2.1.1 等式的性质与方程的解（题型专练）数学人教B版2019必修第一册

2.1.1 等式的性质与方程的解 题型一 等式的性质与应用 1．（2023高一·上海·专题练习）下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2021高一·上海·专题练习）设，下列命题中为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高一上·上海·课后作业）下列说法正确的是（　　） A．在等式两边同除以，可得 B．在等式两边同除以2，可得 C．在等式两边同除以，可得 D．在等式两边同除以，可得 4．（24-25高一上·上海·假期作业）设、、、是实数，判断下列命题的真假，并说明理由. (1)如果，且，那么； (2)如果，且，那么； (3)如果，那么； (4)如果，那么，其中是正整数； (5)如果，那么； (6)如果，那么. 题型二 恒等式的化简 5．（2023高一·全国·课后作业）下列等式中，属于恒等式的是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）已知等式恒成立，则常数 7．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）若等式恒成立，则的值为 ． 8．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则 题型三 因式分解 9．（2023高一·全国·课后作业）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（21-22高一上·全国·课后作业）将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3). 11．（24-25高一上·全国·假期作业）十字相乘法分解因式： (1) (2) 12．（24-25高一上·河北唐山·阶段练习）把下列各式进行因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（20-21高一·全国·课后作业）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），将余下的部分剪接拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为（    ）. A． B． C． D． 题型四 一元一次方程的解集 14．（20-21高一·全国·单元测试）已知关于的方程的解集为，则实数的值（    ） A．0 B．1 C． D． 15．（2021·福建三明·三模）某市长期追踪市民的经济状况，依照订立的标准将市民分为高收入和低收入两类.统计数据表明该市高收入市民人口一直是低收入市民人口的两倍，且高收入市民中每年有会转变为低收入市民.那么该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放语文书和英语书，已知每本英语书厚，每本语文书厚，语文书和英语书共84本恰好摆满该书架，则书架上英语书的本数为（    ）    A．38 B．39 C．41 D．42 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）方程的解集为 ． 题型五 因式分解法解一元二次方程 18．（2023高一·全国·课后作业）已知集合，若，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 19．（2023高一·全国·课后作业）方程的解集是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·北京·阶段练习）方程的解集是（    ） A． B． C． D． 21.（24-25高一上·全国·假期作业）求下列关于的方程（方程组）的解集： (1)； (2)； (3)； 题型一 含参一元二次方程的解集 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）设，求一元二次方程的解集． 2．（24-25高一上·上海普陀·阶段练习）设为实数，求关于的方程的解集. 3．（21-22高一上·全国·课后作业）设a、，求关于x的方程的解集． 4．（2021高三·全国·专题练习）设，解关于x的方程. 1．（22-23高一上·山东德州·阶段练习）已知等式，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知不全相等的三个实数、、，满足，，，则 ． 3．（23-24高一上·上海·期中）设，则方程的解集为 . 4．（21-22高一上·上海金山·期末）若等式恒成立，则常数a与b的和为 . 5．（21-22高一上·全国·课后作业）已知关于的方程. （1）求证：不论为何值，方程必有实数根； （2）当为整数时，方程是否有有理根？若有，求出的值；若没有，请说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.1 等式的性质与方程的解 题型一 等式的性质与应用 1．（2023高一·上海·专题练习）下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据等式的性质，逐项验证即可. 【详解】对于选项，两边同时减，得到，故正确； 对于选项，没有说明，故不正确； 对于选项，在等式两边同时乘以，得到，故正确； 对于选项，在等式两边同时乘以5得到，故正确； 故选：. 2．（2021高一·上海·专题练习）设，下列命题中为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据等式的性质即可判断ABD，举例即可判断C. 【详解】解：对于A，若，两边平分可得，故A为真命题； 对于B，， 所以，故B为真命题； 对于C，当时，无意义，故C为假命题； 对于D，若，由等式的性质可得，故D为真命题. 故选：C. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）下列说法正确的是（　　） A．在等式两边同除以，可得 B．