河南省安阳市滑县部分学校2024-2025学年高二下学期期末测评数学试卷

参考答案 2024一2025学年下学期期末测评试卷 高二数学 1.B【解析】原式=(2-i)(2+i)=4-(-1)=5.故选B. 2.D【解析】P=xlIx=-x,x∈Z}={…,-2,-1,0},Q=CzP=N”,结合各选项可知选D. 3.B【解析】因为a=(1,0),b=(1,-1),所以ka-b=(k-1,1).因为(ka-b)⊥b,所以(ka-b)· b=0,所以(k-1)×1+1×(-1)=k-2=0,解得k=2.故选B. 4.C【解析】在曲线C的方程 万+y1=1中，令x=-x,y=-y,曲线方程不变，所以曲线C关于x 轴，y轴对称.当x≥0，y≥0时，曲线C的方程为盖+y=1,表示以(5,0)和(0,1)为顶点的线段，其 3 长度为√(B)+=2,根据对称性知，其他三条线段的长也为2，所以曲线C: 3 +Iy1=1的周 长为4×2=8.故选C. 5.A【解标1因为儡8=am(45°+@)=5.所以45+a=60+k80,keZ.所以a=5 k·180°，k∈Z,结合各选项可知，=195°.故选A. 6.C【解析】由题意可知，两支较强的球队被分在不同组的分法有CC种，所有的分法有C种，结合 古典概型概率计算公式可得所求概率为P.CC_是 C=了故选C 7A【解析】若x)为奇函数，则八-)=-)，即+=1+，2=+恒成立， 2--11-21-2 所以a=1,则八)1+22函数=2-1在(0，+)上单涧递增。 2-1 所以(x)在(0，+)上单调递减，充分性成立； 九)=智1+，因为函数y=2-1在(0，+x)止单测道增，所以要使)在(0，+)上 单调递减，需1+a>0,故a>-1,此时不一定有a=1,必要性不成立. 所以p是9的充分不必要条件.故选A 8.A【解析】根据函数解析式，可得函数的大致图象如图所示， 因为y=f(x)-a(a∈R)有三个零点，所以0<a<2. 令e=万，得21 0 因为<<所以，<2-1<0<<号<< 又e+l=√2sin2=2sinx3=a,且x2+3=T, 参考答案第1页（共8页） 则x1+2x2+3x=x1-2+3T e=m=,如且0<6<受 e+ e e2 令g)-0xe0受).则g)-。 e 当0<x<牙时，g(x)>0,g(x)在(0，牙)上单调递增， 当子<<时，8()<0，g(x)在（子受）上单调递减， 所以g()=g(牙)=万 万。的最大值为1 综上，(-)=-1-牙，则（名+2+3）=▣-1.放选A 4 2sin(-x) 2sin x=-f(x), 9.ACD【解析】因为x)的定义域为R,且八-x)=3+cs(-2如=3+cos2x 所以八x)为奇函数，故A正确； 由风m+)=2),显然不是)的周期.故B错误： 2sin(+x) 由八x)的解析式，易得八0)=f(π)=0，显然f(x)在[0，π]上不单调，故C正确： 2sin x sin x )=3+cos2x=2-sin 令t=sin xe[-l,1小，则/代x)=h)=2-,且h(0)=0, 若1≠0，则4(0)=三士又y=子-4在[-10).(0.1门上都单调递减。 则在[-1.0)上，y=2-4≤-1，h(0）e【-1,0),在(0.1]上，=2-4≥1，h)e(0, 所以在[-1,1]上，h(t)e[-1,1], 所以f(x)=h()的最大值为1，故D正确.故选ACD 10.ABD【解析】对于甲、乙产品，9家工厂抽查评分从高到低的第5位是中位数， 由75分是甲产品按高分到低分的第4位，故中位数小于或等于75分，又甲产品得分的平均数为 77分，所以甲产品得分的中位数小于平均数，故A正确： 由66分是乙产品按高分到低分的第6位，故中位数大于或等于66分，又乙产品得分的平均数为 60分，所以乙产品得分的中位数大于平均数，故B正确： 甲产品评分可以为75,75,75,75,75,75,80,81,82，此时不存在极端高分数，故C错误； 对于乙产品，由题意，前六名的得分均大于或等于66， 假设前六名所有得分都为66分，则后三名总分为60×9-66×6=144分， 所以后三名的得分中必定有小于或等于48分的情况，故必存在极端低分数，故D正确.故选ABD. 参考答案第2页（共8页） 11.BD【解析】设曲线r上任意一点P(x,y),由题意可知曲线r的方程为(x+1)2+y+ √(x-1)2+y+√02+(y-1)7=22. 