专题02 方程（组）与不等式（组）（5题型）（云南专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题02 方程（组）与不等式（组） 题型概览 题型01 不等式（组）解集的数轴表示 题型02 一元二次方程根的个数问题 题型03 一元二次方程的实际应用 题型04 分式方程的实际应用 题型05 二元一次方程与不等式（组）的综合 01 不等式（组）解集的数轴表示 1．（2025·云南·二模）不等式组的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·云南昆明·二模）不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 02 一元二次方程根的个数问题 3．（2025·云南·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 4．（2025·云南楚雄·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 5．（2025·云南楚雄·二模）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 6．（2025·云南西双版纳·二模）下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·云南·二模）关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的值可能是（） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2025·云南·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·云南楚雄·二模）已知关于x的方程有两个实数根，则c的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 10．（2025·云南·二模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 11．（2025·云南·二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 03 一元二次方程的实际应用 12．（2025·云南曲靖·二模）我市一科技公司计划在办公楼旁搭建一个矩形无人机起降平台，其中一边利用办公楼墙壁，另三边用安全护栏围成．已知护栏总长为36米，起降平台的面积为162平方米．设与办公楼平行的一边长为x 米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·云南昆明·二模）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等，停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·云南楚雄·二模）如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地上修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，一条与平行，其余部分种植草坪，若使草坪的面积为570平方米，问小路宽为多少米?设小路的宽为x米，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·云南·二模）智能汽车销售火爆．某店月份销售台，月、月份共销售台．设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为，根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 16．（2025·云南楚雄·二模）某种商品原价是300元，经两次降价后的价格是180元．设平均每次降价的百分率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 17．（2025·云南西双版纳·二模）某旅游景区2023年五一期间接待游客36万人次．这两年当地加大宣传力度，该景区逐渐为人所熟知，2025年五一期间接待游客49万人次．设该景区接待游客人次的年平均增长率为，根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·云南昭通·二模）某水果商店2023年售出1000箱蓝莓，2025年售出1440箱蓝莓，若将这两年销售蓝莓箱数的平均增长率设为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（2025·云南楚雄·二模）某市利用周末开展精品古旧书阅读分享活动．据统计，活动开展以来，第一个周末共1280人参与，参与活动人次逐周增加，第三个周末共2880人参与．若参与活动的人数周平均增长率相同，设参与活动人次的周平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 20．（2025·云南临沧·二模）某新兴科技产业园区在2025年第一季度的营业收入为2亿元，随着各项扶持政策的落实以及创新技术的应用，预计到2025年第三季度的营业收入为亿元．设该产业园区营业收入的季度平均增长率为x．根据题意，可列出方程（   ） A． B． C． D． 21．（2025·云南·二模）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截至2021年底某市汽车拥有量为19.6万辆．已知2019年底该市汽车拥有量为10万辆，如果设2019年底至2021年底该市汽车拥有量的年均增长率为，那么根据题意列出的方程为（    ） A． B． C． D． 22．（2025·云南·二模）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”为响应全民阅读号召，某校利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一周进馆200人次，进馆人次逐周增加，第三周进馆242人次，若每周进馆人次的平均增长率相同．设每周进馆人次的平均增长率为，根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． 23．（2025·云南·二模）劳动教育已被纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 24．（2025·云南昆明·二模）昆明滇池是著名的高原湖泊生态旅游景点，景区优美的自然风光与宜人气候吸引众多游客纷至沓来．2025年1月，滇池景区接待游客约80万人，到了3月，景区接待游客人数增长至约125万人次．设1~3月滇池景区接待游客人数的月平均增长率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 04 分式方程的实际应用 25．（2025·云南昆明·二模）中国的文房器物，既体现了中华民族的文化风俗，又为世界文化的进步和发展作出了贡献，最典型的是被称为“文房四宝”的书写工具：笔，墨，纸，砚．某校为践行美育教育，组织全校师生开展书法鉴赏与研习活动，现花费7520元购买了甲，乙两种型号的“文房四宝”共84套，其中购买甲种型号的“文房四宝”花费了5120元，已知每套乙种型号“文房四宝”的价格是每套甲种型号价格的倍，求甲，乙两种型号“文房四宝”每套的价格分别是多少元？ 26．（2025·云南曲靖·二模）春节期间，珠江源古镇计划在街道两侧悬挂传统灯笼以增添节日氛围．原计划每天悬挂 固定数量的灯笼，但实际施工时，每天比原计划多悬挂50盏．结果实际悬挂完400盏灯笼所需的时间，恰好与原计划悬挂300盏灯笼的时间相同，则实际每天悬挂灯笼数量为多少盏? 27．（2025·云南楚雄·二模）某中学为鼓励学生加强体育锻炼，决定购买篮球和排球两种运动器材，已知每个篮球的进价是每个排球进价的2倍，若用元购买篮球的数量比元购买排球的数量少个．请问篮球和排球的进价分别为每个多少元？ 28．（2025·云南大理·二模）据网络平台数据显示，截至年4月日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某商场决定各用元购进了，两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共个．求购进，两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ 29．