专题05 统计与概率（6题型）（云南专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题05 统计与概率 题型概览 题型01 求中位数、众数、方差 题型02 由统计图表推断结论 题型03 利用平均数、方差做决策 题型04 由统计图表信息计算数量与百分比 题型05 列表法或树状图法求概率 题型06 概率与游戏公平性 01中位数、众数、方差 1．（2025·云南昭通·二模）在某次体育测试中，5名同学1分钟引体向上的成绩（单位：次）分别为9，6，12，12，7，这组数据的中位数是（   ） A．6 B．7 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了中位数，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．据此求解即可． 【详解】解：从小到大排序为6，7，9，12，12，最中间的数是9， ∴中位数是9， 故选：C． 2．（2025·云南·二模）为贯彻落实全国教育大会以及《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》精神，切实保障学生每天综合体育活动时间不低于2小时，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1.7，2.2，2.1，2.7，2.2，则这组数据的中位数和众数分别是 A．2.2，2.2 B．2.1，2.2 C．2．15，2.2 D．1.7，2.7 【答案】A 【分析】本题考查了众数和中位数，理解众数和中位数的概念是解题的关键． 根据众数和中位数的概念求解． 【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，， 则中位数是，众数是． 故选：A ． 3．（2025·云南昆明·二模）从2025年春季学期开始，云南各中小学校实行课间休息15分钟，某校通过各种丰富的课间活动，让课间休息落到实处，某班篮球队有篮球运动员10人，利用大课间进行投篮训练，每人投篮30个，投中球数如下表：在投中球数的这组数据中，中位数和众数分别为（   ） 投中球数 25 26 27 29 30 人数 2 1 2 3 2 A．27，29 B．28，30 C．28，29 D．27，30 【答案】C 【分析】本题考查了众数，中位数，熟练掌握定义是解题的关键． 根据中位数即一组排序的数据的中间一个数据或中间两个数据的平均数；众数即出现次数最多的数据，据此进行求解即可． 【详解】解：将10人投中球数按照从小到大的顺序排列：25，25，26，27，27，29，29，29，30，30． ∴中间的两个数是第5个数和第6个数，即27和29， ∴中位数为． 观察表格可知，投中29个球的人数是3人，在所有投中球数对应的人数中是最多的， ∴众数是29； 故选C． 4．（2025·云南昭通·二模）铜桐收藏有7枚南宋铁钱“庆元通宝”（如图所示），测得它们的质量（单位：g）分别为6.9、7.5、6.6，6.6，6.8，7.4，7.7．这组数据的众数为（   ） A．7.1 B．6.9 C．6.8 D．6.6 【答案】D 【分析】本题考查求众数，根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，进行求解即可． 【详解】解：由题意，出现次数最多的数据为6.6， 故众数为6.6； 故选D． 5．（2025·云南·二模）在一次考试中，某小组6名同学的成绩(单位：分)分别是：7、9、9、8、7、7，则这组数据的众数和中位数是(　　) A．7、7.5 B．7、7 C．7、8 D．7、8.5 【答案】A 【分析】众数是数据中出现次数最多的数，把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的两个数的平均数为中位数. 【详解】解：从小到大排序：7、7、7、8、9、9， ∴众数是7，中位数是=7.5， 故选：A. 【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 6．（2025·云南楚雄·二模）为了解某班学生每天参加体育锻炼的情况，从该班学生中随机抽取10名同学进行调查．经统计，他们平均每天的体育锻炼时间（单位：分钟）分别为50，55，60，60，65，65，70，75，75，80．这组数据的中位数是 ． 【答案】65 【分析】本题主要考查了中位数，根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：这组数据排在正中间的是第5和第6位， 所以这组数据的中位数是， 故答案为：65． 7．（2025·云南·二模）每年的月日是全国科技工作者日，在第八个全国科技工作者日来临之际，某班级举办了科技知识竞赛，其中九名学生的竞赛成绩分别为，，，，，，，，，则这组数据的众数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了众数，根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数即可求解． 【详解】解：将九名学生的竞赛成绩排序为，，，，，，，，， 其中出现的次数最多，故众数是． 故答案为：． 02由统计图表推断结论 8．（2024·云南昭通·二模）某中学开设了四个体育活动社团，分别是篮球社团、足球社团、乒乓球社团和羽毛球社团．学校为了解学生最喜欢的体育社团是哪一个，随机调查了部分学生（每人必选且只能选1个社团），并将调查结果绘制成如下的扇形统计图，已知最喜欢羽毛球社团的学生有20人，下列说法不正确的是（　　） A．最喜欢羽毛球社团的人数占被调查人数的 B．被调查的人数一共有200人 C．被调查的人中最喜欢足球社团的有30人 D．被调查的人中最喜欢篮球社团的人数最多 【答案】C 【分析】本题考查扇形统计图及其相关计算、总体、个体、样本容量、样本、用样本估计总体等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．根据扇形统计图的数据逐一判断即可． 【详解】解：A．最喜欢羽毛球社团的人数占被调查人数的，原说法发正确，故该选项不符合题意； B．被调查的人数一共有人，原说法发正确，故该选项不符合题意； C．被调查的人中最喜欢足球社团的有人 ，原说法发错误，故该选项符合题意； D．∵被调查的人中最喜欢篮球社团的占比最大，∴被调查的人中最喜欢篮球社团的人数最多，原说法正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 9．（2025·云南楚雄·二模）2024年4月23日，第三届全民阅读大会在昆明开幕．大会以“共建书香社会，共享现代文明”为主题，将举办全民阅读系列宣传推广活动，深入探讨阅读与城市发展、阅读与民族团结等话题．某中学对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（A：科普，B：文学，C：体育，D：其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法正确的是（    ） A．样本容量为100 B．类型B所对应的扇形的圆心角为 C．类型A所占百分比为 D．若该校有2000名学生，则该校学生中喜欢体育类书籍的人数约为350人 【答案】C 【分析】本题考查条形图和扇形的综合应用，从统计图中有效的获取信息，利用样本估计总体的思想，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、样本容量为；该选项错误，不符合题意； B、类型B所对应的扇形的圆心角为；该选项错误，不符合题意； C、类型D所占百分比为，类型A所占百分比为；该选项正确，符合题意； D、若该校有2000名学生，则该校学生中喜欢体育类书籍的人数约为人；该选项错误，不符合题意； 故选C． 10．（2025·云南大理·二模）大理白族酸辣鱼是一道特色佳肴，以洱海鲜鱼为主料，搭配木瓜、辣椒等熬煮，酸辣开胃，鱼肉鲜嫩，酸辣味渗透肌理，尽显白族饮食风情．为了解外地游客对大理白族酸辣鱼的喜爱程度，当地相关部门随机调查了部分游客的意见（不满意；一般；满意；较满意；不清楚，五者任选其一）．根据调查情况进行统计，绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图．根据统计图中的信息，下列结论错误的是（　　） A．选择“满意”的人数最多 B．抽样调查的样本容量是100 C．样本中“不满意”的百分比为 D．若到大理吃酸辣鱼的人数为800人，则觉得游客的意见“较满意”的人数约为160人 【答案】D 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图信息相关联，由“C满意”的人数，从而可判断A；由“B一般”的人数及其占比可求得抽取的总人数，则可判断B；可以计算出样本中“A不满意”的百分比，从而判断C；根据游客的意见“B一般”的人数占比，即可求得到大理吃酸辣鱼的人数为800人，游客的意见“B一般”的大约人数，从而判断D．掌握用样本估计总体数量等知识是解题的关键． 【详解】解：由扇形统计图知：选择“C满意”的人数最多，故A的结论正确，不符合题意； 抽取的人数中，游客的意见“B一般”的人数为人，其占比为， ∴抽取的总人数为：（人）， ∴抽样调查的样本容量是，故B正确，不符合题意； ∵“A不满意”的人数为， ∴样本中“A不满意”的百分比为，故C正确，不符合题意； ∵（人）， ∴到大理吃酸辣鱼的人数为800人，则觉得游客的意见“较满意”的人数约为200人．故D错误，符合题意． 故选：D． 11．（2025·云南·二模）如图是根据某班50名同学每天课外阅读的时间制成的条形统计图，根据图中信息，下列说法正确的是（    ） A．这组数据的平均数是12.5 B．这组数据的众数是20 C．这组数据的中位数是2 D．这组数据的中位数是17.5 【答案】C 【分析】根据图表，分别求出这组数据的平均数，众数以及中位数进行判断即可． 【详解】解：由题意得： 平均数为： 众数为：3 中位数为：2 故选C． 