河南省安阳市滑县部分学校2024-2025学年高一下学期期末测评数学试卷

参考答案 2024一2025学年下学期期末测评试卷 高一数学 1C【解标】复数：=品=，=.0正。-1-，所以复数：在复平面内对位的点为 =64.i=1=2 （-1,-1),位于第三象限 2.C【解析】对于A,若平面a,B平行于同一条直线，则平面a,B可能平行，也可能相交，若α∥B,当 直线ICax时，l∥B,此时a,B不平行于同一条直线l,所以“α，B平行于同一条直线”不是“α∥B”的 必要不充分条件； 对于B,易得“a,B平行于同一平面”是“x∥B”的充要条件： 对于C,若α内有无数条直线与B平行，则平面α，B可能平行，也可能相交，若a∥B,则α内一定有 无数条直线与B平行，所以“α内有无数条直线与B平行”是“a∥B”的必要不充分条件； 对于D,由面面平行的判定定理知，“α内有两条相交直线与B平行”是“a∥B”的充分条件，由面面 平行的性质知，若α∥B,则α内任意一条直线都与B平行，所以α内有两条相交直线与B平行，所 以“α内有两条相交直线与B平行”是“α∥B”的充要条件 3B【解析】根据向量的运算法则，可得成=+市：一币+店：-了（花+励）+店=子花- 号×兮C-号西-g配-商)=号硒-)正所以A+=写g-号 4.A【解析】因为n(2)=40,n(A)=20,n(B)=15,n(A∩B)=5,所以n(AUB)=n(A)+n(B)- (AnB)=30,则n(不B)=n(2)-n(AUB)=40-30=10,则P(7B)=(iB_0=1 n(2)40-4 5A【解折1方法-如A:池合名4+B+C= .sin Acos B-sin Acos C=sin(A +B)-sin(A+C), .'sin Acos B-sin Acos C=sin Acos B+cos Asin B-sin Acos C-cos Asin C, ∴.cosA(sinB-sinC)=0,∴.cosA=0或sinB-sin=0, 又由sinA=sing二m2可知，sinC-sinB≠0，cosA=0, A=受△ABC为直角三角形， 方法二记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由正弦定理、余弦定理及题设条件可得 c-b +c2-&02+-c,且c-b0, d=- 2ac 2ab 化简得(b-c)(b2+c2-a2)=0,.b2+c2-a2=0,即b2+c2=a2, ∴.△ABC为直角三角形 参考答案第1页（共6页） 6.C【解析】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1,“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2,则P(A)= 了P()=之，且A,4相互独立 则从两袋中各摸出一个球，2个球中恰有1个红球的概率为P(A)P(不，)+P(不，)P(4)=了× 1211 2+3×2=2 7.B【解析】如图，延长BP交CC,于点R,则G织=CP=1 D BB-BP=3 即R为CC,的一个三等分点， 连接QR,取AB,的中点为H,连接BH,QH,则BH∥QR, 所以B,H,Q,R四点共面，故梯形QRBH即为截面图形， 显然m为最长边，长度为，2+（受：35 8.B【解析】因为b=√2 asin B.由正弦定理得sinB=2 sin Asin B, 又mB>0,则mA=号.因为A为锐角，所以6mA- 2 由余弦定理可知a2=b2+c2-2 bccos A=b2+c2-2bc(*). 由等商积法可知mA-宁，即吗c=山，即受-合（小 将(*)代入(**)，则么=2c三 √2bc 2 -≤ a =20=2b2+c2-2b加)2(b+c)-22c26+c)-2 bc 达2万25当组仅=时取等号，则的大做为中 2 bc 9.AB【解析】复数z=(1+i)(-2+i)=-3-i, 对于A,复数：的虚部为-1，A正确： 对于B,1z1=√(-3)2+(-1)7=√0，B正确： 对于C,:的共轭复数为-3+i,故C错误； 对于D,z2=(-3-i)2=8+6i,D错误 10.ACD【解析】对于A,由题意可知，应抽取男生600×100=60人，故A正确： 1000 对于B,每个男生被摘人到群本的可能性均为，0-。：故B指误： 对于C,所有样本的均值为70×60+160×40=166cm,故C正确： 100 对于D,所有样本的方差为，子.60×[28+70-16)1+40×[18+(160-166)1=48cm2,故 100 D正确. 参考答案第2页（共6页） 11.BCD【解析】对于A,由条件可知，SC=√S02+OC=2,圆锥S0的侧面积为π×2×2=22π， 故A错误； 对于B,当OB是△ABC的高时，△ABC的面积最大，则三棱锥S-ABC的体 积最大，体积的最大值是写×宁×2万×，反×，反-2，故B正确： 对于C,若AB=BC,则△ABC是等腰直角三角形，AB=BC=2,SA=SB=2, 所以△SAB是等边三角形，如图，将△SAB沿AB翻折，使S,A,B,C四点共面， 当S,E,C三点共线时，SE+EC的最小值是SC, 在△SBC中，SB=BC=2,∠SBC=60°+90°=150°， 由余弦定理可知，SC=√4+4-2x2x2×(-)=V8+45=2V2+万，故c正确： 对于D,因为S0=OC,所以圆锥S0外接球的球心即为点O,半径为2，所以外接球的表面积为 4r×(√2)2=8π，故D正确 12石【解析】设3个红球分别为A,B,C2个黑球分别为a6,则试验的样本空间为1(A,B),(A, C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b)},共10个样本点，选出的2个球 中至少有1个黑球包含的样本点为(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b),共7个， 故所求概率为 13. 