A∪B＝A，即B⊆A，故B＝∅，{－1}，{3}． 若B＝∅时，方程ax－2＝0无解，a＝0； 若B＝，则 －a－2＝0，所以a＝－2； 若B＝{3}，则3a－2＝0，所以a＝． 综上，a＝0或a＝－2或a＝．] 13．1　4　[设A＝[－m，m]，B＝[－1，4]， 若p是q的充分条件，则A⊆B， 所以所以0<m≤1， 所以m的最大值为1． 若p是q的必要条件，则B⊆A， 所以 所以m≥4，则m的最小值为4．] 14．　[由题意，A∪B＝(－1，2)， 集合C＝{x|mx+1>0}，(A∪B)⊆C． ①m<0，x<－， 所以－≥2， 所以m≥－， 所以－≤m<0； ②m＝0时，成立； ③m>0，x>－， 所以－≤－1， 所以0<m≤1． 综上所述，实数m的取值范围为．] 15．解：(1)当m＝2时，B＝{x|0<x<4}， 所以A∩B＝{x|1<x<2}． (2)若选择条件①，由∀x∈A且x∉B，得A∩B＝∅． 当B＝∅时，m－2≥2m，即m≤－2； 当B≠∅时，m－2<2m，即m>－2． 又m－2≥2或2m≤1，即m≥4或m≤， 所以m≥4或－2<m≤． 综上所述，m的取值范围为． 若选择条件②，由“x∈B”是“x∈A”的必要条件得A⊆B， 即所以1≤m≤3， 所以m的取值范围为[1，3]． 16．解：(1)因为集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{2<x<10}，在数轴上表示可得： 故A∪B＝{x|2<x<10}，∁RA＝{x|x<3或x≥7}， (∁RA)∩B＝{2<x<3或7≤x<10}． (2)依题意可知， ①当C＝∅时，有5－a≥a，得a≤； ②当C≠∅时，有<a≤3． 综上所述，所求实数a的取值范围为(－∞，3]． 17．解：由x∈R得x2－1≥－1， 若p：∀x∈R，m<x2－1为真命题， 则m<－1． 若q：∃x∈R，x2+2x－m－1＝0为真命题， 则方程x2+2x－m－1＝0有实根， 所以4+4(m+1)≥0， 所以m≥－2． 因为p，q都是真命题， 所以 所以－2≤m<－1， 所以实数m的取值范围为[－2，－1)． 18．解：(1)因为A＝＝{x|2<x≤5}， 当a＝2时，B＝{x|1<x<3}， 因为全集U＝R，则∁UA＝{x|x≤2或x>5}， ∁UB＝{x|x≤1或x≥3}， 因此，(∁UA)∩(∁UB)＝{x|x≤1或x>5}． (2)易知集合B＝{x|a－1<x<a+1，a∈R}为非空集合， 因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，则B⫋A， 所以解得3≤a≤4， 因此，实数a的取值范围是[3，4]． 19．(1)解：对于集合B＝{0}，因为0+0＝0∈B，0×0＝0∈B，所以B＝{0}是封闭集． 对于集合C＝{－1，0，1}， 因为－1+0＝－1∈C，－1×0＝0∈C，－1+1＝0∈C， －1×1＝－1∈C，0+1＝1∈C，0×1＝0∈C， 所以集合C＝{－1，0，1}是封闭集． (2)解：①对命题p：令A1＝{x|x＝2k，k∈Z}， A2＝{x|x＝3k，k∈Z}， 则集合A1，A2是封闭集，如A1＝{0，－2}，A2＝{0，3}， 但A1∪A2＝{0，－2，3}不是封闭集，故p为假命题． ②对于命题q：设a，b∈(A1∩A2)， 则有a，b∈A1，又因为集合A1是封闭集， 所以a+b∈A1，ab∈A1， 同理可得a+b∈A2，ab∈A2． 所以a+b∈(A1∩A2)，ab∈(A1∩A2)， 所以A1∩A2是封闭集，故q为真命题． (3)证明：因为非空集合A是封闭集，且A≠R， 所以∁RA≠∅，∁RA≠R． 假设∁RA是封闭集， 由(2)的命题q可知，若非空集合A1，A2是封闭集， 且A1∩A2≠∅，则A1∩A2也是封闭集． 又因为A∩(∁RA)＝∅， 所以∁RA不是封闭集，得证． 学科网（北京）股份有限公司 $$