【点睛】本题主要考查平均数，众数及中位数的计算，熟练掌握平均数，众数及中位数的概念和计算方法是解决本题的关键． 03利用平均数、方差做决策 12．（2025·云南·二模）在一次数学测试中，小明的成绩是分，超过本班半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（   ） A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数 【答案】C 【分析】本题考查了中位数，把一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，中间的一个数或中间的两个数的平均数是这组数据的中位数，小明的成绩超过本班半数的成绩，所用的统计量是中位数 【详解】解：小明的成绩是分，超过本班半数同学的成绩， 所用的统计量是中位数， 故选：C． 13．（2025·云南曲靖·二模）某校四位学生参加数学竞赛模拟测试，每位同学的5次测试的平均分和方差如表所示： 学生 平均分 方差 甲 95 0.2 乙 93 0.5 丙 92 0.3 丁 90 0.4 根据表格中的数据，选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加正式竞赛，应该选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】此题主要考查了方差的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确掌握方差的含义． 方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．所以选出方差最小． 【详解】解：∵甲的数学考试成绩的平均分最高，且方差最小，发挥稳定， ∴选择甲参加正式竞赛． 故选：A． 14．（2025·云南楚雄·二模）某校体育节七年级男子百米赛跑有15名选手参赛，预赛成绩各不相同，现要取前8名参加决赛，小军已经知道了自己的成绩，他想知道自己能否进入决赛，还需要知道这15名同学成绩的（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查了中位数的应用，寻找出题意所述的隐含条件，即找中位数是关键． 根据要取前8名参加决赛，知道15个人的成绩的中位数后即可确定自己能否进入决赛． 【详解】解：把15个人的成绩按大小顺序排序后，第8个数据即为中位数，将小军的成绩与之相比即可确定自己能否进入决赛． 故选：C． 15．（2025·云南昆明·二模）云南是中国咖啡种植规模最大的省份，近年来，云南持续推动多元化咖啡消费场景，“咖啡＋”经济也激发出了消费新活力．某咖啡店主理人统计了某段时间内云南小粒咖啡的四种口味——甲、乙、丙、丁的销售情况，如下表所示： 口味 甲 乙 丙 丁 销售量（盒） 156 372 241 189 根据表中数据，该咖啡店主理人决定增加乙种口味云南小粒咖啡的进货数量，影响其决策的统计量是（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查了众数的意义，熟练掌握众数的意义是解题的关键．根据众数的意义，即可得出结论． 【详解】解：咖啡店主理人决定增加乙种口味云南小粒咖啡的进货数量， 说明乙种口味云南小粒咖啡的销售量最多． 因为乙种口味云南小粒咖啡的销售量最多， 所以影响其决策的统计量是众数． 故选：B． 16．（2025·云南·二模）某学校要从甲、乙两名运动员中选拔一人参加跳高比赛，在最近的几次训练中，他们两人的平均成绩相同，方差分别是．若该校要选择一名成绩较稳定的学生，则应该选择 ．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【分析】本题考查了方差的意义，方差是各数据值离差的平方和的平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定． 根据方差越小越稳定进行判断即可得出答案． 【详解】解：， ， 应该选择甲， 故答案为：甲． 17．（2025·云南·二模）为提高学生的运算能力，某校开展“计算小达人”活动，已知甲班20名学生测试成绩的方差，乙班20名学生测试成绩的方差，两班学生测试成绩的平均分都是90分，则 （填“甲”或“乙”）班的成绩更稳定． 【答案】乙 【分析】本题主要考查方差，根据方差的意义求解即可． 【详解】解：∵两班学生测试成绩的平均分都是90分，，， ∴乙的方差小于甲的方差， ∴乙班的成绩更稳定． 故答案为：乙班． 04 由图表信息计算数量与百分比 18．（2025·云南临沧·二模）某学校为了增强学生的体质，决定开放以下大课间体育活动项目：A．踢毽子，B．跳绳，C．乒乓球，D．排球．为了了解学生最喜爱哪种活动项目，随机抽取部分学生进行调查（每人只能选择一项），并将调查结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图，其中A所在扇形的圆心角为，则在被调查的学生中，选择判乒乓球的人数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．12 【答案】B 【分析】此题考查了条形统计图，扇形统计图，弄清题意是解本题的关键．用喜欢踢毽子的人数除以喜欢踢毽子的人数所占的百分比，即可求出这些被调查的学生数；用总人数减去喜欢踢毽子、跳绳和排球的人数，即可求出喜欢乒乓球的人数． 【详解】解：由扇形统计图可知：扇形A的圆心角是， 所以喜欢A项目的人数占被调查人数的百分比． 由条形图可知：喜欢A类项目的人数有2人， 所以被调查的学生共有（人）， 喜欢C项目的人数（人）， 答：被调查的学生中选择乒乓球的人数为6， 故选：B． 19．（2025·云南玉溪·二模）某学校准备购买一批课外读物．为使课外读物能够满足学生的需求，学校就“我最喜爱的课外读物类型”作了一次抽样调查．如图是根据调查结果绘制的不完整的统计图． 若学校计划购买课外读物4000册，根据样本数据，估计学校购买科普类课外读物比较合理的数量是（    ） A．1280册 B．1000册 C．800册 D．80册 【答案】C 【分析】本题主要考查了条形图表和扇形统计图综合应用，根据科普类所占的百分比乘以4000，即可得出答案． 【详解】解：学校购买科普类读物大约有（本）； 故选：C． 20．（2025·云南·二模）某校八年级班为了了解同学们一天零花钱的消费情况，对本班同学开展了调查，将同学一周的零花钱以元为组距，绘制如图的频率分布直方图，已知从左到右各组的频数之比为，若该班有人，则零花钱在元以上人数有（   ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【分析】本题考查了频数分布直方图，根据从左到右各组的频数之比为，可知零花钱在元以上人数占总人数的，根据全班总人数为人，求出零花钱在元以上的人数． 【详解】解：从左到右各组的频数之比为， 零花钱在元以上人数占份， 零花钱在元以上人数有(人)． 故选：A． 21．（2025·云南昆明·二模）今年春节期间，以迅猛之势火爆全网，成为人们热议的焦点．海内外模型、机器人都已获得显著的技术突破．目前人工智能市场分为：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能四大类型．某校为了解学生对以上四类人工智能的兴趣，随机抽取了名学生，就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如下统计图．若该校共有名学生，请根据图中提供的信息，估计该校最关注类人工智能的学生大约有 人． 【答案】 【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量，用乘以最关注类人工智能的学生所占的百分比即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：估计该校最关注类人工智能的学生大约有（人）， 故答案为：． 22．（2025·云南西双版纳·二模）某超市随机调查了某段时间内该超市的部分顾客在收银台排队付款的等待时间（单位：分钟），并绘制成如图所示的频数分布直方图（图中等待时间分钟表示大于或等于0分钟而小于1分钟，其他类同）．若等待时间在5分钟以内为正常范围，则等待时间属于正常范围的顾客所占的百分比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了频数分布直方图，读懂统计图获取必要的信息是解题的关键．根据频数分布直方图求出调查的顾客总人数，再计算等待时间在5分钟以内的顾客人数除以总人数，即可求解． 【详解】解：调查的顾客总人数（人）， 等待时间属于正常范围的顾客所占的百分比是． 故答案为：． 23．（2025·云南曲靖·二模）图书馆不仅是借书的地方，更是知识中心、学习空间和文化基地．某图书馆为了优化青少年阅 读区书籍配置，随机调查了数名青少年，并根据他们的爱好绘制了条形统计图和扇形统计图（如图）．若青少年阅读区预计配置总书籍为1200本，则阅读区科幻类书籍应配置约为 本 ． 【答案】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，先计算出抽样调查的总人数，再计算出喜欢科幻类书籍的人数占比，最后用1200乘以喜欢科幻类书籍的人数占比即可得出答案． 【详解】解：本次抽样调查的总人数为（人）， 喜欢科幻类书籍的人数占比为， （本）， 即阅读区科幻类书籍应配置约为本， 故答案为：． 24．（2025·云南昆明·二模）如今，云南发出“旅居云南”的盛情邀约，诚邀海内外广大游客到云南放松身心，享受栖居，感受“有一种叫云南的生活”．五一期间，云南某地相关部门随机抽取了部分游客的出行方式进行调查，将收集的数据整理，绘制成如下统计图，根据图中的信息，若五一期间该地游客有30万人，则选择公共交通方式出行的大约有 万人． 【答案】15 【分析】本题考查用样本估计总体，由扇形可知在样本中有的游客选择公共交通方式出行，由此估计总体中有的游客选择公共交通方式出行，据此即可求解． 