【解析】如图，因为PC⊥平面ABC,所以PC为三棱锥P-ABC的高， 则c=e·P0=兮×经x1x1-得 由PC⊥平面ABC,ACC平面ABC,得PC⊥AC, 在直角△PCA中，PA=√个+I=√2，同理PB=√2， 期等质△PHB的底边A上的高为号则5-宁×1x马-安。 设点G到平面PuB的距离为d,则e=宁5a·d-了×孕=，c 12 得d=红 7 14.65【解析】由已知可得EF=3,∠F=45°，∠EAF=60°-45°=15°， 在公中，正孩定理得”经即点-s新得石+1 n∠F“sin2EAF,即46。a一3 由已知可得∠B4E=180°-30°-60°=90°，∠ABE=30°， 在R△ABE中，BE=2AE=6(V3+1), 所以隧道CD的长度为BE-BC-DE=6√5. 参考答案第3页（共6页） 15.(1)当a=-1时，1·2=（-1+2i)(2+i)=-4+3i.…3分 (2)因为1+2=a+2+i为纯虚数，所以a+2=0,所以a=-2.…6分 (3)产=9+2i-a+2i)(2+_2a-2+(a+4i 322-i(2-i)(2+i) 8分 5 该复数在复平面内对应的点(0气2，青生)在第二象限，………… 10分 ,2a-2<0. 5 则 解得-4<a<1, a+4 5>0 故实数a的取值范围是(-4,1)。… 13分 16.(1)因为sA=号，0<4<，所以mA>0, 3 所以sinA=√1-cos2A= …2分 因为S△A= csA=分·c·号-2.所以c 20 3, ……4分 所以A店·A花=bc0sA=29×4=16 3×5=3 6分 (2)因为m∥n,所以2sin号cos号=cosB,即inB=co8B,所以1anB=上 因为0<B<T,所以B=元，…9分 所以m2G=m2(平-A0=m(7-2）=-621=1-2msA=1-2x( )2=- 25 11分 2=m2(-A0=(受-2=-sin21=-2n4m4=-2×号×号 4g44444 25 *t*+,***+……*44, 13分 所以m(B+20)=m(+20)-(m2c+如20)-号×（器3）=-3引2 50 …15分 17.(1)因为AP⊥平面PCD,CDC平面PCD, 所以AP⊥CD,又因为∠ADC=90°，即CD⊥AD,…3分 而AP∩AD=A,ADC平面ADP,APC平面ADP, 所以CD⊥平面ADP, 又因为CDC平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD.…6分 (2)如图，取AD的中点，记为F,连接EF,BF, 因为E为AP的中点，所以EF∥PD, 所以∠BEF为BE与PD所成角（或补角）.…8分 因为EF￠平面PCD,PDC平面PCD,所以EF∥平面PCD, 又因为BE∥平面PCD,EF∩BE=E,EFC平面BEF,BEC平面BEF, 参考答案第4页（共6页） 所以平面BEF∥平面PCD,… 11分 又平面BEF∩平面ABCD=BF,平面PCD∩平面ABCD=CD,所以CD∥BF, 由(I)知，CD⊥平面PAD,所以BF⊥平面PAD,又EFC平面PAD,所以BF⊥EF,·13分 BF AB2-AF =5,EF=2,BE EF2+BF2 =3, 所以∠BEF=E子 BE=3, 所以异面直线BE与PD所成角的余弦值为子 …15分 18.(1)由已知可得(0.01×2+2x+0.02)×10=1,解得x=0.03.…3分 (2)所抽取的100名学生成绩的平均数为55×0.1+65×0.3+75×0.3+85×0.2+95×0.1= 74(分），…6分 由于前两组的频率之和为0.1+0.3=0.4，前三组的频率之和为0.1+0.3×2=0.7， 所以中位数a∈[70,80)，… . …8分 题意可得0.4+(a-70)x0.03=0.5,解得a=3(分. 10分 (3)由(1)可知，后三组中的人数分别为30,20,10，故这三组中所抽取的人数分别为3,2,1， 记成绩在[70,80)内的3名学生分别为a,b,c,成绩在[80.90)内的2名学生分别为d,e,成绩在 [90,100]内的1名学生为f, 则从中随机抽取3人的所有可能结果为(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e),(a,b,月，(a,c,d),(a,c,e) (a,c,D,(a,d,e),(a,d,),(a,e,D,(b,c,d),(b,c,e),(b,c,f),(b,d,e),(b,d,D,(b,e,) (c,d,e),(c,d,D,(c,e,D,(d,e,,共20种， …15分 其中成绩在[70,80)内学生至少有2人被抽到包含10种结果， 放所求概率为P:吕子 17分 19.(1)若AC=BD,则菱形ABCD为正方形，即AB⊥AD. 