（2025·云南楚雄·二模）某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套少10元，用300元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等．求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？ 30．（2025·云南楚雄·二模）石屏豆腐，以长条形为主，颜色微黄，韧性十足，提着豆腐的一端轻轻甩动，不会断裂，因此有“云南十八怪，石屏豆腐甩着卖”的说法，石屏豆腐传统制作技艺入选第四批云南省级非物质文化遗产名录．五一前夕，王某计划购买某品牌的石屏豆腐送给亲朋好友，已知礼盒装石屏豆腐的单价比袋装石屏豆腐的单价高19元，若用260元单独购买袋装石屏豆腐与用640元单独购买礼盒装石屏豆腐的数量相同．求袋装石屏豆腐和礼盒装石屏豆腐的单价． 31．（2025·云南西双版纳·二模）为保障某蔬菜基地的种植用水，需要修一条灌溉水渠．现在有两个施工队参与修渠，甲施工队比乙施工队每天多修30米水渠．甲施工队修750米水渠所用的时间和乙施工队修500米水渠所用的时间相同．甲，乙两个施工队每天分别修多少米水渠？ 32．（2025·云南昆明·二模）列方程解决实际问题： 2024年12月2日，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳（）升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．2025蛇年春晚吉祥物的设计是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知B款吉祥物的单价是A款吉祥物的单价的1.5倍．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量比花600元购买B款吉祥物的数量多20个，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ 33．（2025·云南文山·二模）随着“旅居云南”热度攀升，某家庭寒假选择在昆明与玉溪体验双城旅居．已知该家庭用元租到昆明某湖景民宿的入住天数，与用元租到玉溪某温泉民宿的入住天数相同，若玉溪民宿每天租金比昆明民宿少元，求该家庭租到两地民宿的日租金各是多少元？ 34．（2025·云南玉溪·二模）从智能家居到自动驾驶汽车，再到复杂的医疗诊断和金融分析，正在改变着我们的生活方式和工作模式．无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比1名快递员配送所需时间少16天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件． 35．（2025·云南昭通·二模）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务．求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ 36．（2025·云南临沧·二模）为积极响应《云南省中小学生壮苗行动方案（年）》的号召，全面提升学生身体素质，某中学计划采购一批篮球和足球．已知用3000元购买篮球的数量是用2000元购买足球的数量的，且每个篮球的价格比每个足球的价格贵20元，分别求出篮球和足球的单价． 37．（2025·云南昆明·二模）2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校、科研机构、企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造、物流分拣、特种作业、家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人平均速度约为松延动力机器人平均速度的，用时比松延动力机器人少，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 38．（2025·云南楚雄·二模）某工厂原计划生产20000辆新能源汽车，因市场销量攀升，需要再多生产18000辆，该工厂在实际生产中通过提高生产效率，每天比原计划多生产60辆新能源汽车，实际完成生产任务的天数是原计划天数的倍，求原计划每天生产多少辆新能源汽车． 05 二元一次方程与不等式（组）的综合 39．（2025·云南昭通·二模）我省民族众多，民族服饰更是支系繁多，各具特色，但都承载着厚重的民族文化．某剧院购进A，B两款民族服饰以供演出使用，用1800元购进的款服饰的数量和用1400购进的款服饰的数量相同，每套款服饰的价格比每套款服饰的价格贵40元，分别求A，B两款服饰每套的价格． 40．（2025·云南玉溪·二模）绿茵场！闪电突破！篮筐下！精准投射！热血在奔跑中沸腾！团队在配合中闪光！从2025年春季学期起，云南省义务教育学校课间休息时间全面调整为15分钟，为给学生们丰富课间活动资源，某校计划购买一批足球和篮球．若购买5个足球和8个篮球，需1350元，购买10个足球和4个篮球，需1200元． (1)求每个足球、篮球的价格？ (2)若该校计划购买足球和篮球共120个，购买足球的数量不超过篮球数量的且不低于篮球数量的，为使购买的总费用W最低，应购买足球和篮球各多少个？最低总费用为多少元？ 41．（2025·云南昭通·二模）绿化树种具有过滤和滞纳大气污染颗粒物的能力，因此成为城市绿化的常用树种，其中榆树和白蜡树因其生长迅速，枝叶繁茂而被广泛种植．已知3棵榆树和2棵白蜡树的滞尘总量为23千克，5棵榆树和4棵白蜡树的滞尘总量为41千克． (1)每棵榆树和白蜡树的滞尘量分别是多少千克？ (2)一条新建的城市道路需要种植这两种树，一棵榆树的种植成本是400元，一棵白蜡树的种植成本是200元，种植两种树木的总棵数为60棵，要求滞尘总量不少于280千克，且种植总成本尽可能低，应该怎样种植这两种树才能使种植总成本最低？求出该费用． 42．（2025·云南曲靖·二模）某智慧社区计划推广垃圾分类，需采购两种智能设备，智能垃圾桶（T 型）：自动分类 可回收物；垃圾分拣机器人（R 型）：精准分拣有害垃圾．若购买4台T 型设备和5台R 型设备， 总费用为3900元；若购买3台T 型设备和2台R 型设备，总费用为2050元． (1)求每台T 型设备和每台R 型设备的单价； (2)若社区需采购两种设备共20台（均需采购），且T型设备数量不超过R型数量的， 为 使总费用最低，应分别采购T 型和R 型设备多少台?最低总费用为多少元? 43．（2025·云南楚雄·二模）某校积极践行阳光体育特色大课间活动，现需购买一批霸王鞭和小皮鼓．已知购进2套霸王鞭和1套小皮鼓共花费70元，购进3套霸王鞭和5套小皮鼓共花费245元． (1)求购进的霸王鞭和小皮鼓的单价； (2)现需购买这两类运动设备共120套，并且购买霸王鞭的数量要不超过小皮鼓数量的3倍，当购买这两类运动设备各多少套时学校花费最少？最少的费用是多少元？ 44．（2025·云南临沧·二模）在中学生劳动课教育中，学校开展了手工制品售卖实践活动．某班级同学负责售卖甲、乙两种手工艺品，已知上午售出3件甲种手工艺品和4件乙种手工艺品，共获得利润90元；下午售出3件甲种手工艺品和5件乙种手工艺品，共获得利润105元． (1)求甲种手工艺品和乙种手工艺品每件的销售利润． (2)该班级计划一次性购进这两种手工艺品共120件用于售卖，其中甲种手工艺品的进货量不低于乙种手工艺品进货量的，请你帮该班级设计一种销售总利润最大的进货方案，并求出总利润的最大值． 45．（2025·云南·二模）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，因此新能源汽车逐渐成为人们选择的交通工具．某汽车销售公司计划2024年购进一批新能源汽车，据了解，2辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计130万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计120万元． (1)求A型、B型汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若购进A、B两种型号汽车共10辆，所需进价不超过180万元，至少购买A种型号汽车多少辆？ 1．（2025·云南文山·二模）“任尔东西南北风，乱云飞渡仍从容．为中国，为世界，吾辈当奋发图强！”中国外交部（不跪！）视频发布首日全球播放量突破5亿次，第三天全球播放量突破10亿次．