【详解】解：由扇形可知在样本中有的游客选择公共交通方式出行，由此估计总体中有的游客选择公共交通方式出行，即（万人）． 故答案为：15 25．（2025·云南楚雄·二模）某校欲知同学们对家乡文化的了解情况，现对该校八年级学生进行了一次调查测试，根据学生测试成绩整理出了如图两个不完整的统计图（A等级：不了解；B等级：不大了解；C等级：一般了解；D等级：十分了解；E等级：特别了解），则十分了解的人数为 人． 【答案】350 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，读懂统计图是解题的关键．先由人数及占比求出总人数，再乘以十分了解的人数的占比即可得出十分了解的人数． 【详解】解：总人数为：（人）， 故十分了解的人数为（人）， 故答案为：． 26．（2025·云南·二模）某校课后服务课程有：足球，篮球，书法，舞蹈．为了解最受学生喜爱的课后服务课程，该校对初一同学进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息可知，该校初一学生中最喜爱足球课程的人数是 ． 【答案】210 【分析】先求解总人数,再利用总人数乘以足球所占的百分比即可. 【详解】解：总人数为：（人）， ∴该校初一学生中最喜爱足球课程的人数是（人）， 故答案为：210 【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，理解题意，再列式计算是解本题的关键. 27．（2025·云南昭通·二模）某学校组织了手抄报作品征集活动．先从中随机抽取了部分作品，按照，，，，五个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如下图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：分；C：分；D：分；E：分）．根据图中提供的信息，在调查的学生中，手抄报作品位于等级的学生有 人． 【答案】100 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，先求出总人数，再乘以手抄报作品位于等级所占的比例即可得解． 【详解】解：由题意可得：在调查的学生中，手抄报作品位于等级的学生有（人）， 故答案为：100． 28．（2025·云南·二模）某中学七年级甲、乙、丙三个班中，每班的学生人数都为40名．某次数学考试的成绩统计如下：（如图，每组分数含最小值，不含最大值）根据图、表提供的信息，则分这一组人数最多的班是 班． 丙班数学成绩频数统计表 分数 人数 1 4 15 11 9 【答案】甲 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意和统计图表中的信息，可以得到甲、乙、丙三个班中分这一组人数，然后比较大小，即可解答本题． 【详解】解：甲班分这一组有（人）， 乙班分这一组有（人）， 丙班分这一组有11人， ∵， ∴分这一组人数最多的是甲班， 故答案为：甲． 29．（2025·云南·二模）某市中招体育考试规定：除耐力类的长跑为必考项目外，考生还需在“A．掷实心球”“B．立定跳远”“C．1分钟跳绳”“D．50米跑”这四个项目中选考两项．为了解学生选考项目的选择情况，随机抽取部分九年级学生进行调查，并将调查结果绘制成了统计图（部分信息不完整），请问在被调查的学生中选择“1分钟跳绳”的人数是 ． 【答案】100 【分析】该题主要考查了扇形统计图和条形统计图结合，解题的关键是理解题意． 根据题意算出总人数，即可求解； 【详解】解：根据题意可得：总人数为人， 故在被调查的学生中选择“1分钟跳绳”的人数是人， 故答案为：100． 30．（2025·云南文山·二模）某校为开展“阳光体育”活动，从全校名学生中抽取了名学生调查其各自最喜爱的一项体育活动，制成了如图所示的扇形统计图，估计该学校选择羽毛球的学生有 名． 【答案】 【分析】本题考查了扇形统计图，用样本估计总体等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先求出羽毛球所占的百分比，然后再乘以全校的学生数即可解答． 【详解】解：羽毛球所占的百分比为， 所以该学校选择羽毛球的学生有（名）， 故答案为：． 05 列表法或树状图法求概率 31．（2025·云南昭通·二模）大理（记为），丽江（记为）和西双版纳（记为）是云南省内著名的旅游胜地．甲、乙两名同学准备在端午节假期前往云南省游玩，各自随机选择大理，丽江，西双版纳三个地方中的一个，二人选择哪个地方不受任何因素影响，每一个地方被选到的可能性相同．记甲同学的选择为，乙同学的选择为． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲和乙至少有一人去丽江游玩的概率． 【答案】(1)所有可能出现的结果总数有9种 (2)甲和乙至少有一人去丽江游玩的概率为 【分析】本题主要考查古典概型的概率计算以及分步乘法计数原理．解题的关键在于熟练运用列表法或树状图法准确列出所有等可能的基本事件，明确所求事件包含的基本事件个数，进而依据古典概型概率公式进行计算． （1）列出表格即可求解； （2）在第一问得出的 9 种等可能结果基础上，确定“甲和乙至少有一人去丽江游玩”所包含的基本事件．“至少有一人去丽江”包含甲去乙不去、乙去甲不去、甲乙都去这三种情况，通过逐一排查，找出符合条件的，，，，这 5 种结果，再依据古典概型概率公式 （ 是事件包含的基本事件个数， 是基本事件总数 ），计算出该事件的概率为． 【详解】（1）解：由题意列表如下： 由表可知，共有9种等可能出现的结果 （2）解：由（1）可知，甲和乙至少有一人去丽江游玩的有，，，，共5种结果， 概率为. 32．（2025·云南文山·二模）玉溪以三大文化地标闻名：澄江化石地见证生命起源，抚仙湖守护高原生态，聂耳故里传承民族精神．为开展主题研学，某校七、八年级分别从以下基地中随机选择一处（每个基地被选的可能性相等）： A．澄江化石地博物馆 （中国首个化石类世界自然遗产，亚洲唯一；保存亿年前寒武纪生命大爆发完整记录） B．抚仙湖湿地公园 （国家级生态保护区，长期保持Ⅰ类水质；中国最大深水型淡水湖，珠江源头战略水源库） C．玉溪聂耳纪念馆 （全国爱国主义教育基地，国歌作曲者聂耳故乡，聂耳与国歌故事的展示平台） 记七年级的选择为x，八年级的选择为y． (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求该校七年级、八年级选择的研学基地相同的概率P． 【答案】(1)所有可能出现的结果共有9种 (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式． （1）根据题意列表即可； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：列表如下： xy A B C A                B                C                ∴所有可能出现的结果为：，，，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有9种． 答：所有可能出现的结果共有9种． （2）解：由表（图）可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等． 其中相同的结果有3种：，，． ∴该校七年级、八年级选择的研学基地相同的概率． 33．（2025·云南昆明·二模）春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀．中秋节前，某校举行“传经典·庆佳节”系列活动．活动设计以下三个活动项目：歌谣传情意、创意做灯笼、花好月圆写中秋，记“歌谣传情意”为A，“创意做灯笼”为B，“花好月圆写中秋”为C．为了公平，学校制作了一个电子抽签程序（每个项目被抽中的可能性相同），参加活动的学生利用电子抽签程序从三个项目中抽取一个项目参加，且选择哪个项目不受任何因素影响．若甲、乙二人一起参加该活动，甲抽中的项目编号记为x，乙抽中的项目编号记为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲和乙抽到相同活动项目的概率P． 【答案】(1)共有9种等可能的结果 (2) 【分析】本题考查列举法求两步概率问题，涉及列表法与树状图法、简单概率公式等知识，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． （1）根据题意，列出相应的表格即可得到所有可能出现的结果； （2）根据（1）中的表格，利用简单概率公式即可求出相应的概率． 【详解】（1）解：列表如下： yx A B C A B C 由表可知，共有9种等可能的结果． （2）解：由（1）知，甲和乙抽到相同活动的结果有3种：，，， ∴甲和乙抽到相同活动的概率． 34．（2025·云南西双版纳·二模）如图，是某地铁站进口的通行闸机示意图，共有四个通道．每位乘客都要从通道刷卡进入乘车区域等待乘车．张先生和李先生二人随机从通道进站乘车． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求张先生和李先生经过通道的结果总数； (2)求张先生和李先生只有一人经过通道的概率． 【答案】(1)12种 (2) 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，正确使用列表法求概率是解题关键． （1）根据题意作出列表，即可获得答案； （2）结合列表求解即可． 【详解】（1）解：列表分析如下： 张先生 李先生 共有16种等可能结果，分别为、、、、、、、、、、、、、、、； 张先生和李先生经过通道的结果总数为12种； （2）解：由（1）可知，共有16种等可能的结果，其中张先生和李先生只有一人经过通道的情况有6种， 张先生和李先生只有一人经过通道的概率． 35．（2025·云南·二模）某学校为扎实推进劳动教育，根据学生参与劳动的情况设置了劳动积分．