对于A,在方程中，用y替代x,x替代y,方程改变，可得曲线T不关于直线y=x对称，故A错误； 对于B,若IPF3I=22-2,则IPF,I+1PFI=2=1F,FI=2,所以点P在线段FF2上，因为点F 到线段F,F2的最短距离1OF,|=1>IPF3I,所以这样的点P不存在，故B正确； 对于C,1PF1+PF,1≤1PF,+PE,1+PF,=2,5,则点P在椭圆C:号+y2=1内（含边界）， 曲线r与椭圆C有唯一的公共点F,(0,1),此时1F,F21=2,I0OF,=1, 如图，当点P为F,时，△F,PF2的面积最大，最大值是1，故C不正确： 在曲线T上再寻找一个点P(0,y),0<y<1,若∠F,PF2>150°， 则2品>m75☐器=2+5.时>2+6解得yc2-。 所以0<y<2-√3，故存在点P使得∠FPF,>150°，故D正确.故选BD 122-号=1（或产-号=）【解析】当双曲线C的焦点在x轴上时a=1.因为离心率e= a=2. 所以c=2,则公=3，所以双曲线C的标准方程为-号=1 同理，当双曲线的焦点在)轴上时，a=1,公=3，所以双曲线C的标准方程为)- 31 13,2【解析】记内角A,BC的对边分别为a,b,c因为△MBC的面积为5，所以csnA=e 5,则bc=4, BA BC=AB.(AB-AC)=AB-AB.AC=e2-bccos A=6, 所以c2+2=6,解得c=2,则b=2.即AC=2 14.48π【解析】因为轴截面为等边三角形，等边三角形 的高为9，所以圆锥的母线长与底面圆的直径均为 65. 在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台 侧面，如图(1)，因为小球的半径为1，由图(2)，可得 圆台的上、下底面圆的半径分别为，5，母线长为 图(1) 图（2)》 45, 所以圆台的侧面积为元×（停，5马）x45=36 在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆， 其半径为分×(65-25)=25，其面积为25)m=12m 综上，圆锥内壁上小球能接触到的最大面积为36π+12π=48π. 参考答案第3页（共8页） 15.(1)因为)=nx,所以”(x)=,则f”()=1,则切线为y=x-1 (3分) 因为g(x)=1-(x>0,a∈R),所以g'(x)=(x>0,aeR), 令g'(x)=1,可得x=√a且a>0, 则g(a)=1-a,所以切线为y-(1-a)=x-√a,则y=x+1-2√a, (6分) 因为曲线y=(x)在点P(1,0)处的切线与曲线y=g(x)也相切， 所以1-2a=-1,解得a=1. (7分) (2)因为(x)≥g(x),所以nx-1+4≥0恒成立， 所以a≥x-xnx在(0，+o)上恒成立. (8分) 令h(x)=x-xlnx,则h'(x)=-lnx, 当0<x<1时，h'(x)>0,h(x)=x-x山x在(0,1)上单调递增， 当x>1时，h'(x)<0,h(x)=x-xl山x在(1，+∞)上单调递减， (11分) 所以h(x)m=h(1)=1-1×ln1=1,故a≥1，所以a的最小值为1. (13分) 16.(1)设数列|an}的公差为d, 因为a1,a2,a-1成等比数列，且a1=1,所以a,(a5-1)=a, 即1×(1+4d-1)=(1+d)2,即4d=(1+d)2,解得d=1,所以an=n. (3分) 又因为nlk≤an≤2，neNf, 当k=1时，集合{n1≤n≤2，n∈N°{=1,2}，所以集合中元素的个数b,=2: (5分) 当k=2时，集合{nl2≤n≤4，neN°}=|2,3,4}，所以集合中元素的个数b2=3 (7分) (2)由集合{nIh≤a,≤2，n∈N·|的元素个数为b,结合(1)可得b=2-k+1, (9分) .n 所以T。=6,++…+b21-22-nn卫+n=2·(2”-)一父+分 1-2 2 (11分) 因为-1=2(2-1)-a少+“生-22-）-号+1=2-n>0. 2 所以数列T为单调递增数列， (12分)》 当m=10时，可得2·(20-1)-10+9=2001<2025， 2+2 当a=1时，可得2.(2"-）-号+号=4039>2025， 所以n的最小值是11. (15分) 17.(1)连接BD1,MN, BD∥平面a,BDC平面BDDB,平面BDD,B,∩平面a=MN,∴.BD∥MN, (1分) 设BD1∩AC1=O1,BD∩AC=0,连接OO1, 在四棱台ABC,D,-ABCD中，平面ABCD∥平面AB,C,D, (1分) 平面ABCD∩平面ACC,A1=AC,平面AB,C,D,∩平面ACC,A,=A,C1, ∴.AC∥AC1, (2分) 又由题意知AM,=CC,∴.