在等式两边同除以2，可得 C．在等式两边同除以，可得 D．在等式两边同除以，可得 【答案】D 【分析】利用等式的性质逐一判断各个选项即可求解. 【详解】对于A，在等式两边同乘以，可得，故A错误； 对于B，在等式两边同除以2，可得，故B错误； 对于C，若，则不一定相等，故C错误； 对于D，在等式两边同除以，可得，故D正确. 故选：D. 4．（24-25高一上·上海·假期作业）设、、、是实数，判断下列命题的真假，并说明理由. (1)如果，且，那么； (2)如果，且，那么； (3)如果，那么； (4)如果，那么，其中是正整数； (5)如果，那么； (6)如果，那么. 【答案】(1)真命题 (2)真命题 (3)真命题 (4)真命题 (5)假命题 (6)真命题 【分析】根据等式的性质，逐一判断，即可得出结果. 【详解】（1）真命题，如果且，由等式的性质可加性得成立； （2）真命题，如果且，由等式的性质可乘性得成立； （3）真命题，如果，则倒数成立； （4）真命题，如果，其中是正整数，由等式的性质可乘方性得成立 （5）假命题，如果，那么若，则不能得出，即不成立； （6）真命题，如果，则，故成立. 题型二 恒等式的化简 5．（2023高一·全国·课后作业）下列等式中，属于恒等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取特殊值可判断ABD，根据等式的性质可判断C. 【详解】对于A，时，，故A错误； 对于B，取，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，取,可得,与无意义，故D错误. 故选:C. 6．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）已知等式恒成立，则常数 【答案】4 【分析】由对应项系数相等列方程组求解． 【详解】恒成立， 所以，解得， 所以． 故答案为：4． 7．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）若等式恒成立，则的值为 ． 【答案】 【分析】令即可得. 【详解】,当， 则 故答案为： 8．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则 【答案】 【分析】结合已知等式进行变形，然后结合等式恒成立，对应项系数相等可建立关于，，的方程，从而可求． 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 解得，，，， 所以． 故答案为：． 题型三 因式分解 9．（2023高一·全国·课后作业）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐项分解因式可得答案. 【详解】对于A，应该是，故A错误     对于B，应该是，故B错误； 对于C，，故C 错误；     对于D，，故D正确. 故选：D. 10．（21-22高一上·全国·课后作业）将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用十字相乘法逐题计算即可求出结果. 【详解】（1） （2） （3） 11．（24-25高一上·全国·假期作业）十字相乘法分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）运用十字相乘法分解因式即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以. 12．（24-25高一上·河北唐山·阶段练习）把下列各式进行因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）应用十字相乘法、提取公因式法进行因式分解. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4） . 13．（20-21高一·全国·课后作业）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），将余下的部分剪接拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】图甲中阴影部分的面积为两正方形的面积之差,即为，边长分别为和 ,其面积为，利用据两个图形中阴影部分的面积相等即可得到平方差公式. 【详解】图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分面积为， 因为两个图形中阴影部分的面积相等， 所以. 故选：B 题型四 一元一次方程的解集 14．（20-21高一·全国·单元测试）已知关于的方程的解集为，则实数的值（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】先对方程整理得，再由解集为空集可得，从而可求出实数的值 【详解】由，得， 因为关于的方程的解集为， 所以，得， 故选：C 15．（2021·福建三明·三模）某市长期追踪市民的经济状况，依照订立的标准将市民分为高收入和低收入两类.统计数据表明该市高收入市民人口一直是低收入市民人口的两倍，且高收入市民中每年有会转变为低收入市民.那么该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设原来低收入市民人口为，则高收入市民人口为，设该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比为，然后由题意列方程可求得结果 【详解】解：设原来低收入市民人口为，则高收入市民人口为，设该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比为， 则由题意可得， 解得， 故选：C 16．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放语文书和英语书，已知每本英语书厚，每本语文书厚，语文书和英语书共84本恰好摆满该书架，则书架上英语书的本数为（    ）    A．38 B．39 C．41 D．42 【答案】D 【分析】由题意列出一元一次方程求解即可. 