该学校随机抽取了50名学生的劳动积分进行收集、整理，并评定等级，等级A的学生有4人． (1)在这50名学生中，随机选取1名学生，其中等级是A的概率为 ． (2)已知A等级中有两名男同学和两名女同学，该学校要从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用画树状图法或列表法，求恰好选取的是1名男同学和1名女同学的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查简单概率的计算，利用列表法或树状图求概率． （1）根据概率公式计算即可； （2）先画出树状图，得到所有等可等结果，然后找出符合题意的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，在50名学生的劳动积分进行收集、整理，并评定等级，等级A的学生有4人， 则随机选取1名学生，其中等级是A的概率为． （2）解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中恰好选取的是1名男同学和1名女同学的结果有8种， 恰好选取的是1名男同学和1名女同学的概率为． 36．（2025·云南楚雄·二模）中国新能源汽车产业在2024年取得了显著的发展成就，产量首次突破1000万辆，标志着中国新能源汽车产业迈上了新台阶．小明家也打算购买新能源汽车，了解了“哪吒、比亚迪、几何”三款国产新能源汽车（这三款汽车依次用，，表示），若小明的爸爸和妈妈分别从中随机选择一款新能源汽车． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，列出所有可能出现的结果总数； (2)求小明的爸爸和妈妈选中同一款新能源汽车的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式． （1）根据题意作出列表，即可获得答案； （2）结合列表根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：列表得： 妈妈爸爸 A B C A B C 由表可知，共有9种等可能性结果； （2）解：小明的爸爸和妈妈选择同一款新能源汽车（记为事件）的结果有3种情况，即，，， ． 37．（2025·云南楚雄·二模）甲、乙两班同学准备参加种植蔬菜的劳动实践活动，甲班随机选择种植辣椒、茄子、西红柿三种中的一种．乙班随机选择种植辣椒、茄子、萝卜三种中的一种，记种植辣椒为A，种植茄子为B，种植西红柿为C，种植萝卜为D．假设这两班同学选择种植哪种蔬菜不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲班同学的选择为x，乙班同学的选择为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲、乙两班同学选择种植同一种蔬菜的概率． 【答案】(1)所有可能出现的结果总数共有9种 (2)甲、乙两班同学选择种植同一种蔬菜的概率为 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）画出树状图或列出表格，得出所有可能出现的结果总数即可； （2）根据画出的树状图或列出的表格，求出所有可能的结果数和符合条件的结果数，然后根据概率公式得出答案即可． 【详解】（1）解：方法一，列表如下： 甲 乙 A B C A B D 所有可能出现的结果为：，，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有9种， 所有可能出现的结果总数共有9种． 方法二，画树状图如图： 所有可能出现的结果为：，，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有9种， 所有可能出现的结果总数共有9种． （2）解：由表（图）可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，其中甲、乙两班同学选择种植同一种蔬菜的结果有2种：，， 甲、乙两班同学选择种植同一种蔬菜的概率为． 38．（2025·云南曲靖·二模）电影《哪吒之魔童闹海》之后，天庭为惩戒二人逆天改命之举，借“天命擂台”之名重启宿命对决．要求哪吒和敖丙参加“法宝挑战赛”，规则如下：哪吒：从自己的法宝“混天绫” （a）、“乾坤圈”（b）中随机挑选一件；敖丙：从冰晶法阵的三个区域“寒冰戟”（c）、“霜雪盾”（d）、 “玄冰镜”（e）中随机激活一个．两人选择法宝后，若哪吒的法宝能克制敖丙的法宝（克制关系： a克制c，b克制e），则哪吒获胜；否则敖丙获胜．记哪吒的选择为x，敖丙的选择为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，列出所有可能的对决组合，并求结果总数； (2)求哪吒获胜的概率P． 【答案】(1)（x，y）所有可能出现的结果为（a，c），（a,d ），（ a，e），（b，c ），（b，d），（b，e） ，一共有6种 (2)哪吒获胜的概率为 【分析】本题考查了列表法或画树状图求概率． （1）根据题意用列表法或画树状图法求解即可； （2）结合（1）中的列表 （或树状图），利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：方法一，列表如下： c d e a b ∴所有可能出现的结果为：，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有6种； 方法二，画树状图如下： ∴所有可能出现的结果为：，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有6种； （2）解：由列表 （或树状图）可以看出，所有可能出现的结果共有6种，这些结果出现的可能性相等，其中哪吒获胜的有2种：， ， 即哪吒获胜的概率． 39．（2025·云南昆明·二模）为持续推动劳动教育高质量发展，营造“五育并举”的良好育人环境，某校计划开设主题选修课供学生实践体验，确保学生深度参与并体验到劳动的乐趣和价值．该校七年级年级组准备从农业生产劳动、工业生产劳动、传统手工艺劳动三个教学方向中，随机选择一个教学方向进行选修课开课筹备，且每个教学方向被选到的可能性相等；八年级年级组准备从农业生产劳动、工业生产劳动、传统手工艺劳动、新技术应用与体验四个教学方向中，随机选择一个教学方向进行选修课开课筹备，且每个教学方向被选到的可能性相等．记选择农业生产劳动为，选择工业生产劳动为，选择传统手工艺劳动为，选择新技术应用与体验为，记七年级年级组的选择为，八年级年级组的选择为． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求该校七年级年级组、八年级年级组选择的选修课教学方向相同的概率． 【答案】(1)表格见解析，所有可能出现的结果总数为12种 (2) 【分析】本题考查利用列表法或画树状图求概率，解题的关键在于根据题意列表或画树状图． （1）根据题意列出表格（或画出树状图）即可解题； （2）根据概率所求情况数与总情况数之比．由表格（或树状图），得到共有6个等可能的结果，该校七年级年级组、八年级年级组选择的选修课教学方向相同的情况有种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意列表如下：           由上表可知，共有12种等可能性结果； （2）解：七年级年级组、八年级年级组选择的选修课教学方向相同的情况有3种， 即，，， 记该校七年级年级组、八年级年级组选择的选修课教学方向相同的概率为事件， ． 40．（2025·云南楚雄·二模）某校开展“讲好红色故事，传承红色基因”主题演讲活动，七年级学生准备从“A红军长征，B扎西会议”这两个主题中随机选择一个进行演讲，且每个主题被选到的可能性相等；八年级学生准备从“A红军长征，B扎西会议，C西南联大，D云南边境一线缉毒警察”这四个主题中随机选择一个进行演讲，且每个主题被选到的可能性相等．记七年级学生的选择为x，八年级学生的选择为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求该校七年级学生，八年级学生选择的演讲主题互不相同的概率P． 【答案】(1)8种结果； (2)． 【分析】本题考查利用列表法或画树状图求概率，解题的关键在于根据题意列表或画树状图． （1）根据题意列出表格（或画出树状图）即可解题； （2）根据概率所求情况数与总情况数之比．由表格（或树状图），得到共有8个等可能的结果，该校七年级学生，八年级学生选择的演讲主题互不相同的情况有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：列表如下： yx A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） 由表可知，共有8种等可能性结果； （2）解：该校七年级学生，八年级学生选择的演讲主题互不相同的结果有6种情况， 即（A，B），（B，A），（A，C），（B，C），（A，D），（B，D）， ∴该校七年级学生，八年级学生选择的演讲主题互不相同的概率． 41．（2025·云南临沧·二模）云南省于2025年整体实施高考综合改革，考试科目将不再分文理科，改为“”模式．其中“3”为全国统一考试科目语文、数学、外语；“1”为首选科目，考生从物理、历史2门科目中自主选择1门；“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中自主选择2门． (1)考生选择历史作为首选科目的概率是_________． (2)请用画树状图或列表的方法，求考生选择的科目中，恰好选择化学和生物的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由概率公式可得答案； （2）画树状图得出所有等可能的结果数和恰好选择化学和生物的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：考生从物理、历史2门科目中自主选择1门， 选择历史的概率是． （2）解：记思想政治、地理、化学、生物分别为①，②，③，④，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选择化学和生物有：③④，④③，共2种， 恰好选择化学和生物的概率为． 