设该视频发布第二天、第三天的全球播放量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·云南昆明·二模）如图，已知长方形铁皮的长为，宽为，分别在它的四个角上剪去边长为的正方形，做成底面积为的无盖长方体盒子，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·云南·二模）“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的全年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·云南·二模）关于x的一元二次方程的两根为a，b，且，则m的值为（    ） A． B．3 C．3或 D．或1 5．（2025·云南玉溪·二模）一元二次方程的根的情况是（　　） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 6．（2025·云南·二模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是 ． 7．（2025·云南曲靖·二模）在代数中，一元二次方程的一般形式为，设该方程的两个根为，，则根与系数之间存在以下关系式（也称韦达定理）：， 这些关系在解决一元二次方程相关的问题时非常有用． 已知二次函数的图象过点，当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而减小．若实数m，n满足，． (1)求此二次函数的解析式（也称表达式）； (2)若，试判断T是否为定值，若为定值，请求出T的值；若不为定值，请说明理由． 8．（2025·云南文山·二模）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班控700千克土豆与乙班挖600千克土豆所用的时间相同，已知甲班平均每小时比乙班多挖50千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆? 9．（2025·云南·二模）随着科学技术的不断发展，无人机在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的7.5倍，120亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13小时，求一架无人机平均每小时喷洒农药多少亩． 10．（2025·云南·二模）2021年2月1日后，南海区将用1年时间实现“双百目标”，即全区生活垃圾分类示范100%达标创建、生活垃圾八大产生源100%达标创建，我区的生活垃圾分类工作正式进入“提速”模式．某小区准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用8000元购买A种垃圾桶的组数量与用11000元购买B种垃圾桶的组数量相等． （1）求A、B两种垃圾桶每组的单价． （2）该小区物业计划用不超过18000元的资金购买A、B两种垃圾桶共40组．则最多可以购买B种垃圾桶多少组？ 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 方程（组）与不等式（组） 题型概览 题型01 不等式（组）解集的数轴表示 题型02 一元二次方程根的个数问题 题型03 一元二次方程的实际应用 题型04 分式方程的实际应用 题型05 二元一次方程与不等式（组）的综合 01 不等式（组）解集的数轴表示 1．（2025·云南·二模）不等式组的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 故选：C． 2．（2025·云南昆明·二模）不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式得解集，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： ， 故选：A． 02 一元二次方程根的个数问题 3．（2025·云南·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式组等知识，对于一元二次方程（），则有−⇔方程有两实根，−⇔方程有两不等实根，−⇔方程有两相等实根，−⇔方程没有实根．也考查了一元二次方程的定义．解题关键是掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和根的判别式可得且，解之得出的范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 是二次项系数不能为，， 即且． 故选：D． 4．（2025·云南楚雄·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解不等式和方程即可得到k的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得． 故选：B． 5．（2025·云南楚雄·二模）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，根据得出一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键．先求出的值，再进行判断即可． 【详解】解：， ， ， ，即， 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 6．（2025·云南西双版纳·二模）下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根的判别式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；本题根据一元二次方程的解和根的判别式的知识，进行作答，即可求解． 【详解】解：A、，解得：，，不符合题意； B、，解得：，，不符合题意； C、，解得：，符合题意； D、，可得，无解，不符合题意； 故选：C． 7．（2025·云南·二模）关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的值可能是（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为关于的一元二次方程有实数根， 所以， 解得， 显然只有A选项符合题意， 故选：A． 8．（2025·云南·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到=0，建立关于m的方程，解答即可． 【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴=0， ∴， 解得，故C正确． 故选：C． 【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键． 9．（2025·云南楚雄·二模）已知关于x的方程有两个实数根，则c的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．由题意可得：，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴，， 解得：且， ∴的取值范围为且． 故选：B． 10．（2025·云南·二模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】9 【分析】此题考查了根据一元二次方程根的情况求参数值，根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，即可求出m的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 解得 故答案为：9． 11．（2025·云南·二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 03 一元二次方程的实际应用 12．（2025·云南曲靖·二模）我市一科技公司计划在办公楼旁搭建一个矩形无人机起降平台，其中一边利用办公楼墙壁，另三边用安全护栏围成．已知护栏总长为36米，起降平台的面积为162平方米．设与办公楼平行的一边长为x 米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程应用题，根据题意找到等量关系列出关系式即可． 因为是矩形，所以另一边为 米，再根据矩形面积公式：长×宽＝面积可得． 【详解】解：与办公楼平行的一边长为 米，与相邻的一边长为米． ∴ 故选：D． 