因为AM,⊥平面ABCD,A4,=AB,所以直四棱柱ABCD-A,B,C,D,为正方体， 故在任意顶点处的离放曲率均为1一六（号+受+受）=子 …2分 所以四棱柱ABCD-A,B,C,D,在任意三个顶点处的离散曲率的和为4 …3分 (2)因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD 又直四棱柱ABCD-A,B,C,D,,所以CC,⊥平面ABCD, 因为BDC平面ABCD,所以CC⊥BD. 又AC,CC,C平面ACC1,AC∩CC,=C,以BD⊥平面ACC· 设AC∩BD=O,则∠BC,O即为BC1与平面ACC1所成的角， 4分 在△BC0中，si∠BC,0=B= 4 所以0B-C-x反Bc-8c,所以∠0CB=号则∠DB= 4 …6分 2 3 参考答案第5页（共6页） 因为AM1⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD,所以AM1⊥AB,AM1⊥AD, 所以直四棱柱ABCD-AB,C,D在顶点A处的离放曲率为1-云（受+受+∠DB)=右 ……8分 (3)如图，在四面体A1-ABD中，A41⊥AB,AM1⊥AD,AM=AB=AD, 所以∠AM,B=LM,D=开，AB=A,D=2AB, 所以四面体A,-D在点A处的离散曲率为1一六（子+骨+∠刷，D)=…10分 所以∠BM,D=于 D 所以△BA,D为等边三角形，所以BD=AD=√2AB. 又在△ABD中，AB=AD,所以AB⊥AD. 所以直四棱柱ABCD-A,B,C,D,为正方体 因为C,D1⊥平面ADDA1,ADC平面ADDA1,所以CD1⊥AD 又A,D⊥AD1,AD1∩CD1=D1,AD1,CD1C平面ACD1, 所以AD⊥平面ACD.… 12分 又AC,C平面AC,D,所以AC1⊥AD. 因为CC,⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以CC,⊥BD, 又AC,CC,C平面ACC,AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC· 又AC,C平面ACC,,所以AC,⊥BD. 又AD∩BD=D,AD,BDC平面ABD,所以AC1⊥平面ABD, 所以AG是三棱锥A一ABD的高.… 14分 设正方体ABCD-AB,C,D,的棱长为a,则BD=√2a,AC,=√3a. 因为-4D=-m,所以5·Sa4D·AG=子·San·AM 所以2a·2a·s血60：AG=3·aa·a,所以4G=a, 5 乐ACBa子 17分 参考答案第6页（共6页）》绝密★启用前 2024一2025学年下学期期末测评试卷 高一数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。考生答题全部答在答题卡上，答在本 试卷上无效。 2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、准考证号是否与本人相符合， 再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。 数 3答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位 置，在其他位置答题一律无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 热 1.复数：=在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 长 2.已知，B为两个不同的平面，则α∥B的必要不充分条件是 A.a,B平行于同一条直线 B.a,B平行于同一平面 龄 C.α内有无数条直线与B平行 D.α内有两条相交直线与B平行 3.在△ABC中，B=专B配，花=，若店=A店+uA花则A+= 智 c D.2 4.如图是一个古典概型的样本空间2和随机事件A,B,其中样本空间2包含的样本点个数 n(2)=40,n(A)=20,n(B)=15,n(AnB)=5,则P(AB)= B. c D. 5.在△ABC中，sinA= oB-c0sC则△ABC的形状为 sin C-sin B A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形 HX2024一2025学年下学期期末测评试卷高一 数学第1页（共4页） 6.已知甲、乙两袋中均装有若干个大小相同的红球和白球，从甲袋中摸出一个红球的概率是 号，从乙袋中摸出一个红球的概率是7，从两袋中各摸山一个球，则2个球中恰有1个红球 的概率为 A号 B号 c号 7.如图，正方体ABCD-AB1CD,的棱长为3，P,Q分别在B,C,CD,上，且BP=3PC,DQ= 2QC,过B,P,Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面的最长边的边长为 A.5 B35 B C.√10 D.15 8.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,记BC边上的高为h,若A为锐角，b= 2 asin B,则h的最大值为 A号 B.E+1 C.