42．（2025·云南昭通·二模）“七彩云南，旅游天堂”这是云南文旅的宣传标语，小强、小红准备采用抽签的方式，各自随机选取云南四个景点（．丽江玉龙雪山；．大理崇圣寺三塔；．玉溪抚仙湖；．昆明石林）中的一个景点游玩，四支签分别标有、、、． (1)若规定其中一人抽完签后，放回，下一个人再抽，请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果的总数； (2)求小强、小红恰好抽到同一景点的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，列表，得出一共有16种等可能的情况； （2）根据（1）中表格得出恰好抽到同一景点的情况有4种，再代入概率公式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： 一    二 共16种等可能结果． （2）解：抽到同一景点的结果有4种，即：，，，， ． 43．（2025·云南·二模）物质的变化通常被分为物理变化和化学变化．某兴趣小组整理了生活中常见物质的变化，并将其中两个物理变化和两个化学变化分别写在如图所示的四张卡片正面（四张卡片除正面汉字不同外，其余均相同），将卡片背面朝上洗匀放置在桌面上，甲乙两人依次不放回地随机抽取一张卡片． (1)甲抽到的卡片上是化学变化的概率为 ； (2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人抽到的卡片上均是物理变化的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（）直接根据概率公式求解即可； （）画树状图可得出所有等可能的结果数以及符合条件的结果数，再利用概率公式可得出答案； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】（1）解：甲抽到的卡片上是化学变化的概率为， 故答案为：； （2）将四张卡片分别记作， 画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙两人抽到的卡片上均是物理变化的有种， ∴甲、乙两人抽到的卡片上均是物理变化的概率为． 06 概率与游戏公平性 44．（2025·云南大理·二模）书法是汉字的书写艺术，是中华民族的文化瑰宝．爱好书法的欢欢分别用楷体和行体写他的座右铭，准备从中挑选一幅送给乐乐，一时间不知道挑选哪一幅，于是他设计以下“摸球游戏”．游戏规则如下：口袋中装有两个分别标有数字1，2的小球，口袋中装有3个分别标有数字3，4，5的小球，每个小球除数字外其他均相同．从口袋中随机取出1个小球，小球上的数字记为；从口袋中随机取出1个小球，小球上的数字记为．若两个小球上的数字之积为偶数，则将楷体这一幅送给乐乐；两个小球上的数字之积为奇数，则将行体这一幅送给乐乐． (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1)6种 (2)这个游戏不公平．理由见解析 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）画树状图得出所有等可能的结果数即可； （2）根据（1）所求分别求出两个小球上的数字之积为偶数和奇数的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：画树状图，得    由树状图可知, 所有可能出现的结果总数为6种; （2）解：这个游戏不公平．理由如下： 由（1）可知，两个小球上的数字之积为偶数的结果数有4种，两个小球上的数字之积为奇数的结果数有2种， ∴两个小球上的数字之积为偶数的概率为，两个小球上的数字之积为奇数的概率为， ∵。 ∴这个游戏不公平． 45．（2025·云南昆明·二模）春节期间小昆和小明玩游戏赢《哪吒2》的电影票，游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外无其它差异）．从口袋中随机摸出一个小球，记下小球的标号后再放回；再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用，表示．若能被3整除则小昆赢；若能被4整除，则小明赢． (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1)列表见解析，可能出现的结果一共有9种 (2)这个游戏是公平的，见解析 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，判断游戏的公平性，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键； （1）通过列表法即可得所有可能出现的结果数； （2）根据（1）的结果，分别找出能被3整除、能被4整除的结果数，利用概率公式分别求解后进行比较即可． 【详解】（1）解：（1）列表如下， 1 2 3 1 2 3 由表可知，可能出现的结果一共有9种． （2）由列表法可知，在9种可能出现的结果中，它们出现的可能性相等， 设能被3整除记为事件A，有3种情况： 即、、． ∴． 设能被4整除记为事件，有3种情况： 即、、． ∴． ∵ ∴这个游戏是公平的． 1．（2025·云南·二模）如图是某中学现代舞蹈社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量的是（    ） A．中位数 B．方差 C．平均数 D．众数 【答案】A 【分析】本题考查了平均数、方差、中位数、众数．熟练掌握平均数、方差、中位数、众数的概念是解题的关键．平均数、方差受频数的影响，众数是出现次数最多的数，由于缺少17和18岁数据，这些统计量都不能分析得出．而中位数是将一组数据由小到大排列，当数据个数为偶数时，中位数是位于中间的两个数的平均数，共20名成员，中位数是第10、11位数的平均数，由此得解． 【详解】解：A：由于该组数据有20个，中位数为第10个和11个数据的平均数：，故A符合题意； B：方差是各个数据与平均数之差的平方的和的平均数，用于衡量数据的波动．由于缺少17岁和18岁的数据，所以方差不能求出，故B不符合题意； C：平均数等于一组数据所有数据之和再除以数据个数，用于反映现象总体的一般水平，或分布的集中趋势．由于缺少17岁和18岁的数据，所以平均数不能求出，故C不符合题意； D：由于众数是出现次数最多的数，17岁和18岁的人数不确定，所以众数不能确定，故D不符合题意； 故选：A． 2．（2025·云南·二模）为响应国家“双减”政策，增强学生体质，某枚定期开展跑步、体操、球类等课外体育活动．为了了解学生对这些项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名学生，对他们最喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将数据统计后，绘制出两幅不完整的统计图，其中A-跑步，B-体操，C-球类，D-其他，则下列说法错误的是（    ） A．样本容量为400 B．类型B的人数为120人 C．类型C所占百分比为30% D．类型D所对应的扇形的圆心角为 【答案】C 【分析】根据A类100人占25%可计算样本容量，根据D类占10%求出其总人数，用400分别减去其他三类就可得B的人数，根据C的人数为140人比上总人数，即可得到类型C所占百分比，用360度乘以类型D的占比即可得到类型D所对应的扇形的圆心角． 【详解】人 样本容量为400，故A正确，不符合题意； 人 类型B的人数为人，故B正确，不符合题意； 类型C所占百分比为，故C错误，符合题意； 类型D所对应的扇形的圆心角为，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了统计图的相关知识，涉及样本容量、扇形的圆心角度数等，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（2025·云南·二模）下表记录了四名运动员100米短跑几次选拔赛的成绩，现要选一名成绩好且发挥稳定的运动员参加市运动会100米短跑项目，应选择 ． 甲 乙 丙 丁 平均数（秒） 11.2 11.3 11.3 11.2 方差 5.5 5.5 5.8 5.9 【答案】甲 【分析】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵从平均数看，甲、丁成绩更好， ∴从甲和丁中选择一人参加竞赛， 又∵甲的方差较小， ∴选择甲参加比赛， 故答案为：甲． 4．（2025·云南昭通·二模）某校近期准备开展数学美育专题讲座，分别讲解数学美育的五个层次．层次1：数学知识中的数学美；层次2：数学文化中的数学美；层次3：数学应用中的创新之美；层次4：数学教学互动中的感染之美；层次5：数学德育中的心灵之美．为了解学生喜好，学校随机抽取了该校部分学生进行问卷调查（要求每人必选且只能选一个最想听的数学美育层次讲座），对数据进行整理，绘制了两个不完整的统计图，如图所示： 若该校有2000名学生，根据图中信息，最想听数学美育层次1的学生约有 人． 【答案】120 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，用最想听层次4的人数除以其人数占比求出参与调查的人数，进而求出样本本最想听层次1的人数，再用2000乘以样本中最想听层次1的人数占比即可得到答案． 【详解】解：人， ∴这次一共调查了200人， ∴样本中最想听数学美育层次1的人数为人， 人， ∴该校有2000名学生，最想听数学美育层次1的学生约有120人， 故答案为：120． 5．（2025·云南临沧·二模）为响应2025年教育部“强化学生体育锻炼，提升青少年体质”的文件精神．