13．（2025·云南昆明·二模）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等，停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意可知，停车位的占地面积相当于一个长为米，宽为米的长方形面积，再由停车位的占地面积为352平方米结合长方形面积计算公式列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 14．（2025·云南楚雄·二模）如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地上修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，一条与平行，其余部分种植草坪，若使草坪的面积为570平方米，问小路宽为多少米?设小路的宽为x米，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系．设小路的宽为x米，根据草坪的面积为570平方米，列出方程即可． 【详解】解：设小路的宽为x米，根据题意得： ， 故选：B． 15．（2025·云南·二模）智能汽车销售火爆．某店月份销售台，月、月份共销售台．设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为，根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为，根据故意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为， 由题意得，， 故选：． 16．（2025·云南楚雄·二模）某种商品原价是300元，经两次降价后的价格是180元．设平均每次降价的百分率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程与增长率的计算，理解题意，正确列式是关键． 根据数量关系，正确列式即可． 【详解】解：根据题意，， 故选：A ． 17．（2025·云南西双版纳·二模）某旅游景区2023年五一期间接待游客36万人次．这两年当地加大宣传力度，该景区逐渐为人所熟知，2025年五一期间接待游客49万人次．设该景区接待游客人次的年平均增长率为，根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该景区接待游客人次的年平均增长率为，则2024年五一期间接待游客万人次，则2025年五一期间接待游客万人次，据此列出方程即可． 【详解】解：设该景区接待游客人次的年平均增长率为， 由题意得， 故选：B． 18．（2025·云南昭通·二模）某水果商店2023年售出1000箱蓝莓，2025年售出1440箱蓝莓，若将这两年销售蓝莓箱数的平均增长率设为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这两年销售蓝莓箱数的平均增长率为，那么2024年的销售量为箱，则2025年的销售量为箱，据此列出方程即可． 【详解】解：若将这两年销售蓝莓箱数的平均增长率设为，根据题意，， 故选：A． 19．（2025·云南楚雄·二模）某市利用周末开展精品古旧书阅读分享活动．据统计，活动开展以来，第一个周末共1280人参与，参与活动人次逐周增加，第三个周末共2880人参与．若参与活动的人数周平均增长率相同，设参与活动人次的周平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用第三个周末参与人数=第一个周末参与人数×，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设参与活动人次的周平均增长率为x，根据题意可得， 故选：A． 20．（2025·云南临沧·二模）某新兴科技产业园区在2025年第一季度的营业收入为2亿元，随着各项扶持政策的落实以及创新技术的应用，预计到2025年第三季度的营业收入为亿元．设该产业园区营业收入的季度平均增长率为x．根据题意，可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．根据第一季度的营业收入为2亿元，预计到2025年第三季度的营业收入为亿元，列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选A． 21．（2025·云南·二模）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截至2021年底某市汽车拥有量为19.6万辆．已知2019年底该市汽车拥有量为10万辆，如果设2019年底至2021年底该市汽车拥有量的年均增长率为，那么根据题意列出的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知2019年底该市汽车拥有量为10万辆，则2020年底该市汽车拥有量为万辆；同理，表示出2021年底汽车拥有量为万辆．结合2021年底某市汽车拥有量为19.6万辆，列出关于的方程即可． 【详解】解：根据题意，可得． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 22．（2025·云南·二模）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”为响应全民阅读号召，某校利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一周进馆200人次，进馆人次逐周增加，第三周进馆242人次，若每周进馆人次的平均增长率相同．设每周进馆人次的平均增长率为，根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程与增长率的运用，根据题目中的数量关系，列式即可求解，掌握一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：第一周进馆200人次，第三周进馆242人次，每周进馆人次的平均增长率为 ， ∴， 故选：C ． 23．（2025·云南·二模）劳动教育已被纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．根据作物的产量两年内从300千克增加到363千克，列出方程即可． 【详解】解：第一年的产量为， 第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为， 则列出的方程是． 故选：D． 24．（2025·云南昆明·二模）昆明滇池是著名的高原湖泊生态旅游景点，景区优美的自然风光与宜人气候吸引众多游客纷至沓来．2025年1月，滇池景区接待游客约80万人，到了3月，景区接待游客人数增长至约125万人次．设1~3月滇池景区接待游客人数的月平均增长率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 假设出未知数，找出等量关系，列出方程即可． 【详解】解：根据题意得， 故选：C． 04 分式方程的实际应用 25．（2025·云南昆明·二模）中国的文房器物，既体现了中华民族的文化风俗，又为世界文化的进步和发展作出了贡献，最典型的是被称为“文房四宝”的书写工具：笔，墨，纸，砚．某校为践行美育教育，组织全校师生开展书法鉴赏与研习活动，现花费7520元购买了甲，乙两种型号的“文房四宝”共84套，其中购买甲种型号的“文房四宝”花费了5120元，已知每套乙种型号“文房四宝”的价格是每套甲种型号价格的倍，求甲，乙两种型号“文房四宝”每套的价格分别是多少元？ 【答案】甲种型号“文房四宝”每套价格为80元，乙种型号“文房四宝”每套价格为120元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是列出分式方程，进行求解，不要忘记对根进行检验，设甲种型号“文房四宝”每套价格为元，乙种型号“文房四宝”每套价格为元，列出分式方程进行求解即可． 【详解】解：设甲种型号“文房四宝”每套价格为元，乙种型号“文房四宝”每套价格为元， ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， ， 答：甲种型号“文房四宝”每套价格为80元，乙种型号“文房四宝”每套价格为120元． 26．（2025·云南曲靖·二模）春节期间，珠江源古镇计划在街道两侧悬挂传统灯笼以增添节日氛围．原计划每天悬挂 固定数量的灯笼，但实际施工时，每天比原计划多悬挂50盏．