+1 2 2 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知复数z=(1+i)(i-2),则 A.复数：的虚部为-1 B.z=√10 C.复数：的共轭复数为3-i D.22=-8-6i 10.某中学高三学生有1000人，其中男生有600人，女生有400人，现采用分层随机抽样方 法抽取了容量为100的样本，经计算得到男生身高样本均值为170cm,方差为28cm2;女 生身高样本均值为160cm,方差为18cm2,则 A.男生身高的样本容量为60 B.每个男生被抽入到样本的可能性均为？ C.所有样本的均值为166cm D.所有样本的方差为48cm 11.如图，AC为圆锥0底面圆0的直径，点B是圆0上异于A,C的动点，S0=0C=2,则下 列结论正确的是 A.圆锥SO的侧面积为2T B.三棱锥S-ABC体积的最大值为 3 C.若AB=BC,E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为 2√2+5 D.圆锥SO外接球的表面积为8π X2024一2025学年下学期期末测评试卷高一数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.从装有3个红球和2个黑球的盒子中不放回地一次随机抽取2个球（球除颜色外，其余完 全相同)，则至少抽到1个黑球的概率为 13.已知等边△ABC的边长为1，P℃⊥平面ABC,且PC=1,则点C到平面PAB的距离为 14.高铁是我国的国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧 459 与汗水.如图所示，B,E,F为山脚两侧共线的三点，在山顶A 30 处测得这三点的俯角分别为30°，60°，45°，计划沿直线BF开 通穿山隧道，现已测得BC,DE,EF三段线段的长度分别为4， B 2,3,则隧道CD的长度为 —一·（参考数据：im15°=6-2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知复数1=a+2i,2=2-i,aeR. (1)当a=-1时，求1·2的值； (2)若a+2是纯虚数，求a的值； (3)若。在复平面内对应的点在第二象限，求实数4的取值范围 16.(15分)在△ABC中，内角A,BC的对边分别为a,66,已知c0sA=号 (1)若△ABC的面积为2，求AB·AC的值： (2)设m=(sn号cosB),n=(1,2ms号》，且m/m,求m(B+20)的值 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AP=PD=4,AB=√13，∠ADC=90°，AP⊥平 面PCD. (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD; (2)若E是棱PA的中点，且BE∥平面PCD,求异面直线BE与PD所成角的余弦值. HX2024一2025学年下学期期末测评试卷高一数学第3页（共4页）】 18.(17分)某校在2025年高三二轮复习备考中，年级备课组命制了一套与数学新定义有关 的专题训练卷（试卷满分为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从参加测试 的学生中随机抽取了100名学生，对其成绩进行分析，按照成绩在[50,60)，[60,70)， [70,80),[80,90),[90,100]分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名 学生的成绩均不低于50分) (1)求频率分布直方图中x的值： (2)估计所抽取的100名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点 值代表)： (3)若利用分层随机抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从 这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，求成绩在[70,80)内学生至少有 2人被抽到的概率 频率 组距 0.02--- 年 0.01 洲 5060708090100分数 19.(17分)阅读数学材料：“设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲 率为1-2元(LQ,P0,+∠0，P0,+∠0，PQ,++∠Q-P0.+∠Q,P0),其中Q.(i=l, 2,…,k,k≥3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面QPQ2,平面Q3PQ,…,平面 洲 Q-PQ.和平面QPQ,为多面体M的所有以P为公共点的面.”已知在直四棱柱ABCD- AB,C,D,中，底面ABCD为菱形，AA,=AB.(角的运算均采用弧度制) (1)若AC=BD,求四棱柱ABCD-A,B,C,D1在任意三个顶点处的离散曲率的和； (2)若BC,与平面AC,所成角的正弦值为乐求四棱柱ABCD-AB,CD在顶点A处的 离散曲率； (③)裁取四面体A,-ABD,若该四面体在点A,处的离散曲率为7AG,与平面ABD交于 点,求 HX2024一2025学年下学期期末测评试卷高一数学第4页（共4页）】