某学校积极推行每天一小时阳光体育活动，从该校九年级随机抽取5名同学，记录他们在一周内参与阳光体育活动的时长（单位：小时），分别为5，6，4，7，5，则这组数据的中位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是中位数的含义，先把数据按照从小到大的顺序排序，再根据中位数的定义可得答案． 【详解】解：5，6，4，7，5重新排序为：4，5，5，6， 7， ∴中位数为：； 故答案为： 6．（2025·云南·二模）“一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为 A、B、C、D 的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，记卡片上的人物为，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，记卡片上的人物为．若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲． (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，列出所有可能出现的结果． (2)你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)公平，理由见解析 【分析】（1）利用树状图法或者列表法求解即可； （2）分别求出是师徒关系和不是师徒关系的概率，进而求解即可． 【详解】（1）解：方法一：列表如下： xy A B C D A B C D ∴由上表可知，所有等可能出现的结果为：，，，，，，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有12种． 方法二：      ∴所有等可能出现的结果为：，，，，，，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有12种． （2）解：这个游戏公平． 理由如下： 由（1）可知，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现可能性的大小相等． 其中两人恰好是师徒关系的有6种． 故 ， ， ∵， ∴该游戏公平． 【点睛】本题考查概率，熟练掌握概率的求法，会运用列表法或树状图法求概率是解题关键． 7．（2025·云南·二模）从﹣1，﹣3，2，4四个数字中任取一个，作为点的横坐标，不放回，再从中取一个数作为点的纵坐标，组成一个点的坐标．请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求该点在第二象限的概率． 【答案】表见解析， 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得． 【详解】解：列表如下： ﹣3 ﹣1 2 4 ﹣3 ﹣﹣﹣ （﹣1，﹣3） （2，﹣3） （4，﹣3） ﹣1 （﹣3，﹣1） ﹣﹣﹣ （2，﹣1） （4，﹣1） 2 （﹣3，2） （﹣1，2） ﹣﹣﹣ （4，2） 4 （﹣3，4） （﹣1，4） （2，4） ﹣﹣﹣ 所有等可能的情况有12种，其中点（x，y）落在第二象限内的情况有4种， ∴该点在第二象限的概率为＝． 【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，熟练的用列表法或树状图法列出所有的情况数是解题的关键. 8．（2025·云南楚雄·二模）为参加元旦文娱汇演活动，学校“原木”吉他社团需招收新成员．A，B，C，D四名同学报名参加了招新活动，其中A，B同学来自八年级，C，D同学来自九年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行面试． (1)若随机抽取两名同学，请用列表法或画树状图法，求所有可能出现的结果总数． (2)求两名同学均来自九年级的概率． 【答案】(1)所有可能出现的结果总数为12 (2) 【分析】本题考查列表法或树状图法、概率公式． （1）先画树状图，即可得到所有等可能结果； （2）由（1）知所有可能出现的结果情况，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可得出答案． 【详解】（1）解：画树状图如下： 所有可能出现的结果总数为12． （2）解：由树状图可知，两名同学均来自九年级的结果有2种， （两名同学均来自九年级） 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 统计与概率 题型概览 题型01 求中位数、众数、方差 题型02 由统计图表推断结论 题型03 利用平均数、方差做决策 题型04 由统计图表信息计算数量与百分比 题型05 列表法或树状图法求概率 题型06 概率与游戏公平性 01中位数、众数、方差 1．（2025·云南昭通·二模）在某次体育测试中，5名同学1分钟引体向上的成绩（单位：次）分别为9，6，12，12，7，这组数据的中位数是（   ） A．6 B．7 C．9 D．12 2．（2025·云南·二模）为贯彻落实全国教育大会以及《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》精神，切实保障学生每天综合体育活动时间不低于2小时，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1.7，2.2，2.1，2.7，2.2，则这组数据的中位数和众数分别是 A．2.2，2.2 B．2.1，2.2 C．2．15，2.2 D．1.7，2.7 3．（2025·云南昆明·二模）从2025年春季学期开始，云南各中小学校实行课间休息15分钟，某校通过各种丰富的课间活动，让课间休息落到实处，某班篮球队有篮球运动员10人，利用大课间进行投篮训练，每人投篮30个，投中球数如下表：在投中球数的这组数据中，中位数和众数分别为（   ） 投中球数 25 26 27 29 30 人数 2 1 2 3 2 A．27，29 B．28，30 C．28，29 D．27，30 4．（2025·云南昭通·二模）铜桐收藏有7枚南宋铁钱“庆元通宝”（如图所示），测得它们的质量（单位：g）分别为6.9、7.5、6.6，6.6，6.8，7.4，7.7．这组数据的众数为（   ） A．7.1 B．6.9 C．6.8 D．6.6 5．（2025·云南·二模）在一次考试中，某小组6名同学的成绩(单位：分)分别是：7、9、9、8、7、7，则这组数据的众数和中位数是(　　) A．7、7.5 B．7、7 C．7、8 D．7、8.5 6．（2025·云南楚雄·二模）为了解某班学生每天参加体育锻炼的情况，从该班学生中随机抽取10名同学进行调查．经统计，他们平均每天的体育锻炼时间（单位：分钟）分别为50，55，60，60，65，65，70，75，75，80．这组数据的中位数是 ． 7．（2025·云南·二模）每年的月日是全国科技工作者日，在第八个全国科技工作者日来临之际，某班级举办了科技知识竞赛，其中九名学生的竞赛成绩分别为，，，，，，，，，则这组数据的众数为 ． 02由统计图表推断结论 8．（2024·云南昭通·二模）某中学开设了四个体育活动社团，分别是篮球社团、足球社团、乒乓球社团和羽毛球社团．学校为了解学生最喜欢的体育社团是哪一个，随机调查了部分学生（每人必选且只能选1个社团），并将调查结果绘制成如下的扇形统计图，已知最喜欢羽毛球社团的学生有20人，下列说法不正确的是（　　） A．最喜欢羽毛球社团的人数占被调查人数的 B．被调查的人数一共有200人 C．被调查的人中最喜欢足球社团的有30人 D．被调查的人中最喜欢篮球社团的人数最多 9．（2025·云南楚雄·二模）2024年4月23日，第三届全民阅读大会在昆明开幕．大会以“共建书香社会，共享现代文明”为主题，将举办全民阅读系列宣传推广活动，深入探讨阅读与城市发展、阅读与民族团结等话题．某中学对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（A：科普，B：文学，C：体育，D：其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法正确的是（    ） A．样本容量为100 B．类型B所对应的扇形的圆心角为 C．类型A所占百分比为 D．若该校有2000名学生，则该校学生中喜欢体育类书籍的人数约为350人 10．（2025·云南大理·二模）大理白族酸辣鱼是一道特色佳肴，以洱海鲜鱼为主料，搭配木瓜、辣椒等熬煮，酸辣开胃，鱼肉鲜嫩，酸辣味渗透肌理，尽显白族饮食风情．为了解外地游客对大理白族酸辣鱼的喜爱程度，当地相关部门随机调查了部分游客的意见（不满意；一般；满意；较满意；不清楚，五者任选其一）．根据调查情况进行统计，绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图．根据统计图中的信息，下列结论错误的是（　　） A．选择“满意”的人数最多 B．抽样调查的样本容量是100 C．样本中“不满意”的百分比为 D．若到大理吃酸辣鱼的人数为800人，则觉得游客的意见“较满意”的人数约为160人 11．（2025·云南·二模）如图是根据某班50名同学每天课外阅读的时间制成的条形统计图，根据图中信息，下列说法正确的是（    ） A．这组数据的平均数是12.5 B．这组数据的众数是20 C．这组数据的中位数是2 D．这组数据的中位数是17.5 03利用平均数、方差做决策 12．（2025·云南·二模）在一次数学测试中，小明的成绩是分，超过本班半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（   ） A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数 13．（2025·云南曲靖·二模）某校四位学生参加数学竞赛模拟测试，每位同学的5次测试的平均分和方差如表所示： 学生 平均分 方差 甲 95 0.2 乙 93 0.5 丙 92 0.3 丁 90 0.4 根据表格中的数据，选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加正式竞赛，应该选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 14．