结果实际悬挂完400盏灯笼所需的时间，恰好与原计划悬挂300盏灯笼的时间相同，则实际每天悬挂灯笼数量为多少盏? 【答案】实际每天悬挂 200 盏灯笼 【分析】本题考查出分式方程的应用，设原计划每天悬挂盏灯笼，则实际每天悬挂盏灯笼，根据实际悬挂完400盏灯笼所需的时间，恰好与原计划悬挂300盏灯笼的时间相同，列出分式方程求解即可． 【详解】 解：设原计划每天悬挂盏灯笼，则实际每天悬挂盏灯笼， 根据题意得， 解得：， 经检验是所列方程的解，且符合实际意义， 此时， 答：实际每天悬挂 200 盏灯笼． 27．（2025·云南楚雄·二模）某中学为鼓励学生加强体育锻炼，决定购买篮球和排球两种运动器材，已知每个篮球的进价是每个排球进价的2倍，若用元购买篮球的数量比元购买排球的数量少个．请问篮球和排球的进价分别为每个多少元？ 【答案】排球的进价为每个元，则篮球的进价为每个元 【分析】本题考查的是分式方程的应用，找到等量关系列方程是解题的关键． 设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个元，利用“用元购买篮球的数量比元购买排球的数量少个”，再建立方程求解即可． 【详解】解：设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个元， 由题意得： 解得：． 经检验：是原分式方程的解． ． 排球的进价为每个元，则篮球的进价为每个元． 28．（2025·云南大理·二模）据网络平台数据显示，截至年4月日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某商场决定各用元购进了，两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共个．求购进，两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ 【答案】A种玩偶价格为元，则B种玩偶价格为元 【分析】设A种玩偶价格为x元，则B种玩偶价格为元，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了分式方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：设A种玩偶价格为x元，则B种玩偶价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， ∴， 答：A种玩偶价格为元，则B种玩偶价格为元． 29．（2025·云南楚雄·二模）某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套少10元，用300元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等．求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？ 【答案】在甲商店租用的服装每套30元，在乙商店租用的服装每套40元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设在甲商店租用的服装每套元，则在乙商店租用的服装每套元，根据用300元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设在甲商店租用的服装每套元，则在乙商店租用的服装每套元， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：在甲商店租用的服装每套30元，在乙商店租用的服装每套40元． 30．（2025·云南楚雄·二模）石屏豆腐，以长条形为主，颜色微黄，韧性十足，提着豆腐的一端轻轻甩动，不会断裂，因此有“云南十八怪，石屏豆腐甩着卖”的说法，石屏豆腐传统制作技艺入选第四批云南省级非物质文化遗产名录．五一前夕，王某计划购买某品牌的石屏豆腐送给亲朋好友，已知礼盒装石屏豆腐的单价比袋装石屏豆腐的单价高19元，若用260元单独购买袋装石屏豆腐与用640元单独购买礼盒装石屏豆腐的数量相同．求袋装石屏豆腐和礼盒装石屏豆腐的单价． 【答案】袋装石屏豆腐的单价是13元，礼盒装石屏豆腐的单价是32元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设袋装石屏豆腐的单价是x元，则礼盒装石屏豆腐的单价是元，利用数量总价单价，结合用260元单独购买袋装石屏豆腐与用640元单独购买礼盒装石屏豆腐的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即袋装石屏豆腐的单价），再将其代入中，即可求出礼盒装石屏豆腐的单价． 【详解】解：设袋装石屏豆腐的单价是x元，则礼盒装石屏豆腐的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）． 答：袋装石屏豆腐的单价是13元，礼盒装石屏豆腐的单价是32元． 31．（2025·云南西双版纳·二模）为保障某蔬菜基地的种植用水，需要修一条灌溉水渠．现在有两个施工队参与修渠，甲施工队比乙施工队每天多修30米水渠．甲施工队修750米水渠所用的时间和乙施工队修500米水渠所用的时间相同．甲，乙两个施工队每天分别修多少米水渠？ 【答案】甲，乙两个施工队每天分别修90米、60米水渠 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； 设乙施工队每天修x米水渠，则甲施工队每天修米水渠，根据：甲施工队修750米水渠所用的时间和乙施工队修500米水渠所用的时间相同，即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可得出答案． 【详解】解：设乙施工队每天修x米水渠，则甲施工队每天修米水渠， 根据题意，得， 解得：， 经检验：是所列方程的解，， 答：甲，乙两个施工队每天分别修90米、60米水渠． 32．（2025·云南昆明·二模）列方程解决实际问题： 2024年12月2日，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳（）升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．2025蛇年春晚吉祥物的设计是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知B款吉祥物的单价是A款吉祥物的单价的1.5倍．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量比花600元购买B款吉祥物的数量多20个，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ 【答案】A款吉祥物的单价为20元，B款吉祥物的单价为30元 【分析】本题考查了分式方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键．设A款吉祥物的单价为x元，则B款吉祥物的单价为元，顾客花800元购买A款吉祥物的数量比花600元购买B款吉祥物的数量多20个，即可列出等量关系求解． 【详解】解：设A款吉祥物的单价为x元，则B款吉祥物的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， ∴（元）， 答：A款吉祥物的单价为20元，B款吉祥物的单价为30元． 33．（2025·云南文山·二模）随着“旅居云南”热度攀升，某家庭寒假选择在昆明与玉溪体验双城旅居．已知该家庭用元租到昆明某湖景民宿的入住天数，与用元租到玉溪某温泉民宿的入住天数相同，若玉溪民宿每天租金比昆明民宿少元，求该家庭租到两地民宿的日租金各是多少元？ 【答案】该家庭租到昆明民宿的日租金是元，租到玉溪民宿的日租金是元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设该家庭租到昆明民宿的日租金是元，则租到玉溪民宿的日租金是元，根据两家租住的天数相同，可列分式方程，解方程求出的值即可求出两家民宿的日租金． 【详解】解：设该家庭租到昆明民宿的日租金是元，则租到玉溪民宿的日租金是元， 由题意得：， 方程两边同乘：， 可得：， 去括号可得：， 解得：.， 经检验是分式方程的解， ， 答：该家庭租到昆明民宿的日租金是元，租到玉溪民宿的日租金是元． 34．（2025·云南玉溪·二模）从智能家居到自动驾驶汽车，再到复杂的医疗诊断和金融分析，正在改变着我们的生活方式和工作模式．