【详解】设书架上有本英语书，则语文书有本， 由题意，，解得， 故选：D 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）方程的解集为 ． 【答案】 【分析】直接解方程即可. 【详解】由. 故答案为： 题型五 因式分解法解一元二次方程 18．（2023高一·全国·课后作业）已知集合，若，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程解的情况，结合子集关系，即可分类讨论求解. 【详解】由于，故时，则且， 若中只有一个元素， ①中的方程为一元二次方程，则，此时,不合题意，舍去； ②中的方程为一元一次方程，则，则，则，此时不符合，舍去， 当时，则符合题意， 综上可知：或， 故选：D. 19．（2023高一·全国·课后作业）方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的表示方法求解. 【详解】方程的解为, 所以方程的解集是， 故选:C. 20．（23-24高一上·北京·阶段练习）方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原方程等价于，求解即可. 【详解】解：因为， 解得或(舍)， 由，解得或， 所以原方程的解集为. 故选：C. 21.（24-25高一上·全国·假期作业）求下列关于的方程（方程组）的解集： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用因式分解法求解； （2）用因式分解法求解； （3）因式分解法和整体思想综合求解． 【详解】（1）由方程，即， 解得或，即方程的解集为. （2）由方程，即 解得或，即方程的解集为. （3）由方程，即，解得或（舍去），即， 所以方程的解集为 题型一 含参一元二次方程的解集 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）设，求一元二次方程的解集． 【答案】 【分析】因式分解可得，运算求解即可. 【详解】对于一元二次方程， 即，解得或， 显然， 所以一元二次方程的解集为. 2．（24-25高一上·上海普陀·阶段练习）设为实数，求关于的方程的解集. 【答案】答案见解析 【分析】方程可化为，讨论与即可求解. 【详解】解：方程可化为， 时，， 若，则方程为，显然不成立，方程无解； 若，则方程为，方程的解为； 若时，解方程得. 综上，时，方程的解集为； 时，方程的解集为； 时，方程的解集为. 3．（21-22高一上·全国·课后作业）设a、，求关于x的方程的解集． 【答案】答案见解析． 【分析】将方程转化为，分；，；，；，讨论求解. 【详解】方程转化为， 当时，解集为； 当，时，解集为R； 当，时，解集为R； 当，时，解集为． 4．（2021高三·全国·专题练习）设，解关于x的方程. 【答案】，，. 【分析】把原方程进行参数与未知数形式的转变，将原方程看成是关于k的二次方程（即高次向低次转化），就可得到x与k之间的数学关系，再利用给定的k的范围来求出x，即原方程的解. 【详解】因为， 将其看成关于k的二次方程，则， 所以利用求根公式求得或， ∴或. 对于方程，其. ∵，∴， ∴其两根为，， 所以关于x的方程的解为，，. 1．（22-23高一上·山东德州·阶段练习）已知等式，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等式的性质和举反例对每个选项进行判断即可 【详解】解：对于A，满足，但无意义，故错误； 对于B，两边同时加上2，该等式仍然成立，故正确； 对于C，当，，满足，但得不到，故错误； 对于D，当时，无法得到，故错误； 故选：B 2．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知不全相等的三个实数、、，满足，，，则 ． 【答案】 【分析】首先证明、、均不为，然后通过题中等式进行代数运算，可得出关于的方程，即可解得的值. 【详解】先证明、、均不为，若否，不妨设，由可得， 再由可得，从而有，与题设条件矛盾， 所以，、、均不为， 将三个等式，，全加可得， 因为、、是不全相等的三个实数，且满足，，， 所以，，， 将上述三个等式全部相乘得， 因为，所以， 即， 因为，所以， 因为，则，，， 所以，即， 因为， 所以， 因为，故. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海·期中）设，则方程的解集为 . 【答案】 【分析】按题意分类讨论即可求解 【详解】时，原式，不合题意 时，原式 时，原式即恒成立 时，原式，不合题意 故 故答案为： 4．（21-22高一上·上海金山·期末）若等式恒成立，则常数a与b的和为 . 【答案】2 【分析】整式型函数恒为0，则各项系数均同时为零是本题入手点. 【详解】等式恒成立， 即恒成立， 则有，解之得，故 故答案为：2 5．（21-22高一上·全国·课后作业）已知关于的方程. （1）求证：不论为何值，方程必有实数根； （2）当为整数时，方程是否有有理根？若有，求出的值；若没有，请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）当为整数时，关于的方程没有有理根. 理由见解析. 【分析】（1）对二次项系数分类讨论，结合判别式即可证明； （2）先计算出并且设为整数），整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数．解不定方程，讨论的存在性．变形为，利用都为整数进行讨论即可． 【详解】（1）证明：当，即时，原方程为， 此方程为一元一次方程，其根为； 当，即时， ∴当时，原方程必有两个不相等的实数根， 综上所述，不论为何值，方程必有实数根； （2）解：当为整数时，关于的方程没有有理根. 理由如下： ①当时，（不合题意舍去）； ②当且为整数时，假设关于的方程有有理根. 则要为完全平方数，设（为整数）， 即（为整数），所以有， ∵与的奇偶性相同，并且、都是整数， ∴或， 解得（不合题意舍去）. 综上所述，当为整数时，关于的方程没有有理根. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$