四边形ACC,A,是等腰梯形， 参考答案第4页（共8页） ∴.001⊥AC,同理001⊥BD, (3分) AC∩BD=O,AC,BDC平面ABCD,∴.OO1⊥平面ABCD, 底面ABCD是菱形，∴.AC⊥BD, 以0为原点，直线OA,OB,O01分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图， (4分) 菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，∴.BD=2,AC=25, M1=A,C=CC,=5,B,D1=1001= 3 45,0.0.c(-50.801.0)D0,-1.0).c(-50.0 C=(-35.02).励=0，-20.G=(9.0 (6分) 设M=入BD=(0,-2入，0)，0<A<1, D 设平面的法向量为m=(x1,y1,), [m·AC=-33+3 -2x+2=0 m·M=-21=0 令x1=5,则y1=0,1=3,m=(5,0,3), 0配=m,即cC,1平面a, 又CC,C平面BCC,B,∴.平面BCC,B,⊥平面x (8分) 2)设M06)80,1.0),B(0,3. =(-5).丽=(0，宁2》.威=0-1. m.AM=-3+3z0=0,.o=1, (10分) -1=- 2 又M在BB,上，设Bi=4BB,则 ,y0= 3 3 3 0=2 0,子1)…A=(-5,子，1)，aC=(-25,00). (12分) 设平面MAC的法向量为n=(2,2,2), n…i=-5,+3+=0 2 ,令y2=3,则x2=0,2=-2 n·A元=-25x,=0 ∴.n=(0,3,-2), (13分) 1cos(m,n)1=|m·ml= 6 =39 mlln25×13 13 (14分) 平面MMC与平面a夹角的正弦值为0 131 (15分) 参考答案第5页（共8页）》 18.(1)因为抛物线C:=2pr(p>0,所以焦点为F(号.0)，准线1为x=-号 (1分) 如图，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=m心y+号.A(x),B(),(2分) x=my+ 联立 2,得y2-2pmy-p2=0, =2px 易知4>0，则y1+3=2pm,y2=-p, (3分) 又=m+片南=+片 所以1AB1=x1+x2+p=m(y1+y2）+2p=2pm2+2p≥2p,当且仅当m=0 时取等号， 因为1AB1的最小值为6，所以2印=6，p=3, 所以抛物线的标准方程为y=6x (5分) (2)①当AB1x轴时，E(-2,0),1PE1=1EQ1, (6分) 当AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为x=my+ 3 2,m≠0， 则直线EF的方程为x=-⊥y+3 + m 2 (7分) 令x=-子，得：=3m=产，即E为PQ的中点，所以1PE1=BQ1. 2 综上可得，IPEI=IEQ1. (9分) ②方法一如图，连接P吓，QP,因为km=”。 33 、 3,k= 22 Yo 33-3 22 所以kn·kn=号=，=-1，则P1PQ 由①知，E为PQ的中点，故1EF1=1PQL, (11分) 2 设直线AB的倾斜角为0.0e(0,m),可得1PQ1=lMB1sin0,则1EF1=子1AB1sim0, (12分) 因为k4·kB= （yE-y)(yE-) -(y-) -36(m2+1)=-1, (-号---），+6m 所以AE⊥BE. (13分) 所以1AE1·BE1=1AB1·EF1=MB1·之AB1sn0=子AB1产sin0, 因为1AF=1API=p+1 AFIcos8,所以1AFI=1-6o39同理1BFI=1+6s9 参考答案第6页（共8页） 则1AB1=IAF1+IBF1=22 sin'0' (15分) 所以IAE·IBEI= 36in0=18 ≥18. sin 所以IAE1·IBEI的最小值为18. (17分) 方法二同方法一证得AE⊥BE 在RL△ABE与Rt△AEF中，∠B4E=∠EAF, 所以R△E△AP.测-即AE=M1·B, 同理可得引BE2=IBF1·IAB1. (13分)】 又1MP11BF=(g+2(s+)=(m,+3)(:+3)=m+3m(+g)+9=-9m+ 18m2+9=9(m2+1), 1AB1=6m2+6=6(m2+1), (15分) 所以1AE12·IBEI2=1BF1·IAF1·IAB12=9(m2+1)×36(m2+1)2, (16分) 则1AE1·1BE1=3(m2+1)×6(m2+1)=18(m2+1)≥18，所以1AE1·IBE1的最小值为18. (17分) 19.