第一章 集合与常用逻辑用语 章末综合测试-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章《集合与常用逻辑用语》章末综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，则（ ）. A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 设x，，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知集合. 若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. A与B关系不确定 7. 已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8. 已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，若，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. C. 4 D. 1 10. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“若，则”的是真命题 C. 设，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 11. 用表示集合中元素的个数，对于集合、，定义，若，，且，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合，，，则实数的取值范围是_______. 13. 已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______. 14. 已知集合且中至少含有2个元素，若对于中的任意两个不同元素，都有，则称具有性质，若，且同时具有性质和，则中至多有 个元素. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，或. （1）若全集，求、； （2）若全集，求. 16. 已知集合. （1）若A中有且仅有1个元素，求实数m的值； （2）若，求实数m的取值范围. 17. （1）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. （2） 命题且，命题，若与不同时为真命题，求的取值范围. 18. 已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 19. 对了给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质. （1）判断集合是否具有孪生性质，请说明理由； （2）设集合且，若C具有孪生性质，求n的最小值； （3）设集合，若，求证：. ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章《集合与常用逻辑用语》章末综合测试 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B A A C A D C ABD AD ABD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，则（ ）. A. B. C. D. 【详解】C 因为， 所以. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【详解】B 命题“，”的否定为“，”，故B正确. 3. 已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【详解】A 根据图像可知，阴影部分表示，，所以. 4. 设x，，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【详解】A 由且，可得 当，时，满足，但不满足且 则“且”是“”的充分不必要条件. 5. 已知集合. 若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【详解】C 因为，则， 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：实数a取值范围为. 6. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. A与B关系不确定 【详解】A ，， 因为表示奇数，表示整数， 故根据子集的定义，必有． 7. 已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】D 由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是. 8. 已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【详解】C 命题为假命题， 在上无解， 即与，函数图象没有交点， 由图可知：或， 命题为真命题，则，解得， 综上所述：实数a的取值范围为. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，若，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. C. 4 D. 1 【详解】ABD ，因为，所以，所以或或或， 若，则； 若，则； 若，则； 若，无解． 10. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“若，则”的是真命题 C. 设，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【详解】AD 选项A，由，能推出，但是由，不能推出，例如当时，符合，但是不符合，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 选项B，当时，，故B错误； 对C，由且能推出，充分性成立，故C错误； 对D，且，则由无法得到，但是由可以得到，故D正确. 11. 用表示集合中元素的个数，对于集合、，定义，若，，且，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D． 【详解】ABD 对，有， 故，则或， 当时，由， 故，则有，即， 此时，符合要求； 当时，则，故， 对于，若，解得， ① 当时，，解得， 此时，符合要求； ② 当时，，解得， 此时，符合要求. 若，则有一根属于，另一根不属于， 当时，有，故不是的根， 当时，有，故不是的根， 故时，不合题意； 综上所述，实数的值可能为或． 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合，，，则实数的取值范围是_______. 【详解】由，可知. 13. 已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______. 【详解】根据题意可知，若p是q的充分不必要条件需满足，解得； 但且两端等号不同时成立，所以，即； 因此实数m的取值范围为. 14. 已知集合且中至少含有2个元素，若对于中的任意两个不同元素，都有，则称具有性质，若，且同时具有性质和，则中至多有 个元素. 【详解】先说明连续11项中集合中最多选取5项， 以为例. 构造抽屉，，，，，，. ①同时选，因为具有性质和， 所以选5则不选；选6则不选；选7则不选； 则只剩，故中属于集合的元素个数不超过5个. ②选2个， 若只选，则不可选，又只能选一个元素， 可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个. 若选，则只能从中选，但不能同时选， 故中属于集合的元素个数不超过5个. 若选，则不可选，又只能选一个元素， 可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个. ③中只选1个， 又四个集合，，，每个集合至多选1个元素， 故中属于集合的元素个数不超过5个. 由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合的元素至多只有5个， 如取. 因为，则把每11个连续自然数分组，前184组每组至多选取5项，余一个数2025. 给出如下选取方法：从中选取； 然后在这5个数的基础上每次累加11，构造184次. 此时集合的元素为：；；；； ，共个元素，而取也满足题意， 经检验可得该集合符合要求，故集合的元素最多有个. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，或. （1）若全集，求、； （2）若全集，求. 【详解】（1）集合，或，则或， 或，所以或. （2）由或，得， 所以. 16. 已知集合. （1）若A中有且仅有1个元素，求实数m的值； （2）若，求实数m的取值范围. 【详解】（1）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根； 若，则当且仅当方程的判别式，即时， 方程有两个相等的实根，此时集合中有且仅有一个元素， 所以实数m的值为或； （2）， 因为，所以， 由（1）知时，，不符合， 当时，若，解得，此时，符合， 若，解得，此时方程的根为， 集合，符合， 若，由，则可得， 此时有且，无解， 综上所述：实数m的取值范围为. 17. （1）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. （2）命题且，命题，若与不同时为真命题，求的取值范围. 【详解】（1）由“”是“”的充分不必要条件，得真包含于 而，显然 于是，解得， 所以的取值范围为； （2）当命题为真命题时， 当命题为真命题时，，即， 所以与同时为真命题时有，解得 故与不同时为真命题时，的取值范围是. 18. 已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集， 当时，，得； 当时，，不等式组无解， 综上实数的取值范围为； （3）若， 当时，，得； 当时，或，解得或无解， 综上， 所以实数的取值范围为. 19. 对了给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质. （1）判断集合是否具有孪生性质，请说明理由； （2）设集合且，若C具有孪生性质，求n的最小值； （3）设集合，若，求证：. 【详解】（1）由题意，，，， ,, 所以不具有孪生性质，具有孪生性质； （2）由题意，， ，则，， 又，所以的最小值是675； （3）， 则都属于集合， 又，则， 又，所以，所以. ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$