（2025·云南楚雄·二模）某校体育节七年级男子百米赛跑有15名选手参赛，预赛成绩各不相同，现要取前8名参加决赛，小军已经知道了自己的成绩，他想知道自己能否进入决赛，还需要知道这15名同学成绩的（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 15．（2025·云南昆明·二模）云南是中国咖啡种植规模最大的省份，近年来，云南持续推动多元化咖啡消费场景，“咖啡＋”经济也激发出了消费新活力．某咖啡店主理人统计了某段时间内云南小粒咖啡的四种口味——甲、乙、丙、丁的销售情况，如下表所示： 口味 甲 乙 丙 丁 销售量（盒） 156 372 241 189 根据表中数据，该咖啡店主理人决定增加乙种口味云南小粒咖啡的进货数量，影响其决策的统计量是（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 16．（2025·云南·二模）某学校要从甲、乙两名运动员中选拔一人参加跳高比赛，在最近的几次训练中，他们两人的平均成绩相同，方差分别是．若该校要选择一名成绩较稳定的学生，则应该选择 ．（填“甲”或“乙”） 17．（2025·云南·二模）为提高学生的运算能力，某校开展“计算小达人”活动，已知甲班20名学生测试成绩的方差，乙班20名学生测试成绩的方差，两班学生测试成绩的平均分都是90分，则 （填“甲”或“乙”）班的成绩更稳定． 04 由图表信息计算数量与百分比 18．（2025·云南临沧·二模）某学校为了增强学生的体质，决定开放以下大课间体育活动项目：A．踢毽子，B．跳绳，C．乒乓球，D．排球．为了了解学生最喜爱哪种活动项目，随机抽取部分学生进行调查（每人只能选择一项），并将调查结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图，其中A所在扇形的圆心角为，则在被调查的学生中，选择判乒乓球的人数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．12 19．（2025·云南玉溪·二模）某学校准备购买一批课外读物．为使课外读物能够满足学生的需求，学校就“我最喜爱的课外读物类型”作了一次抽样调查．如图是根据调查结果绘制的不完整的统计图． 若学校计划购买课外读物4000册，根据样本数据，估计学校购买科普类课外读物比较合理的数量是（    ） A．1280册 B．1000册 C．800册 D．80册 20．（2025·云南·二模）某校八年级班为了了解同学们一天零花钱的消费情况，对本班同学开展了调查，将同学一周的零花钱以元为组距，绘制如图的频率分布直方图，已知从左到右各组的频数之比为，若该班有人，则零花钱在元以上人数有（   ） A．人 B．人 C．人 D．人 21．（2025·云南昆明·二模）今年春节期间，以迅猛之势火爆全网，成为人们热议的焦点．海内外模型、机器人都已获得显著的技术突破．目前人工智能市场分为：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能四大类型．某校为了解学生对以上四类人工智能的兴趣，随机抽取了名学生，就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如下统计图．若该校共有名学生，请根据图中提供的信息，估计该校最关注类人工智能的学生大约有 人． 22．（2025·云南西双版纳·二模）某超市随机调查了某段时间内该超市的部分顾客在收银台排队付款的等待时间（单位：分钟），并绘制成如图所示的频数分布直方图（图中等待时间分钟表示大于或等于0分钟而小于1分钟，其他类同）．若等待时间在5分钟以内为正常范围，则等待时间属于正常范围的顾客所占的百分比是 ． 23．（2025·云南曲靖·二模）图书馆不仅是借书的地方，更是知识中心、学习空间和文化基地．某图书馆为了优化青少年阅 读区书籍配置，随机调查了数名青少年，并根据他们的爱好绘制了条形统计图和扇形统计图（如图）．若青少年阅读区预计配置总书籍为1200本，则阅读区科幻类书籍应配置约为 本 ． 24．（2025·云南昆明·二模）如今，云南发出“旅居云南”的盛情邀约，诚邀海内外广大游客到云南放松身心，享受栖居，感受“有一种叫云南的生活”．五一期间，云南某地相关部门随机抽取了部分游客的出行方式进行调查，将收集的数据整理，绘制成如下统计图，根据图中的信息，若五一期间该地游客有30万人，则选择公共交通方式出行的大约有 万人． 25．（2025·云南楚雄·二模）某校欲知同学们对家乡文化的了解情况，现对该校八年级学生进行了一次调查测试，根据学生测试成绩整理出了如图两个不完整的统计图（A等级：不了解；B等级：不大了解；C等级：一般了解；D等级：十分了解；E等级：特别了解），则十分了解的人数为 人． 26．（2025·云南·二模）某校课后服务课程有：足球，篮球，书法，舞蹈．为了解最受学生喜爱的课后服务课程，该校对初一同学进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息可知，该校初一学生中最喜爱足球课程的人数是 ． 27．（2025·云南昭通·二模）某学校组织了手抄报作品征集活动．先从中随机抽取了部分作品，按照，，，，五个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如下图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：分；C：分；D：分；E：分）．根据图中提供的信息，在调查的学生中，手抄报作品位于等级的学生有 人． 28．（2025·云南·二模）某中学七年级甲、乙、丙三个班中，每班的学生人数都为40名．某次数学考试的成绩统计如下：（如图，每组分数含最小值，不含最大值）根据图、表提供的信息，则分这一组人数最多的班是 班． 丙班数学成绩频数统计表 分数 人数 1 4 15 11 9 29．（2025·云南·二模）某市中招体育考试规定：除耐力类的长跑为必考项目外，考生还需在“A．掷实心球”“B．立定跳远”“C．1分钟跳绳”“D．50米跑”这四个项目中选考两项．为了解学生选考项目的选择情况，随机抽取部分九年级学生进行调查，并将调查结果绘制成了统计图（部分信息不完整），请问在被调查的学生中选择“1分钟跳绳”的人数是 ． 30．（2025·云南文山·二模）某校为开展“阳光体育”活动，从全校名学生中抽取了名学生调查其各自最喜爱的一项体育活动，制成了如图所示的扇形统计图，估计该学校选择羽毛球的学生有 名． 05 列表法或树状图法求概率 31．（2025·云南昭通·二模）大理（记为），丽江（记为）和西双版纳（记为）是云南省内著名的旅游胜地．甲、乙两名同学准备在端午节假期前往云南省游玩，各自随机选择大理，丽江，西双版纳三个地方中的一个，二人选择哪个地方不受任何因素影响，每一个地方被选到的可能性相同．记甲同学的选择为，乙同学的选择为． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲和乙至少有一人去丽江游玩的概率． 32．（2025·云南文山·二模）玉溪以三大文化地标闻名：澄江化石地见证生命起源，抚仙湖守护高原生态，聂耳故里传承民族精神．为开展主题研学，某校七、八年级分别从以下基地中随机选择一处（每个基地被选的可能性相等）： A．澄江化石地博物馆 （中国首个化石类世界自然遗产，亚洲唯一；保存亿年前寒武纪生命大爆发完整记录） B．抚仙湖湿地公园 （国家级生态保护区，长期保持Ⅰ类水质；中国最大深水型淡水湖，珠江源头战略水源库） C．玉溪聂耳纪念馆 （全国爱国主义教育基地，国歌作曲者聂耳故乡，聂耳与国歌故事的展示平台） 记七年级的选择为x，八年级的选择为y． (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求该校七年级、八年级选择的研学基地相同的概率P． 33．（2025·云南昆明·二模）春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀．中秋节前，某校举行“传经典·庆佳节”系列活动．活动设计以下三个活动项目：歌谣传情意、创意做灯笼、花好月圆写中秋，记“歌谣传情意”为A，“创意做灯笼”为B，“花好月圆写中秋”为C．为了公平，学校制作了一个电子抽签程序（每个项目被抽中的可能性相同），参加活动的学生利用电子抽签程序从三个项目中抽取一个项目参加，且选择哪个项目不受任何因素影响．若甲、乙二人一起参加该活动，甲抽中的项目编号记为x，乙抽中的项目编号记为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲和乙抽到相同活动项目的概率P． 34．（2025·云南西双版纳·二模）如图，是某地铁站进口的通行闸机示意图，共有四个通道．每位乘客都要从通道刷卡进入乘车区域等待乘车．张先生和李先生二人随机从通道进站乘车． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求张先生和李先生经过通道的结果总数； (2)求张先生和李先生只有一人经过通道的概率． 35．（2025·云南·二模）某学校为扎实推进劳动教育，根据学生参与劳动的情况设置了劳动积分．该学校随机抽取了50名学生的劳动积分进行收集、整理，并评定等级，等级A的学生有4人． (1)在这50名学生中，随机选取1名学生，其中等级是A的概率为 ． (2)已知A等级中有两名男同学和两名女同学，该学校要从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用画树状图法或列表法，求恰好选取的是1名男同学和1名女同学的概率． 36．（2025·云南楚雄·二模）中国新能源汽车产业在2024年取得了显著的发展成就，产量首次突破1000万辆，标志着中国新能源汽车产业迈上了新台阶．小明家也打算购买新能源汽车，了解了“哪吒、比亚迪、几何”三款国产新能源汽车（这三款汽车依次用，，表示），若小明的爸爸和妈妈分别从中随机选择一款新能源汽车． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，列出所有可能出现的结果总数； (2)求小明的爸爸和妈妈选中同一款新能源汽车的概率． 37．（2025·云南楚雄·二模）甲、乙两班同学准备参加种植蔬菜的劳动实践活动，甲班随机选择种植辣椒、茄子、西红柿三种中的一种．乙班随机选择种植辣椒、茄子、萝卜三种中的一种，记种植辣椒为A，种植茄子为B，种植西红柿为C，种植萝卜为D．假设这两班同学选择种植哪种蔬菜不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲班同学的选择为x，乙班同学的选择为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲、乙两班同学选择种植同一种蔬菜的概率． 38．（2025·云南曲靖·二模）电影《哪吒之魔童闹海》之后，天庭为惩戒二人逆天改命之举，借“天命擂台”之名重启宿命对决．要求哪吒和敖丙参加“法宝挑战赛”，规则如下：哪吒：从自己的法宝“混天绫” （a）、“乾坤圈”（b）中随机挑选一件；敖丙：从冰晶法阵的三个区域“寒冰戟”（c）、“霜雪盾”（d）、 “玄冰镜”（e）中随机激活一个．两人选择法宝后，若哪吒的法宝能克制敖丙的法宝（克制关系： a克制c，b克制e），则哪吒获胜；否则敖丙获胜．记哪吒的选择为x，敖丙的选择为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，列出所有可能的对决组合，并求结果总数； (2)求哪吒获胜的概率P． 39．（2025·云南昆明·二模）为持续推动劳动教育高质量发展，营造“五育并举”的良好育人环境，某校计划开设主题选修课供学生实践体验，确保学生深度参与并体验到劳动的乐趣和价值．该校七年级年级组准备从农业生产劳动、工业生产劳动、传统手工艺劳动三个教学方向中，随机选择一个教学方向进行选修课开课筹备，且每个教学方向被选到的可能性相等；八年级年级组准备从农业生产劳动、工业生产劳动、传统手工艺劳动、新技术应用与体验四个教学方向中，随机选择一个教学方向进行选修课开课筹备，且每个教学方向被选到的可能性相等．记选择农业生产劳动为，选择工业生产劳动为，选择传统手工艺劳动为，选择新技术应用与体验为，记七年级年级组的选择为，八年级年级组的选择为． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求该校七年级年级组、八年级年级组选择的选修课教学方向相同的概率． 40．（2025·云南楚雄·二模）某校开展“讲好红色故事，传承红色基因”主题演讲活动，七年级学生准备从“A红军长征，B扎西会议”这两个主题中随机选择一个进行演讲，且每个主题被选到的可能性相等；八年级学生准备从“A红军长征，B扎西会议，C西南联大，D云南边境一线缉毒警察”这四个主题中随机选择一个进行演讲，且每个主题被选到的可能性相等．记七年级学生的选择为x，八年级学生的选择为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求该校七年级学生，八年级学生选择的演讲主题互不相同的概率P． 41．（2025·云南临沧·二模）云南省于2025年整体实施高考综合改革，考试科目将不再分文理科，改为“”模式．其中“3”为全国统一考试科目语文、数学、外语；“1”为首选科目，考生从物理、历史2门科目中自主选择1门；“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中自主选择2门． (1)考生选择历史作为首选科目的概率是_________． (2)请用画树状图或列表的方法，求考生选择的科目中，恰好选择化学和生物的概率． 42．（2025·云南昭通·二模）“七彩云南，旅游天堂”这是云南文旅的宣传标语，小强、小红准备采用抽签的方式，各自随机选取云南四个景点（．丽江玉龙雪山；．大理崇圣寺三塔；．玉溪抚仙湖；．昆明石林）中的一个景点游玩，四支签分别标有、、、． (1)若规定其中一人抽完签后，放回，下一个人再抽，请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果的总数； (2)求小强、小红恰好抽到同一景点的概率． 43．（2025·云南·二模）物质的变化通常被分为物理变化和化学变化．某兴趣小组整理了生活中常见物质的变化，并将其中两个物理变化和两个化学变化分别写在如图所示的四张卡片正面（四张卡片除正面汉字不同外，其余均相同），将卡片背面朝上洗匀放置在桌面上，甲乙两人依次不放回地随机抽取一张卡片． (1)甲抽到的卡片上是化学变化的概率为 ； (2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人抽到的卡片上均是物理变化的概率． 06 概率与游戏公平性 44．（2025·云南大理·二模）书法是汉字的书写艺术，是中华民族的文化瑰宝．爱好书法的欢欢分别用楷体和行体写他的座右铭，准备从中挑选一幅送给乐乐，一时间不知道挑选哪一幅，于是他设计以下“摸球游戏”．游戏规则如下：口袋中装有两个分别标有数字1，2的小球，口袋中装有3个分别标有数字3，4，5的小球，每个小球除数字外其他均相同．从口袋中随机取出1个小球，小球上的数字记为；从口袋中随机取出1个小球，小球上的数字记为．若两个小球上的数字之积为偶数，则将楷体这一幅送给乐乐；两个小球上的数字之积为奇数，则将行体这一幅送给乐乐． (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 45．（2025·云南昆明·二模）春节期间小昆和小明玩游戏赢《哪吒2》的电影票，游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外无其它差异）．从口袋中随机摸出一个小球，记下小球的标号后再放回；再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用，表示．若能被3整除则小昆赢；若能被4整除，则小明赢． (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 1．（2025·云南·二模）如图是某中学现代舞蹈社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量的是（    ） A．中位数 B．方差 C．平均数 D．众数 2．（2025·云南·二模）为响应国家“双减”政策，增强学生体质，某枚定期开展跑步、体操、球类等课外体育活动．为了了解学生对这些项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名学生，对他们最喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将数据统计后，绘制出两幅不完整的统计图，其中A-跑步，B-体操，C-球类，D-其他，则下列说法错误的是（    ） A．样本容量为400 B．类型B的人数为120人 C．类型C所占百分比为30% D．类型D所对应的扇形的圆心角为 3．（2025·云南·二模）下表记录了四名运动员100米短跑几次选拔赛的成绩，现要选一名成绩好且发挥稳定的运动员参加市运动会100米短跑项目，应选择 ． 甲 乙 丙 丁 平均数（秒） 11.2 11.3 11.3 11.2 方差 5.5 5.5 5.8 5.9 4．（2025·云南昭通·二模）某校近期准备开展数学美育专题讲座，分别讲解数学美育的五个层次．层次1：数学知识中的数学美；层次2：数学文化中的数学美；层次3：数学应用中的创新之美；层次4：数学教学互动中的感染之美；层次5：数学德育中的心灵之美．为了解学生喜好，学校随机抽取了该校部分学生进行问卷调查（要求每人必选且只能选一个最想听的数学美育层次讲座），对数据进行整理，绘制了两个不完整的统计图，如图所示： 若该校有2000名学生，根据图中信息，最想听数学美育层次1的学生约有 人． 5．（2025·云南临沧·二模）为响应2025年教育部“强化学生体育锻炼，提升青少年体质”的文件精神．某学校积极推行每天一小时阳光体育活动，从该校九年级随机抽取5名同学，记录他们在一周内参与阳光体育活动的时长（单位：小时），分别为5，6，4，7，5，则这组数据的中位数是 ． 6．（2025·云南·二模）“一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为 A、B、C、D 的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，记卡片上的人物为，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，记卡片上的人物为．若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲． (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，列出所有可能出现的结果． (2)你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 7．（2025·云南·二模）从﹣1，﹣3，2，4四个数字中任取一个，作为点的横坐标，不放回，再从中取一个数作为点的纵坐标，组成一个点的坐标．请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求该点在第二象限的概率． 8．（2025·云南楚雄·二模）为参加元旦文娱汇演活动，学校“原木”吉他社团需招收新成员．A，B，C，D四名同学报名参加了招新活动，其中A，B同学来自八年级，C，D同学来自九年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行面试． (1)若随机抽取两名同学，请用列表法或画树状图法，求所有可能出现的结果总数． (2)求两名同学均来自九年级的概率． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$