(1)方法一由X~D(3,3). 得P(X=3)=C宁'子P+c(兮（号+C(3P(号”=号 (2分) 方法三P=3)=P(X<3)-e2产号 (2分) (2)由X~D(4,m),X=1,2,3,4, 得P(X=k)=P(X≤)-P(X≤k-1)=“--),k=1,2,3,4. (3分) 4 则E(X0=[1+2(2”-1)+3(3”-2)+4(4-3)] =[4×4-(1+2+3)刀=4-[(）+（径）+(2)] (4分) 令(0≥空得（宁+（子》+（子”≤4-爱-居 (5分) 又m)=(})”+(子)+（子）”在meN上单调递减。 且)=子>名2)=名≤名故m的最小值为2 (7分) (3)由X-D(n,n),X=1,2,…,n(n≥2)，得 P(X=)=PX≤)-PX≤k-1）-=-1D,k=l,2…,A, (8分) 所以B(0=2P(X=k)=1×1+2(2-)+3(3-2)+…+n[n-(n-)门 =m-[+2+…+(m-)门=n-[(分r+(2r+…+(片门 (9分) 参考答案第7页（共8页） 方法一构造函数， 先证HxeR,e≥x+1. 设g(x)=e-x-1,xeR,则g'(x)=e-1.令g'(x)=0,得x=0,列表如下： (-9,0)】 0 (0,+o) g'(x) 0 + g(x) 单调递减 极小值 单调递增 所以g(x)≥g(0)=0, 故VxeR,e≥x+1,当且仅当x=0时取等号. (10分) 令x=-k(neN,k=1,2,…,n-1),则0<1-左<e÷, n 故(1-点)产<(e)r=e(k=1,2,…a-. 即（元<e(k=1,2,…n-1. (13分) 所以(”+（+…+(y<e-+e+…+e2+e 高 所以-[(+(2++（片门> 1 所以E(X)>n-e>n-l, 故Hn≥2且neN°，E(X)>m-1. (17分) 方法二数学归纳法 要证Vn≥2且neN,(X0>m-1,即证(+(2)”+…+()<1， 即证1”+2”+…+(n-1)”<n”. (10分) ①当n=2时，左边=1<4=右边，成立： ②假设当n=k(k≥2且k∈N·)时命题成立，即1+2+…+(k-1)*<k 则当n=k+1时，1+2+1+…++1=1×1+2×2+…+k×<k(1+2+…+)<k(+ )=2·+, 只要证2W<(k+1),即证2<(1+)，V≥2且keN (12分) 因为1+-0r=1+共+c(2r>2+>2. 所以V≥2且keN2<(1+) 故当m=k+1时，11+21+…++1<(k+1)+,命题也成立 综合①②，Hn≥2且n∈N”,1"+2"+…+(n-1)”<n", 故E(X)>n-1得证 (17分) 参考答案第8页（共8页）绝密★启用前 2024一2025学年下学期期末测评试卷 高二数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。考生答题全部答在答题卡上，答在本 试卷上无效。 2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、准考证号是否与本人相符合， 再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。 数 3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需玫动，请用橡皮擦千 净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位 置，在其他位置答题一律无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 然 1.复数(2+)(2+i)= A.-5i B.5 C.-3 D.3i 长 2.已知集合P={xIxl=-x,x∈Z,集合Q=CzP,则下列各选项中属于Q的元素是 A.-2 B.-1 C.0 D.1 蜘 3.已知向量a=(1,0),b=(1,-1),若(ka-b)⊥b,则实数k= A.1 B.2 C.-1 D.-2 留 4.在平面直角坐标系x0中，曲线C:1 +yl=1的周长为 A.4 B.6 C.8 D.10 5下列a的值能使儡：=5成立的是 A.ax=1950 B.a=105 C.a=275 D.=75° 6.某学校举办足球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支较强的球队被分在不同组的概 率为 号 B.7 c号 梨 7.