无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比1名快递员配送所需时间少16天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件． 【答案】1名快递员平均每天可配送包裹300件 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹件，根据要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比1名快递员配送所需时间少16天列出方程求解即可． 【详解】解：设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹件， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：1名快递员平均每天可配送包裹300件． 35．（2025·云南昭通·二模）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务．求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ 【答案】原计划与实际每天铺设管道分别为40米和50米 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设原计划每天铺设管道米，根据实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道米， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ， 答：原计划与实际每天铺设管道分别为40米和50米 36．（2025·云南临沧·二模）为积极响应《云南省中小学生壮苗行动方案（年）》的号召，全面提升学生身体素质，某中学计划采购一批篮球和足球．已知用3000元购买篮球的数量是用2000元购买足球的数量的，且每个篮球的价格比每个足球的价格贵20元，分别求出篮球和足球的单价． 【答案】足球的单价是20元，篮球的单价为元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确建立分式方程是解题关键．设足球的单价是元，则篮球的单价是元，根据购买篮球的数量是足球的，购买足球用了2000元，购买篮球用了3000元建立分式方程，解方程即可得． 【详解】解：设足球的单价是元，则篮球的单价是元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：足球的单价是20元，篮球的单价为元． 37．（2025·云南昆明·二模）2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校、科研机构、企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造、物流分拣、特种作业、家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人平均速度约为松延动力机器人平均速度的，用时比松延动力机器人少，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 【答案】松延动力机器人的平均速度是 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：松延动力机器人北京天工机器人所用时间，列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设松延动力机器人的平均速度是，由题意得 ， 解得， 经检验得是原方程的解且符合题意； 答：松延动力机器人的平均速度是． 38．（2025·云南楚雄·二模）某工厂原计划生产20000辆新能源汽车，因市场销量攀升，需要再多生产18000辆，该工厂在实际生产中通过提高生产效率，每天比原计划多生产60辆新能源汽车，实际完成生产任务的天数是原计划天数的倍，求原计划每天生产多少辆新能源汽车． 【答案】原计划每天生产320辆新能源汽车． 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设原计划每天生产x辆新能源汽车，则实际每天生产了辆新能源汽车，根据实际完成生产任务的天数是原计划天数的倍建立方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天生产x辆新能源汽车，则实际每天生产了辆新能源汽车， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， 答：原计划每天生产320辆新能源汽车． 05 二元一次方程与不等式（组）的综合 39．（2025·云南昭通·二模）我省民族众多，民族服饰更是支系繁多，各具特色，但都承载着厚重的民族文化．某剧院购进A，B两款民族服饰以供演出使用，用1800元购进的款服饰的数量和用1400购进的款服饰的数量相同，每套款服饰的价格比每套款服饰的价格贵40元，分别求A，B两款服饰每套的价格． 【答案】每套款服饰的价格是140元，每套款服饰的价格是180元 【分析】设每套款服饰价格为元，因为每套款服饰比款贵元，所以款服饰价格为元．根据“用元购进的款服饰的数量和用元购进的款服饰的数量相同”这一条件，由“数量 = 总价÷单价”，可列出分式方程 ．求解即可．本题主要考查分式方程的应用，涉及到根据实际数量关系列方程和解分式方程的知识点．解题的关键在于准确找出等量关系，即两种服饰数量相等，据此列出分式方程，同时要注意解分式方程后需进行检验，确保解的合理性和正确性． 【详解】解：设每套款服饰的售价是元，则每套款服饰的售价是元. 由题意得. 由得，即. . 经检验，是原分式方程的解，且符合题目要求，此时. 答：每套款服饰的价格是140元，每套款服饰的价格是180元. 40．（2025·云南玉溪·二模）绿茵场！闪电突破！篮筐下！精准投射！热血在奔跑中沸腾！团队在配合中闪光！从2025年春季学期起，云南省义务教育学校课间休息时间全面调整为15分钟，为给学生们丰富课间活动资源，某校计划购买一批足球和篮球．若购买5个足球和8个篮球，需1350元，购买10个足球和4个篮球，需1200元． (1)求每个足球、篮球的价格？ (2)若该校计划购买足球和篮球共120个，购买足球的数量不超过篮球数量的且不低于篮球数量的，为使购买的总费用W最低，应购买足球和篮球各多少个？最低总费用为多少元？ 【答案】(1)每个足球70元，每个篮球125元 (2)当购买足球53个、篮球67个时，购买的总费用最低，最低总费用为12085元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确列出方程组，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设每个足球的单价为x元、每个篮球的价格为元，根据购买5个足球和8个篮球，需1350元，购买10个足球和4个篮球，需1200元建立方程组求解即可； （2）设购买篮球的数量为个，则购买足球的个数为个，则可列出W关于n的一次函数关系式，再根据购买足球的数量不超过篮球数量的且不低于篮球数量的列出不等式组求出n的取值范围，据此根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个足球的单价为x元、每个篮球的价格为元， 由题意得：， 解得：， 答：每个足球70元，每个篮球125元； （2）解：设购买篮球的数量为个，则购买足球的个数为个， 购买的总费用． 由题意得：，解得：， ， 随的增大而增大， 又是整数， 当，即时，购买的总费用最低， 最低总费用为（元）． 答：当购买足球53个、篮球67个时，购买的总费用最低，最低总费用为12085元． 41．（2025·云南昭通·二模）绿化树种具有过滤和滞纳大气污染颗粒物的能力，因此成为城市绿化的常用树种，其中榆树和白蜡树因其生长迅速，枝叶繁茂而被广泛种植．已知3棵榆树和2棵白蜡树的滞尘总量为23千克，5棵榆树和4棵白蜡树的滞尘总量为41千克． (1)每棵榆树和白蜡树的滞尘量分别是多少千克？ (2)一条新建的城市道路需要种植这两种树，一棵榆树的种植成本是400元，一棵白蜡树的种植成本是200元，种植两种树木的总棵数为60棵，要求滞尘总量不少于280千克，且种植总成本尽可能低，应该怎样种植这两种树才能使种植总成本最低？求出该费用． 