已知函数f(x)= +(aeR),命题p:fx)是奇函数，命题q:fx)在(0，+)上单调递 2-1 减，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 HX2024一2025学年下学期期末测评试卷高二数学第1页（共4页） re,x≤0 8.已知函数f(x)= ,若y=f代x)-a(aeR)有三个零点x,x2,x3,且x,<x2< 2sinx,0<x≤m 3,则x1+2x2+3x3最大值为 A-1 B+1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9已知函数)=32则 A.f(x)是奇函数 B.f(x)的最小正周期为π C.f八x)在[0，r]上不单调 D.f八x)的最大值为1 10.市场监督管理局对9家工厂生产的甲、乙产品进行抽查评分，且甲、乙产品得分的平均数 分别为77.60，其中A工厂生产的产品得分如下表： 分数 名次（按高分到低分排名）】 甲产品 75 4 乙产品 66 6 则在此次抽查评分中 A.9家工厂生产的甲产品得分的中位数一定小于平均数 B.9家工厂生产的乙产品得分的中位数一定大于平均数 C.9家工厂生产的甲产品得分中一定存在极端高分数（高于平均数10分以上） D.9家工厂生产的乙产品得分中一定存在极端低分数（低于平均数10分以上） 11.曲线x是平面内与三个定点F,(-1,0),F2(1,0),F,(0,1)的距离之和等于22的点的轨 迹，P为x上一点，则 A.曲线r关于直线y=x对称 B.不存在点P使得IPFI=22-2 C.△F,PF,面积的最大值大于1 D.存在点P使得∠F,PF2>150° 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.双曲线C的离心率为2，且双曲线C与圆O:x+y2=1有且仅有两个交点.则双曲线C的 标准方程为 .(写出一个即可) 13.已知△ABC的面积为5，A-,B·BC=6,则AC= 14.某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，等边三角形的高为9，一个半径为1的小球在 该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为 HX2024一2025学年下学期期未测评试卷高二数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知函数f八x)=lnx,g(x)=1-(x>0,a∈R). (1)若曲线y=f(x)在点P(1,0)处的切线与曲线y=g(x)也相切，求a; (2)若f八x)≥g(x),求a的最小值， 16.(15分)已知数列{an}是等差数列，a,=1,且a1,a2,a5-1成等比数列.给定k∈N,记集 合{nlk≤an≤2*，neN"}的元素个数为b (1)求b1,b2的值； (2)求满足b1+b2+…+b,>2025的最小正整数n的值 17.(15分)在四棱台AB,C,D1-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，AC= 2A4,=2A,C1=2CC1,DD,=BB1,过AC1的平面a分别交BB,DD1于点M,N,且BD∥平 面a (1)证明：平面BCC,B,⊥平面a; (2)求平面MAC与平面a夹角的正弦值 HX2024一2025学年下学期期末测评试卷高二数学第3页（共4页） 18.(17分)设抛物线C:2=2x(p>0)的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点，过F且垂 直于AB的直线交抛物线C的准线I于点E,A,B在直线1上的射影点分别为P,Q.IABI的 最小值为6. (1)求抛物线C的标准方程： (2)①求证：IPEI=IEQ川： ②求IAE1·IBE1的最小值. 年 19.(17分)不透明的口袋中装有编号分别为1,2，…，n(n≥2，n∈N)的n个小球，小球除编 号外完全相同.现从中有放回地任取「次，每次取1个球，记取出的r个球的最大编号为随 机变量X,则称X服从参数为n,r的“D”分布，记为X~D(n,r) (1)若X~D(3,3),求P(X=3): (2)若X~D(4,m),且BX)≥总求m的最小值： 洲 (3)若X~D(n,n),求证：Vn≥2且neN,E(X)>n-1. HX2024一2025学年下学期期末测评试卷高二数学第4页（共4页）