【答案】(1)每棵榆树的滞尘量为5千克，每棵白蜡树的滞尘量为4千克 (2)种植40棵榆树，20棵白蜡树，种植总成本最低，为20000元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设每棵榆树的滞尘量为千克，每棵白蜡树的滞尘量为千克，根据3棵榆树和2棵白蜡树的滞尘总量为23千克，5棵榆树和4棵白蜡树的滞尘总量为41千克建立方程组求解即可； （2）设种植棵榆树，种植棵白蜡树，根据滞尘总量不少于280千克列出不等式求出m的取值范围，设种植总成本为元，列出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解；设每棵榆树的滞尘量为千克，每棵白蜡树的滞尘量为千克． 由题意得，， 解得． 答：每棵榆树的滞尘量为5千克，每棵白蜡树的滞尘量为4千克． （2）解：设种植棵榆树，种植棵白蜡树． 由题意得，， 解得，． 设种植总成本为元． 由题意得， ， 随的增大而增大． 当时，取得最小值，最小值为， 此时． 答：种植40棵榆树，20棵白蜡树，种植总成本最低，为20000元． 42．（2025·云南曲靖·二模）某智慧社区计划推广垃圾分类，需采购两种智能设备，智能垃圾桶（T 型）：自动分类 可回收物；垃圾分拣机器人（R 型）：精准分拣有害垃圾．若购买4台T 型设备和5台R 型设备， 总费用为3900元；若购买3台T 型设备和2台R 型设备，总费用为2050元． (1)求每台T 型设备和每台R 型设备的单价； (2)若社区需采购两种设备共20台（均需采购），且T型设备数量不超过R型数量的， 为 使总费用最低，应分别采购T 型和R 型设备多少台?最低总费用为多少元? 【答案】(1)每台T 型设备的单价为元，每台R 型设备的单价为元 (2)采购 T 型 设 备 5 台 和 R 型 设 备 15 台 时 ， 总 费 用 最 低 ， 为 9250元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组，不等式组和函数关系式是解题的关键． （1）设每台T 型设备的单价为元，每台R 型设备的单价为元，根据购买4台T 型设备和5台R 型设备， 总费用为3900元；购买3台T 型设备和2台R 型设备，总费用为2050元建立方程组求解即可； （2）设购买R 型设备台，则购买T型设备台，总费用为W元，根据题意列出W关于m的一次函数关系式，再根据T型设备数量不超过R型数量的，列出不等式组求出m的取值范围，最后根据一次函数的现在求解即可． 【详解】（1）解：设每台T 型设备的单价为元，每台R 型设备的单价为元， 由题意得， 解得， 答：每台T 型设备的单价为元，每台R 型设备的单价为元； （2）解：设购买R 型设备台，则购买T型设备台，总费用为W元， 由题意得， ∵T型设备数量不超过R型数量的， ∴， ∴，且m为整数， ∵， ∴W随m增大而增大， ∴当时，W有最小值，最小值为，此时， 答：采购 T 型 设 备 5 台 和 R 型 设 备 15 台 时 ， 总 费 用 最 低 ，最低 为 9250元． 43．（2025·云南楚雄·二模）某校积极践行阳光体育特色大课间活动，现需购买一批霸王鞭和小皮鼓．已知购进2套霸王鞭和1套小皮鼓共花费70元，购进3套霸王鞭和5套小皮鼓共花费245元． (1)求购进的霸王鞭和小皮鼓的单价； (2)现需购买这两类运动设备共120套，并且购买霸王鞭的数量要不超过小皮鼓数量的3倍，当购买这两类运动设备各多少套时学校花费最少？最少的费用是多少元？ 【答案】(1)购进的霸王鞭单价是15元，小皮鼓单价是40元； (2)当购买霸王鞭90套，小皮鼓30套时，学校花费最少，最少的费用是2550元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一次函数，不等式的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设购进的霸王鞭单价是x元，小皮鼓单价是y元，由此列二元一次方程组求解即可； （2）设购买霸王鞭a套，则购买小皮鼓套，购买两类运动设备的总费用为w元，可得，结合一次函数的增减性，不等式的取值方法求解即可． 【详解】（1）解：设购进的霸王鞭单价是x元，小皮鼓单价是y元， 根据题意，得， 解得， 答：购进的霸王鞭单价是15元，小皮鼓单价是40元； （2）解：设购买霸王鞭a套，则购买小皮鼓套，购买两类运动设备的总费用为w元， ， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∵， 解得， ∴当时，w有最小值，，， 答：当购买霸王鞭90套，小皮鼓30套时，学校花费最少，最少的费用是2550元． 44．（2025·云南临沧·二模）在中学生劳动课教育中，学校开展了手工制品售卖实践活动．某班级同学负责售卖甲、乙两种手工艺品，已知上午售出3件甲种手工艺品和4件乙种手工艺品，共获得利润90元；下午售出3件甲种手工艺品和5件乙种手工艺品，共获得利润105元． (1)求甲种手工艺品和乙种手工艺品每件的销售利润． (2)该班级计划一次性购进这两种手工艺品共120件用于售卖，其中甲种手工艺品的进货量不低于乙种手工艺品进货量的，请你帮该班级设计一种销售总利润最大的进货方案，并求出总利润的最大值． 【答案】(1)甲种手工艺品每件的销售利润为元，乙种手工艺品每件的销售利润为元 (2)甲种手工艺品购进件，则乙种手工艺品购进件，最大利润为：元. 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，不等式、一次函数的实际应用，涉及用一次函数和不等式求最值的问题，考查将实际问题转化为数学问题的抽象能力，以及基本运算能力、模型思想和应用意识． （1）设甲种手工艺品每件的销售利润为元，乙种手工艺品每件的销售利润为元，根据3件甲种手工艺品和4件乙种手工艺品，共获得利润90元； 3件甲种手工艺品和5件乙种手工艺品，共获得利润105元，再建立方程组求解即可； （2）设甲种手工艺品购进件，则乙种手工艺品购进件，总利润为元，可得，结合甲种手工艺品的进货量不低于乙种手工艺品进货量的，可得：，再结合一次函数的性质可得答案. 【详解】（1）解：设甲种手工艺品每件的销售利润为元，乙种手工艺品每件的销售利润为元，则 ，解得：， 答：甲种手工艺品每件的销售利润为元，乙种手工艺品每件的销售利润为元. （2）解：设甲种手工艺品购进件，则乙种手工艺品购进件，总利润为元，则 ， ∵甲种手工艺品的进货量不低于乙种手工艺品进货量的， ∴， 解得：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，获得最大利润，最大利润为：（元）， 此时进货方案为：甲种手工艺品购进件，则乙种手工艺品购进件，最大利润为：元. 45．（2025·云南·二模）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，因此新能源汽车逐渐成为人们选择的交通工具．某汽车销售公司计划2024年购进一批新能源汽车，据了解，2辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计130万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计120万元． (1)求A型、B型汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若购进A、B两种型号汽车共10辆，所需进价不超过180万元，至少购买A种型号汽车多少辆？ 【答案】(1)A型汽车每辆进价为15万元，B型汽车每辆进价为20万元． (2)至少购买A种型号汽车辆． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元，根据“2辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计130万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计120万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购买A种型号汽车辆，则B种型号汽车辆，根据“所需进价不超过180万元”，进行列式，即可作答． 【详解】（1）解：设A型汽车每辆进价为x万元，B型汽车每辆进价为y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：A型汽车每辆进价为15万元，B型汽车每辆进价为20万元． （2）解：设购买A种型号汽车辆，则B种型号汽车辆 依题意，， 解得， ∴至少购买A种型号汽车辆． 1．（2025·云南文山·二模）“任尔东西南北风，乱云飞渡仍从容．为中国，为世界，吾辈当奋发图强！”中国外交部（不跪！）视频发布首日全球播放量突破5亿次，第三天全球播放量突破10亿次．设该视频发布第二天、第三天的全球播放量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元二次方程，根据首日播放量突破5亿次，第三天突破10亿次，平均增长率为，列出方程即可． 【详解】解：设该视频发布第二天、第三天的全球播放量的日平均增长率为， 根据题意，得， 故选：D． 2．（2025·云南昆明·二模）如图，已知长方形铁皮的长为，宽为，分别在它的四个角上剪去边长为的正方形，做成底面积为的无盖长方体盒子，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，等量关系式：（长方形的长）（长方形的宽），即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：A． 3．（2025·云南·二模）“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的全年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，根据题意即可列出方程求解． 【详解】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为， 根据题意得． 故选：A． 4．（2025·云南·二模）关于x的一元二次方程的两根为a，b，且，则m的值为（    ） A． B．3 C．3或 D．或1 【答案】A 【分析】先利用一元二次方程根的判别式与根的关系得到，再根据根与系数的关系得到，然后解关于m的方程即可得到满足条件的m的值． 【详解】解：根据题意得，解得， ∵关于x的一元二次方程的两根为a，b， ∴， ∴， 整理得， 解得，（舍去）， ∴m的值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，易错点是忽视这一隐含条件． 5．（2025·云南玉溪·二模）一元二次方程的根的情况是（　　） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程没有实数根， 故选：D． 6．（2025·云南·二模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是 ． 【答案】k＞1. 【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，∴△=（-2）2-4×1×k=4-4k＜0，解得k＞1. 考点：一元二次方程根的判别式. 7．（2025·云南曲靖·二模）在代数中，一元二次方程的一般形式为，设该方程的两个根为，，则根与系数之间存在以下关系式（也称韦达定理）：， 这些关系在解决一元二次方程相关的问题时非常有用． 已知二次函数的图象过点，当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而减小．若实数m，n满足，． (1)求此二次函数的解析式（也称表达式）； (2)若，试判断T是否为定值，若为定值，请求出T的值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)T为定值2或 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解以及代数式定值的判断．解题关键是利用二次函数对称轴性质和已知点坐标确定解析式，借助韦达定理分析根与系数关系并分情况化简代数式． （1）利用二次函数对称轴公式，结合已知对称轴及求出．将点代入含值的二次函数表达式求出，从而确定二次函数解析式． （2）先依据韦达定理明确、作为方程两根的关系，即与的值，以及、的值．分和两种情况，对的表达式化简计算，判断是否为定值并求值． 【详解】（1）解：∵当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而减小， ∴二次函数的对称轴为， ∵图象过点， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：T为定值，理由如下： ∵实数，满足，，由（1）知，，即，是方程的两个根． ∴在方程中，，， ∴，． 同时，由可得；由可得． 当时 ． 当时 ∵；． ∴ ∵， 把，代入： 综上，为定值，的值为或． 8．（2025·云南文山·二模）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班控700千克土豆与乙班挖600千克土豆所用的时间相同，已知甲班平均每小时比乙班多挖50千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆? 【答案】乙班每小时挖300千克的土豆 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙班每小时挖x千克的土豆，则甲班每小时挖千克的土豆，根据“甲班控700千克土豆与乙班挖600千克土豆所用的时间相同”列分式方程，求解即可． 【详解】解：设乙班每小时挖x千克的土豆，则甲班每小时挖千克的土豆． 根据题意得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：乙班每小时挖300千克的土豆． 9．（2025·云南·二模）随着科学技术的不断发展，无人机在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的7.5倍，120亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13小时，求一架无人机平均每小时喷洒农药多少亩． 【答案】60亩 【分析】设一个人平均每小时喷洒农药x亩，根据题意列出分式方程解答即可． 【详解】设一个人平均每小时喷洒农药亩，则一架无人机平均每小时喷洒农药亩， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：一架无人机平均每小时喷洒农药60亩． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，读懂题意列出分式方程是解题的关键． 10．（2025·云南·二模）2021年2月1日后，南海区将用1年时间实现“双百目标”，即全区生活垃圾分类示范100%达标创建、生活垃圾八大产生源100%达标创建，我区的生活垃圾分类工作正式进入“提速”模式．某小区准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用8000元购买A种垃圾桶的组数量与用11000元购买B种垃圾桶的组数量相等． （1）求A、B两种垃圾桶每组的单价． （2）该小区物业计划用不超过18000元的资金购买A、B两种垃圾桶共40组．则最多可以购买B种垃圾桶多少组？ 【答案】（1）A种垃圾桶每组的单价为400元，B种垃圾桶每组的单价为550元；（2）最多可以购买B种垃圾桶13组． 【分析】（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+150）元，利用数量＝总价÷单价，结合用8000元购买A种垃圾桶的组数量与用11000元购买B种垃圾桶的组数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（40﹣y）组，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过18000元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论． 【详解】解：（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+150）元， 依题意得：， 解得：x＝400， 经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意， ∴x+150＝400+150＝550（元）． 答：A种垃圾桶每组的单价为400元，B种垃圾桶每组的单价为550元． （2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（40﹣y）组， 依题意得：， 解得：， 又∵y为正整数， ∴y的最大值为13． 答：最多可以购买B种垃圾桶13组． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，涉及了一元一次不等式的求解，理解题意找到等量关系列出方程和不等式是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$